DCT--离散余弦变换
离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（DCT）DCT变换、DCT反变换、分块DCT变换⼀、引⾔DCT变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要⽤于将数据或图像的压缩，能够将空域的信号转换到频域上，具有良好的去相关性的性能。
DCT变换本⾝是⽆损的，但是在图像编码等领域给接下来的量化、哈弗曼编码等创造了很好的条件，同时，由于DCT变换时对称的，所以，我们可以在量化编码后利⽤DCT反变换，在接收端恢复原始的图像信息。
DCT变换在当前的图像分析已经压缩领域有着极为⼴⼤的⽤途，我们常见的JPEG静态图像编码以及MJPEG、MPEG动态编码等标准中都使⽤了DCT变换。
⼆、⼀维DCT变换⼀维DCT变换时⼆维DCT变换的基础，所以我们先来讨论下⼀维DCT变换。
⼀维DCT变换共有8种形式，其中最常⽤的是第⼆种形式，由于其运算简单、适⽤范围⼴。
我们在这⾥只讨论这种形式，其表达式如下：其中，f(i)为原始的信号，F(u)是DCT变换后的系数，N为原始信号的点数，c(u)可以认为是⼀个补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。
三、⼆维DCT变换⼆维DCT变换其实是在⼀维DCT变换的基础上在做了⼀次DCT变换，其公式如下：由公式我们可以看出，上⾯只讨论了⼆维图像数据为⽅阵的情况，在实际应⽤中，如果不是⽅阵的数据⼀般都是补齐之后再做变换的，重构之后可以去掉补齐的部分，得到原始的图像信息，这个尝试⼀下，应该⽐较容易理解。
另外，由于DCT变换⾼度的对称性，在使⽤Matlab进⾏相关的运算时，我们可以使⽤更简单的矩阵处理⽅式：接下来利⽤Matlab对这个过程进⾏仿真处理：1clear;2clc;3 X=round(rand(4)*100) %产⽣随机矩阵4 A=zeros(4);5for i=0:36for j=0:37if i==08 a=sqrt(1/4);9else10 a=sqrt(2/4);11 end12 A(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4);13 end14end15 Y=A*X*A' %DCT变换16 YY=dct2(X) %Matlab⾃带的dct变换运⾏结果为：1 X =23 42 66 68 664 92 4 76 175 79 85 74 716 96 93 39 3789 Y =1011 242.7500 48.4317 -9.7500 23.505212 -12.6428 -54.0659 7.4278 22.795013 -6.2500 10.7158 -19.7500 -38.804614 40.6852 -38.7050 -11.4653 -45.9341151617 YY =1819 242.7500 48.4317 -9.7500 23.505220 -12.6428 -54.0659 7.4278 22.795021 -6.2500 10.7158 -19.7500 -38.804622 40.6852 -38.7050 -11.4653 -45.9341由上⾯的结果我们可以看出，我们采⽤的公式的⽅法和Matlab⾃带的dct变化⽅法结果是⼀致的，所以验证了我们⽅法的正确性。
简单描述离散余弦变换dct基本原理
简单描述离散余弦变换dct基本原理
离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）是一种常用的信号处理方法，它将时序信号或图像转换为频域信号或图像，常见于视频压缩、音频压缩、图像压缩等领域。
DCT 可以将一个长度为N 的实数序列转换为另一个长度为N 的实数序列，这个过程类似于傅里叶变换，但是更适用于实数信号的处理。
DCT 的基本原理是将原始信号表示为余弦函数的线性组合，通过将原始信号转换为一组余弦基函数来实现。
离散余弦变换使用的基函数是从正余弦函数中选取出来的一组奇偶性相同的余弦函数，它们的频率依次递增，形成一个正交基。
这组基函数的选择使得信号的变换能够更好地适应实际情况，因为大多数实际信号都是以相对于它们的平均值为中心的，这与余弦函数的性质非常相似。
DCT 变换的过程可以通过矩阵乘法来实现，这个矩阵称为变换矩阵。
由于DCT 变换的基函数是正交的，所以变换矩阵是一个正交矩阵，它的逆矩阵等于其转置矩阵，因此，DCT 变换是可逆的，可以通过对变换后的频域信号进行逆变换，恢复原始信号。
总之，离散余弦变换在时域和频域之间建立了一种转换关系，它通过将原始信号表示为一组余弦基函数的线性组合来实现。
离散余弦变换是一种常用的信号处理方法，在压缩领域、音频领域、图像领域等方面都有广泛的应用。
dct 多次 离散余弦变换
dct 多次离散余弦变换DCT（离散余弦变换）在信号处理领域中是一种常用的数学工具，用于将信号从时域转换为频域。
它在图像和音频压缩、特征提取和数据隐藏等方面有着广泛的应用。
本文将介绍DCT的基本概念、算法原理和应用领域。
一、DCT的基本概念离散余弦变换（DCT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它可以将信号分解为一系列频率成分，每个频率成分都有相应的振幅和相位。
DCT将信号表示为一组余弦函数的加权和，其中每个余弦函数代表不同的频率成分。
DCT系数表示了每个频率成分的振幅，可以用于分析信号的频谱特性。
二、DCT的算法原理DCT算法可以分为两个步骤：正变换和逆变换。
正变换将时域信号转换为频域信号，逆变换将频域信号转换回时域信号。
正变换的过程如下：1. 将时域信号分割成若干个重叠的子块。
2. 对每个子块进行加窗处理，通常使用汉宁窗或哈密顿窗来减小边界效应。
3. 对每个子块进行DCT变换，得到每个子块的DCT系数。
逆变换的过程如下：1. 对每个子块的DCT系数进行逆DCT变换，得到每个子块的时域信号。
2. 对每个子块进行加窗处理，通常使用与正变换相同的窗函数。
3. 将每个子块的时域信号合并，得到整个信号的时域表示。
三、DCT的应用领域1. 图像压缩：DCT在JPEG图像压缩中起到了关键作用。
通过对图像的每个小块进行DCT变换，并保留最重要的DCT系数，可以大幅度减小图像的体积，同时保持较高的图像质量。
2. 音频压缩：DCT也被广泛用于音频压缩算法中，如MP3。
通过对音频信号进行DCT变换，并根据DCT系数的重要性进行量化和编码，可以实现高压缩比的音频压缩。
3. 特征提取：DCT系数可以用于提取信号的特征。
例如，在语音识别中，可以通过对语音信号进行DCT变换，并提取出DCT系数的统计特征，用于识别不同的语音。
4. 数据隐藏：DCT系数可以用于数据隐藏和水印嵌入。
通过将秘密信息嵌入到DCT系数中，可以隐藏信息并对原始信号造成较小的影响，从而实现数据的安全传输和保护。
javadct_DCT(离散余弦变换)算法原理和源码
javadct_DCT（离散余弦变换）算法原理和源码离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，简称DCT）是一种常用的信号处理技术，广泛应用于图像和音频压缩领域。
DCT将输入的离散信号转换为一组系数，这些系数代表了信号的频域特征。
在压缩领域中，DCT可将信号从时域转换为频域，通过舍弃一些高频系数实现信号的压缩。
DCT算法的原理基于傅里叶变换（Fourier Transform）的思想，将时域信号转换为频域信号。
然而，与傅里叶变换相比，DCT更适合处理实数信号，因为它只使用实数运算，而不需要复数运算。
DCT算法的一般步骤如下：1.将输入的离散信号分为若干个块，每个块包含N个采样点。
2.对每个块进行预处理，例如减去均值。
3.对每个块进行DCT变换。
4.根据需要舍弃一些高频系数。
5.对经过舍弃的系数进行逆DCT变换，恢复原始信号。
下面是一个简单的离散余弦变换的Python实现：```pythonimport numpy as npdef dct_transform(signal):N = len(signal)dct_coef = np.zeros(N)for k in range(N):sum = 0for n in range(N):sum += signal[n] * np.cos((np.pi/N)*(n+0.5)*k)dct_coef[k] = sumreturn dct_coefdef idct_transform(dct_coef):N = len(dct_coef)signal = np.zeros(N)for n in range(N):sum = 0for k in range(N):sum += dct_coef[k] * np.cos((np.pi/N)*(n+0.5)*k)signal[n] = sum / Nreturn signal```以上是一个简单的DCT变换和逆变换的实现，其中`dct_transform`函数接受输入信号并返回DCT系数，`idct_transform`函数接受DCT系数并返回恢复的原始信号。
DCT离散余弦变换
DCT 离散余弦变换离散余弦变换(DCT)是N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法。
它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法。
为了工程上实现的需要，国内外许多学者花费了很大精力去寻找或改进离散余弦变换的快速算法。
由于近年来数字信号处理芯片(DSP)的发展，加上专用集成电路设计上的优势，这就牢固地确立离散余弦变换(DCT)在目前图像编码中的重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG等国际上公用的编码标准的重要环节。
在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT,DCT被认为是性能接近K-L变换的准最佳变换，变换编码的主要特点有:(1)在变换域里视频图像要比空间域里简单。
(2)视频图像的相关性明显下降，信号的能量主要集中在少数几个变换系数上，采用量化和熵编码可有效地压缩其数据。
(3)具有较强的抗干扰能力，传输过程中的误码对图像质量的影响远小于预测编码。
通常,对高质量的图像，DMCP要求信道误码率，而变换编码仅要求信道误码率。
DCT等变换有快速算法，能实现实时视频压缩。
针对目前采用的帧内编码加运动补偿的视频压缩方法的不足,我们在Westwater等人提出三维视频编码的基础上,将三维变换的结构应用于视频图像压缩,进一步实现了新的视频图像序列的编码方法。
在基于DCT变换的图像压缩编码方法中,对DCT系数必须做量化处理。
量化过程是一个多对一的映射,例如对一个8×8块的64个DCT变换系数分别除以量化步长后取整。
由于大多数DCT变换系数量化后变为零,因而达到压缩的目的。
由于在量化过程中用到除法,因此通常需要进行浮点运算。
但是,可进行浮点运算的数字信号处理器(DSP)芯片结构比定点DSP芯片复杂,价格一般也比定点DSP芯片高很多。
所以数字图像处理系统中通常采用定点DSP芯片来完成图像压缩运算,这种方法已经成为数字图像处理技术的的一个趋势。
可用于数字图像处理的比较好的定点DSP芯片有德州仪器公司新一代高性能定点DSP芯片TMS320C6200系列。
离散余弦变换_DCT_.
ELECTRONICS QUALITY
·2007第12期·
小知识
离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（D C T ）是N. A h m e d 等人在1974年提出的正交变换方法。
它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法。
由于近年来数字信号处理芯片（D S P ）的发展，加上专用集成电路设计上的优势，这就牢固地确立离散余弦变换（D C T ）在目前图像编码中的重要地位，成为H. 261、J P E G 、M P E G 等国际上公用的编码标准的重要环节。
在视频压缩中，最常用的变换方法是D C T , D C T 被认为是性能接近K -L 变换的准最佳变换，变换编码的主要特点有：
（1）在变换域里视频图像要比空间域里简单。
（2）视频图像的相关性明显下降，信号的能量主要集中在少数几个变换系数上，采用量化和熵编码可有效地压缩其数据。
（3）具有较强的抗干扰能力，传输过程中的误码对图像质量的影响远小于预测编码。
通常, 对高质量的图像，D M C P 要求信道误码率，而变换编码仅要求信道误码率。
简述dct离散余弦变换编码过程。
简述dct离散余弦变换编码过程
离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，简称DCT）是一种常用的无损压缩编码技术，它能够将信号从时域变换到频域，使得信号中的频率成分能够更好地被表示。
因此，DCT 编码成为图像处理和视频处理中的重要技术。
DCT编码的过程主要包括了四个步骤：首先，将输入的信号分割成多个矩形块，例如8*8像素的矩形块；其次，利用离散余弦变换算法，将每个矩形块转换成频率域；然后，计算每个频率域的能量；最后，利用熵编码，将能量较低的频率域进行压缩，以达到压缩的效果。
首先，将输入的信号分割成多个矩形块，比如8*8像素的矩形块，然后将每个矩形块分别进行离散余弦变换（DCT），生成各自的频率域。
利用DCT的思想是，将输入的矩形块的像素值看作是一组数据，然后用这组数据乘以离散余弦变换的系数，得到一组新的数据，这组数据就是离散余弦变换后的频率域。
其次，我们计算每个频率域的能量，计算公式为：E=Sum(abs(F))，其中F为离散余弦变换后的频率域，E是能量值，即所有频率域之和。
最后，利用熵编码，将能量较低的频率域进行压缩，以达到压缩的效果。
熵编码是一种将信息压缩的技术，它利用信息的熵（信息的不确定性）来进行压缩，从而达到压缩的效果。
总的来说，DCT编码的过程主要包括将信号分割成多个矩形块，利用离散余弦变换算法将矩形块转换成频率域，计算频率域的能量，利用熵编码对能量较低的频率域进行压缩，以达到压缩的效果。
DCT编码的优势在于可以有效的将信号从时域变换到频域，使得信号中的频率成分能够更好地被表示；同时，利用熵编码对能量较低的频率域进行压缩，可以达到较好的压缩效果。
因此，DCT编码成为图像处理和视频处理中的重要技术。
离散余弦变换;dct
离散余弦变换;dct离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）是一种广泛应用于数字信号处理领域的数学变换，可以将一个长度为N的信号（比如音频、图像等）转换为一组N个离散余弦函数的系数。
DCT的应用很广泛，比如JPEG、H.264等压缩算法都使用了DCT，具有较好的压缩性能和鲁棒性。
下面我们就来看一看DCT的一些基本概念和原理。
一、离散余弦变换的定义离散余弦变换的定义可以用下面的公式表示：$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos \left[ \frac{\pi}{N} \left( n +\frac{1}{2} \right) k \right] $其中，x(n)是原始的离散信号，X(k)是它的DCT系数，N是信号的长度，k为DCT系数的下标，它的范围是0~N-1。
二、离散余弦变换的性质DCT具有诸多良好的性质，包括：1. 对称性：DCT在奇偶性、中心对称等方面具有较强的对称性，这有利于算法的实现和计算速度的提高。
2. 能量集中性：DCT可以将信号的能量分为前面的几个系数，这些系数包含了大部分信号的信息，后面的系数则可以舍弃，从而达到压缩和降噪的目的。
3. 可逆性：DCT是一种可逆变换，可以通过逆变换将DCT系数还原为原始信号。
三、离散余弦变换的种类DCT的种类比较多，常用的有DCT-I、DCT-II、DCT-III和DCT-IV等，它们的定义和公式略有不同。
其中，DCT-II是应用最广泛的一种，在JPEG和其他压缩算法中大量应用。
四、离散余弦变换的应用DCT的应用非常广泛，比如：1. 图像和视频压缩：JPEG、H.264等压缩算法都使用了DCT，能够将信号压缩到很小的数据量。
2. 语音信号处理：DCT可以将语音信号转换为频域表示，对于语音的噪声消除、识别和压缩等方面具有重要应用。
3. 数字水印：DCT可以将数字水印嵌入到信号的某些DCT系数中，从而实现数字版权保护、信息隐藏等应用。
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K. R. Rao and P. Yip, 离散余弦变换 : 算法、优点和应用 (Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications) (Academic Press, Boston, 1990).
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, 时间离散信号处理 (Discrete-Time Signal Processing), second edition (Prentice-Hall, New Jersey, 1999).
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Hale Waihona Puke 反变换DCT-I的反变换是把DCT-I乘以系数
。 DCT-IV的反变换是把DCT-IV乘以系数 。
DCT-II的反变换是把DCT-III乘以系数 ，反之亦然。
离散余弦变换
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离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一 种变换，它类似于离散傅里叶变换 (DFT for Discrete Fourier Transform),但 是只使用实数。离散余弦变换相当于 一个长度大概是它两倍的离散傅里叶 变换，这个离散傅里叶变换是对一个 实偶函数进行的(因为一个实偶函数的 傅里叶变换仍然是一个实偶函数)，在 有些变形里面需要将输入或者输出的 位置移动半个单位(DCT有8种标准类 型，其中4种是常见的)。
和离散傅里叶变换类似，变化前面的归一化系数仅仅是常规而已，改变这个系数并不改变变
换的性质。例如，有些人喜欢在DCT-II变换的前面乘以 更相似，而不需要另外的归一化系数。
，这样反变换从形式上就和变换
计算
尽管直接使用公式进行变换需要进行O(n2)次操作，但是和快速傅里叶变换类似，我们有复杂 度为O(nlog(n))的快速算法，这就是常常被称做蝶形变换的一种分解算法。另外一种方法是通 过快速傅里叶变换来计算DCT，这时候需要O(n)的预操作和后操作。
最常用的一种离散余弦变换的类型是 下面给出的第二种类型，通常我们所 说的离散余弦变换指的就是这种。它 的逆，也就是下面给出的第三种类 型，通常相应的被称为"反离散余弦变 换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。
有两个相关的变换，一个是离散正弦 变换(DST for Discrete Sine Transform), 它相当于一个长度大概是它两倍的实 奇函数的离散傅里叶变换；另一个是 改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它 相当于对交叠的数据进行离散余弦变 换。
例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使 用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进 行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每 个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0) 位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分类。
S. A. Martucci, 对称卷积和离散正弦余弦变换 (Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms), IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
xk 相对于k = 0 点偶对称，并且相对于
k = n − 1 点偶对
DCT-II
DCT-II大概是最常用的一种形式，通常直接被称为DCT。
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有些人更进一步的将f0再乘以 (参见下面的DCT-III型的对应修改)。这将使得DCT-II成为正
DCT V~VIII
上面提到的DCT I~IV是和偶数阶的实偶DFT对应的。原则上，还有四种DCT变换(Martucci, 1994)是和奇数阶的实偶DFT对应的，它们在分母中都有一个''n'' + 1 / 2的系数。但是在实际应 用中，这几种变型很少被用到。
最平凡的和奇数阶的实偶DFT对应的DCT是1阶的DCT (1也是奇数)，可以说变换只是乘上一 个系数a而已，对应于DCT-V的长度为1的状况。
一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。
离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量 对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
正式定义
形式上来看，离散余弦变换一个线性的可逆 函数
有些人更进一步的将x0再乘以 (参见上面的DCT-II型的对应修改)，这将使得DCT-III成为正 交矩阵 (再乘一个系数的话)，但是这样就不能直接和一个结果有半个抽样位移的实偶离散傅
里叶变换对应了。
所以，DCT-III暗示的边界条件是： xk 相对于k = 0 点偶对称，并且相对于 k = n 点奇对称；
(其中 R 是实数集, 或者
等价的说一个
的方阵。离散余弦变换有几种变形的形式， 它们都是根据下面的某一
个公式把 n 个实数
变换到另外n个实数
的操作。
DCT-I
有些人认为应该将 x0 和 xn − 1 乘以 ，相应的将 f0 和 fn − 1 乘以 。这样做的结果是这
种 DCT-I 矩阵变为了 正交矩阵 (再乘一个系数的话)，但是这样就不能直接和一个实偶离散 傅里叶变换对应了。
一个n = 5的对实数abcde的DCT-I型变换等价于一个8点的对实数abcdedcb(偶对称)的DFT变 换，结果再除以2(对应的，DCT-II~DCT-IV相对等价的DFT有一个半个抽样的位移)。需要指 出的是，DCT-I不适用于n < 2的情况(其它的DCT类型都适用于所有的整数n)。
所以，DCT-I暗示的边界条件是： 称； 对 fm 的情况也类似。
对 fm 相对于
点偶对称，并且相对于
点奇对称。
DCT-IV
DCT-IV对应的矩阵是正交矩阵 (再乘一个系数的话)。
一种DCT-IV的变形，将不同的变换的数据重叠起来，被称为改进的离散余弦变换。
DCT-IV暗示的边界条件是： xk 相对于 对称；对j 类似。
点偶对称，并且相对于 k = ''n'' − 1 / 2 点奇
外部链接
离散余弦变换
取自“/zh-cn/离æ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
交矩阵 (再乘一个系数的话)，但是这样就不能直接和一个有半个抽样位移的实偶离散傅里叶 变换对应了。
所以，DCT-II暗示的边界条件是： xk 相对于
点偶对称，并且相对于
点偶对称； 对 fm 相对于m = 0 点偶对称，并且相对于 m = n 点奇对称。
DCT-III
因为这是DCT-II的逆变换(再乘一个系数的话)，这种变形通常被简单的称为逆离散余弦变 换。
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, /. 一个免费的C语言库 GPL，可以计算DCT-I~IV的1维到多维的任意大小的变换
M. Frigo and S. G. Johnson, "FFTW3的设计和实现," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216– 231 (2005).
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像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集 中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而 且当信号具有接近马尔可夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性 接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。