中值定理与导数习题
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=， 故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xx cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xx cos sin >． （２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。
极限、导数、中值定理
x→ x
x→
x→+ x→−
x→+ x→−
解：笛卡尔曲线 x3
+
y3
− 3axy
=
0
的参数方程为
x
y
= 3at 1+ t3
= 3at 2 1+ t3
，
k
= lim
f (x)
= lim
3at 2
1+ t3
= lim t
= −1，
x→ x
t→−11 + t 3 3at t→−1
b
=
lim[
x→
f
(x) −
从而由介值定理知，至少有一点1 [1,2 ] (−1,1) ，使得
f
(1)
=
1[ 2
f
(1) +
f
(2 )] = 3 .
再 由 最 值 定 理 知 ， 至 少 有 一 点 [1,2 ] (−1,1) 使 得 f (x) 在 x = 处 取 得
则
f
(
x)
=
−1+ a − b
ax2
2 + bx,
, x = −1 ，显然 −1 x 1
f
(x) 在
(−
，
− 1)
(− 1，
1)
(1，
+
)上连
x, x 1
续，
故 f (x) 在 (− , + )上连续，只需要求在 x = 1， x = −1处连续，
而 lim f (x) = lim x = 1 ， lim f (x) = lim ax2 + bx = a + b ，知 a + b = 1①；
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。
T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。
⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。
中值定理 习题
）找到两点
x 2 , x 1 ， 使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( c ) 成 立 .
（ A） 必 能 ；
（ B） 可 能 ；
（ C） 不 能 ； （ D） 无 法 确 定 能 . 5 、 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在( a , b ) 内 可 导 ， 且
32
）.
8 、 若 在 ( a , b ) 内 ， 函 数 f ( x ) 的 一 阶 导 数 f ( x ) 0 ， 二 阶 导 数 f ( x ) 0 , 则 函 数 f ( x ) 在 此 区 间 内 ( ). （A） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凹 的 ； （B） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凸 的 ； （C） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凹 的 ； （D） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凸 的 . a 9 、 设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ， 且 在 点
11
定理. 设函数 且
(1) f
(k )
f ( x) , g ( x)Βιβλιοθήκη 在上具有n 阶导数,
(a) g
(k )
(a ) (k 0 ,1, 2 ,, n 1)
时 则当 证: 令 ( x)
(k )
f ( x) g ( x) ,
则
(n)
(a ) 0 (k 0 ,1,, n 1) ;
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 4
例1. 设函数
证明 在
在
内可导, 且 内有界.
5
例2. 设
在
上连续, 在
证明至少存在一点
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
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习题3一、填空题1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______区间；2．函数在上满足拉格朗日定理条件的；３．函数与在区间上满足柯西定理条件的；4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；５．；6．；7．;8．函数的单调减区间是；9．设在可导，则是在点处取得极值的条件；10．函数在及取得极值，则；11. 函数的极小值是;12．函数的单调增区间为；13. 函数的极小值点是；14. 函数在上的最大值为，最小值为；14. 函数在的最小值为;15. 设点是曲线的拐点,则;16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;17. 曲线的上凹区间为;18. 曲线的拐点为;19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;20. 曲线的拐点为;21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为;23. 曲线在的曲率;24. 曲线的曲率计算公式为;25. 抛物线在顶点处的曲率为;二. 单项选择题1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且是在至少存在一点,使得成立的( ).必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要2. 函数，则（）.在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立；在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,,则必有( ).; ;4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).; ; ;5. 函数,它在( ).不满足拉格朗日中值定理的条件;满足拉格朗日中值定理的条件,且;满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ).;7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) .在之间恰有一个,使得在之间至少存在一点,使得对于与之间的任一点,均有8. 若在开区间可导,且对任意两点恒有,则必有( ).(常数)9. 已知函数,则方程有( ).分别位于区间的三个根;四个根,它们分别为;四个根,分别位于分别位于区间的三个根;10. 若为可导函数,为开区间一定点,而且有,则在闭区间上必总有( ).11. 若,则方程( ).无实根有唯一实根有三个实根有重实根12. 若在区间上二次可微,且(),则方程在上( ).没有实根有重实根有无穷多实根有且仅有一个实根13. 求极限时,下列各种方法正确的是( ).用洛必达法则后,求得极限为0;因为不存在,所以上述极限不存在;原式=因为不能用洛必达法则,故极限不存在;14. 设为未定型, 则存在是也存在的( ).必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要条件15. 若与可导,, 且,则( ).必有存在,且必有存在,且如果存在,且如果存在,不一定有16. 函数在( ).单调增加单调减少单调增加,其余区间单调减少单调减少,其余区间单调增加17. 已知在上连续,在可导,且当时,有,又,则( ).在上单调增加, 且;在上单调增加, 且;在上单调减少, 且;在上单调增加, 但正负符号无法确定.18. 当时,有不等式( )成立.当时,当时当时,当时19. 函数的图形,在( ).处处是凸的; 处处是凹的;为凸的,在为凹的为凹的,在为凸的. 20. 若在区间,函数的一阶导数,二阶导数,则函数在此区间是( ).单调减少,曲线上凹; 单调增加,曲线上凹;单调减少,曲线下凹单调增加,曲线下凹.21. 曲线的凹凸区间是( ).为其凹区间; 为其凸区间;当时,曲线是凸的, 时是凹的;当时,曲线是凹的, 时是凸的;22. 曲线( ).有一个拐点; 有二个拐点; 有三个拐点; 无拐点;23. 若点为曲线的拐点,则( ).必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.24. 设函数在处有,在处不存在,则( ).及一定都是极值点; 只有是极值点;及都可能不是极值点; 及至少有一个点是极值点.25. 曲线 ( ).有极值点,但无拐点; 有拐点,但无极值点;是极值点, 是拐点; 既无极值点又无拐点.26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;极大值必大于极小值.27. 函数在区间上的最小值为( ).; 0 ; 1 ; 无最小值.28. 指出曲线的渐近线( ).没有水平渐近线,也没有斜渐近线;为垂直渐近线,无水平渐近线;既有垂直渐近线,又有水平渐近线;只有水平渐近线.29. 曲线的渐近线有( ).1条 ; 2条 ; 3条 ; 4条 ;30. 设在可导,且对于任意,当时有,则( ).对于任意 ; 对于任意 ;函数单调增加 ; 函数单调增加.31. 设函数在上则或的大小顺序是( ).;; .32. 设有二阶连续导数,且,则( ).是的极大值; 是的极小值;是曲线的拐点;不是的极值, 不是曲线的拐点.33. 在区间,方程( ).无实根 ; 有且仅有一个实根; 有且仅有两个实根; 有无穷多个实根34. 设时,与是同阶无穷小,则为( ).1 ;2 ;3 ;4 .35. 函数不可导点的个数是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 设函数在的某个邻域连续，且为其极大值，则存在当时，必有（）。
；；37．函数在取得极值，则（）。
0 ；； 1 ； 2 。
38．下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。
；；；。
39．设为正整数，则（）。
； 1 ；0 ；40．=（）。
1 ；；；。
三. 计算题1. 求下列极限2.求极限:3.求极限:4. 求极限:5. 求极限:6. 求极限:7. 求极限:8. 求极限:9. 求极限:10. 求极限:11. 求极限:12. 求极限:13. 求极限:14. 求极限:按(x4)的幂展开多项式x45x3x23x416. 应用麦克劳林公式按x幂展开函数f(x)(x23x1)317. 求函数按(x4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式18.. 求函数按(x1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式求函数f(x)tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式20. 判定函数f(x)arctan x x单调性21. 判定函数f(x)x cos x (0x2)的单调性22. 确定下列函数的单调区间y2x36x218x723. 确定下列函数的单调区间(x>0)24. 确定下列函数的单调区间25. 确定下列函数的单调区间y(x1)(x1)326. 确定下列函数的单调区间27. 确定下列函数的单调区间y x n e x(n>0x0)28. 确定下列函数的单调区间y x|sin 2x|29. 判定下列曲线的凹凸性y4x x230. 判定下列曲线的凹凸性: (x>0)31. 判定下列曲线的凹凸性: y x arctan x32.. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间y x35x23x 533. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y xe x34. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: y(x1)4e x35. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y ln(x21)36. 试决定曲线y ax3bx2cx d中的a、b、c、d使得x2处曲线有水平切线 (110)为拐点且点(2 44)在曲线上37. 试决定y k(x23)2中k的值使曲线的拐点处的法线通过原点38. 求函数的极值y2x36x218x739. 求函数的极值y x ln(1x)40. 求函数的极值41. 求函数的极值42. 求函数的极值y e x cos x43. 求函数的极值44. 求函数的极值y x tan x45. 试问a为何值时函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值46. 求下列函数的最大值、最小值y=2x33x21x447. 问函数y2x36x218x7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值48. 问函数(x0)在何处取得最小值？49. 问函数(x0)在何处取得最大值？50. 求椭圆4x2+y2=4在点(0 2)处的曲率51. 求曲线y=lnsec x在点(x y)处的曲率及曲率半径52. 求抛物线y=x24x+3在其顶点处的曲率及曲率半径53. 求曲线x a cos3t y a sin 3t在t t0处的曲率四.证明题1验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间上的正确性2验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性3对函数f(x)sin x及F(x)x cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性4不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x) 0有几个实根并指出它们所在的区间5．证明恒等式(1x1)6．若方程a0x n a1x n1a n1x0有一个正根x0证明方程a 0nx n1a1(n1)x n 2 a n 1 0必有一个小于x0的正根7．设a b0n>1证明nb n1(a b)<a n b n<na n1(a b)8．设a b0证明9．证明下列不等式(1)|arctan a arctan b||a b|(2)当x1时e x e x10．证明方程x5x10只有一个正根11．证明下列不等式当x0时12. 证明下列不等式当x0时13. 证明下列不等式当时 sin x tan x2x14. 证明下列不等式当时15．设0, 证明多项式f(x)a0a1x a n x n在(0, 1)至少有一个零点.16．设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)可导, 且f(a)0, 证明存在一点(0, a), 使f()f()0.17．设0<a<b, 函数f(x)在a b上连续在(a b)可导试利用柯西中值定理证明存在一点(a b)使.18．设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f(x)|<g(x), 证明: 当x>a时, |f(x) f(a)|<g(x)g(a).19．设函数在上连续，在具有二阶导数，且连接点和的直线与交于点，证明：存在，使.20. 设在连续, 在可导,,且为单调增函数,令,证明:在为单调增函数.21. 设函数对一切,满足方程,证明:当在点处取得极值,则此极值必是极小值.22. 证明: 当时,.五.应用题1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋现有存砖只够砌20cm长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？2. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆截面的面积为5m2问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？3. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)问留下的扇形的中心角取多大时做成的漏斗的容积最大？4. 求接于椭圆且两边分别平行于坐标轴的面积最大的矩形.5. 欲作一个容积为3000的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积造价的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省?6. 已知球的半径为,试在它的接圆柱体中,求出具有最大侧面积的圆柱体的底半径与高.7. 求点到曲线的最短距离.8. 一艘停泊在海之中的军舰,离海岸垂直距离9,离海岸上的兵营,今欲从舰上送信到兵营,已知送信人步行的速度为,划船速度是,问送信人应该在何处上岸,才能使信在最短的时间到达兵营.(假定海岸线是直的)9. 与码头位于一条东西向直线形河流的同一侧,河岸边的厂离码头10公里,厂在码头的正北方4公里,今要在两厂之间修一条公路,如果延河岸筑路费用为3千元/公里,不沿河岸筑路费用为5千元/公里,问此公路沿河岸修筑几公里,才使筑路总费用最省?。