直线与平面平行的判定及性质 课件
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等 腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使 平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在， 请说明理由．
解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点 F为AB的中点，证明如下：
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，
语言 直线平行，则该直 意一个平面与已知平面的 线与此平面平行. 交线 与该直线平行 ．
(1)证线面平行 ①若 a∥α，a∥b，b⊄α，则 b∥α. ②若 a∥α，α∥β，a⊄β，则 a∥β. (2)线面平行的性质 ①若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b ②若 a∥α，a⊥β，则 α⊥β.
二、面面平行的判定与性质
【归规律纳方方法法2】判定面面平行的方法
1利用定义：常用反证法 2利用面面平行的判定定理； 3利用垂直于同一条直线的两平面平行； 4利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平 面，则这两个平面平行.
【变式训练 1】
如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、CC1 的
直线与平面平行的判定和 性质
2015•考纲下载
1.以多面体为载体，考查空间线面平行、面面平 行的判定与性质；
2.以解答题的形式考查线面的平行关系； 3.考查空间中平行关系的探索性为题。
【2个知识回顾】
一、直线与平面平行的判定与性质
判定定理
性质定理
若平面外 一条直线 如果一条直线与一个平面 文字 与此平面内的一条 平行，那么过该直线的任
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
【变式训练 1 】
1.(2013·新课标Ⅱ)如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1 的中点．
【变式训练 4】
如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面是正方形，E，F， G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的中点．求证：
又 E 为 AD 中点，EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ADC，平面 ADC∩平面 AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F 为 DC 中点，∴EF＝12AC＝ 2. 【答案】 2
【考向题型 1 】
题型一 直线与平面平行的判定和性质
图 7－4－2
【思路点拨】 (1)法一：证明DM与平面PBC内的直线平 行；
∴DM∥CN.
图①
又 DM⊄平面 PBC，CN⊂平面 PBC，
∴DM∥平面 PBC.
(2)VD－PBC＝VP－DBC＝13S△DBC·PD， 又 S△DBC＝6，PD＝4 3，所以 VD－PBC＝8 3. 法二：
(1)如图②，取 AB 的中点 E，连接 ME，DE. 在梯形 ABCD 中，BE∥CD，且 BE＝CD，∴四边形 BCDE 为平行四边形， ∴DE∥BC.
法二：通过证明过DM的平面与平面PBC平行． (2)转化法，利用VD—PBC＝VP—DBC求解．
【尝试解答】 法一 (1)如图①，取 PB 的中点 N，连接 MN，
CN.在△PAB 中，∵M 是 PA 的中点，∴MN∥AB，MN＝12AB＝
3.
又 CD∥AB，CD＝3，
∴MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形 MNCD 为平行四边形，
论
α∥β
a∥b
a∥α
【考向题型 2 】
题型二 面面平行的判定及性质
.(2013 湛江高考测试(二))三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E,F 分别是 BB1,CC1 的中点. (1)证明:平面 DEF∥平面 ABC;
证明:(1)依题意知 CA=CC1,又 CD⊥AC1, 所以 D 为 AC1 的中点, 又 F 为 CC1 的中点,所以 DF∥AC. 而 AC⊂ 平面 ABC,所以 DF∥平面 ABC; 同理可证 EF∥平面 ABC,又 DF∩EF=F, 所以平面 DEF∥平面 ABC.
图②
又 DE⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC， ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中，ME∥PB，ME⊄平面 PBC，PB⊂平面 PBC, ∴ ME∥平面 PBC. 又 DE∩ME＝E，∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM⊂平面 DME，∴DM∥平面 PBC. (2)同法一．
规律方法 1 1.判断或证明线面平行的常用方法有：1利用反 证法；2利用线面平行的判定定理a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；3 利用面面平行的性质定理α∥β，a⊂α⇒a∥β；4利用面面平行 的性质α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β.
(1)证明:取 BD 的中点 P,连接 EP,FP. 则 PF 为中位线,PF��� DC.
又∵EA��� DC,∴EA���PF,
故四边形 AFPE 是平行四边形,即 AF∥EP. ∵EP⊂ 平面 BDE,AF⊄平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.
(2)解:∵BA⊥AC,平面 ABC⊥平面 ACDE 且交于 AC, ∴BA⊥平面 ACDE,即 BA 就是四面体 B CDE 的高,BA=2, ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD, ∴S = 梯形 ACDE (1+2)×2=3,S△ACE= ×1×2=1, ∴S△CDE=3-1=2, ∴ = ·BA·S△CDE= ×2×2= .
又 EF⊂平面 ACE，BD1⊄平面 ACE， ∴BD1∥平面 ACE. 【答案】 平行
54．如图 7－4－1，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2，点
E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________．
图 7－4－1
【解析】 由于在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2，∴ AC＝2 2.
3．若 P 为异面直线 a，b 外一点，则过 P 且与 a，b 均平行
的平面( )
A．不存在
B．零个或一个
C．可以有两个
D．有无数多个
答案 B
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则 BD1与平面ACE的位置关系是________．
【解析】 如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF 则 EF 是△BDD1 的中位线，∴EF∥BD1，
中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线(
)
(A)不存在 (B)有 1 条
(C)有 2 条 (D)有无数条
【D】
【变式对点训训练练2】如图 7－4－5 所示，三棱柱 ABC—A1B1C1，D 是
BC 上一点，且 A1B∥平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点． 求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D.
【变式训练 2 】
(2013 北京东城区月考)如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点
E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线
段 A1P 长度的取值范围是(
)
(A)[1, ] (B)[ , ]
(C)[ , ] (D)[ , ]
2.利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已 知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需 作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线.
方法提炼
1.判断或证明两直线平行的常用方法:
(1)三角形中位线; (2)平行四边形; (3)分线段成比例;
二、面面平行的判定与性质
判定
性质
图
形
条 件
_α_∩_β__＝__∅___
a_⊂__β_，__b_⊂__β__ a_∩__b_＝__P_____ a_∥___α_，__b_∥__α_
α_∥__β_，___α_∩_γ__ ＝__a_，__β_∩__γ_＝__b
α_∥__β__，__a_⊂_β_
结 α∥β
【证明】 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 E， 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以 E 是 A1C 的中点，连接 ED， 因为 A1B∥平面 AC1D，
平面 A1BC∩平面 AC1D＝ED， 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点，所以 D 是 BC 的中点． 又因为 D1 是 B1C1 的中点， 所以 BD1∥C1D，A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D， 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
判定
性质
图
形
条 件
_α_∩_β__＝__∅___
a_⊂__β_，__b_⊂__β__ a_∩__b_＝__P_____ a_∥___α_，__b_∥__α_
α_∥__β_，___α_∩_γ__ ＝__a_，__β_∩__γ_＝__b
α_∥__β__，__a_⊂_β_
结 α∥β
论
α∥β
a∥b
a∥α
【基础自测】
= , 所以 ≤A1P≤ ,
所以线段 A1P 长度的取值范围是[ , ],故选 B.
【变式训练 3 】
(2013 惠州一模)如图,直角梯形 ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互 相垂直,F 为 BC 的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.
(1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求四面体 B CDE 的体积.
【B】
解析: 取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,连接 A1M,A1N,MN, 可以证明平面 A1MN∥平面 AEF, 所以点 P 位于线段 MN 上.
因为 A1M=A1N=
= ,MN=
=,
所以当点 P 位于 M,N 时,A1P 最大, 当 P 位于 MN 中点 O 时,A1P 最小,
解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点 F为AB的中点，证明如下：
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，
语言 直线平行，则该直 意一个平面与已知平面的 线与此平面平行. 交线 与该直线平行 ．
(1)证线面平行 ①若 a∥α，a∥b，b⊄α，则 b∥α. ②若 a∥α，α∥β，a⊄β，则 a∥β. (2)线面平行的性质 ①若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b ②若 a∥α，a⊥β，则 α⊥β.
二、面面平行的判定与性质
【归规律纳方方法法2】判定面面平行的方法
1利用定义：常用反证法 2利用面面平行的判定定理； 3利用垂直于同一条直线的两平面平行； 4利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平 面，则这两个平面平行.
【变式训练 1】
如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、CC1 的
直线与平面平行的判定和 性质
2015•考纲下载
1.以多面体为载体，考查空间线面平行、面面平 行的判定与性质；
2.以解答题的形式考查线面的平行关系； 3.考查空间中平行关系的探索性为题。
【2个知识回顾】
一、直线与平面平行的判定与性质
判定定理
性质定理
若平面外 一条直线 如果一条直线与一个平面 文字 与此平面内的一条 平行，那么过该直线的任
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
【变式训练 1 】
1.(2013·新课标Ⅱ)如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1 的中点．
【变式训练 4】
如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面是正方形，E，F， G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的中点．求证：
又 E 为 AD 中点，EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ADC，平面 ADC∩平面 AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F 为 DC 中点，∴EF＝12AC＝ 2. 【答案】 2
【考向题型 1 】
题型一 直线与平面平行的判定和性质
图 7－4－2
【思路点拨】 (1)法一：证明DM与平面PBC内的直线平 行；
∴DM∥CN.
图①
又 DM⊄平面 PBC，CN⊂平面 PBC，
∴DM∥平面 PBC.
(2)VD－PBC＝VP－DBC＝13S△DBC·PD， 又 S△DBC＝6，PD＝4 3，所以 VD－PBC＝8 3. 法二：
(1)如图②，取 AB 的中点 E，连接 ME，DE. 在梯形 ABCD 中，BE∥CD，且 BE＝CD，∴四边形 BCDE 为平行四边形， ∴DE∥BC.
法二：通过证明过DM的平面与平面PBC平行． (2)转化法，利用VD—PBC＝VP—DBC求解．
【尝试解答】 法一 (1)如图①，取 PB 的中点 N，连接 MN，
CN.在△PAB 中，∵M 是 PA 的中点，∴MN∥AB，MN＝12AB＝
3.
又 CD∥AB，CD＝3，
∴MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形 MNCD 为平行四边形，
论
α∥β
a∥b
a∥α
【考向题型 2 】
题型二 面面平行的判定及性质
.(2013 湛江高考测试(二))三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E,F 分别是 BB1,CC1 的中点. (1)证明:平面 DEF∥平面 ABC;
证明:(1)依题意知 CA=CC1,又 CD⊥AC1, 所以 D 为 AC1 的中点, 又 F 为 CC1 的中点,所以 DF∥AC. 而 AC⊂ 平面 ABC,所以 DF∥平面 ABC; 同理可证 EF∥平面 ABC,又 DF∩EF=F, 所以平面 DEF∥平面 ABC.
图②
又 DE⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC， ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中，ME∥PB，ME⊄平面 PBC，PB⊂平面 PBC, ∴ ME∥平面 PBC. 又 DE∩ME＝E，∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM⊂平面 DME，∴DM∥平面 PBC. (2)同法一．
规律方法 1 1.判断或证明线面平行的常用方法有：1利用反 证法；2利用线面平行的判定定理a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；3 利用面面平行的性质定理α∥β，a⊂α⇒a∥β；4利用面面平行 的性质α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β.
(1)证明:取 BD 的中点 P,连接 EP,FP. 则 PF 为中位线,PF��� DC.
又∵EA��� DC,∴EA���PF,
故四边形 AFPE 是平行四边形,即 AF∥EP. ∵EP⊂ 平面 BDE,AF⊄平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.
(2)解:∵BA⊥AC,平面 ABC⊥平面 ACDE 且交于 AC, ∴BA⊥平面 ACDE,即 BA 就是四面体 B CDE 的高,BA=2, ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD, ∴S = 梯形 ACDE (1+2)×2=3,S△ACE= ×1×2=1, ∴S△CDE=3-1=2, ∴ = ·BA·S△CDE= ×2×2= .
又 EF⊂平面 ACE，BD1⊄平面 ACE， ∴BD1∥平面 ACE. 【答案】 平行
54．如图 7－4－1，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2，点
E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________．
图 7－4－1
【解析】 由于在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2，∴ AC＝2 2.
3．若 P 为异面直线 a，b 外一点，则过 P 且与 a，b 均平行
的平面( )
A．不存在
B．零个或一个
C．可以有两个
D．有无数多个
答案 B
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则 BD1与平面ACE的位置关系是________．
【解析】 如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF 则 EF 是△BDD1 的中位线，∴EF∥BD1，
中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线(
)
(A)不存在 (B)有 1 条
(C)有 2 条 (D)有无数条
【D】
【变式对点训训练练2】如图 7－4－5 所示，三棱柱 ABC—A1B1C1，D 是
BC 上一点，且 A1B∥平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点． 求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D.
【变式训练 2 】
(2013 北京东城区月考)如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点
E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线
段 A1P 长度的取值范围是(
)
(A)[1, ] (B)[ , ]
(C)[ , ] (D)[ , ]
2.利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已 知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需 作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线.
方法提炼
1.判断或证明两直线平行的常用方法:
(1)三角形中位线; (2)平行四边形; (3)分线段成比例;
二、面面平行的判定与性质
判定
性质
图
形
条 件
_α_∩_β__＝__∅___
a_⊂__β_，__b_⊂__β__ a_∩__b_＝__P_____ a_∥___α_，__b_∥__α_
α_∥__β_，___α_∩_γ__ ＝__a_，__β_∩__γ_＝__b
α_∥__β__，__a_⊂_β_
结 α∥β
【证明】 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 E， 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以 E 是 A1C 的中点，连接 ED， 因为 A1B∥平面 AC1D，
平面 A1BC∩平面 AC1D＝ED， 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点，所以 D 是 BC 的中点． 又因为 D1 是 B1C1 的中点， 所以 BD1∥C1D，A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D， 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
判定
性质
图
形
条 件
_α_∩_β__＝__∅___
a_⊂__β_，__b_⊂__β__ a_∩__b_＝__P_____ a_∥___α_，__b_∥__α_
α_∥__β_，___α_∩_γ__ ＝__a_，__β_∩__γ_＝__b
α_∥__β__，__a_⊂_β_
结 α∥β
论
α∥β
a∥b
a∥α
【基础自测】
= , 所以 ≤A1P≤ ,
所以线段 A1P 长度的取值范围是[ , ],故选 B.
【变式训练 3 】
(2013 惠州一模)如图,直角梯形 ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互 相垂直,F 为 BC 的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.
(1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求四面体 B CDE 的体积.
【B】
解析: 取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,连接 A1M,A1N,MN, 可以证明平面 A1MN∥平面 AEF, 所以点 P 位于线段 MN 上.
因为 A1M=A1N=
= ,MN=
=,
所以当点 P 位于 M,N 时,A1P 最大, 当 P 位于 MN 中点 O 时,A1P 最小,
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直线、平面平行的判定及其性质课件
思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p b
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
A E B
F D
C
例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC且与直线BD1平行的
思考4：有一块木料如图，
E
P为面BCEF内一点，要求 过点P在平面BCEF内画一
F
P D
条直线和平面ABCD平行，
那么应如何画线？
A
C B
思考5：如图，设直线b在平面α内，直 线a在平面α外，猜想在什么条件下直线 a与平面α平行？
a
a//b
α
b
探究（二）：直线与平面平行的判断定理
思考1：如果直线a与平面α内的一条直 线b平行，则直线a与平面α一定平行吗？
D′
A′
P
C′
B′ D
C
A
B
例2 已知平面外的两条平行直线中的 一条平行于这个平面，求证另一条也 平行于这个平面.
如图，已知直线a，b
和平面α ，a∥b，
a
b
a∥α , a，b都在 平面α外 .
c α
求证：b∥α .
作业: P61练习，习题2.2A组：1，2. （做在书上） P62习题2.2A组：5，6. P63习题2.2B组：1，2.
由此可得什么推论？
推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一
a
b
α
个平面内的两条直
线，那么这两个平 β
新高考数学直线、平面平行的判定与性质精品课件
B
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[解析]如图,取CE的中点I,CC1的中点K,连接AI,IG,EK,因为CI=IE,CG=GK,所以IG∥EK,且IG=EK,又AB∥EK, AB=EK,AH=AB,所以IG AH,所以四边形AHGI为平行四边形,则AI∥GH,又GH⊄平面ACE,AI⊂平面ACE,所以GH∥平面ACE.易知HF,GF均不与平面ACE平行,故选B.
6.下列说法中正确的是 .(填序号) ①若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
课前基础巩固
[解析]对于①,a可以在经过b的平面内,故①错误;对于②,a与α内的直线平行或异面,故②错误;对于③,两平面也可以相交,故③错误;对于④,若a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α,故④正确.
D
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[思路点拨]由题意作出图形,取CE的中点I,连接AI,证出AI∥GH,利用线面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不与平面ACE平行,即可得解.
图7-39-1
4. [教材改编] 如图7-39-2,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[解析]如图,取CE的中点I,CC1的中点K,连接AI,IG,EK,因为CI=IE,CG=GK,所以IG∥EK,且IG=EK,又AB∥EK, AB=EK,AH=AB,所以IG AH,所以四边形AHGI为平行四边形,则AI∥GH,又GH⊄平面ACE,AI⊂平面ACE,所以GH∥平面ACE.易知HF,GF均不与平面ACE平行,故选B.
6.下列说法中正确的是 .(填序号) ①若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
课前基础巩固
[解析]对于①,a可以在经过b的平面内,故①错误;对于②,a与α内的直线平行或异面,故②错误;对于③,两平面也可以相交,故③错误;对于④,若a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α,故④正确.
D
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[思路点拨]由题意作出图形,取CE的中点I,连接AI,证出AI∥GH,利用线面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不与平面ACE平行,即可得解.
图7-39-1
4. [教材改编] 如图7-39-2,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
直线与平面平行判定公开课课件
a
b
第4页/共12页
探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a与平面相交吗？ 不可能相交
（3）直线 a与平面平行吗？ 平行
a
b
第5页/共12页
直线与平面平行判定定理
直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
（1）若平面外一条直线a与直 线b平行α，则直线a//平面（α×；）
a
//
线a与注// 平意b 面：平证行明，直三
（2）若平面外直线a与平面内
一条直线b平行α ，则直线
a//平面α ；
（ √）
个a条件必 须具备， 才b能得到 线面a平// 行 的a结// 论b ．
（3）直线a在平面外，直线b在平面
a //
a // b
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
A
已知：空间四边形ABCD中，E，F
E
F
分别为AB，AD的中点
D
C
求证：EF∥平面BCD
B
第9页/共12页
已知：空间四边形ABCD中，E，F
A
分别为AB，AD的中点
求证：EF∥平面BCD
EF
证明：连结BD. 因为AE=EB,AF=FD
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系？
A
A
B
B
第2页/共12页
直线与平面平行 下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a
b
第4页/共12页
探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a与平面相交吗？ 不可能相交
（3）直线 a与平面平行吗？ 平行
a
b
第5页/共12页
直线与平面平行判定定理
直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
（1）若平面外一条直线a与直 线b平行α，则直线a//平面（α×；）
a
//
线a与注// 平意b 面：平证行明，直三
（2）若平面外直线a与平面内
一条直线b平行α ，则直线
a//平面α ；
（ √）
个a条件必 须具备， 才b能得到 线面a平// 行 的a结// 论b ．
（3）直线a在平面外，直线b在平面
a //
a // b
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
A
已知：空间四边形ABCD中，E，F
E
F
分别为AB，AD的中点
D
C
求证：EF∥平面BCD
B
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已知：空间四边形ABCD中，E，F
A
分别为AB，AD的中点
求证：EF∥平面BCD
EF
证明：连结BD. 因为AE=EB,AF=FD
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系？
A
A
B
B
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直线与平面平行 下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a
立体几何直线平面平行的判定和性质课件文
2023-11-06•直线与平面平行的判定•直线与平面平行的性质•直线与平面平行的重要结论•立体几何直线平面平行问题建模•立体几何直线平面平行问题的求解策略目录01直线与平面平行的判定直线与平面平行是指直线与平面内任意一条直线都无公共点，即直线与平面平行。
直线与平面平行的基本性质是：如果直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行。
直线与平面平行的定义直线与平面平行的判定定理如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的任何一条直线都平行。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线的方向向量与此平面的法向量垂直。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线的斜率与此平面的法向量的斜率互为相反数的倒数。
在工程学中，直线与平面平行的判定定理也被广泛应用，例如在机械加工、建筑设计等领域中，都需要用到这个定理来计算和设计物体的位置和形状。
直线与平面平行判定的应用在立体几何中，我们常常需要判断一条直线是否与一个平面平行，或者判断一个平面是否与另一个平面平行。
通过直线与平面平行的判定定理，我们可以很容易地判断出直线与平面的位置关系，从而解决一些立体几何的问题。
02直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理直线与平面平行，则该直线与平面内的任意一条直线均无交点，因此它们平行或异面。
若直线与平面平行，则该直线与平面的垂线互相垂直。
若两条直线都与同一平面平行，则它们的夹角为0度。
直线与平面平行性质的应用在建筑学中，可以利用直线与平面平行的性质来设计建筑物的结构，确保其稳定性和安全性。
在机械加工中，可以利用直线与平面平行的性质来加工和测量工件的尺寸和形状。
在实际生活中，可以利用直线与平面平行的性质来检测平直的物体或线段是否平行。
直线与平面平行性质的证明方法方法一01利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，然后根据性质定理得出结论。
方法二02利用反证法证明直线与平面平行。
假设直线与平面不平行，根据性质定理可得出矛盾，从而证明直线与平面平行。
高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.
高中数学 第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》课件3 新人教A版必修2
说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线
EF//平面ABCD.
D1
C1
M A1
D
E
A
G
B1 F C
H B
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行，则线面平行”
思想方法
通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题） 转化为直线间的平行关系（平面问题）.
A α
M βB
C
N E
D
l
练习1
如果三个平面两两相交，那么它们的交线 位置如何？
bβ
γ l
α
β γα
ab l a
相交于一条交线 三条交线两两平行
三条交线相交 于一点
应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交，求证它和两
个平面所成的角相等．
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面平行
( ）-网校通名校系列资料上，下精品资料！ •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021
D′
《直线与平面平行》课件
的稳定性和美观性。
02
建筑测量
在建筑测量中，直线与平面平行的概念对于确定建筑物是否垂直和水平
非常重要。测量师使用铅锤和水平仪等工具来确保建筑物的基础、柱子
和横梁等结构与地面平行。
03
建筑结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面平行的概念对于评估结构的稳定性和安
全性至关重要。工程师使用这些概念来分析建筑物的支撑结构和受力情
电子设备制造
在电子设备制造中，直线与平面平行的概念对于确保电子设备的精确度和质量非常重要。制造商使用这些概念来控制 装配和焊接过程，以确保电子元件的放置和连接正确。
电子设备维修
在电子设备维修中，直线与平面平行的概念对于检查和调整电子元件的位置非常重要。维修人员使用这 些概念来检查设备的平行度和垂直度，以确保设备的正常运行和性能。
文字描述
如果一条直线与一个平面平行， 那么这条直线与此平面内的任何 直线都平行。
解释
这个定理说明了直线与平面平行 的条件，即直线必须与平面内的 所有直线都平行，才能判定该直 线与该平面平行。
直线与平面平行判定定理的数学公式
数学公式
若直线$l$与平面$alpha$平行，则对于任意直线$m$在平面$alpha$上，都有 $l parallel m$。
02
若直线$l$与平面$alpha$平行， 则对于任意点$P$在平面$alpha$ 上，有$l cap P = emptyset$。
直线与平面平行性质定理的图形解释
当直线与平面平行时，该直线与平面 内的所有直线都保持平行关系，没有 交点。
在图形中，可以标出一些具体的点来 解释该性质定理，例如选择平面上的 一些点并观察它们是否与直线有交点 。
可以通过作一条与已知直线平行的直 线来验证该性质定理，观察新作的直 线是否与平面内的其他直线平行且无 交点。
高考数学大一轮复习.3直线平面平行的判定与性质课件
判定 垂直于同一条直线的两个平面平行
定理
符号语言
a
b
a b P
a
b
⇒α∥β
l ⇒α∥β
l 2Leabharlann 判定 平行于同一个平面的两个平面平
定理 行
3
⇒α∥γ
性质
如果两个平面平行,那么在一个平面
定理
内的所有直线都平行于另一个平面
点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明
(1)连接B1D1.
∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,
1
2
∴EF∥B1D1且EF= B1D1.
又易证在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD B1D1.
那么PM∥平面BCE,
∵PM∥BE,∴ = ,
AP
PE
AM
MB
又AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,又MQ⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴MQ∥平面BCE,又PM∩
MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
1.利用定义,证明直线a与平面α没有公共点,一般结合反证法来证
明,这
时“平行〞的否认应是“在平面内〞或“相交〞两种,只有排除这
两种
位置关系后才能得出“直线a与平面α平行〞这一结论.
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)
第八章 立体几何初步
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，