DS第四章 数组

起始位置，亦称为基地址。
1
2
i 1
k i 1

练习1：


数组A[0..5,0..6]，每个元素占5个字节，首地 址为1000，按列优先存储，则A[5,5]的存储地 址是 （ ）。 分析： 因为是按列优先，所以在A[5,5] 前已经 存储了0～4列共5列，每列有6个元素，所以共 5×6＝30个元素。在第5列上， A[5,5]之前有 5个元素，则A[5,5]之前共有30+5=35个元素， 所以其地址为： 1000+35*5=1175

矩阵中元素已经按行和按列排好序，要求查找的时间复杂度为 O(m+n)，因此不能采用常规的二层循环的查找。 方法：从B的右上角元素开始比较，每次比较有3种可能的结果： 1) B[i,j]=x ，查找成功； 2) B[i,j]>x，则向j小的方向（即向左）继续查找（减少一列）； 3) B[i,j]<x，则向i大的方向（即向下）继续查找（减少一行）； 这样：每次比较可以使得搜索范围减少一行或一列，最多经过 m+n次比较就可以找到。 若下标超出范围，则查找失败。
(i 1) * (2n i 2) (n p 1) 2 p 1
i 1
个元素，而在第i行上aij之前有j-i个元素，它是所 在行的第（j-i+1）个元素，所以，它是数组a的第 (i-1)*(2n-i+2)/2+(j-i+1)个元素。 注意到B的 下标从0开始：

因此aij和B[k]之间的对应关系为：
i (i 1) j 1 2 k j ( j 1) i 1 2
当i j j
= LOC(B[0])+K*L=LOC(B[0])+[I*(I-1)/2+J-1]*L
特殊矩阵之 三角矩阵的压缩存储


三角矩阵 :下（上）三角矩阵是指矩阵的上（下）三角 （不包括对角线）中的元素均为常数c或零的n阶矩阵。 存储同对称矩阵，再增加一个存储常数c的存储空间，所 以共需n*(n+1)/2+1个存储单元。 以下三角矩阵为例： 存放常数的位置
练习2：
C语言中定义的一维数组a[50]和二维数组 b[10][5]具有相同的首地址，即 &(a[0])=&(b[0][0])，再以列序为主时， a[18]的地址和（ ）的地址相同。 A. b[1][7] B. b[1][8] C. b[8][1] D. b[7][1] 分析： a[18]是数组的第19个元素， b[8][1]=1*10+9=19， 即b[8][1]是数组b 按列优先存储的第19个元素。 C为答案， 即&(a[18])=&(b[8][1]) 。
设n维数组为： A[c1..d1,c2..d2,…,cn..dn]
LOC(j1,j2,…,jn)= LOC(c1,c2,…,cn)+[(j1-c1)*(d2-c2+1)*(d3c3+1)*…*(dn-cn+1)+(j2-c2)*(d3-c3+1)*…*(dn-cn+1)+…+(jn-1cn-1)*(dn-cn+1)+(jn-cn)]*L 该式为二维数组中任一元素的存 n n =LOC(c1,c2,…,cn)+ ( ji ci ) (d k ck 1)] * L 储位置，LOC(c ,c )是二维数组的
时间复杂度为O(mn+n )
4.3 特殊矩阵的压缩存储
知识考核点： 1. 特殊矩阵的定义 特殊矩阵是指矩阵中有很多值相同的元素并 且它们的分布有一定的规律 2. 矩阵压缩存储的基本思想 (1). 为多个值相同的元素只分配一个存储空间； (2). 对零元素不分配存储空间

特殊矩阵之 对称矩阵的压缩存储
第四章 数组
4.1 考纲要求及分析
考纲要求： 特殊矩阵的压缩存储 考纲分析： 本章不属于重点考核的内容，主要以选择题的形式出现。 本章要求： (1). 理解数组的定义和存储方法，注意数组元素具有相同的数 据 类型，因此，每个元素占用的存储单元数相同； (2). 掌握特殊矩阵的压缩存储方法，以及将特殊矩阵压缩存储后 矩阵元素的寻找方法；

void move(int A[ ],int n) 由于只使用了i，j，temp，所 { int i=0, j=n-1,temp; 以S(n)=O(1) while(i<j) { while(i<j)&&A[i]%2==1) i++; //从左向右找到偶数A[i] while(j>i)&&A[i]%2==0) j--; //从右向左找到奇数A[j] if (i < j ) { temp= A[i]; A[i]= A[j]; A[j]=temp; i++; j--; }//if 尽管使用了3个while，但是只扫描了A数组一 }//while 次，即从左向右和从右向左分别扫描，到两者 相遇为止。所以T(n)=O(n) }//move
void Andian(int a[ ][ ],int m, int n) { for (i=0; i<n, i++) { d=a[i][0];k=0; //d为第i行中的最小值 for (j=1; j<m;j++) if (a[i][j]<d) { d=a[i][j]; k=j;} //a[i][k]为第i行中最小值 for (j=0; j<n;j++) //查找第k列 if (a[j][k]>d) break; if (j==n) printf(“马鞍点是”,i,k,a[i][k]); } 外层for循环共执行n次，内层第一个for循环执行m次， 第二个for循环最坏情况下执行n次，所以最坏情况下的 } 2
i(i 1) 2 j 1 当i j k n * (n 1) 当i j 2


以上三角矩阵为例，按行优先顺序存储时，主对角线上的第一行 存储n个，第二行存储n-1个，第p行（1<=p<=n)恰有 n-p+1 个元 素，则aij 之前的 i-1 行共有： n+(n-1)+……+(n-i+2)=(i-1)*(2n-i+2)/2个元素，即：

算法设计题1的另外一种表述：


数组B[0..m-1,0..n-1]的数据在行、列方向上 都按从小到大的顺序排列，且整型变量x中的 数据在B中一定存在。试设计算法，找出一对 满足B[i,j]=x的i,j值。要求比较次数不超过 m+n。 如4行5列的矩阵B从1～20。查找17。
算法分析：


n( n 1) 2
…
ann
n(n 1) 1 2
B[k]和矩阵中的元素aij之间存在着一一对应关系：
第一行存储一个元素， 第二行存储二个元 当i 素……，而元素aij的前 面有i－1行，共存储 1+2+……+i-1=i*(iJ=min(i,j), 1)/2，而元素aij是它所若令：I＝max（i,j), 在行的第j个元素，所以 则可表示为：k＝I*(I-1)/2+J-1, 它是第i*(i-1)/2+j个元 则aij的地址可以如下计算： 素。注意到B的下标从0 LOC（aij)=LOC(B[k]) 开始，所以有：
void find(int B[M][N],int x, int &i,int &j) { //M,N是常量，分别为数组最大行、列数 i=0,j=N-1,flag=0; //flag是成功找到x的标志 while (i<=M-1 && j>=0) { if B[i][j]==x ) { flag=1; break; } else if (B[i][j]>x ) j--; else i++; }//while if flag printf(“x在B中的位置是”, i,j); else printf(“查找失败”); }//find
数组的按行优先存储

设二维数组A是： A[c1..d1,c2..d2](c1≤i≤d1,c2≤j≤d2) 其中c1、c2和d1、d2分别为二维数组A的边界 的下界和上界，每个数组元素占用L个存储单元

LOC(i,j)=LOC(c1,c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+(j-c2)]*L

练习3：


二维数组A的每个元素是由6个字符组成的串， 行下标从0~8，列下标从0~9； 1). 存放A至少需要多少个字节？
解： A共9行10列，所以有90个元素，存放 A至少需要90*6=540个存储单元（字节）
练习3：


二维数组A的每个元素是由6个字符组成的串， 行下标从0~8，列下标从0~9； 2). A的第8列和第5行共占多少个字节？

算法中查找x的路线从右上角开 始，向下(当x> B[i][j])或向左 (当x< B[i][j])。向下最多执行 M次，向左最多执行N次。最好 情况是在右上角比较一次，最 差情况是在左下角比较M+N-1 次。
算法设计题2


设一系列正整数存放在一维数组中，试设计 算法，将所有奇数存放在数组的前半部分， 将所有的偶数放在数组的后半部分。要求尽 可能少用临时存储单元并使时间最少。分析 算法的T(n)和S(n)。 可以就地移动。用i从左向右扫描数组找到一 个偶数，用j从右向左扫描数组找到一个奇数， 然后将两者交换，如此这样，直到i≥j为止。
算法设计题3


若在矩阵A中存在一个元素 aij (0≤i≤n-1,0≤j≤m-1)，该元素是第 i 行元素 中最小值且又是第 j 列元素中最大值，则称该 元素为矩阵的一个马鞍点。假设以二维数组存 储矩阵A，试设计一个求该矩阵所有马鞍点的 算法，并分析最坏情况下的时间复杂度。 分析：在矩阵中逐行寻找该行中的最小值，然 后对其所在的列寻找最大值，如果该列上的最 大值与该行上的最小值相等，则说明该元素是 马鞍点，将它所在的行号和列号输出。