中华中学动态规划讲义
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动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
第三讲 动态规划 高级运筹学课件
所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下 图所示：
②在处理各阶段决策的选取上，不仅只依赖于当前面临 的状态，而且还要注意对以后的发展。即是从全局考虑解决 局部（阶段）的问题。
③各阶段选取的决策，一般与“时序”有关，决策依赖于 当前的状态，又随即引起状态的转移，整个决策序列就是在 变化的状态中产生出来，故有“动态”含义。因此，把这种方 法称为动态规划方法。
§4.2 动态规划的基本概念
一、动态规划的基本要素
1、阶段。阶段的划分，一般根据时序和空间的自然特征 来划分，但要便于把问题的过程能转化为阶段决策的过程。 描述阶段的变量称为阶段变量，常用自然数k表示。如引例 可划分为4个阶段求解，k=1，2，3，4。
2、状态。状态就是阶段的起始位置。它既是该阶段某支 路的起点，又是前一阶段某支路的终点。 （1）状态变量和状态集合。描述过程状态的变量称为状态 变量。它可用一个数、一组数或一向量（多维情形）来描述 ，常用Sk表示第k阶段的状态变量。通常一个阶段有若干个 状态。第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合。如引例 中
称Pk,n(Sk)= {dk(sk),dk+1(sk+1),…,dn(sn)}为由第k阶段开始 到最后阶段止的一个子策略，简称后部子策略。简记为 Pk,n(Sk)
如在引例的第二阶段中，若从B1出发，D2（B1）={B1 C1, B1 C2, B1 C3}如果决定选取B1 C2，则d2（B1）= B1 C2。
4、策略与子策略。策略是一个决策序列的集合。当k=1时 ，P1n（S1）={d1(s1),d2(s2),…,dn(sn)}就称为全过程的一个策 略，简称策略，简记为P1n(S1).
第6章_动态规划ppt课件
gg(u1)
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好 机器的数量为u，到年终时完好的机器就为au， 0<a<1。在低负荷下进行生产时，产品的年 产量和投入生产的机器数量u2的关系为
hh(u2)
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这时，机器的年完好率为b，0<b<1 。
假定开始生产时完好的机器数量为s，要求制定 一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配 完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在 五年内产品的总产量达到最高？
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2．在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把前一 段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结 合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策 的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答 案一般是不同的。
3．在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已 知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最 优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从 而确定了最优路线。
因f3是x3线性单调下降函数，故得最优解 x3*=0，相应的有f3(s3)=18s3
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K=2时
f2(s2)0 m x 2 s2 [4 a x 2 x6 s2f3(s3) ]0 m x 2 s2(4 a x 2x 6 s2 1s3 8 ) 0 m x 2 s2 4 a x 2x 6 s2 1(5 4 8 s21 3x 0 2) 0 m x 2 s2(2 a5 2 0 x s27 5x 2)
sk1T k(sk,xk(sk))
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§3 动态规划的基本方法
一、动态规划方法的基本原理
动态规划方法的基本思想：
动态规划专题讲义解读课件
02
动态规划基本问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是动态规划中常见的问题类型，主要解决在给定图 中从起点到终点的最短路径问题。
详细描述
最短路径问题可以分为单源最短路径问题和多源最短路径问题。 单源最短路径问题是指给定一个起点和一组终点，求起点到每个 终点的最短路径。多源最短路径问题则是给定一组起点和终点， 求每对起点和终点之间的最短路径。
问题规模限制
对于大规模问题，动态规划算法可能 会面临性能瓶颈，因为其时间复杂度 是指数级的。
适用性问题
并非所有问题都适合使用动态规划算 法，对于一些问题，其他算法可能更 有效。
06
动态规划的未来发展展望
动态规划与其他算法的结合使用
动态规划与机器学习算法 结合
利用动态规划优化机器学习模型的训练过程 ，提高模型的预测精度和泛化能力。
动态规划理论研究的深入和创新
深入研究动态规划算法的数学基础和 理论基础，探索其更广泛的应用领域 。
创新动态规划算法的设计和应用，解 决现实生活中的复杂问题，推动科学 技术的发展。
THANK YOU
感谢聆听
动态规划与人工智能算法 结合
将动态规划应用于人工智能领域，如强化学 习、自然语言处理等，以解决更复杂的问题
。
动态规划在大数据和云计算领域的应用前景
大数据处理
利用动态规划处理大规模数据集，提 高数据处理效率，降低计算成本。
云计算优化
通过动态规划算法优化云计算资源的 分配和管理，提高资源利用率和系统 性能。
动态规划专题讲义解读课件
目
CONTENCT
录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本问题 • 动态规划的算法实现 • 动态规划的应用场景 • 动态规划的优缺点分析 • 动态规划的未来发展展望
《动态规划教学》课件
动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件，为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法，在保证一定精度下降低计算复杂 度，提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案，因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题，可能需要大量的存 储空间，这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解，但在某些情况下， 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始，逐步解决子问题，如果初始状态不是最优 的，则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型，以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法，以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法，以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法，以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ，以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构，以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树， 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而大大提高了算法的效率。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
基本模型
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
动态规划讲义(二)
循环顺序必须改变的原因
在第i-1重循环结束时，dp[]数组保存的状 态即为dp[i-1][]时的状态。 在第i重循环，如果我们采用的是递减顺 序，那么计算dp[j+cost[i]]时候，使用的两 个状态dp[j+cost[i]]与dp[j]都是上次循环的 结束时所产生的状态。 反之，结果错误
一类动态规划问题
int main() { int T,m,i,j; memset(dp,0,sizeof(dp)); cin>>T>>m; for(i=1;i<=m;i++) cin>>cost[i]>>val[i]; for(i=1;i<=m;i++) { for(j=T-cost[i];j>=0;j--) { dp[j+cost[i]]=max(dp[j+cost[i]],dp[j]+val[i]); } } cout<<dp[T]<<endl; return 0; }
回到样例
70 3 71 100 69 1 12 样例没什么价值，甚至连贪心算法都无法 否定，不给力，我们自己构造数据：
数据构造
64 65 33 11 24 我们容易计算出，该组数据的答案为8 同时给出上述dp方程的等价形式： dp[i][j+cost[i]]=max(dp[i][j+cost[i]],dp[i][j]+val[i])
描述
辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是 称为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有 威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出 了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞 里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药， 采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价 值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采 到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可 以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
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else if n=3 then f4:=f3 else begin for i:=4 to n do begin if(i in s)then f4:=0 else f4:= ④ fl:=f2;f2:=f3;f3:=f4; end; end;
writeln(f4);readln;
end.
例4、棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。
问题分析： 已知条件第 10 天剩下 1 个桃子，隐含
条件每一次前一天的桃子个数等于后一天桃子的 个数加 1 的 2 倍。
我们采取逆向思维的方法,从后往前推， 可用倒推法求解。
Var S,I:LongInt;
Begin S:=1;{第10天只有一个桃子} For I:=9 DownTo 1 Do S:=(S+1)*2;{第10天依次求前一天的
{g[x,y]=1} {i>0,g[x,y]=0} {j>0,g[x,y]=0} {i>0,j>0,g[x,y]
递推边界为f[0,0]=1,考虑到最大情况下： n=20,m=20，路径条数可能会超出长整数范围所以要 使用Comp类型或高精度运算。
不是卒走一步马走一步。
【样例】
knight.in
knight.out
Байду номын сангаас
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分析：本题可用搜索算法，但N,M=15就会超时 。 再分析题意会发现：要到达棋盘上的一个点，只能 从左边过来或是从上面过来。根据加法原理，到达 某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左 点的路径数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐 行）递推的方法来求出从起点到终点的路径数目。 障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该 点的路径数目设置为0即可。
“蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向 爬
行”的限制，决定了蜜蜂到b点的路径只能是 从b-1点或b-2点到达的，故fn=fn-1+fn-2 (a+2<=n<=b)，边界条件fa=1，fa+1=1。
例2、打印杨晖三角形的前10行。杨晖三角形 的前5行如左下图所示。
问题分析：我们观察左上图不太容易找 到规律，但如果将左上图转化为右上图就不难 发现杨辉三角形其实就是一个二维表（数组） 的下三角部分。
桃 Writeln(S); 子数}
End.
程序填空：设有一个n级的楼梯(1<=n<=12),编号 从下到上依次为1至n,其中有若干级为坏的。有 一个人上楼梯时一步可走1级、或2级、或3级( 坏级只能跨过不能踏上,但级数照算)。问:这个 人从楼下走到第n级,共有多少种不同的走法?
例如: 当n=l时(无坏级情况下),仅有1种走法 n=2时(无坏级情况下),有:1级+l级 或 2级 共2种
假设用f[i，j]表示到达点（i,j）的路径数目，用 g[i,j]表示点(i,j)是否是对方马的控制点，g[i,j]=0表示 不是对方马的控制点，g[i,j]=1表示是对方马的控制 点。则，我们可以得到如下的递推关系式：
f[i,j]=0 f[i,0]=f[i-1,0] f[0,j]=f[0,j-1] f[i,j]=f[i-1,j]+f[I,j-1]
解决递推问题有三个重点：
一、如何建立正确的递推关系 二、递推关系有何性质 三、递推关系式如何求解
递推按照我们推导问题的方向，常分为顺推法和 倒推法。
例1、有一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的 蜂房，不能反向爬行。试求出蜜蜂从蜂房a爬到蜂 房b的可能路线数。
问题分析：这是一道很典型的Fibonacci 数列类题目，其中的递推关系很明显。由于
假设用二维数组yh存储，每行首尾元素都为1，且 其中任意一个非首尾元素yh[i,j]的值其实就是 yh[i-1,j-1]与yh[i-1,j]的和，另外每一行的 元素个数刚好等于行数。有了这些规律，给数 组元素赋值就不难了，而要打印杨晖三角形， 只需控制一下每行输出的起始位置即可。
例3、猴子第1天摘下若干个桃子,当即吃了一半 又一个。第2天又把剩下的桃吃了一半又一个,以 后每天都吃前一天剩下的桃子的一半又一个,到 第10天猴子想吃时,只剩下一个桃子。 问猴子第 1天一共摘了多少桃子?
走法 n=3时(第二级为坏级情况下),有:1级+2级,直接3
级, 共2种走法 【程序说明】用递推方法求解。用集合记录坏级
。
var x,i,n,fl,f2,f3,f4:longint;s:set of 0..30; begin
readln(n);s:= ① readln(x);{x:坏级,以0结束} while (x<>O)do begin
卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘
上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃 一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马
拦过河卒”。棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n,
m)(n, m为不超过15的整数)，同样马的位置坐标是 需要给出的。现在要求你计算出卒从A点能够到达B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并
s:= ② readln(x); end; If (1 in s) then f1:=0 else fl:=1; If (2 in s) then f2:=0 else f2:= ③ If (3 in s) then f3:=0 else f3:=1+f1+f2;
if n=1 then f4:=f1 else if n=2 then f4:=f2
中华中学动态规划讲义
介绍
动态规划是NOIP中非常重要的一类题型。 在动态规划中，算法是最难想到的，当你 想到了算法，实现也就迎刃而解。今天， 我们将强调算法的研究，不作上机实践
递推
递推是动态规划的根本，我们首先花一点时 间进行递推训练
递推关系是一种简洁高效的常见数学模型， 比如我们熟悉的Fibonacci数列问题。在这种类 型的问题中，每个数据项都和它前面的若干个 数据项（或后面的若干个数据项）有一定的关 联，这种关联一般是通过一个“递推关系式” 来表示的。求解问题时我们从初始的一个或若 干个数据项出发，通过递推关系逐步推进，从 而得到最终结果，这种求解问题的方法叫“递 推法”。其中，初始的若干数据项称为“边 界”。
writeln(f4);readln;
end.
例4、棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。
问题分析： 已知条件第 10 天剩下 1 个桃子，隐含
条件每一次前一天的桃子个数等于后一天桃子的 个数加 1 的 2 倍。
我们采取逆向思维的方法,从后往前推， 可用倒推法求解。
Var S,I:LongInt;
Begin S:=1;{第10天只有一个桃子} For I:=9 DownTo 1 Do S:=(S+1)*2;{第10天依次求前一天的
{g[x,y]=1} {i>0,g[x,y]=0} {j>0,g[x,y]=0} {i>0,j>0,g[x,y]
递推边界为f[0,0]=1,考虑到最大情况下： n=20,m=20，路径条数可能会超出长整数范围所以要 使用Comp类型或高精度运算。
不是卒走一步马走一步。
【样例】
knight.in
knight.out
Байду номын сангаас
6633
6
分析：本题可用搜索算法，但N,M=15就会超时 。 再分析题意会发现：要到达棋盘上的一个点，只能 从左边过来或是从上面过来。根据加法原理，到达 某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左 点的路径数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐 行）递推的方法来求出从起点到终点的路径数目。 障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该 点的路径数目设置为0即可。
“蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向 爬
行”的限制，决定了蜜蜂到b点的路径只能是 从b-1点或b-2点到达的，故fn=fn-1+fn-2 (a+2<=n<=b)，边界条件fa=1，fa+1=1。
例2、打印杨晖三角形的前10行。杨晖三角形 的前5行如左下图所示。
问题分析：我们观察左上图不太容易找 到规律，但如果将左上图转化为右上图就不难 发现杨辉三角形其实就是一个二维表（数组） 的下三角部分。
桃 Writeln(S); 子数}
End.
程序填空：设有一个n级的楼梯(1<=n<=12),编号 从下到上依次为1至n,其中有若干级为坏的。有 一个人上楼梯时一步可走1级、或2级、或3级( 坏级只能跨过不能踏上,但级数照算)。问:这个 人从楼下走到第n级,共有多少种不同的走法?
例如: 当n=l时(无坏级情况下),仅有1种走法 n=2时(无坏级情况下),有:1级+l级 或 2级 共2种
假设用f[i，j]表示到达点（i,j）的路径数目，用 g[i,j]表示点(i,j)是否是对方马的控制点，g[i,j]=0表示 不是对方马的控制点，g[i,j]=1表示是对方马的控制 点。则，我们可以得到如下的递推关系式：
f[i,j]=0 f[i,0]=f[i-1,0] f[0,j]=f[0,j-1] f[i,j]=f[i-1,j]+f[I,j-1]
解决递推问题有三个重点：
一、如何建立正确的递推关系 二、递推关系有何性质 三、递推关系式如何求解
递推按照我们推导问题的方向，常分为顺推法和 倒推法。
例1、有一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的 蜂房，不能反向爬行。试求出蜜蜂从蜂房a爬到蜂 房b的可能路线数。
问题分析：这是一道很典型的Fibonacci 数列类题目，其中的递推关系很明显。由于
假设用二维数组yh存储，每行首尾元素都为1，且 其中任意一个非首尾元素yh[i,j]的值其实就是 yh[i-1,j-1]与yh[i-1,j]的和，另外每一行的 元素个数刚好等于行数。有了这些规律，给数 组元素赋值就不难了，而要打印杨晖三角形， 只需控制一下每行输出的起始位置即可。
例3、猴子第1天摘下若干个桃子,当即吃了一半 又一个。第2天又把剩下的桃吃了一半又一个,以 后每天都吃前一天剩下的桃子的一半又一个,到 第10天猴子想吃时,只剩下一个桃子。 问猴子第 1天一共摘了多少桃子?
走法 n=3时(第二级为坏级情况下),有:1级+2级,直接3
级, 共2种走法 【程序说明】用递推方法求解。用集合记录坏级
。
var x,i,n,fl,f2,f3,f4:longint;s:set of 0..30; begin
readln(n);s:= ① readln(x);{x:坏级,以0结束} while (x<>O)do begin
卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘
上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃 一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马
拦过河卒”。棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n,
m)(n, m为不超过15的整数)，同样马的位置坐标是 需要给出的。现在要求你计算出卒从A点能够到达B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并
s:= ② readln(x); end; If (1 in s) then f1:=0 else fl:=1; If (2 in s) then f2:=0 else f2:= ③ If (3 in s) then f3:=0 else f3:=1+f1+f2;
if n=1 then f4:=f1 else if n=2 then f4:=f2
中华中学动态规划讲义
介绍
动态规划是NOIP中非常重要的一类题型。 在动态规划中，算法是最难想到的，当你 想到了算法，实现也就迎刃而解。今天， 我们将强调算法的研究，不作上机实践
递推
递推是动态规划的根本，我们首先花一点时 间进行递推训练
递推关系是一种简洁高效的常见数学模型， 比如我们熟悉的Fibonacci数列问题。在这种类 型的问题中，每个数据项都和它前面的若干个 数据项（或后面的若干个数据项）有一定的关 联，这种关联一般是通过一个“递推关系式” 来表示的。求解问题时我们从初始的一个或若 干个数据项出发，通过递推关系逐步推进，从 而得到最终结果，这种求解问题的方法叫“递 推法”。其中，初始的若干数据项称为“边 界”。