第十六章结构稳定计算
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《结构的稳定计算》课件
基本原理和计算方法
平衡方程
根据平衡条件，通过计算 外力和内力的关系得到系 统的稳定性状况。
能量方法
稳定计算可以用势能公式 表示。计算稳定性参数之 间的关系，以判断系统的 稳定性。
叠加法
有些结构失稳问题很难直 接求解，可以用叠加法把 问题拆分பைடு நூலகம்多个方面，逐 步求解。
应用案例分析
1
框架结构的稳定分析
结论
稳定性计算是建筑结 构计算不可或缺的环 节
只有确保结构的稳定性， 才能确保建筑物的安全和 稳定。
稳定性计算的应用会 越来越广泛
随着市场需求的不断增加 和技术的不断发展，稳定 性计算会被广泛应用于各 种建筑物的设计和修建中。
稳定性计算需要不断 创新完善
新材料、新工艺的引入和 新建筑物的设计、建造， 都需要我们不断完善和创 新本领域的计算方法。
常见问题和解决方案
如何准确预测结构失稳 状况？
可以通过大量的实验数据和 成熟的计算方法对新的结构 问题进行预测，尽可能发现 并纠正失稳问题。
如何提高稳定计算的准 确度？
在计算过程中应尽可能准确 地输入计算参数，包括荷载、 材质参数、节点位移等，同 时精确地模拟结构失稳形式。
如何解决结构失稳问题？
可以通过增加材料、加强固 定等方式，对结构弱化部位 进行加固，从而提高稳定性。
参考文献和附件
1. 《结构工程师手册》 2. 《结构体系稳定性计算手册》 3. 《建筑结构》 4. 专业计算软件：AutoCAD, Revit, Midas NFX等 附件：稳定性失效模式图、相应的数学公式
我们通过一个实际的框架结构来介绍稳定性计算方法。结合研究对象的特点，阐 明失稳形式、计算方法和解决方案。
结构力学稳定计算
2 k Fp 3l
1k 3
1 k
3 0 2 k Fp 3l
解得：
Fpcr1
1 3
kl
,
Fpcr2 kl
位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态
问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解
16.3 有限自由度体系的稳定—能量法
总势能驻值原理(stationary principle of total potential energy) 体系静稳定平衡条件：
单自由度体系静力法求临界荷载（P216）
x
Δ Fp
B
θ
A y
MAB= kθ
l
解：设转角，位移 l
平衡方程： M A 0 Fpl M AB 0
M AB k 代入得： Fpl k 0
有非0解的条件
Fp
k l
临界荷载：
Fpcr
k l
问题：荷载大于临界荷载时角位移也只有0解
单自由度体系静力法求临界荷载例
对于完善体系的分支点失稳，无论采用小挠度理 论，还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。
16.3 有限自由度体系的稳定—静力法
讨论分支点失稳问题，按小挠度理论求临界荷载
1、静力法
计算思路 假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程， 进而求解临界荷载。
计算步骤 （1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。 （2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方 程)。 （3）求解稳定方程的临界荷载。 （4）求解稳定方程的特征向量, 绘失稳形式图(buckling mode)。
了性质上的突变，带有突然性。
临界状态
P
P>Pc r
分支点
结构力学-稳定计算
ε
θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
Δ Fp C
临界荷载
0
Fpcr 3EI 2 l
A
MAC= SAB
A y SABθ
MAB=SAB
l
θ
结构力学（2）
A y1 B k y2 C k
浙大宁波理工学院土建学院
pcr
Fp
y
kl
kl O
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
结构力学（2） 2. 按小挠度理论
浙大宁波理工学院土建学院
x
单自由度完善体系的分支点失稳
Δ
Fp
kΔ
M
A
0
,
Fp (l sin ) FRB (l cos ) 0
1.2
Fpcr
ε=0.01 ε=0
1.2 1 0.8 0.6 0.4
1
kl
0.8
0.6
ε=0.1 ε=0.2
0.4
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1.6 1.8
0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.35
sin Fp kl cos 1 sin( )
θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
Δ Fp C
临界荷载
0
Fpcr 3EI 2 l
A
MAC= SAB
A y SABθ
MAB=SAB
l
θ
结构力学（2）
A y1 B k y2 C k
浙大宁波理工学院土建学院
pcr
Fp
y
kl
kl O
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
结构力学（2） 2. 按小挠度理论
浙大宁波理工学院土建学院
x
单自由度完善体系的分支点失稳
Δ
Fp
kΔ
M
A
0
,
Fp (l sin ) FRB (l cos ) 0
1.2
Fpcr
ε=0.01 ε=0
1.2 1 0.8 0.6 0.4
1
kl
0.8
0.6
ε=0.1 ε=0.2
0.4
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1.6 1.8
0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.35
sin Fp kl cos 1 sin( )
【土木建筑】第16章：静定结构的内力计算
= M0x
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
结构稳定理论计算和原理
静力法
静力法即静力平衡法，也称中性平衡法，此法是 求解临界荷载的最基本方法。
对第一类弹性稳定问题，在分支点存在两个临近 的平衡状态：
初始直线平衡状态和产生了微小弯曲变形的平衡 状态。
静力法就是根据已发生了微小弯曲变形后结构的 受力条件建立平衡微分方程，而后解出临界荷载。
静力法举例
两端铰接轴心受压构件
挠曲线的平衡微分方程
由内力矩-EIy〞=M与外力矩 P y
相平衡
或 EIy〞+Py=0
当两端铰接时，边界条件为 x=0, y=0； x=l, y=0
解平衡微分方程，得到P的最小值:
Pcr =π2EI / l2 即 临界荷载或“ 欧拉荷载”
能量法
静力法是通过建立轴心受压构件微弯状态时的平 衡方程，求出临界荷载的精确解。
影响结构稳定性能的各种主要因素；
为增强结构稳定可能采取的各种措施等。
本课程为考试课。
第一章 概 述
工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外， 还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。
强度 结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗 破坏的能力；
刚度 结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗 变形的能力；
当作用着外力的弹性结构偏离原始平衡位置而产生 新的微小位移时，如果应变能的增量ΔU大于外力功的增 量ΔW，即此结构具有恢复到原始平衡位置的能力，则结 构处于稳定平衡状态；如果ΔU <ΔW，则结构处于不稳 定平衡状态而导致失稳；临界状态的能量关系为
ΔU =ΔW
势能驻值原理
势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有 微小变化而总势能不变，即总势能Π 有驻值时，结构处 于平衡状态。或者说
荷载—位移曲线
【2019年整理】10结构力学——结构的稳定计算
16
一、静力法
结构的稳定计算
在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程， 并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。 1、单自由度完善体系的分支点失稳 FP FP FR MO 0 B B k k x F lsin θ F
EI1=
P
R
lcosθ 0
FR kΔ klsin θ
16
结构的稳定计算
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
1 / 85
16
结构的稳定计算
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。
δE P 0 & δ2 EP 0
稳定平衡
δE P 0 & δ2 EP 0
随遇平衡
哈工大 土木工程学院
δE P 0 & δ2 EP 0
不稳定平衡
27 / 85
16
变形体系势能：
结构的稳定计算
EP U U P
= 荷载势能 + 变形势能
EP EP (a1 , a2 ,, an )
d FP 0 d
FP/kl
1.00 0.695 0.536
sin ( θ) sin
2 3 FPcr 3 (1 sin ) 2 kl
1 3
第十六章结构稳定计算
转为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性. 如压杆由稳定的直线平衡转变为稳定的曲线平衡。
3、结构失稳的基本形式：分支点失稳和极值点失稳。
4、分支点失稳:（第一类失稳）
考虑直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
P1<Pcr= P2>Pcr------
直线平衡状态是稳定的，微弯平衡 状态是不稳定的。
它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
2、能量法：势能驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，
真实位移使结构的势能Π为驻值），即：δΠ=0 , Π=应变能U+外力势能UP 由于真实位移是满足平衡条件的位移，因此：
弹性体系的平衡方程势能驻值原理
如图所示 l =l(1-cosq )=l 2sin 2 q =l q 2
1）P<k/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定）
(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)
当θ=0，Π为极小值0。
2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定）
(即U<UP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。
当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。
分支点处对应临界荷载、临界状态
由于平衡形式发生转变，失稳造成的结构破坏具有突然性。
l/2
5、极值点失稳:（第二类失稳） 具有初曲率，承受偏心荷载的压杆。
Δ指跨中挠度。 P
(小挠度理论)
P
P
Pe
Pcr
(大挠度理论)
O
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
极值点失稳的特点是平衡形式不出现 分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变 形形式并不发生质的改变，由于结构的变 形过大,结构将不能正常使用.小挠度结果位 移趋于无穷是不真实的，但由其计算的临 界载荷也有一定的实际意义。
3、结构失稳的基本形式：分支点失稳和极值点失稳。
4、分支点失稳:（第一类失稳）
考虑直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
P1<Pcr= P2>Pcr------
直线平衡状态是稳定的，微弯平衡 状态是不稳定的。
它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
2、能量法：势能驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，
真实位移使结构的势能Π为驻值），即：δΠ=0 , Π=应变能U+外力势能UP 由于真实位移是满足平衡条件的位移，因此：
弹性体系的平衡方程势能驻值原理
如图所示 l =l(1-cosq )=l 2sin 2 q =l q 2
1）P<k/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定）
(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)
当θ=0，Π为极小值0。
2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定）
(即U<UP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。
当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。
分支点处对应临界荷载、临界状态
由于平衡形式发生转变，失稳造成的结构破坏具有突然性。
l/2
5、极值点失稳:（第二类失稳） 具有初曲率，承受偏心荷载的压杆。
Δ指跨中挠度。 P
(小挠度理论)
P
P
Pe
Pcr
(大挠度理论)
O
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
极值点失稳的特点是平衡形式不出现 分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变 形形式并不发生质的改变，由于结构的变 形过大,结构将不能正常使用.小挠度结果位 移趋于无穷是不真实的，但由其计算的临 界载荷也有一定的实际意义。
16第十六章 结构的稳定计算
（2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而 小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。 3、静力特征 临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状 态过渡到不稳定状态的极限状态。
二、静力法 1、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分 方程，进而求解临界荷载的方法。 2、步骤： （1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。 （2）列静力平衡方程。 （3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
例14-3
p
B
试求图示结构的临界荷载（初参数法）。 p
x
EA
p
y l
C
I1
k
B B
kyl
p1
B
k
Ql
kyl
y l
l
I1
I1
I2
A
D
y0 0 y0 0
A
y
M 0 、 Q 0未知。
l
解：
x 0, (1) 已知： x 0,
l3 3 EI 2
;
k
3 EI 2 l3
k
已知：
dy dx
N p ( A) dQ Nd 0 ( B ) dN 0 (C ) dM Q ( D) dx
将式（A）代入式（B） dQ p d ( E ) ：
第二节 确定临界荷载的静力准则
一、临界状态的静力特征
静力法
x
1、体系失稳前在弹性阶段工作
M 0,
y M EI
0
（1）应力、应变成线性关系。
（2）挠曲线近似微分方程成立。 2、采用小挠度理论分析
二、静力法 1、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分 方程，进而求解临界荷载的方法。 2、步骤： （1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。 （2）列静力平衡方程。 （3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
例14-3
p
B
试求图示结构的临界荷载（初参数法）。 p
x
EA
p
y l
C
I1
k
B B
kyl
p1
B
k
Ql
kyl
y l
l
I1
I1
I2
A
D
y0 0 y0 0
A
y
M 0 、 Q 0未知。
l
解：
x 0, (1) 已知： x 0,
l3 3 EI 2
;
k
3 EI 2 l3
k
已知：
dy dx
N p ( A) dQ Nd 0 ( B ) dN 0 (C ) dM Q ( D) dx
将式（A）代入式（B） dQ p d ( E ) ：
第二节 确定临界荷载的静力准则
一、临界状态的静力特征
静力法
x
1、体系失稳前在弹性阶段工作
M 0,
y M EI
0
（1）应力、应变成线性关系。
（2）挠曲线近似微分方程成立。 2、采用小挠度理论分析
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例2：用静力法求图示体 系的临界荷载。EI=∞
k(1 2 )
B’
2
k(3 2 )
C’
•两个自由度，取△1 △ 2
为位移参数，设失稳曲
A
1
1
2
3
P
线如图。
lB
lC
l
D
•分析受力列平衡方程：
整体：
CD :
MA M C
0 P 2
RD 0 k(3 2 )
22
MA=kθ
P
弹性应变能
U
1 2
M
A
1 2
k
2
荷载势能: UP Pl
B B´ λ
U
U
P
1 2
(k
Pl )
2
应用势能驻值条件:
d
1 2
Pl
2
0,得:(k Pl) 0
d
θ
位移有非零解则:
P k l
EI=∞ A
势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. k
l
第十六章结构稳定计算
1
§16-1 两类稳定问题概述
1、平衡状态的三种情况 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间过渡状态。
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。
2、失稳:结构稳定平衡状态发生改变。 随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡
•对于分支点失稳问题，当施加载荷小于临界载荷时，稳定的 （直线）平衡形式是唯一的平衡形式，不稳定的（微弯）平 衡是不能维持的，或者说实现稳定的微弯平衡对于载荷是有 条件的。稳定分析的方法是假设平衡形式已发生转变或在临 界状态具有二重性，在新的变形后的几何位置上建立平衡方 程或与之等效的能量原理，以此得出维持新的平衡形式对于 载荷需要满足的条件，载荷所需满足条件的最小值称为临界 载荷。需要注意的是根据小挠度理论求得的载荷所需满足的 条件是不真实的且往往是不连续的，但其所得临界载荷是有 效的。
y
x l, y 0, y0.
P
B cosl R 0
EI
B,R非0条件：
sinl cosl
l 1
0
P tgl l
(l)min 4.493
Pcr
(4.493)2
EI l2
x 15
§ 16-4 弹性压杆的稳定——能量法
静力法解题思路： 1）对新的平衡形式列平衡微分方程； 2）解平衡微分方程； 3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程组； 4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。
16 3l
12 l
EI
2
.
误差为 22%
l
条
件
。因
甚为
至所
相设
差挠
甚曲
y
远线 ，不
故满
精足
度力
较的
差边
。界
17
另解：位移边界条件为：
x
P
当 x=0 和 x=l 时，y=0
2）设失稳曲线为正弦线
l
y
asin
x
l
,
y
a
l
cosx
P 2
k l
1
(22
1 l
,2
1
1) 0 0
l
2
,3
2 l
k l
1
(P
2
k l
)2
0(1)
AB :
M
B
P1
k (1
2)
P1
k l
(21
2)
0
0
(P
2
k l
)1
k l
2
0(2)
k l P 2k l 0
y
a1
4x(l l2
x)
,
y
4a1(l 2x) l2
,
y
8a1 l2
U
1 2
0l
EI
(
y
)
2
dx
32
EIa12 l3
,
EI
U
P
P
1 2
0l
(
y)
2
dx
8Pa12 3l
由
0,得:
a1
(
64 EI l3
16 P 3l
)a1
0
a1
0
Pcr
64 EI l3
•由位移参数不全为零得稳定方程：
P 2k l k l
解得：P1
k l
3k P2 l ,
k Pcr P1 l
13
用能量法求图示体 系的临界荷载。 EI=∞
k
( 1
2
)
B’
2
k
( 3
2
)
C’
•两个自由度，取△ 1 △ 2
为位移参数，设失稳曲
A
1
1
2
3
P
线如图。
lB
4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳 问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研 究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上 限考虑。
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
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§16-2 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
静力法：考虑临界状态的静力特征。
5
对比大挠度理论和小挠度理论结果的几点结论和认识：
1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值 点失稳。
2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉 点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但 平衡路径上出现极值点。
3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小 挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得 出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。
•列变形状态 的平衡方程
y1
Bk
R1=ky1
y2
kC
R2=ky2
Dλ P YD=Py2/l
M
C左
C
0ky1l
(
Py1 l
)2l
Py2
0
(kl2P)y1 Py2 0 （a）
M
B右
B
0
ky2l
(
Py2 l
如•如果果系系数数行行列列式式≠=00
y1，y2为不零为，零对，应对应 原新始的平衡形式。
但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种， 要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载
MA=kθ
之间的关系。
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讨论：上例中总势能为
U
U
P
1 2
(k
Pl )
2
对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值
1）P<k/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定）
(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)
由小挠度理论求临界荷载
（平衡形式的二重性）
能量法：考虑临界状态的能量特征。
（势能有驻值，位移有非零解）
确定体系变形形式(新的平衡形式)的 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.
1、静力法（平衡法）：要点是利用临界状态平
衡形式的二重性，在原始平衡路径之外寻找新的平衡
PP
B B´ λ
路径，确定分支点，由此求临界荷载。
EI=∞
l
P(lPlMkk)A 00
(Pl k) 0k
Pcr
临界荷载
l
θ=0，原始平衡
θ≠0，新平衡形式
Plk 0
特征方程（稳定方程）
θ 转动刚 度系数k
A k
7
MA=kθ
用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形 状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐 次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方程的系 数行列式 D应等于零，得到稳定方程： D=0
能量法解题思路：
1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能Π；
2）由势能驻值条件δΠ = 0，得到包含待定参数的齐次方程组； 3）令系数行列式等于零，得到特征方程。
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例3 能量法求临界荷载.
x
解：位移边界条件为：
P
当 x=0 和 x=l 时，y=0 1）设失稳曲线为抛物线(纯弯下的挠曲线)
(小挠度理论)
P
P
Pe
Pcr
(大挠度理论)
O
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
极值点失稳的特点是平衡形式不出现 分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变 形形式并不发生质的改变，由于结构的变 形过大,结构将不能正常使用.小挠度结果位 移趋于无穷是不真实的，但由其计算的临 界载荷也有一定的实际意义。
本章根据小挠度理论来求临界载荷。 4
零得稳定方程：
5kl 2P P 4kl 0
P 4kl 5kl 2P
解得：P1
k l
3k P2 l ,
k Pcr P1 l
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§16-3 弹性压杆的稳定——静力法
静力法的解题思路: 先对变形状态建立平衡方程，然后根据非0变形要求