江苏省无锡市八年级上学期期中数学试卷
江苏省无锡市八年级上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018九上·宜昌期中) 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）下面每组数分别是三根小木棒的长度,它们能摆成三角形的是（）
A . 12cm,3cm,6cm
B . 8cm,16cm,8cm
C . 6cm,6cm,13cm
D . 2cm,3cm,4cm
3. （2分）已知点P1（a，3）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2011的值是（）
A . 1
B . -1
C . 52011
D . -52011
4. （2分） (2016八上·海盐期中) 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）
A . 16
B . 18
C . 20
D . 16或20
5. （2分）(2017·安顺模拟) 已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）
A . 13
B . 11
C . 11 或13
D . 12或15
6. （2分）一个三角形的三个内角之比是1：2：3，则它的三个外角之比是（）
A . 1：2：3
B . 3：2：1
C . 5：4：3
D . 5：3：1
7. （2分） (2018九上·青岛期中) 如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）
A .
B . 2
C .
D . 3
8. （2分）(2012·深圳) 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）
A . 120°
B . 180°
C . 240°
D . 300°
9. （2分）如图，三直线两两相交于A、B、C，CA⊥CB，∠1=30°，则∠2的度数为（）
A . 50°
B . 60°
C . 70°
D . 80°
10. （2分）(2017·鄂州) 如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）
A . 30°
B . 40°
C . 50°
D . 60°
11. （2分）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
12. （2分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为（）
A .
B . 15
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
13. （1分） (2018八上·前郭期中) 从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________.
14. （1分）(2011·泰州) 点P（﹣3，2）关于x轴对称的点P′的坐标是________．
15. （1分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，AF平分∠DAB，BF平分∠ABD，则∠F=________°．
16. （1分）(2018·灌南模拟) 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是________．
17. （1分） (2017九上·肇源期末) 如图，在ΔAB C中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE ＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为________°．
18. （1分）(2017·东胜模拟) 等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是________．
三、解答题 (共7题；共60分)
19. （5分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，求证：EF⊥BC．
20. （5分）(2016·重庆A) 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
21. （15分） (2017七下·如皋期中) 如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0．
（1）求点A、B的坐标及三角形ABC的面积．
（2）点P为x轴上一点，若三角形BCP的面积等于三角形ABC面积的两倍，求点P的坐标．
（3）若点P的坐标为（0，m），设以点P、O、C、B为顶点的四边形面积为S，请用含m的式子表示S（直接写出结果）．
22. （5分）“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程。
现有两条高速公路和A．B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置。
23. （5分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD．
求证：BE=CF．
24. （10分） (2017八下·曲阜期末) 如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）
在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）
在图2中画出线段AB的垂直平分线．
25. （15分） (2017八上·微山期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B=∠DEF；
（3）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3、答案：略
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
19-1、20-1、21-1、21-2、
21-3、22-1、23-1、24-1、
24-2、
25-1、25-2、
25-3、。
江苏省无锡市八年级上学期数学期中考试试卷
江苏省无锡市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九下·武冈期中) 下列“表情”中属于轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·重庆模拟) 下列命题正确的是（）A . 长度为 5cm、2cm 和 3cm 的三条线段可以组成三角形B . 的平方根是±3C . 无限不循环小数是无理数D . 两条直线被第三条直线所截，同位角相等3. （2分）下列五个命题：（1）零是最小的实数；（2）数轴上的点不能表示所有的实数；（3）无理数都是带根号的数；（4）的立方根是；（5）一个数的平方根有两个，它们互为相反数.其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分） (2017八下·钦州港期末) △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分） (2020八上·昆明期末) 如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 10、15、20，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO 等于（）A . 1∶1∶1B . 1∶2∶3C . 2∶3∶4D . 3∶4∶56. （2分）已知三条线段的比是：①2：3：4；②1：2：3；③2：4：6；④3：3：6；⑤6：6：10；⑥6：8：10．其中可构成三角形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2018八上·上杭期中) 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（）A . （SAS）B . （SSS）C . （ASA）D . （AAS）8. （2分） (2016八下·枝江期中) 已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A .B . 3C . +2D .9. （2分）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（）A . 1，1，2B . 2，2，5C . 3，3，5D . 3，4，510. （2分）(2019·广西模拟) 如图，0A=OB，OC=OD，∠0=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（）A . 60°B . 50°C . 45D . 30°二、填空题 (共8题；共11分)11. （1分） (2019八上·淮安期中) 有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是________.12. （2分）如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x=________．13. （1分） (2019八上·孝南月考) △ABC≌△DEF，且△ABC的周长为11，若AB=3，EF=4，则AC=________.14. （1分） (2018九上·温州开学考) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于________度15. （1分） (2016九上·夏津开学考) 已知等腰三角形的两边a，b，满足|a-b-2|+ =0，则此等腰三角形的周长为 ________。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：第 1，3，4 个图形均为轴对称图形，共 3 个． 故选：C． 根据轴对称图形的概念求解． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】
解：∵（±2）2=4= ，
8.【答案】A
【解析】
解：∵点 P 在∠AOB 的平分线上， ∴点 P 到 AO 的距离=点 P 到 OB 的距离=5． 由垂线段最短可知 PQ≥点 P 到 OB 的距离，即 PQ≥5． 故选：A． 依据角平分线的性质可知点P 到 OB 的距离为 5，最后，依据垂线段最短进行 判断即可． 本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6. 如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC， 则
下面结论错误的是 ） （
A.BF=EF B.DE=EF C.∠EFC=45∘ D.∠BEF=∠CBE
7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28°，则顶角是（ ）
A. 28∘
B. 118∘
C. 62∘
D. 62∘或 118∘
∴ 的算术平方根是 2． 故选：C．
根据算术平方根的定义：一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x
叫做 a 的算术平方根．记为 ． 本题考查了算术平方根，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为 逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3.【答案】B
【解析】
于点 D，交 AC 于点 E．若∠DCB=30°
，则∠DCA=
°．
2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．46．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）A．1B．C．2D．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜68．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2B．3C．3.5D．410．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 ．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 ．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ．（填写序号）17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 ；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝ 时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ ．2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝50°．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．【解答】解：A、∵202＝62+82，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、设∠A＝x°，则∠B＝（）°，∠C＝（）°，则x++＝180，∴x＝，即∠A＝（）°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键．【解答】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．综上，真命题有2个．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形，灵活运用相关定义是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）A．1B．C．2D．【分析】点D到AB的距离，指的是过点D作AB的垂线段DE的长度，根据角平分线的性质，可以得到DE＝CD，利用AC＝4，DC＝AD，可以求出线段CD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝，AC＝4，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，点D到AB的距离指的是过点D作AB的垂线段的长度，是解决此题的突破口．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜6【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．【解答】解：A、当AB＝BC＝4.5，即x＝4.5时，△ABC是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；B、周长为12的等边三角形，边长为4，而AC＝3，故△ABC不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；C、△ABC是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知AC＝3，AB＝x＝4时，BC＝5或AC＝3，AB＝x＝5，BC＝4都可以，原说法错误，故选项符合题意；D、根据三角形的三边关系可知3＜x＜6，说法正确，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MBN＝30°，∴∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2B．3C．3.5D．4【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣2＝3．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．10．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴折叠成直三棱柱后CM＝＝，折叠成直三棱柱后CP＝＝，折叠成直三棱柱后CN＝＝，∵＞＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，所以其另一边只能是6，故其周长为6+6+3＝15．故答案为15．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 16 ．【分析】根据线段垂直平分线得到AC＝CE＝5，直接根据周长公式计算即可．【解答】解：∵MN垂直平分AE，∴AC＝CE＝5，∴AB＝AC＝5，又∵BC＝6，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+5+6＝16，故答案为：16．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 2 ．【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝2．【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，则∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，，∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴．∵AC＝10，BC＝6，∴，故答案是：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 1.4m ．【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD、OE＝BD，求出DE的长即可解答．【解答】解：由题意可知：∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），∵AD＝1m，∴AE＝AD+DE＝1+0.4＝1.4（m）．故答案为：1.4m．【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△COE≌△OBD（AAS）是解题的关键．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ①②③ ．（填写序号）【分析】先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可解答．【解答】解：如图，连接AC，CE．由题意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝202+502．在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．∴CE2＝402+202+502＝4500．因为382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查勾股定理，求得长方体的体对角线的长度是解题的关键．17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ 6 ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）【分析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．证明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP 是矩形，推出MG＝PC＝BC，证明△MGW≌△BCT（AAS），推出MW＝BT，由MN＝BM，NW＝MT，可证△NWE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝6，【解答】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠BQM＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共线，∵四边形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，∴∠MQG＝∠BTC，∴△MGW≌△BCT（AAS），∴MW＝BT，∵MN＝BM，∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，∴S1+S5＝S3＝6，解法二：∵AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2+S左空+S右空+S5＝S3+S4+S左空+S右空，∴S1+S5＝S4＝6故答案为6．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或67.5°或45° ．【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，分三种情况：当A′D＝A′E时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；当DA′＝DE时，∴∠A′＝∠DEA′＝30°，∵∠DEA′是△ACE的一个外角，∴∠DEA′＞30°，∴此种情况不成立；当ED＝EA′时，如图：∴∠EDA′＝∠A′＝30°，∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，故答案为：22.5°或67.5°或45°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得∠B＝∠C，再利用AAS证明△ABE≌△DCF；（2）利用全等三角形的性质得∠D＝∠A＝45°，再利用三角形外角的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴∠D＝∠A＝55°，∴∠BFD＝∠C+∠D＝30°+55°＝85°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 4 ；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．【分析】（1）根据轴对称的性质确定A，B，C的对应点D，E，F，然后再顺次连接即可，再运用割补法求△ABC的面积即可；（2）先构造等腰直角三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质作图即可．【解答】解：（1）如图1：△DEF即为所求．△ABC的面积为．（2）如图2：线段BD即为所求．．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：连接AC∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132又∵AD2＝132，∴AC2+CD2＝CD2∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；答：学校需要投入7200元买草皮．【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．【分析】（1）由角的和差可得∠DAC＝∠BAE，进而证得△ACD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）如图2：连接BE，由垂直平分线的性质可得AD＝DE，进而得到△ADE是等边三角形，即；再运用全等三角形的性质可得BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，最后运用勾股定理即可解答．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）解：如图2：连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝ 1 时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．【分析】（1）先由勾股定理可得BC的长，当AP是中线时，AP平分△ABC的面积，即2t＝2，可得结论；（2）当△ABP为等腰三角形时，存在三种情况：AP＝BP或AB＝AP或AB＝BP，根据BP＝2t和等量关系列方程可解答；（3）如图4中，如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，根据对称可知：AE+EF的最小值就是AF'的长，根据面积法可得结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，当BP＝CP时，AP平分△ABC的面积，即BP＝2t＝2，∴t＝1，则当t＝1时，AP平分△ABC的面积；故答案为：1；（2）分三种情况：①如图1，AP＝PB，由题意得：AP＝BP＝2t，∴CP＝4﹣2t，由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2，∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，∴t＝；②如图2，AB＝BP＝5，∴2t＝5，∴t＝；③如图3，AB＝AP，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴BP＝2BC＝8，∴2t＝8，∴t＝4；综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值是或或4；（3）如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，则AB与A'B关于BC对称，∴EF＝EF'，∴AE+EF＝AE+EF'＝AF'，即此时AE+EF的值最小，且最小值是AF'的长，∵AC＝A'C＝3，AB＝A'B＝5，∴△ABA'的面积＝×6×4＝×5AF'，∴AF'＝，∴AE+EF的最小值是．【点评】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明△BAD≌△CAE，推得∠ADB＝∠AEC，再由∠DAE+∠DFE＝180°，∠BFC+∠DFE＝180°得∠BFC＝∠DAE＝∠BAC；（2）当点D在△ABC的内部时，延长BD交CE于点F，由（1）中的结论直接推得∠BFC＝∠DAE＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；当点D在△ABC的外部时，设BD交CE于点F，交AC于点G，先证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，由此推得∠AFC＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；（3）连接AC、BD交于点F，则∠BFC＝∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，由勾股定理可推得AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，则AD2+42＝62+52，可求出AD长．【解答】解：（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．理由：如图1，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∴∠ADF+∠AEC＝∠ADF+∠ADB＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC．（2）当点D在△ABC的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BFC＝∠DAE＝90°，∵∠DCE＝62°，∴∠BDC＝∠BFC+∠DCE＝90°+62°＝152°；当点D在△ABC的外部时，如图2乙，BD交CE于点F，交AC于点G，∵∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE＝90°+∠CAD，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠CGD＝∠AGB，∴∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠DCE＝90°﹣62°＝28°，综上所述，∠BDC＝152°或∠BDC＝28°.（3）如图3，连接AC、BD交于点F，∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BFC＝∠COD＝90°，∴∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，∴AD2＝FA2+FD2，BC2＝FB2+FC2，AB2＝FA2+FB2，CD2＝FC2+FD2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，∵AB＝6，BC＝4，CD＝5，∴AD2+42＝62+52，∴AD＝3，∴AD的长为3．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 60 、 61 ；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ ； 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ 25或52或101或29 ．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；（4）由勾股定理可得：a2+b2＝c2，再根据勾股定理可得（c﹣b）（c+b）＝400；然后根据列举法即可解答．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61．（2）观察发现：当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；证明如下：∵，∴，又∵n为奇数，且n≥3，∴n，三个数组成的数是勾股数．（3）观察发现：当a＝n（n为偶数，且n≥5）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方。
江苏省无锡市八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0 分）1.以下图形是几家电信企业的标记，此中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.在 2， -34 ， 0.3?2?， 227 ，π3，（ 2 -1）0， -9 ，等数中，无理数的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 3.0269 精准到百分位的近似值是（）A. B. C. D.4. 以下四组线段中，能够构成直角三角形的是（）A. 4cm、5cm、6cmB. 1cm、2cm、3cmC. 2cm、3cm、4cmD. 、2cm、5.要丈量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D ，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE ，使 A，C，E 在一条直线上（如下图），能够说明△EDC ≌△ABC，得ED=AB ，所以测得 ED 的长就是 AB 的长，判断△EDC ≌△ABC 最适合的原因是（）A. 边角边B. 角边角C. 边边边D. 边边角6.等腰三角形的周长为 13cm，此中一边长为 3cm，则该等腰三角形的底边为（）A. 7cmB. 3cmC. 7cm或3cmD. 8cm7.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家歇息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的地点应选在（）A. △ABC的三条中线的交点B. △ABC三边的中垂线的交点C. △ABC三条高所在直线的交点D. △ABC三条角均分线的交点8. 如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点A、B 分别落在 A′、B′的地点，假如∠1=56°，那么∠2 的度数是（）A. 56°B.D. 68°9. 如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、 B 是两格点，假如 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数有（）A.4个B.6个C.8个D.10个10.如图，将边长为3的正方形绕点 B 逆时针旋转30 °，那么图中暗影部分的面积为（）A. 3B. 3C. 3-3D. 3-32二、填空题（本大题共8 小题，共16.0 分）11.16 的平方根是 ______．12.如下图，在△ABC 与△DEF 中，假如 AB=DE，BC=EF，只需再找出∠______=∠______或 ______=______，就能够证明这两个三角形全等．13.已知正方形① 、② 在直线上，正方形③ 如图搁置，若正方形① 、② 的面积分别6cm2和 15cm2，则正方形③的面积为 ______．14.若正数 a 的平方根为 x 和 2x-6，则 a=______．15.如图，△ABC 中，∠C=90 °，AC =12，AB=13， AB 的垂直均分线交 AB 、AC 于点 D、 E，则 CE=______ ．16.如图， AB=AC，则数轴上点 C 所表示的数为 ______．17.如图，在△ABC 中，BC=AC，∠C=90 °，AD 均分∠CAB，DE⊥AB，垂足为点 E， AB=10cm．那么△BDE 的周长是 ______cm．18.如图，△ABC 中，∠A=90 °， AB=AC=2，点 P 为 BC 上一动点，以 PA 为腰作等腰直角△APQ，则 AQ+BQ 的最小值为 ______．三、计算题（本大题共 1 小题，共8.0 分）19.如图，点 F，G 分别在△ADE 的 AD ，DE 边上， C，B 挨次为 GF 延伸线上两点， AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D．（1）求证： BC=DE ；（2）若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB的度数．20.计算：（1） 494 - （3 ）2-（π）0；（2） (-3)2 -3(-2)3 +|7-4|．21.解方程（1） 9x2-121=0 ；（2）（ x-1）3+27=0 ．22.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．请同学们利用网格线进行绘图：（ 1）在图 1 中，画一个极点为格点、面积为 5 的正方形；（2）在图 2 中，已知线段 AB、CD ，画线段 EF ，使它与 AB、CD 构成轴对称图形；（要求画出全部切合题意的线段）（3）在图 3 中，找一格点 D，知足：①到 CB、 CA 的距离相等；②到点 A、C 的距离相等．23.如图，已知在四边形 ABCD 中，∠A=90 °，AB=2cm，AD =5 cm，CD =5cm，BC=4cm，求四边形 ABCD 的面积．24.25.如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90 °， AC、 BD 订交于点 E，点 G、H 分别是 AC、 BD 的中点．（1）求证： HG ⊥AC；（2）当 AC=8 cm， BD =10cm 时，求 GH 的长．26.野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮取代锅，烙一块与铁皮形状、大小同样的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有五张三角形的铁皮（如图 1 所示），她想选择此中的一张铁皮取代锅，烙一块与所选铁皮形状、大小同样的饼．中；（2）在余下的铁皮中选出只需要切一刀（沿直线切饼，下同），而后把两小块饼都翻身，它们正好也能落在“锅”中的铁皮，画出切割线，标上角的度数．（3）小明最后拿到的是一张如图2 图形的三角形铁皮，它既不是等腰三角形又不是直角三角形，也不知道各个角的度数，请在图 2 中画出刀痕的地点（不超出 3 刀），也能使饼翻身后正好落在“锅”中．（不要写画法，但要用适合的记号或文字作简要说明）27.如图，△ABC 中， AB=BC=AC=6cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s．当点N 第一次抵达 B 点时， M、 N 同时停止运动．（ 1）当 M、 N 运动 ______秒时，点 N 追上点 M？（ 2）点 M、N 运动几秒后，可获得等边三角形△AMN ？（ 3）当点 M、 N 在 BC 边上运动时，可否获得以MN 为底边的等腰三角形△AMN？如存在，恳求出此时M、N 运动的时间．（ 4）点 M、 N 运动 ______秒后，可获得直角三角形△AMN？28.如图，在矩形 ABCD 中， BC=8，点 P 是 BC 边上一点，且 BP=3，点 E 是线段 CD上的一个动点，把△PCE 沿 PE 折叠，点 C 的对应点为点 F，当点 E 与点 D 重合时，点 F 恰巧落在 AB 上．（ 1）求 CD 的长；（ 2）若点 F 恰巧落在线段AD 的垂直均分线上时，求线段CE 的长；（ 3）请直接写出AF 的最小值 ______．答案和分析1.【答案】C【分析】解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．应选：C．依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解．本题考察轴对称图形问题，掌握好中心对称图形与轴对称图形的观点．轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要找寻对称中心，旋转 180°后与原图重合．2.【答案】D【分析】解：无理数为：，-，，；应选：D．因为无理数就是无穷不循环小数，利用无理数的观点即可判断选择项．本题要熟记无理数的观点及形式．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．3.【答案】D【分析】解：3.0269 ≈（精准到百分位），应选：D．依据题目中的数据能够获得 3.0269 精准到百分位后的近似值．本题考察近似数和有效数字，解答本 题的重点是明确近似数和有效数字的含义．4.【答案】 D【分析】2 2 2解：A 、5 +4 ≠6，不可以构成直角三角形，故不切合 题意；B 、1 222+（ ）≠3，不可以构成直角三角形，故不切合 题意；C 、2 22 2+3≠4，不可以构成直角三角形，故不切合 题意；222D 、1.5 +2 =2.5 ，能构成直角三角形，故切合题意．由勾股定理的逆定理，只需 考证两小边的平方和等于最 长边的平方即可．本题考察勾股定理的逆定理：假如三角形的三 边长 a ，b ，c 知足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．5.【答案】 B【分析】解：∵BF ⊥AB ，DE ⊥BD ∴∠ABC= ∠BDE又 ∵CD=BC ，∠ACB= ∠DCE ∴△EDC ≌△ABC （ASA ）应选：B ．由已知能够获得 ∠ABC= ∠BDE ，又 CD=BC ，∠ACB= ∠DCE ，由此依据角边角即可判断 △EDC ≌△ABC ．本题考察了全等三角形的判断方法；需注意依据垂直定 义获得的条件，以及隐含的对顶角相等，察看图形，找着隐含条件是十分重要的．6.【答案】 B【分析】第9页，共 24页当底边是 3cm 时，另两边长是 5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为 3cm．应选：B．已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种状况进行议论．本题从边的方面考查三角形，波及分类议论的思想方法．7.【答案】D【分析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC 三条角均分线的交点．应选：D．因为凉亭到草坪三条边的距离相等，所以依据角均分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC 三条角均分线的交点．由此即可确立凉亭地点．本题主要考察的是角的均分线的性质在实质生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上．8.【答案】D【分析】解：依据折叠可得∠1=∠EFB′，∵∠1=56 °，∴∠EFB′ =56，°∴∠B′ FC=180-56° °-56 °=68 °，∵AD ∥BC，∴∠2=∠B′ FC=68，°应选：D．第一依据依据折叠可得∠1=∠EFB′=56°，再求出∠B′FC的度数，而后依据平行线的性质可得∠2=∠B′FC=68°．本题主要考察了平行线的性质，重点是掌握两直线平行，同位角相等．9.【答案】C【分析】解：如图，AB==，∴当△ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数有 8个，应选：C．依据 AB 的长度确立 C 点的不一样地点，由已知条件，利用勾股定理可知AB= ，而后即可确立 C 点的地点．本题考察了等腰三角形的判断，熟练掌握等腰三角形的判断定理是解题的重点．10.【答案】C【分析】解：连结 BM ，在△ABM 和△C′BM中，，∴△ABM ≌△C′ BM，∠2=∠3= =30 °，在△ABM 中，AM= ×tan30 =1°，S△ABM= = ，正方形的面积为：=3 ，暗影部分的面积为：3-2 ×=3- ，应选：C．连结 BM ，依据旋转的性质和四边形的性质，证明△ABM ≌△C′BM，获得∠2=∠3=30 °，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM 的面积，再利用阴影部分面积=正方形面积-2△ABM 的面积即可获得答案．本题考察旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质证明两三角形全等是解决本题的重点．11.【答案】 ±4【分析】2解：∵（±4）=16，∴16 的平方根是 ±4．故答案为：±4．依据平方根的定 义，求数a 的平方根，也就是求一个数 x ，使得x 2=a ，则 x 就是a 的平方根，由此即可解决 问题 ．本题考察了平方根的定 义 ．注意一个正数有两个平方根，它 们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根．12.【答案】 B DEF AC DF【分析】解：①∠B=∠DEF ，则可利用 SAS 判断两三角形全等； ② AC=DF ，可利用 SSS判断两三角形全等．故填 B ，DEF ．AC ，DF ．已知两对边相等，则能够增添两 边的夹角相等或增添此外一 对边相等，从而分别利用 SAS ，SSS 来判断其全等．本题考察三角形全等的判断方法；判断两个三角形全等的一般方法有： SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．增添时注意：AAA 、SSA 不可以判断两个三角形全等，不能增添，依据已知联合图形及判断方法 选择条件是正确解答本 题的重点． 213.【答案】 21cm【分析】解：如图，∵正方形 ① 、② 的面积分别 6cm 2 和 15cm 2，∴DE=cm ，GH= cm ，∵依据正方形的性 质得：DF=FG ，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°， ∴∠EDF=∠GFH ， 在 △DEF 和 △FHG 中，∴△DEF ≌△FHG （AAS ）， ∴DE=FH= ， ∵GH= ，∴在 Rt △GHF 中，由勾股定理得：FG==，所以正方形 3 的面积为 21cm 2．故答案为 21cm 2．正方形 ① 、② 的面积分别 6cm 2 和 15cm 2，推出 DE= cm ，GH=cm ，由△DEF ≌△FHG （AAS ），推出DE=FH= ，在Rt △GHF 中，利用勾股定理得可求 FG ．本题考察了正方形性 质，全等三角形的性质和判断，勾股定理的 应用，解此题的重点是利用全等三角形的性 质求出 FH 的长，属于中考常考题型．14.【答案】 4【分析】解：依据题意可知：x+2x-6=0，解得：x=2∵22=4，∴a=4．故答案为：4．依据正数有两个平方根，它 们互为相反数可知 x+2x-6=0 ，从而可求得 x=2，然后由平方根的定 义可知 a=4．本题主要考察的是平方根的定 义和性质，由平方根的性质获得 x+2x-6=0 是解题的重点．15.【答案】 11924【分析】解：连结 BE ，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12 ，AB=13 ，由勾股定理得BC=5，设 CE 的长为 x，则 BE=AE=12-x ，在 Rt△BCE 中，由勾股定理得：x 2 2 （ 2），+5 = 12-x解得：x=，故答案为：．连结 BE，由垂直均分线的性质可得 AE=BE ，利用勾股定理可得 BC=5，设 CE 的长为 x，则 BE=12-x，在△BCE 中利用勾股定理可得x 的长，即得 CE 的长．本题主要考察了垂直均分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的重点．16.【答案】5-1【分析】解：由勾股定理得，AB==，∴AC=，∵点 A 表示的数是 -1，∴点 C 表示的数是-1．故答案为：-1．依据勾股定理列式求出AB 的长，即为 AC 的长，再依据数轴上的点的表示解答．本题考察了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出 AB 的长是解题的重点．17.【答案】10【分析】解：∵∠C=90°，AD 均分∠CAB ，DE⊥AB ，∴CD=DE，∵BC=AC ，∴BC=AC=AE ，∴△BDE 的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB，∵AB=10cm ，故答案为：10．依据角均分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE ，再依据角均分线的对称性可得 AC=AE ，而后求出△BDE 的周长 =AB ，即可得解．本题考察了角均分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并正确识图，最后求出△BDE 的周长=AB 是解题的重点．18.【答案】10【分析】解：如图，∵∠BAC= ∠PAQ=90°，∴∠BAP=∠CAQ ，∵AB=AC ，AP=AQ ，∴△BAP ≌△CAQ（SAS），∴∠ABP=∠ACQ=45°，∵∠ACB=45°，∴∠QCB=90°，∴点 Q 在直线 CQ 上运动（CQ⊥BC），作点 A 对于直线 CQ 的对称点 A′，连结 BA′交 CQ 于 Q，则 AQ+BQ 的值最小，作 BH ⊥AA′于 H．在 Rt△BHA′中 BH=1，HA′=3，∴BA′==．∴AQ+BQ 的最小值为，故答案为．由△BAP≌△CAQ （SAS），推出∠ABP=∠ACQ=45°，推出∠QCB=90°，推出点Q 在直线 CQ 上运动（CQ⊥BC），作点A 对于直线 CQ 的对称点 A′，连结 BA′交本题考察轴对称 -最短问题、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的重点是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】（1）证明：∵∠BAF=∠CAE，∴∠BAF -∠CAF =∠CAE-∠CAF，∴∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，∠B=∠ DAB=AD∠ BAC=∠ DAE，∴△ABC≌△ADE（ ASA），∴BC=DE ；（2）解：∠DGB 的度数为 67°，原因为：∵∠B=∠D，∠AFB=∠GFD ，∴△ABF ∽△GDF ，∴∠DGB=∠BAD ，在△AFB 中，∠B=35°，∠AFB=78°，∴∠DGB=∠BAD =180 °-35 °-78 °=67 °．【分析】（1）由∠BAF= ∠CAE，等式两边同时减去∠CAF ，可得出∠BAC= ∠DAE ，再由AB=AD ，∠B=∠D，原因 ASA 得出△ABC ≌△ADE ，利用全等三角形的对应边相等可得证；（2）由∠B=∠D，以及一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相像获得三角形 ABF 与三角形 DGF 相像，由相像三角形的对应角相等获得∠DGB= ∠BAD ，在三角形 AFB 中，由∠B 及∠AFB 的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAD 的度数，从而获得∠DGB 的度数．本题考察了全等三角形的判断与性质，相像三角形的判断与性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解本题的重点．20.【答案】解：（1）原式=72 -3-1=-12 ；（2） =3- （ -2） +（ 4-7）=9-7．【分析】（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．本题主要考察了实数运算，正确化简各数是解题重点．21.【答案】（1）9x2-121=029x =1212x =1219x=±113 ．（2）．（ x-1）3+27=0（x-1）3=-27 ，x-1=-3 ，x=-2．【分析】依据平方根和立方根的定义，即可解答．本题考察了平方根和立方根，解决本题的重点是熟记平方根和立方根的定义．22.【答案】解：（1）如图1所示：正方形即为所求；（2）如图 2，红色线段有 2 条都是切合题意的答案；（3）如图 3，点 D 即为所求．【分析】（1）联合勾股定理以及正方形的性质得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出答案；（3）直接利用角均分线的性质和线段垂直均分线的性质得出答案．本题主要考察了利用轴对称设计图案以及线段垂直均分线的性质等知识，正确掌握轴对称图形的性质是解题重点．23.【答案】解：连结BD．又 ∵CD =5，BC =4，222∴△BCD 是直角三角形，∴∠CBD=90 °，2∴S 四边形 ABCD =S △ABD +S △BCD =12 AB?AD +12 BC?BD=12×2×5+12 ×4×3=5+6（ cm ）．本题考察勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，协助线的作法是关 键．解题时注意：假如三角形的三边长 a ，b ，c 知足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．连结 BD ，依据勾股定理求得 BD 的长，再依据勾股定理的逆定理 证明△BCD是直角三角形，则四边形 ABCD 的面积是两个直角三角形的面积和．24.【答案】 解：（ 1）如图，连结AH 、 CH ，∵∠BAD=∠BCD =90 °， H 为 BD 的中点，∴AH =CH =12 BD ， ∵G 为 AC 的中点， ∴GH ⊥AC ； （ 2） ∵BD=10， ∴AH =12 BD =5， ∵AC=8 ， ∴AG=12 AC=4，∵GH ⊥AC ，即 ∠HGA=90 °， ∴GH =AH2-AG2 =52-42 =3．【分析】连 边 上中 线 性 质 得出 AH=CH= BD ，根（1） 接 AH 和 CH ，依据直角三角形斜 据等腰三角形性 质求出 HG ⊥AC ；（2）依据直角三角形斜边上中线性质得出 AH 的长，再依据勾股定理，即可得到 GH 的长．本题考察了直角三角形斜 边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出 HG ⊥AC 是解本题的重点 ．25.【答案】 ②【分析】解：（1）五张铁皮中，用序号为②的铁皮烙饼，不用刀切即可翻身正好落在“锅”中；（2）如下图：故答案为：② ；（3）如图 3，作出随意两边的垂直均分线交于一点，分别连结交点与三个极点获得三个等腰三角形．（1）找到等腰三角形的铁皮借口求解；（2）烙好一面后把饼翻身，这块饼仍旧正好落在“锅”中，即饼翻折此后与本来的图形重合，则铁锅的形状翻折此后与本来的图形重合，是轴对称图形；（3）依据题意作出图形即可．本题主要考察了生活中的轴对称现象，作出图中等腰三角形，利用等腰三角形的轴对称性得出是解题重点．26.【答案】6 32，125，152，9【分析】解：（1）设点 M 、N 运动 x 秒后，M 、N 两点重合，x×1+6=2x，解得：x=6，即当 M、N 运动 6秒时，点N 追上点 M，（2）设点 M 、N 运动 t 秒后，可获得等边三角形△AMN ，如图 1，AM=t ，AN=12-2t ，∵∠A=60 °，当AM=AN 时，△AMN 是等边三角形∴t=6-2t，解得 t=2，∴点 M 、N 运动 2 秒后，可获得等边三角形△AMN ．（3）当点M 、N 在 BC 边上运动时，能够获得以 MN 为底边的等腰三角形，由（1）知6 秒时 M 、N 两点重合，恰幸亏 C 处，如图 2，假定△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ，∴∠AMN= ∠ANM ，∴∠AMC= ∠ANB ，∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM 和△ABN 中，∵∠AMC= ∠ANB ，∠C=∠B，AC=AB∴△ACM ≌△ABN （AAS ），∴CM=BN ，∴t-6=18-2t，解得 t=8，切合题意．第20 页，共 24页所以假定建立，当 M 、N 运动 8 秒时，能获得以 MN 为底的等腰三角形．（4）当点N 在 AB 上运动时，如图 3，若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t ，∴AN=6-2t ，∵∠A=60 °，∴2AM=AN ，即2t=6-2t，解得 t=；如图 4，若∠ANM=90°，由 2AN=AM 得 2（6-2t）=t，解得 t= ；当点 N 在 AC 上运动时，点M 也在 AC 上，此时 A ，M ，N 不可以构成三角形；当点 N在 BC上运动时，如图 5，第21 页，共 24页当点 N 位于 BC 中点处时，由△ABC 时等边三角形知 AN ⊥BC，即△AMN 是直角三角形，则 2t=6+6+3，解得 t= ；如图 6，当点 M 位于 BC 中点处时，由△ABC 时等边三角形知 AM ⊥BC，即△AMN 是直角三角形，则 t=6+3=9；综上，当 t=，，，9时，可获得直角三角形△AMN；故答案为：，，，9．（1）第一设点 M 、N 运动 x 秒后，M 、N 两点重合，表示出 M ，N 的运动行程，N 的运动行程比 M 的运动行程多 6cm，列出方程求解即可；（2）依据题意设点 M 、N 运动 t 秒后，可获得等边三角形△AMN ，而后表示出AM ，AN 的长，因为∠A 等于 60°，所以只需 AM=AN 三角形 ANM 就是等边三角形；（3）第一假定△AMN 是等腰三角形，可证出△ACM ≌△ABN ，可得 CM=BN ，设出运动时间，表示出 CM ，NB ，NM 的长，列出方程，可解出未知数的值．（4）分点N 在 AB ，AC ，BC 上运动的三种状况，再分别就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．本题是三角形的综合问题，主要考察了等边三角形的性质及判断和直角三角形的定义与性质，重点是依据题意设出未知数，理清线段之间的数目关系．第22 页，共 24页27.【答案】 109 -5【分析】解：（1）当点E 与点 D 重合时，如图设 CD=x ，由折叠可知：DF=DC=x ，PC=PF=5，在 Rt △PBF 中，BF== =4，则 AF=x-4 ，在 Rt △AFD 中，∠A=90°，由 AD2 2 2得 8 2 （ 2 2 ， +AF =DF） =x + x-4 解得：x=10，即CD=10．（2）当点F 落在 AD 得中垂 线 MN 上时，作 FG ⊥DC 于点 G ，则FG=4，在 Rt △PNF 中，FN== =2 ，设 CE=y ，∵CG=FN=2 ，∴GE=2 -y ，在 Rt △GEF 中，由 FG 2 22 得：42 （ 2 2， +GE =EF + 2 -y ）=y 解得：y= ，即CE= ；（3）如图 3，第23 页，共 24页由题意知 PF=PC=5，则点 F 和点 C 在以点 P 为圆心，5 为半径的圆上，连结 AP，与⊙P交点即为所求点 F，∵AB=10 ，BP=3，∴AP= = =，则 AF=AP-PF= -5，故 AF 的最小值为-5，故答案为：-5 ．（1）如图 1，设 CD=x ，依据折叠性质知 DF=DC=x ，PC=PF=5，由勾股定理可得BF=4，AF=x-4 ，Rt△AFD 中依据 AD 2+AF2=DF2求解可得答案；图2，作FG⊥DC，知FG=4，Rt△PNF中求得FN=2 设（2）如， CE=y，知GE=2-y，在 Rt△GEF 中，由 FG 2+GE2=EF2可得答案；（3）由PF=PC=5知点 F 和点 C 在以点 P 为圆心，5 为半径的圆上，连结 AP，与⊙ P 交点即为所求点 F，再依据勾股定理求解可得．本题是四边形的综合问题，解题的重点是掌握矩形的性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质等知识点．第24 页，共 24页。
2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年江苏省无锡市惠山区八年级（上）期中数学试卷1. 2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )A.B.C.D.2. 在实数3.1415926，√643，1.010010001…，2−√5，π2，√81，中无理数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1 3. 下列各式中，一定是二次根式的是( )A. −√−2B. √33C. √a −1D. √a 2+14. 如图，点A ，E ，B ，D 在同一直线上．在△ABC 和△DEF 中，AC//DF ，AC =DF ，只添加一个条件，能判定△ABC ≌△DEF 的是( )A. BC =DEB. ∠ABC =∠DC. ∠A =∠DEFD. AE =DB5. 小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程(如图所示).连接CD 、C′D′得出了△OCD ≌△O′C′D′，从而得到∠O =∠O′.其中小明作出△OCD ≌△O′C′D′判定的依据是( )A. 角边角B. 边角边C. 边边边D. 角角边AB的长为半径画圆6.如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心，大于12弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )A. 8B. 10C. 11D. 137.如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是4和3，则AB上的中线长为( )A. 5B. 2.5C. 2.4D. 38.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三边垂直平分线的交点D. 三边上高的交点9.如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC=6，DE=2，则△BCE的面积是( )A. 4B. 6C. 8D. 1210.如图，钝角△ABC中，AC=4，BC=5，AB=7，过三角形一个顶点的一条直线可将△ABC 分成两个三角形．若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有条．( )A. 5B. 6C. 7D. 811.比较大小：√7______3.(选填“>”、“<”或“=”)12.9的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为______.13.七大洲的总面积约为1.49亿km2，这个数据1.49亿精确到______位．14.如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90∘)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm.15.如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2=50∘，则∠1的度数是______.16.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC=______尺．(注：1丈=10尺．) 17.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm.点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以xcm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为______时，△ABP与△PCQ全等．18.在△ABC中，BC=AC=2，∠ACB=90∘，D是线段AB上的动点．连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90∘至CE的位置．连接BE，则BE的最大值为______.19.计算：3+(−1)2022；(1)(√2−1)0+|−3|−√273−2−2.(2)√16+√−820.求下列各式中x的值：(1)2x2−50=0；(2)3(x+1)3+24=0.21.如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M.求证：∠E=∠F.22.如图，AB//CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P 为线段BC的中点，连接PE.(1)猜想线段AB、BC、CD有何数量关系？请说明理由．(2)若BE=5，CE=12，求线段PE的长度．23.如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图．(1)图中的△ACD是等腰三角形吗？______(填“是”或“不是”)(2)在图中找一格点E，使CA平分∠BCE.(3)点P、点Q分别为线段AC、BC上的动点，连接BP、PQ，作出当BP+PQ最小时，点P 位置．24.如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1.小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余．过点F作FG⊥AB于点G.已知BG=1.5米，BE=CD=20米，BD=60米，点B、E、D在一条直线上．AB⊥BD，FE⊥BD，CD⊥BD，试求单元楼AB的高．(注：BE=FG，BG=EF，∠1与∠3互余).25.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6.若动点P从点C出发，以2个单位每秒的速度沿折线C−A−B−C运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1时，连接BP，则BP=______.(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．26.在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F.(1)如图1，当∠BAC=90∘，DE//AC时．①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF=8，EF=4，求线段AB的长．(2)如图2，若∠C=3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A 、C 、D 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.【答案】B【解析】解：√643=4，√81=9，故在实数3.1415926，√643，1.010010001…，2−√5，π2，√81中，无理数有1.010010001…，2−√5，π2，共3个． 故选：B.根据无理数是无限不循环小数，可得答案．此题主要考查了算术平方根，立方根以及无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．3.【答案】D【解析】解：A.被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意； B .根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；C .a −1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；D .被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D.根据二次根式的定义进行判断．本题考查了二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如√a(a ≥0)的式子叫做二次根式．4.【答案】D【解析】解：添加AE =DB ，理由如下： ∵AC//DF ，∴∠A=∠D，∵AE=DB，∴AE+BE=DB+BE，∴AB=DE，∵AC=DF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF.故选：D.先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．5.【答案】C【解析】解：在△OCD与△O′C′D′中，{OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，∴△COD≌△C′O′D′(SSS).故选：C.由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，由SSS的判定定理可以得到三角形全等，从而求解．本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC.【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴△BDC的周长为：DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.故选：A.7.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5.∵CD是斜边AB上的中线，AB=2.5，∴CD=12故选：B.首先根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长．此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，故选C.9.【答案】B【解析】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，×BC×EF=6，∴△BCE的面积=12故选：B.作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，∴满足条件的直线有4条；分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，∴满足条件的直线有3条，综上可知满足条件的直线共有7条，故选：C.分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，即可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及分类讨论，正确画出图形是解题的关键．11.【答案】<【解析】解：∵(√7)2=7，32=9，7<9，∴√7<3.故答案为：<.利用平方法比较大小即可．本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．12.【答案】7或1【解析】解：∵9的平方根是x，64的立方根是y，∴x=±3，y=4，∴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7；当x=−3，y=4时，x+y=−3+4=1；综上所述：x+y的值为7或1，故答案为：7或1.根据平方根与立方根的意义可得x=±3，y=4，然后分两种情况进行计算即可解答．本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．13.【答案】百万【解析】解：数据1.49亿精确到百万位．故答案为：百万．关键近似数的精确度求解．本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．14.【答案】30【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90∘，∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠DAC=90∘，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠BCE AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30(cm)，答：两堵木墙之间的距离为30cm.故答案为：30.根据题意可得AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90∘，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15.【答案】65∘【解析】解：如图，由折叠知，∠1=∠3，∵∠2=50∘，∴∠1=∠3=(180∘−50∘)÷2=65∘，故答案为：65∘.根据折叠的性质得∠1=∠3，再利用平角的定义可得答案．本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．16.【答案】9120【解析】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10−x)尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32=(10−x)2，，解得：x=9120.故答案为：9120设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为(10−x)尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键．17.【答案】2或32【解析】解：设点Q从点C出发t s，同时点P从点B出发t s，①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB=8cm，∴PC=8cm，∵BP=12−8=4(cm)，∴2t=4，解得：t=2，∴CQ=BP=4cm，∴x×2=4，解得：x=2；②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，∵BA=CQ，∴2t=8，∴t=4，∴BP=PC=6cm，∴4x=6，，解得：x=32综上所述，当x=2或3时，△ABP与△PQC全等，2.故答案为：2或32可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP=CQ，AB=PC，②△ABP≌△QCP得到BA=CQ，PB= PC，然后分别计算出t的值，进而得到x的值．主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．18.【答案】2√2【解析】解：∵BC=AC=2，∠ACB=90∘，∴AB=2√2，∠CAB=∠CBA=45∘，∵将CD绕点C逆时针旋转90∘至CE的位置，∴CD=CE，∠DCE=90∘=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD，∵D在△ABC的边AB上，∴AD的最大值为AB，∴BE的最大值为2√2，故答案为：2√2.由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=1+3−3+1=2；(2)原式=4−2−14=134.【解析】(1)直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；(2)直接利用二次根式的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：(1)2x2−50=0，2x2=50，x2=25，x=±5；(2)3(x+1)3+24=0，3(x+1)3=−24，(x+1)3=−8，x+1=−2，x=−3.【解析】(1)利用平方根的意义，进行计算即可解答；(2)利用立方根的意义，进行计算即可解答．本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．21.【答案】证明：∵AB=CD，∴AC=BD，在△ACE和△DBF中，{AE=DF ∠A=∠D AC=DB，∴△ACE≌△DBF(SAS)，∴∠E=∠F.【解析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22.【答案】解：(1)BC=AB+CD.证明：过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∵AD⊥AB，∴∠BAE=90∘，∵AB//CD ∴∠BAD+∠ADC=90∘，∴∠EDC=90∘，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠HBE，在△ABE和△HBE中，{∠ABE=∠HBE ∠BHE=∠BAE BE=BE，∴△ABE≌△HBE(AAS)，∴AB=BH，同理可证：△CHE≌△CDE(AAS)，∴CH=CD，∵BC=BH+CH，∴BC=AB+CD；(2)∵△ABE≌△HBE，∴∠AEB=∠HEB，∵△CHE≌△CDE，∴∠HEC=∠DEC，∴∠BEC=∠BEH+∠CEH=12∠AED=90∘，∵BE=5，CE=12，∴BC=√BE2+CE2=√52+122=13，∵P为BC的中点，∴PE=12BC=6.5.【解析】(1)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，证明△ABE≌△HBE(AAS)，得出AB=BH，同理可证△CHE≌△CDE(AAS)，得出CH=CD，则可得出结论；(2)证出∠BEC=90∘，由勾股定理求出BC=13，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】是【解析】解：(1)由勾股定理得：AD=√32+42=5，∵CD=5，∴AD=CD，∴△ACD是等腰三角形；故答案为：是；(2)如图1，点E即为所求；(3)如图2，取格点M，作射线BM交AC于点P，则点P即为所求．(1)由勾股定理和等腰三角形的判定可解答；(2)取线段CE=AE=5，则△ADC≌△AEC，从而可知：CA平分∠BCE；(3)构建全等三角形构建格点M，从而得点P的位置．本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：由图可得∠1+∠2=90∘，∠1+∠3=90∘，∴∠2=∠3，∵FG⊥AB，CD⊥BD，∴∠AGF=∠EDC=90∘，∵BE=CD，FG=BE，∴FG=CD=20，在△AFG与△EDC中，{∠AGF=∠EDC FG=CD∠2=∠3，∴△AFG≌△ECD(ASA)，∴AG=DE=BD−BE=40米，∴AB=AG+BG=40+1.5=41.5(米)，答：单元楼AB的高为41.5米．【解析】根据题意得四边形BEFG是矩形，求得FG=BE=20米，BG=EF=1.5米，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25.【答案】2√10【解析】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，由勾股定理得AC=√AB2−BC2=√102−62=8，连接BP，如图所示：t=1时，CP=2，∴BP=√CP2+BP2=√22+62=2√10，故答案为：2√10；(2)解：如图，过P作PE⊥AB于E，又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90∘，AB=10，BC=6，∴CP=EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，{AP=APCP=EP，∴Rt△ACP≌Rt△AEP(HL)，∴AC=AE=8，∴BE=2，设CP=EP=x，则BP=6−x，在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，即22+x2=(6−x)2，解得x=83，∴CP=83，∴CA+CP=24−83=643，∴t=323；当点P沿折线C−A−B−C运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t=4；综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为323或4；(3)①如图2，点P在CA上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形，则t=62=3；②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，∴AP=AB−BP=10−6=4，∴AC+AP=8+4=12，∴t=6；③如图4，若点P在AB上，当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形；=4.8，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD=6×810在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=√62−4.82=3.6，∴PB=2BD=7.2，∴CA+AP=8+10−7.2=10.8，此时t=5.4；④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，AB=5，∴AP=BP=12∴AC+AP=8+5=13，∴t=6.5；综上所述，t为3或6或5.4或6.5时，△BCP为等腰三角形．(1)根据勾股定理即可得出答案；(2)过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；(3)分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC 于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则可得t的值；当BP= BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．26.【答案】解：①AE垂直BC，理由如下：由折叠可知，∠B=∠E，∵DE//AC，∴∠E=∠EAC，∵∠DFE=∠AFC，∴∠EDF=∠C，∵∠BAC=90∘，∴∠B+∠C=90∘，∴∠E+∠EDF=90∘，∴∠DFE=90∘，∴AE⊥BC；②设BD=x，则DF=8−x，由折叠可知，DE=BD=x，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，∴x2=(8−x)2+42，解得x=5，∴BD=5，DF=3，∵∠B=∠E，∴tan∠E=34=AFBF，∴AF=6，在Rt△ABF中，AB=√BF2+AF2=10；(2)∵∠C=3∠B，∴设∠B=α，则∠C=3α，由折叠可知，∠E=∠B=α，当∠DFE=90∘时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形，∴∠C=45∘，∴∠B=15∘；当∠FDE=90∘时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形，∴∠DFE=90∘−α，∴∠AFC=90∘−α，当AC=FC时，2(90∘−α)+3α=180∘，此时α=0∘，不符合题意，舍去；当AF=AC时，3α=90∘−α，此时α=22.5∘，∴∠B=22.5∘；当AF=FC时，3α+3α+90∘−α=180∘，此时α=18∘，∴∠B=18∘；当∠E=90∘时，此时∠B=90∘，∠C=270∘，不成立；当∠C=90∘时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠B=30∘；当∠AFC=90∘时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠E=45∘，∴∠B=45∘，此时∠C=135∘，与题意不符合，不成立；当∠FAC=90∘时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠AFC=90∘−3α，∴∠DFE=90∘−3α，当DF=EF时，α+α+90∘−3α=180∘，此时α=−90∘，不成立；当DF=DE时，90∘−3α=α，此时α=22.5∘，∴∠B=22.5∘；当DE=EF时，90∘−3α=12(180∘−α)，此时α=0∘，不成立；综上所述，∠B的值为15∘、18∘、22.5∘、30∘.【解析】(1)①由折叠可知∠B=∠E，由平行可知∠E=∠FAC，根据三角形内角和得到∠FDE=∠C，再由∠B+∠C=90∘，利用等量代换可求∠DFE=90∘，即可求解；②设BD=x，则DF=8−x，在Rt△DEF中，x2=(8−x)2+42，解出x=5，再由tan∠E=34=AFBF，求出AF=6，在Rt△ABF中，AB=√BF2+AF2=10；(2)设∠B=α，则∠C=3α，当∠DFE=90∘时，∠B=15∘；当∠FDE=90∘时，当AC=FC时，2(90∘−α)+3α=180∘，不成立；当AF=AC时，3α=90∘−α，∠B=22.5∘；当AF=FC时，3α+3α+90∘−α=180∘，∠B=18∘；当∠E=90∘时，不成立；当∠C=90∘时，∠B=30∘；当∠AFC=90∘时，不成立；当∠FAC=90∘时，当DF=EF时，α+α+90∘−3α=180∘，不成立；当DF=DE时，90∘−3α=α，∠B=22.5∘；当DE=EF时，不成立．本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．第21页，共21页。
江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷一、单选题1．下列图形：其中轴对称图形的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1218=2=-2=4=±，⑥2=-，成立的是（）A ．①⑤B ．②④C ．③⑥D ．②③④⑥3．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE ，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC ，则添加的条件不能为（）A ．BD=CEB ．AD=AEC ．DA=DED ．BE=CD4．下列数中，13.14159π7-，，，无理数的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列各组数为勾股数的是（）A ．8，12，15B ．1，5，5C ．53144，，D ．40，41，96．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为、、A B C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（）A ．ABC V 的三条中线的交点B ．ABC V 三边的垂直平分线的交点C ．ABC V 三条角平分线的交点D ．ABC V 三条高所在直线的交点7．如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD BD =，AD CE 、相交于点F ，若20B ∠=︒，则DFE ∠等于（）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒8．如图所示，点O 是ABC V 内一点，BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥于点D ，连接OA ，若5OD =，20AB =，则AOB V 的面积是（）A ．20B ．30C ．50D ．1009．如图，在Rt ABC 中，AB ＝3，BC ＝8，点D 为BC 的中点，将 ABD 沿AD 折叠，使点B 落在点E 处，连接CE ，则CE 的长为（）A ．95B ．125C ．185D ．32510．如图，四边形ABCD 的对角线交于点E ，,90,2BE ED BAC ACD ACB =∠=︒∠=∠．若10,14CD AD ==，则D 的长为（）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题11的平方根是．12．我市某企业去年生产总值达到1583.45万元，用科学记数法表示（保留到百万位）是元．13．在实数范围内分解因式：39a a -=．14．已知等腰三角形的一个角是100︒，则底角的度数是．15．如图，设ABC V 和CDE 都是正三角形，且62EBD ∠=︒，则AEB ∠的度数是16．在三角形ABC 中，45BAC ∠=︒，高AD ，BE 交于点H ，M ，N 分别为AH ，BC 的中点，连接MN ．若MN =BC =．17．如图，在Rt ABC 中，90,22,C B PQ ∠∠=︒=︒垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC ，AB 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；作射线AF ，射线AF 与直线PQ 相交于点G ，则AGQ ∠的度数为度．18．如图，已知△ABC 与△ADC 是直角三角形，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝6，CD ＝5．若∠BAC +2∠CAD ＝180°，则AB 的长是．三、解答题19．计算：（1()-20132π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2220．求下列各式中的实数x ．(1)24250x -=；(2)327(1)64x -=-．21．（1）已知21a -的平方根是33+1a b ±-，的平方根是4±，求+2a b 的平方根；（2）若x y ，都是实数，且y =，求+3x y 的立方根．22．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM 上，EF ⊥AC 于点F ，连接CM ，CE ．已知∠A =50°，∠ACE =30°．(1)求证：CE =CM ．(2)若AB =4，求线段FC 的长．23．（1）如图1，已知ABC V ，请用圆规和直尺在BC 上找一点D ，使ABC V 沿直线AD 折叠，点C 落在边AB 上（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，已知ABC V ，请用圆规和直尺在BC 上找一点D ，使ABC V 沿过点D 的某一条直线折叠，点C 落在边AB 上的E 处，且DE AB ⊥．（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图3，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 和PQ 的端点均在小正方形的顶点上．①在线段PQ 上确定一点C （点C 在小正方形的顶点上），使ABC V 是轴对称图形，并在网格中画出ABC V ；②请直接写出ABC V 的周长和面积．24．在Rt ABC △中，,90AC BC ACB =∠=︒，P 为线段AB 上一动点．(1)如图1，点D 、E 分别在,AC BC 上（点D 不与点A 重合），若P 运动到AB 的中点，且PD PE ⊥．①求证：=AD CE ；②若7,1AD BE ==，求PD 的长；(2)如图2，点F 在BC 上，且PC PF =，过点F 作FH AB ⊥，垂足为H ，若10AB =，在点P 运动的过程中，线段PH 的长度是否发生变化？若不变，请求出PH 的长度；若变化，请说明理由．25．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）．①顶角是30︒的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30︒的直角三角形．(2)如图1，在ABC V 中，AB AC =，90BAC ∠≥︒，将ABC V 沿边AB 所在的直线翻折180︒得到ABD △，延长DA 到点E ，连接BE ．①若BC BE =，求证：ABE 是“倍角三角形”；②点P 在线段AE 上，连接BP ．若30C ∠=︒，BP 分ABE 所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出E ∠的度数．26．如图，在四边形ABDE 中，ABC V 、DCE △是等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，BCD ∠为锐角；(1)在图1中，ACE △与BCD △面积相等吗？请说明理由．(2)如图2，若4AC =，5CD =．则四边形ABDC 面积最大值为______．(3)如图3，已知6BD =，ACE △的面积为10，G 在BD 边上，GC 的延长线经过AE 中点F ，求CG 的长．27．若ABC V 和ADE V 均为等腰三角形，且AB AC AD AE ===，当ABC ∠和ADE ∠互余时，称ABC V 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，ABC V 的边BC 上的高AH 叫做ADE V 的“余高”．(1)如图1，ABC 与ADE 互为“底余等腰三角形”．若连接BD ，CE ，判断ABC V 与ADE V 是否互为“底余等腰三角形”：（填“是”或“否”）；(2)如图1，ABC V 与ADE V 互为“底余等腰三角形”．当0180BAC ︒<∠<︒时，若ADE V 的“余高”是AH ．①请用直尺和圆规作出AH （要求：不写作法，保留作图痕迹）；②求证：2DE AH =．(3)如图2，当90BAC ∠=︒时，ABC V 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，连接BD 、CE ，若6BD =，8CE =，请直接写出BC 的长．。
江苏省无锡市八年级(上)期中数学试卷(20210712101211)
八年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0 分）1.以下图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 若等腰三角形的两边长为3 和7 ），则该等腰三角形的周长为（A. 10B. 13C. 17D. 13 或 173. 以下各组数中，不可以作为直角三角形三边长度的是（） D.A.2、、4B. 、、5C.、、10 25、24、73 34 6 84.如图，某同学把一块三角形的玻璃打坏成三片，现在他要到玻璃店去配一块完整同样形状的玻璃．那么最省事的方法是带（）A. 带①去B. 带②去C. 带③去 D. 带①②去5.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ， AB=DE ，增添以下一个条件后，仍旧不能证明△ABC≌△DEF ，这个条件是（）A. ∠A=∠DB. BC=EFC. ∠ACB=∠FD. AC=DF6.如图的 2×4 的正方形网格中，△ABC 的极点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC 成轴对称的格点三角形一共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7.如图，在△ABC 中，∠B=∠C=60 °，点 D 在 AB 边上，DE⊥AB，并与 AC 边交于点 E．假如 AD =1，BC=6，那么 CE 等于（）A.5B.4C.3D.28.如图，在△ABC 中， DE 是 AC 的垂直均分线，且分别交BC，AC 于点 D 和 E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（）9.如图，在第一个△ABA1中∠B=20°， AB=A1B，在 A1B 上取一点 C，延伸 AA1到 A2，使得 A1A2=A1C，获得第二个△A1A2C；在 A2C 上取一点 D ，延伸 A1A2到 A3，使得A2A3 =A2D；，按此做法进行下去，则以点A4为极点的等腰三角形的底角的度数为（）A. 175°B. 170°C. 10°D. 5°10.如图，在等边△ABC 中， AB =6， N 为 AB 上一点，且 AN =2，∠BAC 的均分线交BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN ，则 BM +MN 的最小值是（）A. 8B. 10C. 27D. 27二、填空题（本大题共10 小题，共分）11. 一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ______．12.已知直角三角形斜边长为 10cm，则此直角三角形斜边上的中线长是______ cm．13.如图，△ABC≌△ADE ，∠EAC=35 °，则∠BAD =______ ．°14.如图，∠C=90 °，∠1=∠2，若 BC=20， BD =15 ，则点 D 到 AB 的距离为 ______ ．15.如图，在△ABC 中， BC=8cm，∠BPC=118 °， BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的均分线，且 PD∥AB， PE∥AC，则△PDE 的周长是 ______cm，∠DPE =______ °．16. 如图，每个小正方形边长为1 A B、C是小正方形的极点，则AB 2=______，，、17.以下图， AB =AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE ，∠1=35 °，∠2=30 °，则∠3=______ ．18.如图，长为8cm 的橡皮筋搁置在x 轴上，固定两头 A 和 B，而后把中点 C 向上拉升3cm 到 D ，则橡皮筋被拉长了______cm．ABC中，AB =ACBAC=56 ° BAC的均分线与19. 如图，△，∠，∠AB 的垂直均分线交于点O，将∠C 沿 EF（E 在 BC 上， F在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰巧重合，则∠OEC 为 ______度．20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽抵达一个高为10 米的高台 A，利用旗杆顶部的索，划过90°抵达与高台 A 水平距离为17 米，高为 3 米的矮台B，玛丽在荡绳子过程中离地面的最低点的高度MN=______ ．三、解答题（本大题共8 小题，共64.0 分）21.如图，已知∠AOB及M、N两点，求作：点P，使点 P 到∠AOB 的两边距离相等且到 M、N 的两点也距离相等．（要求不写作法，但保存作图印迹）22.如图，正方形网格中，小正方形的边长为1，△ABC 的极点在格点上．（1）判断△ABC 是不是直角三角形？并说明原因．（2）求△ABC 的面积．23.如图，点 A，F ，C，D 在一条直线上， AB∥DE，AB=DE ，AF=DC ．求证： BC ∥EF．24.如图，已知△ABC 中， AB=AC，∠C=30 °， AB ⊥AD．（1）求∠BDA 的度数；（2）若 AD =2，求 BC 的长．25.如图，∠ACB=∠ECD =90 °， AC=BC，EC=DC ，点 D在 AB 边上．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若 AE=3 ， AD=2 ．求 ED 的长．26.如图，在△ABC 中，∠ABC=45 °， CD ⊥AB， BE⊥AC，垂足分别为 D 、E，F 为 BC 中点， BE 与 DF ，DC 分别交于点 G，H ，∠ABE =∠CBE．（1）求证： BH=AC ；（2）求证： BG2-GE2=EA2．27.已知在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别是 BC、 CD 边上的一点．（ 1）如图 1：当四边形 ABCD 是正方形时，且∠EAF=45°，则 EF 、BE、DF 知足的数目关系是 ______，请说明原因；（2）如图 2：当 AB=AD ，∠B=∠D =90°，∠EAF 是∠BAD 的一半，问：（ 1）中的数目关系能否还存在？ ______（填是或否）（ 3）在（ 2）的条件下，将点 E 平移到 BC 的延伸线上，请在图 3 中补全图形，并写出EF 、BE、DF 的关系．28.如图 1，△ABC 中， CD⊥AB 于 D ，且 BD ： AD ：CD=2： 3： 4，（ 1）试说明△ABC 是等腰三角形；（ 2）已知 S△ABC =40cm2，如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 BA 向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发以同样速度沿线段 AC 向点 C 运动，当此中一点抵达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t（秒），①若△DMN 的边与 BC 平行，求t 的值；②若点 E 是边 AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，△MDE 可否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不可以，请说明原因．答案和分析1.【答案】 B【分析】解：A 、是轴对称图形，不切合题意；B 、不是轴对称图形，切合题意；C 、是轴对称图形，不切合题意；D 、是轴对称图形，不切合题意；应选：B ．依据轴对称图形的定义判断即可．本题考察轴对称图形、中心对称图形的定义，解题的重点是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．2.【答案】 C【分析】解：当3 为底时，其余两边都为 7，3、7、7 能够组成三角形，周 长为 17；当 3 为腰时，其余两边为 3 和 7，∵3+3=6＜7，因此不可以组成三角形，故舍去， ∴答案只有 17．应选：C ．由于等腰三角形的两 边为 3 和 7，但已知中没有点明底 边和腰，因此有两种情况，需要分类议论，还要注意利用三角形三 边关系考察各状况可否组成三角形．本题考察了等腰三角形的性 质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪 边是底哪边是腰时，应在切合三角形三 边关系的前提下分 类议论．3.【答案】 A【分析】A 2222解： 、 +3 ≠4，不切合勾股定理的逆定理，故正确；B 、32+42=52，切合勾股定理的逆定理，故错误；D 、72+242=252，切合勾股定理的逆定理，故错误 ．应选：A ．依据勾股定理的逆定理：假如三角形有两 边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形．假如没有 这类关系，这个就不是直角三角形．本题考察了勾股定理的逆定理：；在应用勾股定理的逆定理 时，应先仔细剖析所给边的大小关系，确立最大 边后，再考证两条较小边的平方和与最大 边的平方之间的关系，从而作出判断．4.【答案】 C【分析】解：第一块和第二块只保存了原三角形的一个角和部分 边，依据这两块中的任一块均不可以配一 块与本来完整一 样的；第三块不单保存了本来三角形的两个角 还保存了一 边，则能够依据 ASA 来配一块同样的玻璃．应选：C ．依据三角形全等的判断方法 ASA ，即可求解．本题主要考察了全等三角形的 应用，要修业生将所学的知 识运用于实质生活中，要仔细察看图形，依据已知选择方法．5.【答案】 D【分析】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DE ，∴增添 ∠A=∠D ，利用 ASA 可得 △ABC ≌△DEF ；∴增添 BC=EF ，利用 SAS 可得 △ABC ≌△DEF ；∴增添 ∠ACB= ∠F ，利用 AAS 可得 △ABC ≌△DEF ；应选：D ．依据全等三角形的判断，利用 ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．本题考察 了全等三角形的判断，掌握全等三角形的判断方法： SSS 、ASA 、 SAS 、AAS 和 HL 是解题的重点． 6.【答案】 B【分析】解：如图：共3个，应选：B．依据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．本题考察的是轴对称图形，依据题意作出图形是解答此题的重点．7.【答案】B【分析】解：∵在△ABC 中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60 °，∵DE⊥AB ，∴∠AED=30°，∵AD=1 ，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6 ，∴CE=AC-AE=6-2=4 ，应选：B．依据等边三角形的性质和含 30°的直角三角形的性质解答即可．本题考察含 30°的直角三角形的性质，重点是依据等边三角形的性质和含 30°的直角三角形的性质解答．8.【答案】A【分析】解：∵DE 是 AC 的垂直均分线，∴DA=DC ，∴∠DAC= ∠C=25°，∵∠B=60 °，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD= ∠BAC- ∠DAC=70°，应选：A．依据线段垂直均分线的性质获得 DA=DC ，依据等腰三角形的性质获得∠DAC= ∠C，依据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，计算出结果．本题考察的是线段垂直均分线的性质的知识，掌握线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的重点．9.【答案】D【分析】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B，∴∠BA 1A==80°，∵A 1A 2=A 1C，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1===40°；A同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA4A 3=10°，∴∠A n=，以点 A4为极点的底角为∠A5．∵∠A 5==5°，应选：D．先依据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再依据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA 3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A 6的度数．本题考察的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，依据题意得出∠CA 2A1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的重点．10.【答案】D【分析】解：连结 CN，与AD 交于点 M ．则 CN 就是 BM+MN 的最小值．取 BN 中点 E，连结 DE．∵等边△ABC 的边长为 6，AN=2 ，∴BN=AC-AN=6-2=4 ，∴BE=EN=AN=2 ，又∵AD 是 BC 边上的中线，∴DE 是△BCN 的中位线，∴CN=2DE，CN ∥DE，又∵N 为 AE 的中点，∴M 为 AD 的中点，∴MN 是△ADE 的中位线，∴DE=2MN ，∴CN=2DE=4MN ，∴CM= CN．在直角△CDM 中，CD= BC=3，DM= AD=，∴CM==，∴CN=×=．∵BM+MN=CN ，∴BM+MN 的最小值为 2．应选：D．要求 BM+MN 的最小值，需考虑经过作协助线转变 BM ，MN 的值，从而找出其最小值求解．本题考察的是轴对称-最短路线问题，波及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.【答案】FM 5379【分析】解：F M5379∴该汽车牌照号码为 FM5379．易得所求的牌照与看到的牌照对于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．解决本题的重点是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．12.【答案】5【分析】解：∵直角三角形斜边长为 10cm，∴斜边上的中线长为 5cm．故答案为 5．依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一性质，即可推出斜边上的中线长为 5cm．本题主要考察直角三角形斜边上的中线的性质，重点在于仔细的进行计算．13.【答案】35【分析】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC= ∠DAE ，∴∠BAC- ∠DAC= ∠DAE- ∠DAC ，∴∠BAD= ∠EAC ，∵∠EAC=35°，∴∠BAD=35°，故答案为：35．依据全等三角形性质得出∠BAC=∠DAE，求出∠BAD=∠EAC，代入求出即可．本题考察了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．14.【答案】5【分析】解：作DE⊥AB 于 E，∵BC=20，BD=15，∴CD=20-15=5，∵∠1=∠2，∠C=90°，DE ⊥AB，∴DE=CD=5 ，故答案为：5．作 DE⊥AB ，依据角的均分线上的点到角的两边的距离相等获得答案．本题主要考察均分线的性质，掌握角的均分线上的点到角的两边的距离相等是解题的重点．15.【答案】856【分析】解：（1）∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角均分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP= ∠PCE，∵PD∥AB ，PE∥AC ，∴∠ABP=∠BPD ，∠ACP= ∠CPE ，∴∠PBD=∠BPD ，∠PCE=∠CPE ，∴BD=PD ，CE=PE ，∴△PDE 的周长 =PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm ．故答案为 8（2）∵∠PBD=∠BPD ，∠PCE=∠CPE ，∠BPC=118°，∴∠DPC=118°-∠PBC-∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠PBC+∠PCB=180°-118 ，°∴∠DPC=118°-（∠PBC+∠PCB ）=118 °-180 +118° °=56 °．故答案为 56．（1）分别利用角均分 线的性质和平行线的判断，求得△DBP 和△ECP 为等腰三角形，由等腰三角形的性 质得 BD=PD ，CE=PE ，那么△PDE 的周长就转变为BC 边的长，即为 8cm ．（2）依据三角形内角和定理即可求得．本题主要考察了平行线的判断，内角和定理，角均分 线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的重点是将 △PDE 的周长就转变为 BC 边的长．16.【答案】 10 45【分析】解：连结 AC ．依据勾股定理能够获得： AB 2=12+32=10，AC 2=BC 2=12+22=5，∵5+5=10，即AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．故答案为：10，45．连结 AC ，依据勾股定理获得 AB 2，BC 2，AC 2 的长度，证明△ABC 是等腰直角三角形，既而可得出 ∠ABC 的度数．本题考察了勾股定理及其逆定理，判断 △ABC 是等腰直角三角形是解决本题的重点．17.【答案】65°【分析】解：∵∠BAC= ∠DAE ，∴∠BAC- ∠DAC= ∠DAE- ∠DAC ，∴∠1=∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，∴△ABD ≌△ACE（SAS），∴∠ABD= ∠2=30 °．∵∠3=∠1+∠ABD ，∴∠3=35 °+30 °=65 °．故答案为：65°．由∠BAC= ∠DAE 能够得出∠1=∠CAE ，就能够得出△ABD ≌△ACE 就能够得出结论．本题考察了等式的性质的运用，全等三角形的判断及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用．解答时证明三角形全等是关键．18.【答案】2【分析】解：Rt△ACD 中，AC=AB=4cm ，CD=3cm；依据勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm ；故橡皮筋被拉长了 2cm．依据勾股定理，可求出 AD 、BD 的长，则 AD+BD-AB 即为橡皮筋拉长的距离．本题主要考察了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．19.【答案】112【分析】解：如图，连结 OB、OC，∵OA 均分∠BAC ，∠BAC=56°，∴∠BAO=∠BAC=×56°=28°，∵AB=AC ，∠BAC=56°，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-56°）=62°，∵OD 垂直均分 AB ，∴OA=OB ，∴∠OBA= ∠BAO=28°，∴∠OBC=∠ABC- ∠OBA=62°-28 °=34 °，由等腰三角形的性质，OB=OC，∴∠OCE=∠OBC=34°，∵∠C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点C 与点 O 恰巧重合，∴OE=CE，∴∠OEC=180°-2 ×34 °=112 °．故答案为：112．连结 OB、OC，依据角均分线的定义求出∠BAO=28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，依据线段垂直均分线上的点到两头点的距离相等可得OA=OB ，再依据等边平等角求出∠OBA ，而后求出∠OBC，再依据等腰三角形的性质可得 OB=OC，而后求出∠OCE，依据翻折变换的性质可得 OE=CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．本题考察了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直均分线上的点到两头点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并正确识图是解题的重点．20.【答案】2m【分析】解：作AE ⊥OM ，BF⊥OM ，∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+ ∠OBF=90°∴∠AOE=∠OBF在△AOE 和△OBF 中，，∴△AOE≌△OBF（AAS ），∴OE=BF，AE=OF即 OE+OF=AE+BF=CD=17 （m）∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7 （m），∴2EO+EF=17，则 2×EO=10，因此 OE=5m，OF=12m，因此 OM=OF+FM=15m又由于由勾股定理得ON=OA=13 ，因此 MN=15-13=2 （m）．答：玛丽在荡绳子过程中离地面的最低点的高度MN 为 2 米．故答案为：2m．第一得出△AOE≌△OBF（AAS ），从而得出 CD 的长，从而求出 OM ，MN 的长即可．本题主要考察了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE ≌△OBF 是解题重点．21.【答案】解：以下图，点P 即为所求．【分析】分别作∠AOB 的均分线和线段 MN 的中垂线，交点即为点 P；本题主要考察作图-复杂作图，解题的重点是掌握角均分线和中垂线的性质和尺规作图．22.【答案】解：（1）△ABC是直角三角形，原因以下：2 2 2 2 2 2 2 2 2由勾股定理可得： AC =3 +2 =13， BC =8 +1 =65， AB =6 +4 =52，AB 2 22，+AC =BC∴∴△ABC 是直角三角形；（2） S△ABC =8×4-12×2×3-12 ×8×1-12 ×4×6=13．【分析】（1）依据勾股定理求出 AB 、BC 及 AC 的长，再依据勾股定理的逆定理来进行判断即可；（2）用大正方形的面积减去 3 个直角三角形的面积，即可得出结果．本题考察了勾股定理、正方形的性质、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；娴熟掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题（1）的重点．23.【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AC=DF ．∴在△ABC 与△DEF 中，AB=DE∠ A=∠ DAC=DF，∴△ABC≌△DEF （ SAS），∴∠ACB=∠DFE ，∴BC ∥EF．【分析】由全等三角形的性质 SAS 判断△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB= ∠DFE，故证得结论．本题考察全等三角形的判断和性质、平行线的性质等知识，解题的重点是正确找寻全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C=30 °∵AD ⊥AB∴∠BDA+∠B=90 °∴∠BDA=60 °（2）∵∠BDA =60°，∠C=30°，且∠BDA =∠C+∠DAC∴∠DAC=60 °-30 °=30 °=∠C∴AD =CD =2∵AB⊥AD ，∠B=30 °∴BD =2AD=4∵BC=BD +CD∴BC=2+4=6【分析】（1）由题意可得∠B=∠C=30°，由AB ⊥AD ，可求∠BDA 的度数；（2）依据30 度所对的直角边等于斜边的一半，可求 BD=4，依据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠C=∠DAC=30°，可得 AD=CD=2 ，即可求 BC 的长．本题考察了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，娴熟掌握等腰三角形的性质是本题的重点．25.【答案】（1）证明：∵∠ACB =∠ECD=90°，∴∠ACB-∠ACD =∠ECD -∠ACD ，∴∠DCB=∠ECA ，在△ACE 和△BCD 中CE=CD∠ ACE=∠ BCDCA=CB∴△ACE≌△BCD（ SAS）；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠B=45 °，∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠B=45 °，∴∠EAD=90 °，∴在 Rt△AED 中，∠EAD =90 °， AE =3，AD =2，由勾股定理得：ED =32+22 =13 ．【分析】（1）依据∠ACB= ∠ECD=90°求出∠DCB=∠ECA ，依据 SAS 推出两三角形全等即可；（2）依据等腰直角三角形求出∠BAC= ∠B=45°，依据全等三角形的性质求出∠EAC= ∠B=45 °，求出∠EAD=90°，依据勾股定理求出即可．本题考察了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判断，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的重点．26.【答案】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH =∠BEC=∠CDA =90 °，∵∠ABC=45 °，∴∠BCD=180 °-90 °-45 °=45 °=∠ABC∴DB =DC ，∵∠BDH =∠BEC=∠CDA =90 °，∴∠A+∠ACD=90 °，∠A+∠HBD =90 °，∴∠HBD =∠ACD ，∵在△DBH 和△DCA 中，∠BDH=∠ CDABD=CD∠ HBD=∠ACD，∴△DBH ≌△DCA （ ASA），∴BH =AC．（2）连结 CG，由（ 1）知， DB=CD，∵F 为 BC 的中点，∴DF 垂直均分BC，∴BG=CG，∵∠ABE=∠CBE， BE⊥AC，∴△ABE≌△CBE，∴EC=EA ，在 Rt△CGE 中，由勾股定理得： CG2-GE2 =CE 2，∵CE=AE ，BG=CG，22 2∴BG -GE =EA ．【分析】（1）依据三角形的内角和定理求出∠BCD= ∠ABC ，∠ABE= ∠DCA ，推出DB=CD ，依据 ASA 证出△DBH ≌△DCA 即可；（2）依据DB=DC 和 F 为 BC 中点，得出 DF 垂直均分 BC，推出 BG=CG，依据BE⊥AC 和∠ABE= ∠CBE 得出 AE=CE，在Rt△CGE 中，由勾股定理即可推出答案．本题考察了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判断，线段的垂直均分线的性质的应用，注意：线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等，等腰三角形拥有三线合一的性质，主要考察学生运用定理进行推理的能力．27.【答案】EF=BE+DF是【分析】解：（1）EF=BE+DF ，原因：如图 1，延伸 CB 至 M ，使BM=DF ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠ABM= ∠D=90°，在△ABM 和△ADF 中，，∴△ABM ≌△ADF （SAS），∴AM=AF ，∠BAM= ∠DAF ，∵四边形 ABCD 是正方形，∠EAF=45°，∴∠DAF+ ∠BAE=45°，∴∠EAM= ∠BAM+ ∠BAE=45°，∴∠EAM= ∠EAF ，在△EAM 和△EAF 中，，∴△EAM ≌△EAF（SAS），∴EF=EM=BM+BE=BE+DF ；故答案为：EF=BE+DF ；（2）是存在，原因以下：延伸 CB 到 P 使 BP=DF，∵∠ABC= ∠D=90°，∴∠ABP=90°，∴∠ABP=∠D，在△ABP 和△ADF 中，，∴△ABP ≌△ADF （SAS），∴AP=AF ，∠BAP= ∠DAF ，∵∠EAF=∠BAD，∴∠BAE+ ∠DAF= ∠EAF ，∴∠BAP+∠FAD= ∠EAF ，即：∠EAP=∠EAF ，在△APE 和△AFE 中，，∴△APE≌△AFE （SAS），∴PE=FE，∴EF=BE+DF；故答案为：是；（3）如图 3，补全图形．证明：在BC 上截取 BP=DF，∵∠B=∠ADC=90°，∴∠ADF=90°，∴∠B=∠ADF ，在△ABP 和△ADF 中，，∴△ABP ≌△ADF （SAS），∴AP=AF ，∠BAP= ∠DAF ，∵∠EAF=∠BAD，∴∠DAE+ ∠DAF=∠BAD，∴∠BAP+∠EAD=∠BAD，∴∠EAP=∠BAD=∠EAF，在△APE 和△AFE 中，，∴△APE≌△AFE （SAS），∴PE=FE，∴EF=BE-BP=BE-DF ．（1）先判断出△ABM ≌△ADF ，从而得出 AM=AF ，∠BAM= ∠DAF ，而后由∠EAF=45°，证得∠EAM= ∠EAF ，既而证得△EAM ≌△EAF，既而证得结论；（2）第一延伸 CB 到 P 使 BP=DF，证得△ABP≌△ADF （SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），既而证得结论；（3）第一在BC 上截取 BP=DF，证得△ABP ≌△ADF （SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），即可得EF=BE-BP=BE-DF ．本题是四边形的综合题，主要考察了全等三角形的判断与性质．正方形的性质，结构出全等三角形是解本题的重点．28.【答案】（1）证明：设BD =2x，AD=3x，CD =4x，则 AB=5x，在 Rt△ACD 中， AC=AD2+CD2 =5x，∴AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形；（2）解： S△ABC=12 ×5x×4x=40cm2，而 x＞0，∴x=2cm，则 BD=4 cm， AD =6cm， CD =8cm， AC=10cm．①当 MN ∥BC 时， AM=AN，即 10-t=t ，∴t=5 ；当 DN∥BC 时， AD=AN，得： t=6；∴若△DMN 的边与 BC 平行时， t 值为 5 或 6．②当点 M在BD上，即0≤t＜ 4 时，△MDE 为钝角三角形，但DM ≠DE；当 t=4 时，点 M 运动到点 D，不组成三角形当点 M 在 DA 上，即 4＜ t≤10时，△MDE 为等腰三角形，有 3 种可能．假如 DE=DM ，则 t-4=5 ，∴t=9 ；假如 ED=EM，则点 M 运动到点 A，∴t=10；假如 MD =ME =t-4，过点 E做EF 垂直 AB于 F，由于 ED=EA，因此 DF =AF=12AD =3，在 Rt△AEF 中， EF=4；由于 BM =t， BF=7，因此 FM =t-7则在 Rt△EFM 中，（ t-4 ）2-（t-7）2=42，t=∴ 496．综上所述，切合要求的t 值为 9 或 10 或 496 ．【分析】（1）设 BD=2x ，AD=3x ，CD=4x，则 AB=5x ，由勾股定理求出 AC ，即可得出结论；（2）由△ABC 的面积求出 BD 、AD 、CD、AC；①当 MN ∥BC 时，AM=AN ；当DN ∥BC 时，AD=AN ；得出方程，解方程即可；②依据题意得出当点 M 在 DA 上，即 4＜ t ≤ 10时，△MDE 为等腰三角形，有 3种可能：假如 DE=DM ；假如ED=EM ；假如MD=ME=t-4 ；分别得出方程，解方程即可．本题考察了勾股定理、等腰三角形的判断与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有必定难度，需要进行分类议论才能得出结果．。
江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题
江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题一、单选题1．下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．若22x -与38x -是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3．根据下列已知条件，能画出唯一的ABC V 的是（）A ．90C ∠= ，6AB =B ．4AB =，3BC =，30A ∠= C ．60A ∠= ，45B ∠= ，4AB =D ．3AB =，4BC =，8CA =4．某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（）A ．三角形三条角平分线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条中线的交点D ．三角形三条高的交点5．下图中显示的是从镜子中看到的背后墙上电子钟的读数，由此你可以推断这时的实际时间是()A ．10：05B ．20：01C ．20：10D ．10：026．下面命题中，不正确的是（）A ．在△ABC 中，若三个内角满足∠C ＝∠A －∠B ，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若三个内角满足::3:4:5A B C ∠∠∠=，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若对应三边满足::3:4:5a b c =，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若对应三边满足()()2a b a b c +-=，则△ABC 是直角三角形7．等腰ABC V 中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A ．8B ．24C ．8或24D ．8或128．如图，ABC V 中，90BCA ∠=︒，5AB =，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为S S S ₁,₂,₃，则S S S ++₁₂₃的值为（）A ．25πB ．9πC ．254πD ．252π9．如图、在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，E 是对角线AC 的中点，F 是对角线BD 上的动点，连接EF ．若10AC =，6BD =，则EF 的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D 10．如图，ABC V 中，90BCA ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AB 的中点，将BCD △沿CD 翻折得到ECD ，连接AE ，BE ，则线段AE 的长等于（）A ．3B ．4C ．103D ．145二、填空题11．2(2)-的平方根为12．已知等腰三角形的一个角是40︒，则它的顶角的度数是．13．如图，B C ∠=∠，若用“SAS ”说明ABE ACD ≌，则还需要加上条件：14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝．15．∆ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝8，则∆ABC 的面积为．16．如图，在ABC V 中，AD 为ABC V 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，ABC V 面积是24，5,4AB AC ==，则DE 的长为17．如图，圆柱形容器高9cm ，底面周长10cm ，在杯口点B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A 处，若蚂蚁刚出发时发现B 处的蜂蜜正以每秒钟1cm 沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是cm/s ．18．在DEF 中，2D E ∠=∠，3DF =，7DE =，则EF =．(结果保留根号)三、解答题19．已知：如图，,AC DB 相交于点O ，,AB DC A D =∠=∠．求证：(1)ABO DCO △≌△；(2)OBC OCB ∠=∠．20．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．(1)画出ABC V 关于直线l 对称的图形111A B C △；(2)在网格格点上找一点P ，ABP 与ABC V 全等；（要求标出不同于点C 的格点P 的位置）(3)在（2）的情况下，连接PA PC 、，则四边形PABC 的面积21．如图，，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，在AB ，AC 上求作点M ，N ，使A ，D 关于直线MN 对称；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接DM ，DN ，若6AC =，10AB =，则BMD 与CND △的周长和为．（如需画草图，请使用图2）22．如图，在等边ABC V 中，AD BE =，BD CE 、相交于点F ．(1)求CFD ∠的度数；(2)过点B 作BG CE ⊥，垂足为G ．若1DF =，3FG =，则CE 的长为23．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB 的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即3DE =米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．24．如图，在锐角ABC V 中，点E 是A 边上一点，BE CE =，AD BC ⊥于点D ，A 与EC 交于点G ．(1)求证：EA EG =；(2)若26BE =，5CD =，G 为C 中点，求AG 的长．25．“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形(1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，请你借助该图、证明勾股定理；(2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A 和∠C 都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：cm ）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．26．同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题：(1)如图1，将ACB 沿着A 翻折到ADB ，则ADB ∠=，DB =；(2)如图2，将长方形ABCD 对折，使得边A 、边A 重合，折痕与边BC 、边A 交于点E 、点F ，3AB =，10BC =，点P 是边A 上一点，将B ∠沿着EP 折叠得到M ∠，线段PM 、线段EM 分别交边A 于点N 、点Q ．①当M 、N 重合时，线段PB 的长是多少?②当点P 与点A 重合时，点H 是边A 上一点，将C ∠沿着线段EH 折叠，使得点C 落在边A 上的点G ，线段GQ 的长是多少?。
2020-2021学年江苏省无锡市八年级上期中数学试卷
2020-2021学年江苏省无锡市八年级上期中数学试卷解析版一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）根据下列条件，能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）
A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′
B．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝B′C′
C．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，△ABC的周长等于△A′B′C′的周长
【解答】解：A、满足SSA，不能判定全等；
B、不是一组对应边相等，不能判定全等；
C、满足AAA，不能判定全等；
D、符合SSS，能判定全等．
故选：D．
3．（3分）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm
【解答】解：当6为腰，3为底时，6﹣3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3＝15；
当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成三角形．
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江苏省无锡市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．以下计算正确的是（）．2(5)5-=-．382=±C 327±=是直角三角形的是（）B a ∶b ∶c ：4∶5D ．∠A ＋∠．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（）B ．三条角平分线的交点D A ．18B ．306．如图，四边形ABCD 的对角线AC CD =，3AB =，15BD =，则A ．7B ．87．如图所示，在24⨯的正方形网格中，正方形的格点上，则点A 到A ．2B ．28．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线A ．92︒B ．88︒9．如图，已知BP 是ABC ∠（）A ．224cmB ．30cm 10．如图Rt ABC △中，AB AC =连接OE ，则在D 点运动过程中，线段A ．2B ．2二、填空题11．如图，分别以Rt ABC △的三边长标注的数字代表所在正方形的面积，则12．已知等腰三角形的两边长是13．如图，从电杆上离地面线杆底部B 的距离是14．如图，ABC ADE ≌，15．如图，在四边形ABCD 中ED 、BD ，若56BAD ∠=︒，则16．如图，在等腰三角形AB 于点E ，，已知AC ＝17．若一个长方形的面积为宽为cm.18．如图，在ABC 中，∠的最小值为三、解答题19．若实数m ，n 满足等式(1)求m ，n 的值；(2)求32n m -的平方根．20．计算：（1）454520+-(1)求证：①ACG CBE =∠∠；②(2)若60GAE ∠=︒，求CEG ∠的度数．24．下面是小李同学探索107 面积为107的正方形边长是∴设10710x =+，其中0x < 图中210210S x x =+⨯⋅+正方形2210210107x x ∴+⨯⋅+=，当2x 较小时，省略2x ，得20x (1)76的整数部分是；(2)仿照上述方法，探究76的近似值．25．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为角边长都为b ，斜边长都为(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥．测得 1.2CH =千米，0.9HB =千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米？(3)在第（2）问中若AB AC ≠时，CH AB ⊥，4AC =，5BC =，6AB =，设AH x =，求x 的值．26．如图1，在四边形ABDE 中，ACB △、DCE △是等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，BCD ∠为锐角；(1)如图2，连接AD 、BE 相交于点O ，求DOE ∠的度数．(2)在图1中，ACE △与BCD △面积相等吗？请说明理由．(3)如图3，已知5BD =，ACE △的面积为10．G 在BD 边上，GC 的延长线经过AE 中。