罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章-无限期界与世代交叠模型)

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章无限期界与世代交叠模型

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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。设()·0f '>，()()*

1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。

（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平

()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+??

"==-=++=+ ???

＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。

()

.mi . n s t w Y ALf k AL rK = +

本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：求一阶条件：

用第一个结果除以第二个结果：

上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：

单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。

2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。

（2.43）

设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。

（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？

（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -??????????，或者

()()2211ln //ln /C C P P -??。证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间

的替代弹性是

。

答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。

（1）

1122..s t PC P C W += （2）

求解约束条件：

2112//C W P C P P =- （3）

将方程（3）代入（1）中，可得：

（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：

再简化为：

()

1/1/12121/C P P C θ

ρ=+ （5）

将方程（5）代入（3），则有：

()

()()

()

1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P β

ββ

ρρ-??=-+++=??

再简化为：

（6）

将方程（6）代入（5）中，则有：

（7）

（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：

()

()1/1/1221/C 1/C P P β

ρ=+ （8）

对方程（8）两边取对数可得：

()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）

则消费的跨期替代弹性为：

因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？

（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？

答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ?内，从()0t ε-到()0t ε+。考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ?。然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本()u c c '?前，在()0t ε+会有一收益()

r t n g t

e c --??????，财富的回报率为

()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为[]()()

1/2r t n g t

u c e c --?????'?后。

总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：

在0c ?≠时，有下式：

因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者

会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。

（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。

2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数()u C 为ln C 。考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、

()r t 的路径与效用函数参数表示的C 的表达式。

注意：

（2.1）

（2.1）中，()C t 是在￡时刻家庭每个成员的消费。()u 是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。()L t 是经济的总人口，()/L t H 因此是每个家庭的成员人数。故()()()u C t L t H ／是t 时刻家庭的总瞬时效用。最后，ρ是贴现率。ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。

由于每个家庭有()/L t H 个成员，在t 时刻其劳动总收入为()()W t L t H ／，并且其消费支出为()()C t L t H ／。在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H ，或等于()0/K H 。因此，家庭预算为：

（2.6）

答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。

（1）

（2）

令

建立拉格朗日方程：

求一阶条件：

抵消()/L t H 项得：

()()

R t t e C t e

ρλ---= （3）

可以推出：

()()

1R t t C t e e

ρλ--= （4）

将其代入预算约束方程：

（5）

将()()0nt L t e L =代入上式：

（6）

只要0n ρ->，则积分项收敛，为()1/n ρ-，则：

（7）

将方程（7）代入（4）：

（8）

因此，初始消费为：

（9）

个人的初始财富为()/0W L H ????／，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。()n ρ-为个人的财富边际消费倾向。

可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。

2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程

给定的家庭。设真实利率不

变，并且W 表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程

的右边，给定r 、W 与效

用函数的参数，求出C 的效用最大化路径。

答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：

（1）

（2）

W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r 是常数。建立拉格朗日方程如下：

求一阶条件，可得：

抵消()/L t H ，得：

()

t t e C t e ρθ

γλ---= （3）

两边对时间t 求导，可得：

得到下面的方程：

（4）

将方程（3）代入（4），可得：

抵消t e γλ-然后求消费的增长率()()/C t C t ，可得：

（5）

由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果r ρ>，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r ρ<，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果r ρ>，则θ决定了消费增长的幅度。θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。

重写方程（5），得：

（6）

对方程（6）积分，积分区间是从时间0τ=到时间t τ=，可得：

上式可以简化为：

[][]()/0/lnC t C r t ρθ=- （7）

对方程（7）两边取指数，可得：()()[]//0r t C t C e ρθ-=（），整理得：

()()[

]/ 0r t

C t C e ρθ-=（）（8）

下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：

将()()0nt L t L e =代入上式，可得：

（9）

只要[]/0r r n ρθθ-+->（），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：

（10）

将方程（10）代入（9）中，求解()0C ：

（11）

将方程（11）代入（8），求解()C t ：

（12）

上式便是C 的效用最大化路径。

2.6 生产力下降与储蓄。考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g 永久性地下降。

（a ）如果这个变动影响0k =曲线，它将怎样影响？

（b ）如果这个变动影响0c =曲线，它将怎样影响？

（c ）在变动时刻，c 会发生什么事情？

（d ）找出g 的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。人们可否说明这种表达式为正还是为负？

（e ）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即()k k α=，请重新写出用ρ、n 、g 、θ与α表示的（d ）的答案。

（提示：利用事实()*f k g ρθ'=+。）答：（a ）关于资本的欧拉方程为：

()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （1）

该方程描述了资本的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的

核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

图2-1 拉姆齐模型

在均衡增长路径上，k =0，由此可以推出：()()c f k n g k =-+。在该方程中，当g 永久性地下降时，会导致消费c 上升以保持方程的均衡。因而在图形上0k =曲线向上移动。同时，保持k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资()n g +下降的幅度更大，因而在更高的k 水平上，0k =向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。

（b ）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：

（2）

该方程描述了消费的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

在均衡增长路径上，要求0c =，即()f k g ρθ'=+，在g 永久性地下降时，为保持0c =，

()f k '必须下降。由于()0f k "＜，因而()f k '下降必然导致k 上升。因此，0c =必须上升，

在图形上表现为0c =向右移动，如图2-1所示。

（c ）在g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径k *处。

与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g 永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的均衡增长路径达到新的均衡增长路径，每单位有效劳动的消费c 必将发生变化。不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。因此，c 和k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。

（d ）在均衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：

()()***/f k c f k ??-??

因为k 保持不变，即0k =，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：

()()***f k c n g k -=+

由上面两个式子可以推出在均衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：

()()**

/s n g k f k ??=+?? （3）

对方程（3）两边关于g 求导数，可得：

可以再简化为：

（4）

由于k *由()*f k g ρθ'=+决定，对该式两边关于g 求导数，可得：()()**/f k k g θ"=，从而求出/k g *为：

()**//0k g f k θ="< （5）

将方程（5）代入（4）中，可得：

（6）

在方程（6）中，分母()f k *和()2f k *''为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在均衡增长路径上g 永久性地下降会使s 上升还是下降。

（e ）将柯布—道格拉斯生产函数()f k k α=，()1f k k αα-'=和()()21f k k ααα-"=-代入方程（6）中，可得：

简化为：

从上式可以推出：

最终有下面的结果：

2.7 描述如下的每种变化怎样影响图2-2中的0c =与0k =曲线，以及它们如何影响c 与k 的均衡增长路径的值。（a ）θ的上升。

（b ）生产函数的向下移动。

（c ）折旧率由教材中假设的0值上升为某一正水平的变动。

图2-2 鞍点路径

答：（a ）关于c 与k 的欧拉方程为：

（1）

（2）

θ的上升即消费的跨期替代弹性1/θ下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。

由于θ没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受θ的上升的影响。在

消费的动态方程中，在均衡增长路径上0c =，从而()f k g ρθ'=+，由于θ的上升，因而()f k '必须上升，又因为()0f k "<，所以为使0c =，k 必须下降。此时0c =向左移动，消费移动

到新的鞍点路径A 点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点E '，此时c *和k *低于原先的值。如图2-3所示。

图2-3 θ的上升的影响

（b ）由于生产函数的向下移动，因而()f k 和()f k '都变小了，如图2-4所示。

图2-4 生产函数向下移动

根据资本的欧拉方程：()()()()()()k t =f k t -c t -n+g k t ，在均衡增长路径上0k =，因而有()()c f k n g k =-+。由于()f k 变小，因此0k =这条曲线会向下移动，如图2-5所示。

图2-5 生产函数向下移动的影响

根据消费的欧拉方程：，在均衡增长路径上0c =，

从而()f k g ρθ'=+，由于()f k '变小，为保持0c =，必须使k 下降，从而使()f k '保持不变。

因此0c =向左移动，如图2-5所示。经济最终将收敛到新的均衡点E '点，此刻c *和k *会变小。

（c ）由于折旧率δ由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：

()()()()()()k t =f k t c t n+g +k t δ-- （3）

由于折旧率δ由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。

图2-6 持平投资线向左移动

这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此0k =会向下移动，如图2-7所示。

图2-7 折旧率由0变为正数的影响

资本的回报也下降为：()()f k t δ'-，从而消费的欧拉方程变为：

（4）

在均衡增长路径上，0c =要求()f k g δρθ'=++。与折旧率δ由0变为正数之前相比较，

()f k '必须变大，从而k 必须变小。由于k 必须变小，这便要求0c =曲线向左移动，如图2-7

所示。经济最终将收敛到新的均衡点E '点，此刻c *和k *会变小。

2.8 推出类似于教材中方程（2.39）的正折旧率的情形。

答：教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为：

当考虑到折旧率0δ>的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：

（1）

()()()()()()k t =f k t -c t -n+g +k t δ （2）

对方程（1）和（2）分别在c c *=和k k *=处进行一阶泰勒展开，可得：

（3）

（4）

定义c c c *=-*

和k k k *=-，因为c *和k *为常数，所以c c =且k k k *=-，将（3）和（4）重写为：

（5）

（6）

对方程（1）和（2）计算偏导数：

将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得：

方程（12）的第二步用到了()*f k g δρθ'=++，第三步用到了定义()1n g βρθ=---。对方程（11）除以c 以求c 的增长率，对方程（12）除以k 以求k 的增长率：

可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。因此，经济在向均衡增长路径移动时的c 和k 的不变增长率μ与教材中的结果应该一致。

令c

μ=方程（13）可以推出：

（15）

由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：，求解可得：

如果μ为正，则经济会偏离稳定点，所以μ必为负：

现在考虑柯布—道格拉斯生产函数()f k k *=，分别求其一阶导和二阶导：

()**1*f k k r ααδ-'==+ （16） ()()**21f k k ααα-"=- （17）

将方程（16）两边同时平方：()2

*2*22r k αδα-+=，将其代入（17）式：

定义均衡增长路径上的储蓄率为s *，则均衡增长路径上的消费为：

()()*

**1c s f k =- （18）

将方程（17）和（18）代入（15）：

化简为：

（19）

在均衡增长路径上，0c =意味着r g ρθ*=+，即：

*r g δρθδ+=++ （20）

另外，实际投资等于持平投资：()()***s f k n g k δ=++，可以推出：

（21）

上步用到了**1r k αδα-+=，由（21）可以推出：

（22）

将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：

上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将1/3α=，4%ρ=，2%n =，1%g =，1θ=，3%δ=代入上式，得到18.8%μ=-μ1=-8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。

2.9 拉姆齐—卡斯—库普曼模型中的资本税。考察一个正处在均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济。设在某时刻——称之为0时刻，政府转向以税率τ对投资收入征税。因此，家庭所面对的真实利率现在由()()()()1r t f k t τ=-'给出。设政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭。最后，设税收政策的这种变化是非预期性的。

（a ）税收怎样地影响0c =的轨迹与0k =的轨迹？

（b ）在0时刻，经济怎样对税收的征收作出反应？0时刻后的动态学是什么？

（c ）与处在旧均衡增长路径上的c 与k 的值相比较，处在新的均衡增长路径上的c 与k 的值将怎样？

（d ）（这个例题以巴罗、曼昆与萨拉—伊—马丁1995的分析为基础。）设存在许多像如下情形的经济：工人们的偏好在每个国家相同，但投资收入税率在各国间十分不同。设每个国家处在其均衡增长路径上。

（1）证明均衡增长路径上的储蓄率()***/y c y -关于τ是递减的。

（2）在低τ、高k *与高储蓄的国家中公民有动力投资于低储蓄的国家吗？为什么愿意或不愿意？

（e ）（c ）部分的答案意味着一项补贴性的投资政策吗？（即使0τ<）并且通过总量税来为这种补贴筹资，这会增加福利吗？什么会或为什么不会？

（f ）如果政府并不退还税收，而是利用此税收进行政府购买，（a ）与（b ）部分的答案如果发生变化，它将如何变化？

答：（a ）由于资本的税后报酬变为：()()()()1r t f k t τ=-'，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：

（1）

在均衡增长路径上，0c =要求()()1f k g τρθ-'=+，即税后报酬率为g ρθ+。为保持

0c =，()()f k t '必须上升，又因为()0f k ''<，所以资本存量必须下降。因此，0c =这条曲

线将会左移，如图2-8所示。

图2-8 对投资增税的影响家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：

()()()()()()k t =f k t c t n+g k t -- （2）

由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，所以家庭投资决策不受影响，因而0k =的轨迹不变。

（b ）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的均衡增长路径上的k *处。

在0时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。

由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，家庭会转而减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为c 向上移动到A 点，然后沿着新的均衡路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点NEW E 。

（c ）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的均衡增长路径上的c 与k 的值将变小。

（d ）（1）由上述的分析可以看出，税率τ越高，在均衡增长路径上的k *越小，而且0c =曲线向左移动得越多，因而有/0

k τ*<。

在均衡增长路径上，储蓄率可以表示为：()()*

**/f k c f k -，同时，0k =时，由()()()()()()k t =f k t c t n+g k t --可以推出()()***f k c n g k -=+，由此可以将储蓄率表示为：

()()**

/s n g k f k ????=+ （3）

对方程（3）两边求关于税率τ的导数：

可以简化为：

由于资本的收入份额为()()()****/K k f k f k k α'=，以及

/0k τ*<，可以改写上式为：

（4）

以上便证明了均衡增长路径上的储蓄率()/y c y ***-关于τ是递减的。

（2）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。由（a ）可知，在均衡增长路径上0c =，可以推出()()1f k g τρθ-'=+，即税后的资本回报为g ρθ+，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没

有动力去投资于低储蓄的国家。

（e ）补贴投资不会增加福利。

原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，它给予了家庭最高可能的终生效用水平。

从初始的E 点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到A 点，但最终经济会沿着新的

均衡增长路径达到更大的消费水平NEW E 点。可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示），如图2-9所示。

图2-9 对投资补贴不会增加福利

（f ）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令()G t 为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：

()()()()()()()K t =f k t c t G t n+g k t --- （5）

政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由（5）可得，0k =曲线将向下移动。如图2-10所示。

由（a ）可知，由于政府征税，0c =曲线向左移动，*k 移动到NEW k *

，在新的均衡增长路

径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图2-10所示。

图2-10 税收全部用于政府购买对经济的影响

2.10 利用相图分析预期变化的影响。考虑习题2.9中所描述的政策，但假设政府不是在0时刻宣布并施行征税，相反它在0时刻宣布它将在晚些时候，即1t 时刻开始以税率τ对投资收入征税。

（a ）画出显示在1t 时刻后c 与k 动态学的相图。

（b ）在1t 时刻c 会非连续地变化吗？为什么会或为什么不会？（c ）画出显示在1t 之前c 与k 的动态学的相图。

（d ）依据（a ）、（b ）与（c ）的回答，c 必须在0时刻取什么值？（e ）用把c 与k 的路径表示为时间函数的方式总结结论。

答：（a ）-（c ）在1t 时刻征税之前，c 与k 的欧拉方程仍为：

（1）

()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （2）

对于方程（1），在均衡增长路径上，0c =可以推出()f k g ρθ'=+。由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。

在1t 时刻征税之后，c 的欧拉方程为：

（3）

在均衡增长路径上，0c =可以推出()()1f k g τρθ-'=+，即税后的回报为g ρθ+。因此，税前的资本回报()()f k t '高于税后的资本回报。为保持0c =，()()f k t '必须上升，从而k 必须下降。因此，在1t 时刻，0c =曲线必须向左移动。如图2-11所示。

图2-11 1t 时刻征税使得0c =向左移动

不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在1t 时刻征税之后，消费c 不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。

（d ）在1t 时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的均衡增长路径。在0时刻宣布并施行征税后，c 会立即由原先的均衡点E 移动到均衡增长路径上的A 点，如图2-12所示。

图2-12 征税对0c =曲线的影响

在A 点，由于消费c 太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平k *上，因此k 开始下降。从0时刻到1t 时刻，动态系统仍由原先的0c =的欧拉方程决定。消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。

在1t 时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的

0c =的欧拉方程决定。因此，c 开始下降，经济最终移动到新的鞍点NEW E 。

（e ）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图2-13所示。

图2-13 每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示

2.11 利用相图分析预期与非预期的暂时性变化的影响。分析习题2.10的如下两个变量。

（a ）在0时刻，政府宣布它将从0时刻开始以税率τ对投资收入征税，直至后来的1t 时刻结束，此后投资收入将再次不征税。

（b ）在0时刻，政府宣布由1t 时刻至稍后的2t 时刻，它将以税率τ对投资收入征税，在1t 之前与2t 之后，投资收入将不再征税。

答：（a ）第一问是分析预期到的税收将在1t 时刻结束，因而消费在1t 时刻将不会发生非连续的变化。原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在1t 时刻位于旧的鞍点路径上。

在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，即1t 时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：