五级奥数同余问题
人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余 （含答案）
余数和同余一、走进来：在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后从1至5报数，最后令士兵从1至7 报数，分别记下每次最后一个士兵所报之数。
这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。
算经中载有此题之算法，后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这道题就是利用余数的性质来求解。
这一章我们来共同探讨这样的问题。
二、一起做：【例1】2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
提示：如何使2100能被这个两位数整除？【例2】用一个自然数分别去除69、90、125，所得的余数都是6，求这个自然数。
提示：把“有余数”转化成“没有余数”，就能解决了。
【例3】60,90和125分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？提示：余数相同，可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数，进而求解。
【例4】有一个整数，用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20，求这个数。
提示：先根据已知条件，确定这个数的大致范围。
然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数，再分解质因数来求解。
【例5】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。
提示：写出除以3余2的数，从中找出除以5余3的最小自然数，再写出满足前两个条件的数，从中找出除以7余2的最小数。
【例6】求71427×1379×5781的积除以7的余数。
提示：你可以利用这三个数分别除以7的余数，去研究71427×1379×5781除以7的余数。
同余法解题完整版
同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题
第___讲巧解余数与同余问题第一节余数方法和技巧：（1）被除数=商×除数+余数。
（2）借助约数和倍数的知识。
上面两个性质是解题的关键。
例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？做一做2：两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。
求这两个数。
做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。
问：被除数是多少？例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？A B C D E F G___________________________________1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 …例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。
求这个自然数能取得的最小值。
例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少?巩固练习：1、填空：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。
小学五年级奥数—数论之同余问题之欧阳语创编
一、带余除法的定义及性质：时间：2021.03.01 创作：欧阳语一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d 本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a －b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余法解题
五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的..同余的定义是这样的：两个整数;a;b;如果他们同时除以一个自然数m;所得的余数相同;则称a;b对于模m同余....记作a≡bmod.m..读作：a同余于b模m.. 同余的性质也比较多;主要有以下一些：1..对于同一个除数;两个数的乘积与它们余数的乘积同余..例如201 ×95的乘积对于除数7;与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余..2..对于同一个除数;如果有两个整数同余;那么它们的差就一定能被这个除数整除..例如519和399对于一个除数同余;那么这个除数一定是519与399的差的因数;即519与399的差一定能被这个除数整除..3..对于同一个除数;如果两个数同余;那么他们的乘方仍然同余..例如20和29对于一个除数同余;那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余;当然余数大小随次方变化..4．对于同一个除数;若三个数a≡bmod m;b≡cmod m;那么a;b;c三个数对于除数m都同余传递性例如60和76同余于模8;76和204同余于模8;那么60;76;204都同余于模8..5. 对于同一个除数; 若四个数a≡bmod m;c≡dmod m;那么a±c≡c±dmod m;可加减性6. 对于同一个除数; 若四个数a≡bmod m;c≡dmod m;那么ac≡cdmod m;可乘性二、中国剩余定理解法一个数被3除余1;被4除余2;被5除余4;这个数最小是几解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除;但除以5余4;即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除;但除以3余1;即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除;但除以4余2;即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60;所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历..三、解题技巧同余口诀：“差同减差;和同加和;余同取余;最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀..1、差同减差：用一个数除以几个不同的数;得到的余数;与除数的差相同;此时反求的这个数;可以选除数的最小公倍数;减去这个相同的差数;称为：“差同减差”..例：“一个数除以4余1;除以5余2;除以6余3”;因为4-1=5-2=6-3=3;所以取-3;表示为60-3或者60n-32、和同加和：用一个数除以几个不同的数;得到的余数;与除数的和相同;此时反求的这个数;可以选除数的最小公倍数;加上这个相同的和数;称为：“和同加和”..例：“一个数除以4余3;除以5余2;除以6余1”;因为4+3=5+2=6+1=7;所以取+7;表示为60n+7..3、余同取余：用一个数除以几个不同的数;得到的余数相同;此时反求的这个数;可以选除数的最小公倍数;加上这个相同的余数;称为：“余同取余”..例：“一个数除以4余1;除以5余1;除以6余1”;因为余数都是1;所以取+1;表示为60n+1..4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍即上面1、2、3中的60n都满足条件;称为：“最小公倍n倍加”;也称为：“公倍数作周期”..三、例题解评例1：判定288和214对于模37是否同余思路点拨：可直接由定义判断..解：∵288-214=74=37×2∴288≡214mod 37例2、用412、133和257除以一个相同的自然数;所得的余数相同;这个自然数最大是几解析假设这个自然数是a;因为412、133和257除以a所得的余数相同;所以a｜412－133;a｜412－257;a｜257－133;说明a是以上三个数中任意两数差的约数;要求最大是几;就是求这三个差的最大公约数..155;124;279=31;所以a最大是31..例3、249×388×234除以19;余数是几解析如果把三个数相乘的积求出来再除以19;就太麻烦了;利用同余思想解决就容易了..因为249≡2mdo19; 388≡8mdo19;234≡6mdo19;所以249×388×234≡2×8×6≡1mdo19此题应用了同余的可乘性;同余的传递性..例4：求1992×59除以7的余数..思路点拨：可应用性质2;将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积;使计算简化..解：∵1992≡4mod 7;59≡3mod 7∴根据性质5可得：1992×59≡4×3mod 7;余数为12÷7的余数..答：1992×59除以7的余数是5..例5：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同;m的最大值是多少思路点拨：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同;也就是16520≡14903≡14177mod m根据同余补充定义;这三个数同余;那么它们的差就能被m整除..要求m最大是多少;就是求它们差的最大公约数是多少..解：因为16520-14903=161716520-14177=234314903-14177=7261617、2343、726=33所以m的最大值是33..〖评注〗实际上;这三个差数还可以继续两两相减;得到1617-726=891;891-726=165;算出726和165的最大公约数即可;通常其结果与上面相同..例6：在除13511;13903;及14598时能剩下相同余数的最大整数是几思路点拨：根据同余的性质;若几个数被同一个数除;余数相同;则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除..所以这个数应是这三个数两两相减后所得数的最大公约数..解：这两个数两两只减的差是：13903-13511=39214598-13903=68614589-13511=1078因为392;686;1078=98;所以这个数是98..也可以以上三个差再两两相减;得686-392=294;再392-294=98答：这个最大整数是98..例7：一个三位数除以9余7;除以5余2;除以4余3..这样的三位数共有几个思路点拨：由中国剩余定理解法求..解法：求3个数：第一个：能同时被9和5整除;但除以4余3;即45X3＝135第二个：能同时被4和5整除;但除以9余7;即20X8＝160第三个：能同时被9和4整除;但除以5余2;即36x2＝72这3个数的最小公倍数为180;所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=1877＋180×5=907＜ 10007＋180×6=1087＞1000所以符合条件的三位数共有5个..分别是7＋180×nn=1;2;4;5.答：这样的三位数共有5个..例8、有一个1997位数;它的每个数位都是2;这个数除以13;商的第100位是几最后余数是几解析这个数除以13;商是有规律的..商是170940六个数循环;那么;即;我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”;所以商的第100位是9..余数是几呢则解析过程：本题商共有1996位;每6位循环;共有332次循环后余4;所以商的个位数字应是“170940”中的第4个;商应是9;个位的余数就对应商为9时的余数5..三、练习题1. 求下列算式中的余数..1 23 42. 6254与37的积除以7;余数是几3. 如果某数除482;992;1094都余74;这个数是几4、300、262、205被同一个整数除;得到相同的余数;这个整数是几5、一个自然数被247除余 63;被248除余63;求这个自然数被26除的余数..6、一个自然数N被10除余9;被9除余8;被8除余7;被7除余6;被6除余5;被5除余4;被4除余3;被3除余2;被2除余1;求N的最小值..7、两个数除以11分别余9和10;这两个数的和除以11余几8、甲、乙、丙三个数之和是100;甲数除以乙数;或丙数除以甲数;得数都商5余1;乙数是多少9、求下列各式的余数..1 2123÷6 24848÷53求20的200次方除以13的余数.. 4求80的1000次方除以12的余数..。
五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题doc
五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题doc第___讲巧解余数与同余问题第一节余数方法和技巧：（1）被除数=商某除数+余数。
（2）借助约数和倍数的知识。
上面两个性质是解题的关键。
例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？做一做2：两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。
求这两个数。
做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。
问：被除数是多少？例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？ABCDEFG___________________________________1234567891011121314 15161718192021222324252627282930313233343536373839…例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。
求这个自然数能取得的最小值。
例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少巩固练习：1、填空：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
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1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：2881
2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？
解析：被除数是424，除数是79.
3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来
的除数。
解析：除数是10.
4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也
比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.
5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.
6.求4
13除以5的余数。
解析：1.
7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？
解析：5.
8. ÷7的余数是多少？
解析：0.
9.求123456789101112……199200除以9的余数是________;
解析：3.
10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?
解析：7
11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .
解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×
21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.
12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？
解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .。