材料力学B精选题10

能 量 法1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。

证：先加F 1后加F 2，则221212()/(2)/(2)/(2)V F a b EA F a EA F F a EA ε 1=+++ 先加F 2后加F 1，则222112/(2)()/(2)/(2)V F a EA F a b EA F F a EA ε 2=+++ 所以 V ε 1 = V ε 22. 直杆的支承及受载如图，试证明当F 1=2F /3时， 杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。

解：1AC F F F =- ；1BC F F =-22221111()2/(2)/(2)(23/2)/()V F F l EA F l EA F FF F l EA ε=-+=-+1/0V F ε∂∂=： 1230F F -+= ， 12/3F F =2min /(3)V F l EA ε =3. 图示杆系的各杆EA 皆相同，杆长均为a 。

求杆系内的总应变能，并用功能原理求A 、B 两点的相对线位移∆AB 。

解： 25/(6)V F a EA ε=视CD 相对固定2⨯F ∆AB /4 = 5F 2a /(6EA )∆AB = 5Fa /(3EA ) ( 拉开 )4. 杆AB 的拉压刚度为EA ，求(a) 在F 1及F 2二力作用下，杆的弹性应变能； (b) 令F 2为变量，F 2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？ 答： N 12AC F F F =-， N 2BC F F =-(a) 22122()2/(2)/(2)V F F l EA F l EA ε=-+221122(23/2)/()l F F F F EA =-+(b) 2/0V F ε∂∂=，12230F F -+=，212/3F F = 此时 21min /(3)V F l EA ε=5. 力F 可以在梁上自由移动。

为了测定F 力作用在C 点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。

问：如果不移动千分表而移动F 力，则千分表应放在x = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽处，其根据是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

答：x = l – a ；位移互等定理。

6. 试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν 间有如下关系： G = E / [ 2 ( 1+ν ) ] 证：(1) 纯切应力状态应变能密度为： u = τ 2 /（ 2G ）(2) 纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示，其上的主应力为 σ 1 = τ ， σ 2 = 0 ， σ 3 = - τ 应变能密度为： u = τ 2 ( 1+ν ) / E τ 2 / ( 2G ) = τ 2 ( 1+ν ) / E 得： G = E / [ 2 ( 1+ν ) ]7. 图示简支梁，受均布荷载q 作用，试问与广义力q 相对应的广义位移是什么？并给予证明。

解：设梁的弯曲轴线方程为w = w (x ) ，则广义力q 所作之功为 W = ⎰ l q d x ⋅ w (x ) = q ⎰ l w (x ) d x与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。

8. 图示等截面直杆，受轴向载荷F 作用，已知杆件的横截面面积为A ，材料的应力应变关系为σ = C ε 1/2 ，其中C 为已知常数。

试计算外力所作的功。

解： 3222/(3)W F l C A =9. 处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为EA 。

试求在图示力F 作用下的应变能。

解： F = 2F N sin θ ≈ 2F N θ ，ε = ( l /cos θ - l )/l ≈ θ 2/2 , F N =σA=E ε A=θ 2EA /2 ,θ = [F /(EA )]1/3 , δ = θ l = l [F /(EA )]1/333 ΔΔd (/)d V F EA l F δδδε===⎰⎰∆ / 4 ( 式中∆为C 点的最终位移)10. 试用莫尔积分法求图示曲杆在力F 作用下，截面A 的水平位移∆Ax 及铅垂位移∆Ay 。

EI 为已知。

解：sin M FR θ=，1sin M R θ=，2(1cos )M R θ=-∆Ax 3/(2)FR EI =π（水平向左）， ∆Ay 32/()FR EI =（铅垂向下）11. 用莫尔法求图示桁架点A 的水平位移∆Ax 。

各杆EA 均相同。

解：11F =，23560F F F F ====，41F =14F F ==，∆Ax = /()/()i i i F F l EA EA =∑ （→）12. 已知梁的EI 为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁A 点的挠度。

解：AB ：101()M x q lx =- ， 11()M x x =- （10/3x l ≤≤）CB ：22202022()/63(/2/4)M x q lx q x x l =--， 22()/2M x x =- （202/3x l ≤≤）4016/(405)A wq l EI = （↓）13. 试用莫尔积分法求图示结构C 点的铅垂位移。

已知杆AC 的弯曲刚度EI 和BD 杆的拉压刚度EA 。

受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD 杆不会失稳。

解：梁：CD ： ()M x Fx = ， ()M x x =AD ： ()()2M x F x a Fx Fa Fx =+-=- ， ()M x a x =- 杆： BD F = ， BD F = ∆C y = 32/(3)/()Fa EI EA +14. 简支梁受均布载荷q 作用如下，弯曲刚度EI 已知。

试用莫尔积分法求横截面A 、C 之间的相对角位移θAC 。

解：AB ：2111()5/6/2M x qax qx =- ，1()1M x = BC ：22()/6M x qax = ， 2()1M x =37/(12)AC qa EI θ=15. 由两个半圆组成“S ”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为EI 。

该弹簧在B 端受水平力F 作用。

试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。

解：取一半计算水平位移∆()sin M F r θθ=⋅ ， sin M r θ=∆ / 2 = (1/)EI M M ⋅⋅⎰d s= 22 (1/)sin BA EI Fr r θ⋅⋅⎰d θ （ A = 0 ，B = π ）可得： ∆ = 3/()Fr EI π ， 弹簧刚度：k = F / ∆ = 0.32EI / r 316. 试用单位载荷法求图示桁架中杆AB 的转角。

各杆的拉压刚度EA 相同，且均为常数。

解：()EAFEA l F F i i i AB224+=∑=θ （顺时针）17. 试用单位载荷法计算图示结构中铰链A 左、右两截面间的相对转角θA 。

设各杆的弯曲刚度EI 相同，且均为常数。

解： θA = 2(2)/(4)FR EI π-（反向转动）18. 图示一缺口圆环，∆θ 为很小的角度，∆θ 、EI 和R 均已知。

为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两截面上应加多大的力偶M 。

必须验证此时两截面的相对线位移为R ⋅∆θ 。

（用莫尔积分法） 解： ()M M ϕ= ，()1M ϕ=2/()AB MR EI θ=π=∆θ ，/(2)M EI R θ=∆⋅π19. 图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为R ，C 端固定A 端自由并作用一铅垂力F 。

杆的EI 及p GI 均为常数。

用莫尔积分法求A 端铅垂位移和水平位移的表达式。

解： sin y M FR ϕ= ，sin y M R ϕ=(1cos )T FR ϕ=-，(1cos )T R ϕ=-∆x = 0 ， ∆y =3(/2)(1/3/)FR EI GI P π⋅+BA C F20. 半径为R 的开口圆环受力如图所示，A 点F 力垂直纸面向外，B 点F 力垂直纸面向里。

EI 及GI p 均为常数。

试用莫尔积分法求开口处A 及B 两点的相对铅垂位移。

解：sin M FR ϕ=， sin M R ϕ=；(1cos )T FR ϕ=-，(1cos )T R ϕ=-∆AB = 33/()3/()FR EI FR GI P π+π21. 由拉杆AB 、AC 和小曲率杆BDC力情况如图。

已知各杆的截面积均为A EI 。

试用莫尔积分法求B 、C 两点之间的相对位移。

解：AB AC F F F ==2)sin (1cos )/2M FR FR ϕϕ=+-，M R = ∆BC = 33(2)/(4) 1.86/()FR EI FR EI += （两点靠近）22. 薄壁圆环的受力如图所示。

已知该环的宽度b 、厚度h （见图），弹性模量E 。

试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。

解：(1) 相对线位移：333)4(6221Ebh FR EI FR ΔAA ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(2) 相对角位移：3222421Ebh FR EI FR ΔAA ==（张开）23. 图示刚架各杆的EI 和p GI 分别相同，并均为已知。

试用莫尔积分法求由于力F 的作用使缺口两侧上下错开的距离。

解：1p 33(4)/(6)(/2)/()AA F a b EI Fab a b GI δ=+++ 24. 承受径向均布载荷半径为R 的开口薄壁圆环如图。

已知该环的b 、h 、弹性模量E 。

求缺口两侧面的张开位移。

解：2(1cos )M qR ϕ=-- ，(1cos )M R ϕ=--∆AA 1=4336/()qR Ebh π25. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数。

试用莫尔积分法求图示三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角θA 和θB 。

解：300/6/(6)M q lx q x l =-，1/A M x l =-，/B M x l =307/(360)A q l EI θ=（顺时针） 30/(45)B q l EI θ=（逆时针）26. 一半径为R 的半圆形曲杆，杆截面直径为d ，d ≤ R 。

此曲杆A 端固定，在自由端B 承受一力偶M e （M e 作用面平行于xOz 平面，z 轴垂直于图面）。

试用莫尔积分法求B 点的z 向位移。

设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI 和GI p 。

解： e sin T M θ=-，(1cos )T R θ=--e cos M M θ=，sin M R θ=p 2e 2/()z M R GI δ=27. 一半径为R 的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d ≤ R 。

此曲杆A 端固定，在自由端B 承受一位于yz 面内的力偶M e （xyz 构成右手直角坐标系）。

试用莫尔积分法求B 端的z 向位移。

设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI 和p GI 。

解： e cos T M θ=，(1cos )T R θ=-- e sin M M θ=，sin M R θ=p 22e e /(2)/(2)z M R GI M R EI δ=π+π28. 图示桁架，各杆的横截面面积均为A ，拉压应力应变关系呈非线性，拉伸时，1/2B σε=，压缩时，1/2()B σε=--，B 为材料常数。