高中数学 2.3直线的参数方程 新人教A版选修4-4
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2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
一、选择题（每小题6分，共36分）
x=3+4t 1.原点到直线 3 (t为参数)的距离为( y=- 2 +3t
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
x=3+4t 2.已知直线 (t为参数)，下列命题中错误的是( y=-4+3t
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
x=3+4t 1.原点到直线 3 (t为参数)的距离为( y=- 2 +3t
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
x=3+4t 2.已知直线 (t为参数)，下列命题中错误的是( y=-4+3t
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学课件-人教A版4-4直线的参数方程 (共26张PPT)
x＝－4＋
23t，
y＝12t，
得 A 点坐标(12，323)，B 点坐标(－52， 23)．
4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120°的直线截椭圆x42＋y2＝1 所 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120°，可得直线的
参数方程为x＝1－12t，
y＝1＋
3 2t
(t 为参数)，代入椭圆的方
[解] (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为π6，
∴直线的参数方程为x＝1＋tcosπ6， y＝1＋tsinπ6，
x＝1＋ 即
23t，
y＝1＋12t
为所求．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参
数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为
A(1＋ 23t1,1＋12t1)，B(1＋ 23t2,1＋12t2)，
以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2
＋( 3＋1)t－2＝0，
①
因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝π4，求此直线与直线 3x＋
2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
解：设直线的参数方程为x＝3＋ 22t， y＝4＋ 22t，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0，
得 3(3＋ 22t)＋2(4＋ 22t)＝6.
解得 t＝－115 2，
∴|MP0|＝|t|＝115
2 .
2．已知直线 l 的参数方程为xy＝＝2－－1t＋， 3t， 求直线 l 的倾 斜角．
x＝－1＋ 解：若化成另一种形式
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)(2)
(1)设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. (2)设圆过 T，它们切线为 P0T，则 |P0T|2＝|P0A|· 0B|＝|t1t2|＝9 |P ∴切线长|P0T|＝3.
(3)解方程 t2－4 3t＋9＝0，得 t1＝3 3，t2＝ 3 ∴|P0A|＝3 3，|P0B|＝ 3. 3 x＝－4＋ 2 t (4)将 t1＝3 3，t2＝ 3代入直线参数方程 y＝ t 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标为(2， 2 )，B 点坐标为(－2， 2 )．
x＝2， 此时 y＝1，
即 t2－ 2t－4＝0(t≤0)，所以 t＝－ 2，
所以曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(2,1)．
(2,1)
[答案]
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[研一题] [例 2] π 直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝6，l 与圆 x2＋y2＝7
相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)过 P0 作圆的切线，求切线长； (3)求|P0A|和|P0B|的长； (4)求交点 A、B 的坐标．
[精讲详析]
本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应
(t 为参数)， 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
[命题立意]
本题主要考查直线的参数方程的应用，以及直
线与圆的位置关系．
π [解析] 因为 0≤θ≤2，所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋y2＝ 2 2 2 2 5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－ 2 t) ＋(－ 2 t) 2 1－ 2 t≥0， ＝5，且 － 2t≥0， 2
高中数学人教A版选修4-4课件：2-3直线的参数方程(1)
tan20 °
即 y=(x-3)tan 110°, 所以直线的倾斜角为 110°.
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程 ������ = 3 + (-������)cos110 °, ������ = (-������)sin110 °. ������ = 3 + ������'cos110 °, 令 -t=t',则 ������ = ������'sin110 °. 所以直线的倾斜角为 110°.
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HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
2.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法 ������ = ������0 + ������������, 剖析给出直线的非标准式参数方程 (������为参数),根据 ������ = ������0 + ������������ 标准式的特点 ,参数 t 的系数应分别是倾斜角的余弦值和正弦值.根 据三角函数的性质知其平方和为 1,所以可以化为
������
( ������为参数),再进一步令 cos α=
, sin ������ =
值 ,并且把 ������ = ������0 + ������'cos������, (������′为参数). ������ = ������0 + ������'sin������
������ 2 +������ 2 ������ 2 + ������ 2 ������看成相应的参数t',即得标准形式的参数方程
即 y=(x-3)tan 110°, 所以直线的倾斜角为 110°.
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D典例透析
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第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程 ������ = 3 + (-������)cos110 °, ������ = (-������)sin110 °. ������ = 3 + ������'cos110 °, 令 -t=t',则 ������ = ������'sin110 °. 所以直线的倾斜角为 110°.
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D典例透析
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2.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法 ������ = ������0 + ������������, 剖析给出直线的非标准式参数方程 (������为参数),根据 ������ = ������0 + ������������ 标准式的特点 ,参数 t 的系数应分别是倾斜角的余弦值和正弦值.根 据三角函数的性质知其平方和为 1,所以可以化为
������
( ������为参数),再进一步令 cos α=
, sin ������ =
值 ,并且把 ������ = ������0 + ������'cos������, (������′为参数). ������ = ������0 + ������'sin������
������ 2 +������ 2 ������ 2 + ������ 2 ������看成相应的参数t',即得标准形式的参数方程
高中数学人教A版选修4-4 2.2.3 抛物线的参数方程 素材
从一道课本例题来看如何培养学生解析几何的思维品质人教版教材《数学•选修4-4》第二讲中有一道例题：如图2-13，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且,OA OB OM AB ⊥⊥并与AB 相交于点M ，求点M 析几何的一个很好的素材，这节课可充分探究式教学，为解决高考中有关解析几何压轴大题奠定很好的基础。
探究：Ⅰ 一题多解，思维发散，培养思维的敏捷性与灵活性师：我们已经学习了抛物线的参数方程，如何用参数方程来求动点M 的轨迹呢？生1：可根据条件，设点M ，A ，B 的坐标分别为，2211221212(,),(2,2),(2,2)(,0)x y pt pt pt pt t t t t ≠≠且则，211OM (,),(2,2),x y OA pt pt ==222(2,2),OB pt pt =222121(2(),2())AB p t t p t t =--0OA OB OA OB ⊥⇒=，即：22121212(2)(2)01pt t p t t t t +=⇒=-…………………①OM OM 0AB AB ⊥⇒⊥=，即：222121122()2()0()0px t t py t t x t t y -+-=⇒++= 即：12(0)yt t x x+=-≠……………………………………………………………………② 又221212,,AM//(2)(2)(2)(2)A M B x pt pt y y pt pt x ⇔⇔--=--三点共线MB 即：1212()20y t t pt t x +--=………………………………………………………………③ 由①②③可得：点M 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠师：这位同学的解答利用了抛物线的参数方程，设出A 、B 两点的坐标，再利用题中三个独立的已知条件建立三个方程，再联立方程消参，便可得到所求的轨迹方程。
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目 链 接
解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
编辑课件
例5
过点
P
210，0作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2＋2y2＝1 交
于点 M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的 α 值．
解析：设直线方程为x＝
210＋tcos
α， (t 为参数)，
栏 目 链
y＝tsin α
接
代入 x2＋2y2＝1，
参数 t 的绝对值是有向线段M→oM的长度， 而方程xy＝＝31＋＋t，3t(t 为参数)是非标准形式，
参数 t 不具有上述几何意义．
编辑课件
例 2 设直线的参数方程为xy＝＝150＋－34t，t.
(1)求直线的普通方程；
栏
(2)化参数方程为标准形式．
目
链
解析：(1)由 y＝10－4t，得 t＝104－y，代入 x＝5＋3t，得 x＝5 接
＋3×104－y.
化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0.
编辑课件
x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， (2)把方程变形为
y＝10＋54×（－5t）.
栏
目
链
令 cos α＝－35，sin α＝45.
接
x＝5－35u， u＝－5t，则参数方程的标准形式为： y＝10＋45u.
编辑课件
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在直线 l
程组确定交点 M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出|MP0|.而利用
直线的参数方程，无需求出交点的坐标，由参数的几何意义可直接求
得|MP0|.
编辑课件
x＝3＋ 22t，
解析：设直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝4＋
2 2t
栏
将它代入已知直线
3x＋2y－6＝0
得
33＋
22t＋24＋
22t＝6，
和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的
距离公式来求．
编辑课件
解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为34，设直线
的倾斜角为 α，
则 tan α＝43，sin α＝53P(1，1)在直线 l 上，
链
接
x＝1＋54t， 所以直线 l 的参数方程为 y＝1＋35t (t 为参数)．
上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和点 N(－2，6)
的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为43，即直线的倾斜角(设
栏 目
链
为 α)的正切值为43，tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为点 P 接
在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定点，到点 M
x＝1＋12t，
(t
y＝3＋
3 2t
为参数)和方程xy＝＝31＋＋t，3t(t
为参数)是否为直线
l
的参
栏 目 链 接
数方程．如果是直线 l 的参数方程，那么请指出是参数方程中的哪种
形式，并指出方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数的几何意义．
分析：判断直线的参数方程是否为标准形式，主要看能否满足 a2＋
x＝1＋ 515t′，
得到直线 l 的参数方程的标准形式为：
(t′为参数
栏 目
y＝3＋
10 5 t′
链 接
编辑课件
2．直线过点 A(1，3)，且与向量(2，－4)共线．
(1)写出该直线的参数方程；
(2)求点 P(－2，－1)到此直线的距离．
分析：已知直线与向量(2，－4)共线，可知直线的斜率
k＝－24.
b2＝1，且 a，b 所对应的 α 是否满足是直线的倾斜角．
编辑课件
解析：因为以上两个方程消去参数后，均可以得到直线 l 的普通
方程为 3x－y－ 3＋3＝0，
所以以上两个方程都是直线 l 的参数方程，其中
x＝1＋12t，
cos
y＝3＋
3 2t
α＝12，sin
α＝
23，t为参数是标准形式，
栏 目 链 接
1．化直线的参数方程xy＝＝31＋＋3t6，t (t 为参数)为参数方程的标准形
式．
栏
目
点拨：只需把 t 的系数作变换，使其满足 a2＋b2＝1.
链
解析：由x＝1＋3t，得：
接
y＝3＋ 6t
x＝1＋
3 32＋（
6）2
32＋（
6）2t，
y＝3＋
6 32＋（
（ 6）2
32＋（
6）2t）
编辑课件
令 t′＝ 32＋（ 6）2t，
得(1＋sin2α)t2＋ 10tcos α＋32＝0.
编辑课件
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝2（1＋s3in2α）.
又直线与曲线相交，
2．3 直线的参数方程
编辑课件
栏 目 链 接
编辑课件
1．了解直线的几何性质，选择适当的参数写出它们 的参数方程． 2．举例说明某些直线用参数方程表示比用普通方程 表示更方便，感受参数方程的优越性．
编辑课件
栏 目 链 接
编辑课件
题型一 直线的参数方程及其理解
π 例 1 已知直 线 l 过点 Mo(1，3)，倾斜角为 3 ，判断方程
链
＝1，即垂足 P0(2，1)，显然有|PP0|＝ （2＋2）2＋（1＋1）2＝2 5. 接
编辑课件
题型二 直线参数方程的应用
π 例 4 一直线过点 P0(3，4)，倾斜角 a＝ 4 ，求此直线与直线 3x
＋2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
栏 目
链
分析：如果用一般方法来解，那么先要确定直线的方程，再通过解方 接
因为 3×5－4×4＋1＝0，
编辑课件
所以点 M 在直线 l 上．
由 1＋45t＝5，得 t＝5，
栏
目
即点 P 到点 M 的距离为 5.
链
接
因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得
|PN|＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
所以点 P 到点 N 的距离为 34.
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►变式训练
栏 目
解析：(1)由题意知直线的点斜式方程为
链 接
y－3＝－24(x－1)．设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝31＋－t2t.，
所以该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
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(2)解法一 如下图所示，在直线上任取一点M(x，y)，则
栏
目
|PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
链 接
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2
＝45t2＋5t＋25＝45(t＋2)2＋20.
当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线的距离，
则|PM|＝ 20＝2 5.
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解法二 由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如上图所示，它
栏
对应参数 t＝－2，代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标：x＝2，y 目