2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题
浙北G2期中联考2020学年第一学期高一数学试题命题：嘉兴一中 审题：湖州中学考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前，在答题卷指定的区域填写班级、姓名、试场号、座位号；3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4. 考试结束后，只需上交答题卷。
一．选择题（本大题有8小题，每小题5分,共40分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.）1．“(2,2)a ∈-”是“(1,1)a ∈-”的 ( ▲ )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．集合{,}αβ的真子集个数为（ ▲ ）（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）43．图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数αx y =在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ▲ ）（A ）21、3、1- （B ）1-、3、21（C ）21、1-、3 （D ）1-、21、3 4． 已知：0,0,1,a b a b >>+=则下列说法正确的是（A ）ab 有最大值14 （B ）ab 有最小值14（C ）11a b +有最大值4 （D ）11a b +有最小值145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2log (1)SC W N=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ▲ ）附：lg 20.3010≈（A ）10% （B ）20%（C ）50% （D ）100%6．函数()2e e 2x xf x x x --=+-的部分图象大致是 （ ▲ ）（A ） （B ）（C ） （D ）7．已知()()22log 124f x x x x =--+()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（ ▲ ）（A ）()(),01,-∞⋃+∞（B ）1515-+⎝⎭（C ）15151,⎫⎛-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（D ）()()1,01,2-8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 （ ▲ ） （A ）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（B ）7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（C ）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（D ）8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知集合}13|{≤=x x A ，32=a ，那么下列关系正确的是（ ▲ ）（A ）A a ∈ （B ）A a ⊆ （C ）{}a A ∉（D ）{}a A ⊆10. 下表表示y 是x 的函数，则（ ▲ ）x50<<x 105<≤x 1510<≤x 2015≤≤x（A ）函数的定义域是]20,0(（B ）函数的值域是]5,2[（C ）函数的值域是}5,4,3,2{ （D ）函数是增函数 11.对于函数()bf x ax x=+,下列说法错误的是 （ ▲ ）（A ）若0,0a b >>,则函数()f x 的最小值为（B ）若0,0a b >>,则函数()f x 的单调递增区间为(,)ba∞+∞（-（C ）若0,0a b ><,则函数()f x 是单调函数（D ）若0,0a b ><,则函数()f x 是奇函数12．若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ▲ ）（A ）32（B ） （C ）3（D ）92三．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 13．命题2:,0p x R x ∀∈≥，它的否定p ⌝为 ▲ ．14．函数212log (2)y x x =- 的单调递减区间是____▲____.15．设0,0a b >≥，则ba的最小值是___▲___.16．已知函数22ln(1),1()ln(45),1x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若关于x 的不等式()(1)f x f ax <+的解集中有且仅有两个整数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．四．解答题（本大题有6小题, 共70分，请将解答过程写在答题卷上） 17．（本题10分）已知集合2{|320}A x x x =-+=，集合{|10}B x x =->，求A B 、A B ．18．（本题10分） 计算下列各式的值：（1）0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）3ln 2145log 2lg 4lg82e +++ 19．（本题12分）已知不等式()()22log 1log 72x x +≤-.（1）求不等式的解集A ；（2）若当x A ∈时，不等式 1114242x xm -⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭总成立，求m 的取值范围. 20. （本题12分）函数21()1f x x x =++ (1) 判断函数()y f x =的奇偶性； (2) 求证：函数()y f x =是增函数.21．（本题12分）已知函数()log (1)xb f x b kx =++,0,b >且1b ≠ 是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数()y f x =的图象与函数12y x b =+图象有交点，求b 的取值范围．22．（本题14分）已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足b x a g x a g 2)()(=-++，则函数)(x g y =的图象关于点),(b a 中心对称”．设函数22()x a af x x a+-=-，定义域为{}A x|x a x R =≠∈，．（1）试求)(x f y =的图象对称中心，并用上述定理证明；（2）对于给定的A x ∈1，设计构造过程：),(12x f x =)(23x f x =，…，)(1n n x f x =+．如果...)4,3,2(=∈i A x i ，构造过程将继续下去；如果A x i ∉，构造过程将停止．若对任意A x ∈1，构造过程可以无限进行下去，求a 的取值范围．浙北G2期中联考2020学年第一学期高一数学 答案一．选择题(每小题5分)1.B2.C3.D4.A5. B6.D7.C8.B二．选择题(每小题5分全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.ACD 10.AC 11.ABC 12.AB 三．填空题（每小题5分）13. 2,0x R x ∃∈< 14. (2,)+∞ 15. 216. 2112[,)(,]3223-- 四．解答题17.(满分10分)【答案】{1,2}A =，{|1}B x x =>，{2}A B =，{|1}A B x x =≥；18. (满分10分) 【答案】（1）53-（2）172(答案正确不扣分，答案错误酌情给分) 19.（满分12分）【答案】（1）由已知可得：1012172x x x x+>⎧⇒-<≤⎨+≤-⎩，因此，原不等式的 解集为(]1,2-；（2）令()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原问题等价()min f x m ≥， 且()1144242xxf x ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,224xt ⎛⎫⎡⎫=∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 可得()221442412f x t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12t =时，即当1x =时，函数()y f x =取得最小值，即()()min 11f x f ==，1m ∴≤. 因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.20.（满分12分）【答案】(1)显然定义域为R又21()1f x x x-=-+22()(),()()21f x f x f x f x x x-+=--=+ ∴函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.（2）任取12x x <2121222111()()11f x f x x x x x -=+--++ 21212221()(1)(1)(1)x x x x x x +=--++ 2222211212212221()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x -+++--=++ 22222112212221111()(()())2220(1)(1)x x x x x x x x -++-+-=>++ ∴函数()y f x =是增函数.21.（满分12分）【答案】(1)∵()f x 为偶函数，,x R ∴∀∈，有()()f x f x -=，log (1)log (1)x x b b b kx b kx -∴+-=++对x R ∈恒成立． log (1)log (1)2x x b b b b kx -∴+-+=2kx x ∴=-,x R ∈恒成立，12k ∴=-.(2)由题意知，11log (1)22xb b x x b +-=+有实数根， 即log (1)xb b x b +-=,1log (1)b x b b+=有解． 令1()log (1)b x g x b=+则函数()y g x =的图象与直线y b =有交点． 当01b <<时111x b +>，1()log (1)0b x g x b =+<，1log (1)b x b b+=无解. 当1b >时111x b +>，1()log (1)0b x g x b =+>,由1log (1)b x b b+=有解可知0b >,所以 1b >. ∴b 的取值范围是(1,)+∞． 22.（满分14分）【答案】（1）∵2222()()()()4a x a a a x a a f a x f a x a x x++--+-++-=+=-，由已知定理得，()y f x =的图象关于点(,2)a a 成中心对称；（2）∵22()()2x a a af x x a a x a x a+-==-++--∴当0a >时，22()x a a f x x a+-=-的值域为a a a ∞∞（-,2[2+2)当0a=时，22()x a a f x x a +-=-的值域为∞∞（-,0)(0,+)当0a <时，22()x a a f x x a+-=-的值域为R∵构造过程可以无限进行下去，∴22()x a a f x a x a+-=≠-对任意x A ∈恒成立∴220a a a a a ⎧>-⎪⎨<+⎪>⎩0a =，由此得到04a ≤<．。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题及答案
南师附中2020-2021学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知全集{}1,0,1,2U =-，{}1,1A =-，则集合UA =（ ）． A. {}0,2B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,22. “1x =”是“2540x x -+=”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 命题“2,10R x x x ∃∈-->”的否定是（ ）．A. 2,10R x x x ∃∈--<B. 2,10R x x x ∃∈--≤C. 2,10R x x x ∀∈--≤D. 2,10R x x x ∀∈-->4. 已知223x x -+=，则1x x -+的值为（ ）．A.B. 1C.D. 1±5. 函数()22,031,0x x x f x x x⎧-≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为（ ）．A. []3,1-B. (),0-∞C. (),1-∞D. (],1-∞6. 下列四组函数中，()f x 与()g x （或()g t ）表示同一个函数的是（ ）A. ()f x =()g x x = B. ()f x()2g t =C. ()221x x f x x +-=- ()2g x x =+ D. ()f x x=()g t =7. 已知实数0,0a b >>，且1111a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）．A.3+B.1 C.4D.328. 函数()321x f x x =-的图像大致为（ ）．ABCD.二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 设集合{}220A x x x =-=，则下列表述不正确的是（ ）．A.{}0A ∈B. 2A ∉C. {}2A ∈D. 0A ∈10. 下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ）A. 22xt yt >B. xt yt >C. x y >D. 110x y<<11. 下列命题中是真命题的有（ ）．A.若函数()f x 在(],0-∞和()0,+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；B. 狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调；C. 若函数()f x 是奇函数，则一定有()00f =；D. 若函数()f x 是偶函数，则可能有()00f =；12. 已知1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么下列结论正确的有（ ）．A. a b +有最大值2 B. a b +有最小值2 C. ab1D. ab有最小值3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知()0,01,032,0x f x x x x >⎧⎪=-=⎨⎪-<⎩，则()()()6f f f = ．14. 已知函数()537cf x ax bx x=+++，()35f -=，则()3f = ． 15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%.① 10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 元；② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最大值是 ．16. ()f x 为定义在R 上的偶函数，()()22g x f x x =-在区间[)0,+∞上是增函数，则不等式()()1246f x f x x +-+>--的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分10分）已知,a b 均为正数，证明：22a b a b b a+≥+．18. （本小题满分12分）计算：⑴ 12ln 249e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭⑵ ()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅．19. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 的值域为[)4,-+∞，且不等式()0f x <的解集为()1,3-． ⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 若对于任意的[]2,2x ∈-，都有()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分12分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域EFGH 用来种花，且点,,,A B E F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为S 平方米． ⑴ 将S 表示为x 的函数； ⑵ 求S 的最大值．21. （本小题满分12分）已知集合{|A y y =，集合{}22|0B x x x a a =-+-<． ⑴ 若A B A =，求a 的取值范围；⑵ 在A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22. （本小题满分12分）设()af x x x=+（0x >，a 为大于0的常数） ⑴ 若()f x 的最小值为4，求a 的值；⑵ 用定义证明：()f x在)+∞上是增函数； ⑶ 在⑴的条件下，当1x >时，都有()1m f x m x+>-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】A ；【解析】由补集定义知选A ． 2. 【答案】B ；【解析】因为{}1是{}2540x x x -+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x -+=”的充分不必要条件． 3. 【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ． 4. 【答案】C ；【解析】由()212225x x x x --+=++=，知1x x -+=C ．5. 【答案】D ；【解析】当0x <时，()1f x x=单调递减，范围为(),0-∞，当03x ≤≤时，()22f x x x =-在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，范围是[]3,1-，所以函数值域为(],1-∞，故选D ．6. 【答案】D ；【解析】A 选项，()f x x =，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选D ．7. 【答案】B ；【解析】()()()2111221221232111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++-=+++-=++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，当且仅当1a =b =B ． 8. 【答案】A ；【解析】()f x 定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．【答案】ABC ；【解析】{}0,2A =，故选ABC ． 10.【答案】ACD ；【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠，则x y >，反之不成立，A 正确；B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；D 选项，()1f x x=在()0,+∞单调递减，若110x y <<，则x y >，反之不成立，D 正确；故选ACD ．11.【答案】BD ；【解析】A 选项，若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例，A 错误；B 选项，在任意区间I 上总可以取12,x x Q ∈，使()()12f x f x =，则()f x 在I 上不单调，B 正确；C 选项，()1f x x=是一个反例，C 错误； D 选项，()2f x x =符合要求，D 正确； 故选BD ．12.【答案】BD ； 【解析】法一：令,a b s ab t +==，由题意可得2,1s t >>，1t s -=，由基本不等式s ≥则1t -≥1t >可得2214t t t -+≥，则3t ≥+1a b ==取等；s ≥2s >可得2440s s --≥，则2s ≥+，1a b =取等； 故选BD ； 法二：由()1ab a b -+=可得()()112a b --=，令10,10m a n b =->=->，则222a b m n +=++≥+=+m n ==()()11133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+m n = 故选BD ．【答案】5-；【解析】()()()()()()6015f f f f f f ==-=-． 14. 【答案】9；【解析】()()337714f f +-=+=，所以()31459f =-=．15.【答案】130；15．【解析】①608010130+-=；②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高， 此时有()0.81200.7120x ⨯-≥⨯， 解得15x ≤．16.【答案】3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增，由()()1246f x f x x +-+>--，可知()()()()22121222f x x f x x +-+>+-+，即()()12g x g x +>+，可知12x x +>+，解得32x <-.17.【答案】详见解析．【解析】法一：由基本不等式可得，()222a b b a a b b a +++≥+， 当且仅当22a b bb a a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a b =时取等，则原式得证．法二：()223322a b a b a b a b ba b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，由0,0a b >>，可得0a b +>，330,0b a a b>>，0ab >，则()()22222222a b a b a b a b ab a b ba ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭，由0a b +>可得22a b a b b a+≥+．法三：()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab---+--+-+=+==， 由0,0a b >>可得()220a b a b b a +-+≥即22a b a b b a+≥+．18. 【答案】⑴32；⑵ 3． 【解析】⑴12ln 243322922e -⎛⎫++=+-= ⎪⎝⎭； ⑵ ()()2223lg2lg5lg20log 3log 4lg2lg523+⋅+⋅=++=．19.【答案】⑴ ()223f x x x =--；⑵ 7m <-． 【解析】⑴ 设()2f x ax bx c =++，由题意可知：()()()10393014f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即()223f x x x =--； ⑵ 243m x x <--对[]2,2x ∈-恒成立， 令()243g x x x =--，当[]2,2x ∈-，可知()[]7,9g x ∈-， 故7m <-．20.【答案】⑴ ()200102520S x x x=--≤≤；⑵ S的最大值为102- 【解析】⑴ 因为AB x =，所以100AD x =，2EF x =-，1001FG x=-； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为100020,020x x <≤<≤，解得520x ≤≤，所以()200102520S x x x=--≤≤；⑵ 102102S ≤-=-x =所以S 的最大值为102-21.【答案】⑴ 01a ≤≤；⑵ [)(]1,01,2-；【解析】⑴ 因为AB A =所以B A ⊆， 因为244x x -≤， 所以[]0,2A =；集合B 的不等式可化为()()10x a x a +--<， ①B =∅，即0∆≤，解得12a =，符合； ②B ≠∅，即12a ≠时，此时02,012a a ≤≤≤-≤，解得01a ≤≤且12a ≠； 综上01a ≤≤；⑵ 集合A 中有三个整数0,1,2，()(){}|10B x x a x a =-+-<； 由AB 中有且仅有两个整数，可得B 中有0,1,2中的两个整数；1a a <-即12a <时，(),1B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，若仅有0,1，则10,112a a -≤<<-≤，解得10a -≤<； 若仅有1,2，则01a ≤<，213a <-≤，无解； 1a a =-即12a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >-即12a >时，()1,B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，若仅有0,1，则110,12a a -≤-<<≤，解得12a <≤， 若仅有1,2，则011a ≤-<，23a <≤，无解； 综上，实数a 的取值范围是[)(]1,01,2-．22.【答案】⑴4；⑵证明见解析；⑶2m<+．【解析】⑴由基本不等式()f x≥当且仅当x=4 =解得4a=；⑵任取)12,x x∈+∞，设12x x<，()()()()()12 121221121212x x aaf x f x x x x x x xx x x x--=-+-=-，12x x≤<；所以1212,0x x a x x a>->，又因为12x x-<所以()()12f x f x-<所以()()12f x f x<所以()f x在)+∞上是增函数得证；⑶原不等式可化为241x mx m+>--即256111xm xx x+<=++--恒成立因为66112211x xx x++=-++≥--，当且仅当1x-=1 x=所以2m<．。
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。
$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。
$[-1,1]$D。
$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。
$[0,2]$B。
$(1,2]$C。
$[1,2]$D。
$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。
$a<b<c$B。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案
华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是 （ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是 （ ）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数， 又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<． 故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分 即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分 综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分 当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立． 故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈． 又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分 （2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分 （3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号． 当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=； 解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系． 二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥， 所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误； 对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误； 对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（ ）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=， 当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--， 所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________． 【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=， 则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <， 不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-； 即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}． 故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________． 【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间； （3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩； （2）见解析； （3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域． 【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-． 【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2） 函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--， 整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =， 故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值； （2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-， 若1a a a -≥-1a ≤≤， 若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。
浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题(PDF可编辑版)
) 时 H (t) 单调递增，
2a
2
a
2a
高一数学学科 参考答案 第 3 页(共 4 页)
H (t) [H (2)， ) ；当t (2a 1 2a
， ) 时 H (t) 单调递增，H (t) (3, 2
) ，所以| H m(tin) |
0，
不等式| H (t) | 1不恒成立．……12 分
（注：学生只要有对函数 H (t) 进行分类讨论求最值的想法即可得该步骤的 2 分）
4．若 a b 0 ，则 ( A. 1 1 ab
B. 必要而不充分条件 )
B.3 a 3b
C.充要条件
C. b b +1 a a +1
5．下列函数既是偶函数，又在(0,+) 上单调递减的函数是(
D.既不充分也不必要条件
D. ab+1 a + b
)
A. y = 1 x
B. y = 2−x
C. y = −x2 +1
的值是__________.
高一数学学科 试题 第 2 页(共 4 页)
三、解答题：本大题共 5 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 10 分）设集合 M x x m
2 +5x − 3 0.
= ∣ ，集合 N = x 2x
（1）当 m = 0 时，求 M N ， M N ；
D.(−, 2]
11．已知幂函数 f x
2n2
n1
n x 2 在 (0,+) 上为增函数，则 n
__________.
12．计算：
4
1
2 2 3 4 16 2
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2020-2021学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷试题数：20，总分：1201.（单选题，4分）已知集合P={x∈R||x|＜2}，Q={x∈R|-1≤x≤3}，则P∩Q=（）A.[-1，2）B.（-2，2）C.（-2，3]D.[-1，3]2.（单选题，4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则￢p为（）A.∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B.∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C.∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D.∃c＜0，方程x2-x+c=0有解3.（单选题，4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.a|c|＞b|c|D. ac2+1＞bc2+14.（单选题，4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1B. f(x)=|x|，g(x)={x (x≥0)−x(x＜0)C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D.f（x）=x0，g（x）=15.（单选题，4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A.y=-（x-1）2B.y=-（x+1）2C.y=|x-1|D.y= 1x+16.（单选题，4分）a＞-1是关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的图象大致为（）7.（单选题，4分）函数y= 4xx2+1A.B.C.D.8.（单选题，4分）已知函数f（x）=|x-m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A.[-1，+∞）B.（-∞，-1]C.[-2，+∞）D.（-∞，-2]9.（单选题，4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A.4，6B.3，6C.3，7D.1，710.（单选题，4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义φi(A)={1，i∈A0，i∉A，给出下列三个结论：① 存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）=0且φi（A∪B）=1；② 任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）=φi（A）•φi（B）；③ 任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）=φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ① ③D. ① ② ③11.（填空题，4分）函数f（x）= 1√x2−2x的定义域为___ ．12.（填空题，4分）方程组{x 2=1y2=x的解集中元素的个数为___ ．13.（填空题，4分）若不等式x2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a的取值范围是___ ．14.（填空题，4分）已知函数y=f（x），y=g（x）的对应关系如表：x 1 2 3f（x） 1 3 1x 1 2 3 g（x） 3 2 1则f（g（1））的值为___ ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是___ ．15.（填空题，4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x-x1|+b|x-x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件___ ．16.（问答题，12分）已知集合A={x|x2-4x-5＞0}，B={x|x−(a+3)x−a＜0}．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17.（问答题，12分）已知函数f(x)=1+x21−x2．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设F(x)={f(x)，x＞0，−f(x)，x＜0.，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．19.（问答题，12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？20.（问答题，12分）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，=M，则称M为函数y=f（x）的“均值”．存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1201.（单选题，4分）已知集合P={x∈R||x|＜2}，Q={x∈R|-1≤x≤3}，则P∩Q=（）A.[-1，2）B.（-2，2）C.（-2，3]D.[-1，3]【正确答案】：A【解析】：解关于x的不等式，求出P、Q的交集即可．【解答】：解：∵P={x∈R，||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，Q={x∈R|-1≤x≤3}，则P∩Q=[-1，2），故选：A．【点评】：本题考查了集合的运算，考查绝对值不等式问题，是一道基础题．2.（单选题，4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则￢p为（）A.∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B.∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C.∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D.∃c＜0，方程x2-x+c=0有解【正确答案】：A【解析】：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解．故选：A．【点评】：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.（单选题，4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.a|c|＞b|c|D. ac2+1＞bc2+1【正确答案】：D【解析】：由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】：解：若a＞0＞b，则1a ＞1b，故A错误；取a=-1，b=-2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；若c=0，a|c|=b|c|，故C错误，因为c2+1＞0，a＞b，∴ ac2+1＞bc2+1，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．4.（单选题，4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1B. f(x)=|x|，g(x)={x (x≥0)−x(x＜0)C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D.f（x）=x0，g（x）=1【正确答案】：B【解析】：看两个函数是不是同一个函数，要观察三个方面，A选项，f（x）的定义域{x|x≠-1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0【解答】：解：∵对于A选项，f（x）的定义域{x|x≠-1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0，故选：B．【点评】：本题考查判断两个函数是不是同一个函数，本题解题的关键是判断两个函数的定义域是否相同，本题是一个基础题．5.（单选题，4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A.y=-（x-1）2B.y=-（x+1）2C.y=|x-1|D.y= 1x+1【正确答案】：C【解析】：结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】：解；根据二次函数的性质可知，y=-（x-1）2，y=-（x+1）2在区间[1，+∞）上为减函数，A，C不符合题意；在区间[1，+∞）上为减函数，D 不符合题意；根据反比例函数的性质可知，y= 1x+1故选：C．【点评】：本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础试题．6.（单选题，4分）a＞-1是关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根，则△=4-4（-a+1）≥0，且-a+1＞0，解得a范围，即可判断出结论．【解答】：解：关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根，则△=4-4（-a+1）≥0，且-a+1＞0，解得：1＞a≥0，∴a＞-1是关于x的方程x2+2x-a+1=0有两个负根的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）函数y= 4xx2+1的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】：解：函数y= 4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y=f（x）= 4xx2+1，则f（-x）=- 4xx2+1=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8.（单选题，4分）已知函数f（x）=|x-m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A.[-1，+∞）B.（-∞，-1]C.[-2，+∞）D.（-∞，-2]【正确答案】：D【解析】：根据题意，分析可得f（x）在区间（-2，-1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+∞）上为增函数，据此可得m的取值范围．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=|x-m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则f（x）在区间（-2，-1）上递增，而f（x）=|x-m|= {x−m，x≥m−x+m，x＜m，在区间（m，+∞）上为增函数，则有m≤-2，即m的取值范围为（-∞，-2]；故选：D．【点评】：本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．9.（单选题，4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A.4，6B.3，6C.3，7D.1，7【正确答案】：D【解析】：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．正确的密码中一定含有数字1，7．【解答】：解：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．若正确的密码中一定含有数字1，7，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选：D．【点评】：本题考查了合情推理，考查了推理能力，属于中档题．10.（单选题，4分）设集合A 是集合N*的子集，对于i∈N*，定义 φi (A )={1，i ∈A 0，i ∉A，给出下列三个结论：① 存在N*的两个不同子集A ，B ，使得任意i∈N*都满足φi （A∩B ）=0且φi （A∪B ）=1； ② 任取N*的两个不同子集A ，B ，对任意i∈N*都有φi （A∩B ）=φi （A ）•φi （B ）； ③ 任取N*的两个不同子集A ，B ，对任意i∈N*都有φi （A∪B ）=φi （A ）+φi （B ）． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ② ③ 【正确答案】：A【解析】：对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi （A ）=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【解答】：解：∵对于i∈N*，定义 φi (A )={1，i ∈A0，i ∉A，∴ ① 例如A={正奇数}，B={正偶数}，∴A∩B=∅，A∪B=N*，∴φi （A∩B ）=0；φi （A∪B ）=1，故 ① 正确；② 若φi （A∩B ）=0，则i∉（A∩B ），则i∈A 且i∉B ，或i∈B 且i∉A ，或i∉A 且i∉B ；∴φi （A ）•φi （B ）=0；若φi （A∩B ）=1，则i∈（A∩B ），则i∈A 且i∈B ；∴φi （A ）•φi （B ）=1；∴任取N*的两个不同子集A ，B ，对任意i∈N*都有φi （A∩B ）=φi （A ）•φi （B ）；正确，故 ② 正确；③ 例如：A={1，2，3}，B={2，3，4}，A∪B={1，2，3，4}，当i=2时，φi （A∪B ）=1；φi （A ）=1，φi （B ）=1；∴φi （A∪B ）≠φi （A ）+φi （B ）； 故 ③ 错误；∴所有正确结论的序号是： ① ② ； 故选：A ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，4分）函数f （x ）=√x 2−2x的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）∪（2，+∞）【解析】：根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得： x 2-2x ＞0，解得：x ＞2或x ＜0，故函数的定义域是（-∞，0）∪（2，+∞）， 故答案为：（-∞，0）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 12.（填空题，4分）方程组 {x 2=1y 2=x 的解集中元素的个数为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：通过解方程组得到所求解集和元素个数．【解答】：解：解方程组 {x 2=1y 2=x 得到： {x =1y =1 或 {x =1y =−1 ．所以原方程组解集为{（1，1），（1，-1）}， 则解集的元素个数为2． 故答案是：2．【点评】：本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．13.（填空题，4分）若不等式x 2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：不等式x 2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立⇔a ＞x- 2x 在x∈（1，2）内恒成立，令t （x ）=x- 2x ，x∈（1，2），由函数的单调性求得t （x ）的范围得答案．【解答】：解：由不等式x 2-ax-2＜0在x∈（1，2）内恒成立， 得ax ＞x 2-2，即a ＞x- 2x 在x∈（1，2）内恒成立，令t （x ）=x- 2x ，x∈（1，2），该函数为增函数，则t （x ）＜t （2）=1． 可得a≥1．∴a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查二次函数的性质，考查不等式恒成立问题的求解方法，训练了利用函数单调性求最值，是基础题．14.（填空题，4分）已知函数y=f（x），y=g（x）的对应关系如表：x 1 2 3f（x） 1 3 1x 1 2 3 g（x） 3 2 1则f（g（1））的值为___ ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是___ ．【正确答案】：[1]1; [2]2【解析】：根据题意，对于第一空：由函数y=f（x）的对应关系求出g（1）的值，结合f（x）的图象可得f（g（1））的值，对于第二空：分别将x=1，2，3代入f[g（x）]，g[f（x）]，判断出满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x．【解答】：解：根据题意，由f（x）的表格可得：g（1）=3，则f（g（1））=f（3）=1，当x=1时，f[g（1）]=1，g[f（1）]=g（1）=3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x=2时，f[g（2）]=f（2）=3，g[f（2）]=g（3）=1，满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x=3时f[g（3）]=f（1）=1，g[f（3）]=g（1）=3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，故满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2，故答案为1；2．【点评】：本题考查函数的表示方法，涉及函数值的计算，属于基础题．15.（填空题，4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x-x1|+b|x-x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件___ ．【正确答案】：[1]a＞0且a+b=0；（该结论的等价形式都对）【解析】：将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．【解答】：解：当x≤x 1时，f （x ）=-a （x-x 1）-b （x-x 2）=-（a+b ）x+（ax 1+bx 2） 由图可知 {a +b =0 ① ax 1+bx 2＜0 ②当x 1＜0＜x 2时，f （x ）=a （x-x 1）-b （x-x 2）=（a-b ）x-ax 1+bx 2 由图可知 {a −b ＞0 ①′−ax 1+b x 2=0②′当x≥x 2时，f （x ）=a （x-x 1）+b （x-x 2）=（a+b ）x-（ax 1+bx 2） 由图又可得出 ① ② 两式． 由 ① ， ① ′两式可得a=-b ＞0，同时使得 ② ， ② ′成立． 故答案为：a ＞0且a+b=0 （或a=-b ＞0）【点评】：本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力． 16.（问答题，12分）已知集合A={x|x 2-4x-5＞0}， B ={x|x−(a+3)x−a＜0} ． （1）若A∩B=∅，求实数a 的取值范围； （2）若B⊆A ，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先化简集合A ，B ，再根据A∩B=∅，即可求得a 的值． （2）B⊆A ，即B 是A 的子集，即可求得a 的取值范围．【解答】：解：B={x|（x-a ）[x-（a+3）]＜0}={x|a ＜x ＜a+3}，A={x|x 2-4x-5＞0}={x|x ＜-1或x ＞5}，（1）要使A∩B=∅，则需满足下列不等式组 {a +3≤5a ≥−1 ，解此不等式组得-1≤a≤2， 则实数a 的取值范围为[-1，2]， （2）要使B⊆A ，即B 是A 的子集， 则需满足a+3＜-1或a ＞5， 解得a ＞5或a ＜-4，即a 的取值范围是{a|a ＞5或a ＜-4}．【点评】：本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．17.（问答题，12分）已知函数f(x)=1+x21−x2．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．【正确答案】：【解析】：（1）由分母1-x2≠0，求出函数的定义域{x|x≠±1}；（2）证明：为了便于证明，先整理函数f(x)=1+x 21−x2 = 2−(1−x2)1−x2= 21−x2-1，然后利用函数单调性定义证明，设1＜x1＜x2，作差（x1）-f（x2）变形，直到容易判断符号为止，从而证明函数单调性．【解答】：解：（1）由1-x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}（2）证明：整理函数f(x)=1+x 21−x2 = 2−(1−x2)1−x2= 21−x2-1，设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= 21−x12−1−21−x22+1 = 2(x1−x2)(x1+x2)(1−x1)(1−x2)(1+x1)(1+x2)∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，1-x2＜0，1-x1＜0，1+x2＞0，1+x1＞0，x2+x1＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．【点评】：本题考查了分式函数求定义域的方法，利用函数单调性定义证明函数单调性，属于基础题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设F(x)={f(x)，x＞0，−f(x)，x＜0.，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用f （-1）=0和值域为[0，+∞），结合二次函数的性质可建立方程组求出a ，b 的值，进而可以求解，（2）由（1）可得函数g （x ）解析式，利用已知可得函数的对称轴在区间外，建立不等式即可求解，（3）由已知函数是偶函数可得b=0，进而可得函数F （x ）的解析式，再假设m ＞n ，由已知可得m ＞-n ＞0，进而可得|m|＞|-n|，即可判断F （m ）+F （n ）与0的关系．【解答】：解：（1）由f （-1）=0可得a-b+1=0，又函数的值域为[0，+∞），所以 {a ≠0△=b 2−4a =0 ，解得a=1，b=2，故函数f （x ）的解析式为：f （x ）=x 2+2x+1；（2）由（1）可得g （x ）=f （x ）-kx=x 2+（2-k ）x+1， 对称轴为x= k−22，因为函数g （x ）在区间[-2，2]上单调，则有k−22≤−2或k−22≥2 ，解得k≥6或k≤-2，故k 的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）； （3）大于零，理由如下：因为f （x ）是偶函数，所以f （x ）=ax 2+1， 则F （x ）= {ax 2+1，x ＞0−ax 2−1，x ＜0，不妨设m ＞n ，则n ＜0，由m+n ＞0得m ＞-n ＞0， 所以|m|＞|-n|，又a ＞0，所以F （m ）+F （n ）=f （m ）-f （n ）=（am 2+1）-（an 2+1）=a （m 2-n 2）＞0， 故F （m ）+F （n ）大于零．【点评】：本题考查了二次函数的解析式与性质，考查了学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.（问答题，12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P （单位：元/102kg ）与上市时间t （单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q （单位：元/102kg ）与上市时间t （单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f （t ），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g （t ）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？【正确答案】：【解析】：（1）分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，结合一次函数分段写出P=f （t ）；根据二次函数的顶点式来写Q=g （t ）；（2）设纯收益为W ，则W=f （t ）-g （t ），然后分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，并利用配方法来求W 的最大值．【解答】：解：（1）P=f （t ）= {−t +300，0＜t ≤2002t −300，200＜t ≤300，Q=g （t ）= 1200 （t-150）2+100，0＜t≤300． （2）设纯收益为W ，则W=f （t ）-g （t ）， 若0＜t≤200，W=-t+300- 1200 （t-150）2-100 =- 1200 t 2+ 12 t+1752 =- 1200 （t-50）2+100， ∴当t=50时，纯收益W 最大，为100元/102kg ， 若200＜t≤300， W=2t-300-1200（t-150）2-100=-1200 t 2+ 72 t- 10252 =- 1200（t-350）2+100， ∴当t=300时，纯收益W 最大，为87.5元/102kg ，综上所述，当t=50，即从2月1日开始的第50天上市，西红柿的纯收益最大．【点评】：本题考查分段函数和二次函数的实际应用，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）对于定义域为D 的函数y=f （x ），若有常数M ，使得对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 满足等式f (x 1)+f (x 2)2=M ，则称M 为函数y=f （x ）的“均值”．（1）判断1是否为函数f （x ）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2，a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围； （3）若函数f （x ）是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数f （x ）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）．【正确答案】：【解析】：（1）根据均值的定义，要判断1是函数f （x ）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，即要验证f (x 1)+f (x 2)2=x 1+x 2+1=1 ；（2）函数f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2，a 为常数）存在“均值”，当a=0时，f （x ）=-2x （1＜x ＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；当a≠0时，由f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2）存在均值，可知对任意的x 1，都有唯一的x 2与之对应，从而有f （x ）=ax 2-2x （1＜x ＜2）单调，从而求得实数a 的取值范围；（3）根据（1），（2）的结论对于当I=（a ，b ）或[a ，b]时，函数f （x ）存在唯一的“均值”；当I 为（-∞，+∞）时，函数f （x ）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f （x ）不存在均值．【解答】：解：（1）对任意的x 1∈[-1，1]，有-x 1∈[-1，1]， 当且仅当x 2=-x 1时，有f (x 1)+f (x 2)2=x 1+x 2+1=1 ，故存在唯一x 2∈[-1，1]，满足f (x 1)+f (x 2)2=1 ，所以1是函数f （x ）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．（2）当a=0时，f （x ）=-2x （1＜x ＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；当a≠0时，由f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）单调，故有1a ≤1或1a≥2，解得a≥1或a＜0或0＜a≤12，综上，a的取值范围是a≤12或a≥1．（3）① 当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为a+b2；② 当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③ 当I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．① 当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为a+b2；② 当且仅当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③ 当且仅当I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．【点评】：此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。
河南省2020~2021学年高一上学期金太阳期中联考数学试题
2
18.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x x 2 ．
（1）求 f f 2 的值；
（2）求 f x 在 R 上的解析式．
19.已知集合 A x x 4 0 ，集合 B x 3 2x x 10 x ，集合 C x m x 2m 3 . （1）求 ðR A B ；
河南省 2020~2021 学年度高一上学期金太阳期中联考 数学试题
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间为 120 分钟. 2.请将各题答案写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.
第I卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每一小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
.
14.已知幂函数 f x 的图象经过点 2 ，8 ，则方程 f x 0.5x 的解的个数为
.
15.已知偶函数 f (x) 在 0, 上单调递增, f (4) 3 ，则满足 f (x 1) 3 的 x 的取值范围是
.
16.
已知函数的定义域为 R ，
f (1) 3 ，对于任意两个不等的实数 a ， b 都有
A. 1
B. 0
C.1
D. 2
7.已知
a
1
e4
，b
ln 0.9
，
c
log 1
e
1
，则（
A. a b c
B. c b a
） C. a c b
D. b a c
8.已知全集为 R ，集合 A 1，2 ，3，4 ，5 ，B 1，3，5，7 ，C 7 ，下列韦恩图中的阴影部分能表示集合 C
江苏省常熟市2020_2021学年高一数学上学期期中试题
江苏省常熟市2020—2021学年高一数学上学期期中试题注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1。
本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题)、填空题（第13题～第16题）、解答题(第17题～第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟,考试结束后,请将答题卷交回。
2。
答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0。
5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0。
5毫米黑色墨水的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{0，1，2｝，B ＝｛x|x 2〈3},则A ∩B ＝A 。
{0，1｝ B.｛0，1，2｝ C 。
｛x ｜0≤xD 。
｛x|0≤x}2。
命题“∀x ∈[1，＋∞),x 2＋x ≥2”的否定是A 。
∀x ∈（－∞,1)，x 2＋x<2B 。
∀x ∈(－∞，1)，x 2＋x ≥2C.∃x ∈[1，＋∞），x 2＋x 〈2 D 。
∃x ∈［1,＋∞)，x 2＋x ≥23.下列命题正确的是A 。
若a<b<0，则11a b < B.若a 〉b 〉0，则2211ab >C.若a>b ，且11a b >，则ab<0D.若a>b,c>d>0,则a b d c> 4.已知函数f(x ）＝()()x 1x x 0x 1x x 0+≥⎧⎪⎨-<⎪⎩，，，则不等式f(x －2)〈f(4－x 2）的解集是A 。
（－1，6）B 。
（－3，2)C 。
（－6，1） D.(－2，3）5。
函数f （x)的单调递减区间是 A 。
浙江省北斗联盟2020-2021学年高一第一学期期中联考数学试卷 含答案
浙江省北斗联盟2020-2021学年高一第一学期期中联考数学试题命题学校：萧山八中 余杭中学考生须知：1．本卷共4页满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级.姓名.考场号.座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单项选择（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}43210，，，，=U ，集合{}321，，=A ，{}42，=B ，则()=B A C U ( ).A {}2 .B {}24，.C {}04， .D {}4 2.下列各组函数是同一个函数的是（ ）.A 1x y y x ==与 .B 321x x y y x x +==+与.C 2x y y x x==与 .D1y y x ==−3. “0>>a b ”是“11<a b”的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.已知幂函数()x f y =的图象过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222，，则下列结论正确的是（ ） .()A y f x =是偶函数 ().B y f x =奇函数().C y f x =在定义域上为减函数 ().D y f x =的定义域为[)∞+，0 5.已知2.02=a ，3.02=b ，2.03.1=c ，则（ ）.A b a c >> .B a b c >> .C b c a >> .D a c b >>6.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。
在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数)(22R ∈−=x x y x的大致图象是（ ）7.当()21，∈x 时，042<++mx x恒成立，则m 的取值范围是（ ）.A 4m − .B 4m <− .C 5m <− .D 5m − 8.已知函数()1010x f x x ⎧=⎨−<⎩，，，则不等式()()220++x x f x 的解集为（ ）.A R .B ()0−∞， .C [)1,0−.D[)1−+∞，9.设奇函数()x f 对任意的()()21210x x x x ≠∞−∈，，，有()()01212<−−x x x f x f ，且()02020=f ，则()()0>−−xx f x f 的解集为（ ）.A ()()02020−∞+∞，，.B ()()20200,2020−∞， .C ()()20202020−∞−+∞，，.D ()()202000,2020−， 10. 取整函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例[2.5]3,[0.5]0−=−=，[)1,2∈x 时[]=1x .取整函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的.以下关于“取整函数”的四个命题：①.x ∃∈R ，[2]2[]x x = ②.,x y ∀∈R ， 1−<x y ，则[][]x y = ③.,x y ∀∈R ，[][][]++x y x y ④.∀∈x R ，1[][2]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦其中真命题的个数是（ ）.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个二、填空题（本题共6小题，单空题每题4分，双空题每题6分，共30分）11. 112398427−⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ▲ ；化简211511336622122a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅−÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是 ▲ ． 12.设()f x 为奇函数，且当0x 时，()e 1xf x =−，()1f −= ▲ ；则当0x <时，()f x =▲ ．13.函数()+11(01)=−>≠且x f x aa a 的图象恒过定点 ▲ ，若该函数在区间[]10，上的最大值与最小值的差为2，则实数=a ▲ .14.若正实数y x ，满足1++=x y xy ，则y x +的最小值是 ▲ . 15. 对,a b ∈R ，记{},,max ,,,a ab a b b a b ⎧=⎨<⎩函数(){}=max 2,12x f x x −−−+，若方程()=f x a 有三个根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．16. 设a ∈R ，若0x >时均有()()21110−−−−⎡⎤⎣⎦a x x ax ，则a = ▲ ．三.解答题（本题共4小题，共50分） 17.（本小题满分10分）已知集合{}13A x x =<，{}A x y y B x∈==，2，{}a x a x C <<−=6. (Ⅰ)求B A ；(Ⅱ)若()B A C ⊆，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分） 已知函数()2()21xf x a a =+∈−R(Ⅰ)求实数a 的值使函数)(x f 为奇函数?(Ⅱ)判断并证明函数)(x f 在()∞+，0上的单调性。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。