2020-2021学年湖北省武汉市中考数学模拟试卷(5月份)及答案解析
湖北省武汉市中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．在实数0，，﹣，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0 D．|﹣2|2．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞23．下列计算中，正确的是（）A．3﹣2=B．=﹣3 C．m6÷m2=m3D．（a﹣b）2=a2﹣b24．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）510 20 50 100人数（单位：个） 2 4 5 3 1关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（）A．5 B．10 C．20 D．505．下列计算正确的是（）A．a3﹣a=a2B．（﹣2a）2=4a2C．x3•x﹣2=x﹣6 D．x6÷x2=x36．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：67．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．①②B．②③C．②④D．③④8．武汉素有“首义之区”的美名，2011年9月9日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年．某校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．根据以上的信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50名；②参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加进行问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%．其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l 的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，64）B．（0，128）C．（0，256）D．（0，512）10．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．1++B．+C．2+D．1+2二．填空题11．分解因式：ax2﹣ay2= ．12．现有32000升水，这一数据用科学记数法表示为．13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n= ．14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为米．15．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是．16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是．三、解答题（8大题，共72分）17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），（1）求k的值；（2）求不等式2x＞kx+4的解集．18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点，（1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是．19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率；（2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率．20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）将△AOB以O为旋转中心顺时针旋转90°得到△A2OB2，求旋转过程中OA所扫过的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？23．在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB=AC时，（如图1），①∠EBF= °；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB=kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．24．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE⊥BC．湖北省武汉市中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．在实数0，，﹣，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0 D．|﹣2|【考点】实数大小比较．【分析】求出|﹣2|=2，根据正数大于负数和0，负数都小于0，得出负数小，即可解答．【解答】解：|﹣2|=2，∴，∴最小的数是，故选：B．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0．正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．下列计算中，正确的是（）A．3﹣2=B．=﹣3 C．m6÷m2=m3D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】负整数指数幂；算术平方根；同底数幂的除法；完全平方公式．【分析】分别根据负整数指数幂及同底数幂的除法法则、数的开方法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、原式==，故本选项正确；B、原式=3，故本选项错误；C、原式=m6﹣2=m4，故本选项错误；D、原式=a2+b2﹣2ab，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．4．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）510 20 50 100人数（单位：个） 2 4 5 3 1关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（）A．5 B．10 C．20 D．50【考点】中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：本题数据个数为15，把数据按由小到大顺序排序，第8个数据为20，所以中位数为20．故选C．【点评】本题考查了中位数，求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．5．下列计算正确的是（）A．a3﹣a=a2B．（﹣2a）2=4a2C．x3•x﹣2=x﹣6 D．x6÷x2=x3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【分析】利用合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、a3﹣a≠a2，故本选项错误；B、（﹣2a）2=4a2，故本选项正确；C、x3•x﹣2=x3﹣2=x，故本选项错误；D、x6÷x2=x4，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则．此题比较简单，注意掌握指数的变化．6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6【考点】位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．【分析】图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．【解答】解：∵D、F分别是OA、OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．7．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案．【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；球主视图、左视图、俯视图都是圆，故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．8．武汉素有“首义之区”的美名，2011年9月9日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年．某校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．根据以上的信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50名；②参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加进行问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%．其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】条形统计图；扇形统计图．【专题】图表型．【分析】①用了解很少的学生数除以该组所占比例即可得到总人数；②用学生总数乘以该组所占的比例得到基本了解的学生数；③扇形所对圆心角的度数等于圆周角乘以该组所占比例；【解答】解：①∵了解很少的学生有25人，占学生总数的50%，∴参加问卷调查的学生有25÷50%=50人，故①正确；②50×30%=15人，∴参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有15人，故②错误；③360°×30%=108°，∴“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°，故③正确；故选C．【点评】本题考查了两种统计图的认识，解题的关键是正确的利用这两种统计图的关系．9．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l 的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，64）B．（0，128）C．（0，256）D．（0，512）【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OA n=4n，求出OA4的长等于44，即可求出A4的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是（0，1），∴OA=1，∵点B在直线y=x上，∴OB=2，=4，∴OA1=16，∴OA2得出OA3=64，=256，∴OA4的坐标是（0，256）．∴A4故选C．【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．10．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．1++B．+C．2+D．1+2【考点】勾股定理；坐标与图形性质；等边三角形的性质．【分析】当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长，设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，分别求出CF、EF、OE即可．【解答】解：如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB∴CF=AC=，AF=BF=1，∵∠BOC=∠AOC=22.5°，∴∠EOA=∠EAO=22.5°，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴AF=EF=1，AE=，∴OC=OE+EF+CF=1++．故选A．【点评】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是确定直线OC是AB的垂直平分线，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题11．分解因式：ax2﹣ay2= a（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．12．现有32000升水，这一数据用科学记数法表示为 3.2×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：32000=3.2×104．故答案为：3.2×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n= 8 ．【考点】概率公式．【分析】根据黄球的概率公式列出方程求解即可．【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+2个球，其中黄球n个，根据古典型概率公式知：P（黄球）==．解得n=8．故答案为：8．【点评】用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为2200 米．【考点】一次函数的应用．【专题】数形结合．【分析】设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．【解答】解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得，解得：，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．故答案为：2200．【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键．15．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是﹣6 ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．【专题】动点型．【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y 轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=AE，FC= EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．【解答】解：∵双曲线y=关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA=OB．连接OC，如图所示．∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°．∴tan∠OAC==．∴OC=OA．过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．∴△AEO∽△OFC．∴==．∵OC=OA，∴OF=AE，FC=EO．设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE=a，OE=b．∴OF=AE=a，FC=EO=b．∵点A在双曲线y=上，∴ab=2．∴FC•OF=b•a=3ab=6设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=6．∴xy=﹣6．∵点C在双曲线y=上，∴k=xy=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，由∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，推出A，B，D，C四点共圆，AC=BC，求得∠ADC=∠ABC=45°，得到△ADE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到AE=AD=4，∠E=45°，DE=AD=4，求得CE=DE﹣CD=，通过△ACE≌△ABD，于是得到BD=CE=．【解答】解：过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，∴A，B，D，C四点共圆，AC=BC，∴∠ADC=∠ABC=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD=4，∠E=45°，DE=AD=4，∴CE=DE﹣CD=，∵∠DAE=∠CAB=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD，∴BD=CE=．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（8大题，共72分）17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），（1）求k的值；（2）求不等式2x＞kx+4的解集．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】（1）将已知点的坐标代入直线的解析式即可求得k值；（2）将k的值代入不等式解之即可．【解答】解：（1）∵直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），∴﹣2k=4，解得：k=﹣2；（2）∵k=﹣2，∴不等式为2x＞﹣2x+4，解得：x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点，（1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是矩形．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．【分析】（1）由ASA证得这两个三角形全等；（2）利用（1）中全等三角形的性质判定AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，则根据”对角线相等的平行四边形为矩形“推知四边形ABCD是矩形．【解答】（1）证明：如图，∵在四边形ABCD中，点O是AC的中点，∴OA=OC．又∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD（ASA）；（2）由（1）知，△OAB≌△OCD，则AB=CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故答案是：矩形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率；（2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据概率公式直接解答；（2）列出树状图，然后利用概率公式解答．【解答】解：（1）四张卡片中，偶数为2，4；P（偶数）==；（2）列树状图为：P（和为3）==．【点评】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）将△AOB以O为旋转中心顺时针旋转90°得到△A2OB2，求旋转过程中OA所扫过的面积．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接根据关于y轴对称轴坐标点的特征进行填空即可；（2）根据题意画出图形；（3）根据扇形的面积计算公式计算即可．【解答】解：（1）根据图可知：点B坐标为（3，2），由于B点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，可知B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2），故答案为（﹣3，2）；（2）作图如图1：（3）作图如图2，OA==，旋转过程中OA所扫过的面积S==．【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换和旋转变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，熟练地掌握扇形面积公式，此题难度不大．21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACM=∠ABC；（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，∴∠OAC=∠CAD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴△ABC∽△CDE，∴=，⊙O的半径为3，∴AB=6，∴=，∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据题意得，解得．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y=﹣50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．23．在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB=AC时，（如图1），①∠EBF= 22.5 °；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB=kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．【解答】解：（1）①∵AB=AC∠A=90°∴∠ABC=∠C=45°∵∠EDB=∠C∴∠EDB=22.5°∵BE⊥DE∴∠EBD=67.5°∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°②在△BEF和△DEB中∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°∴△BEF∽△DEB如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形设EF=x，BE=y，则：BG=GD=yFD=y+y﹣x∵△BEF∽△DEB∴=即：=得：x=（﹣1）y∴FD=y+y﹣（﹣1）y=2y∴FD=2BE．（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=∠GDE，∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，DE=DE，∴△DEG≌△DEB，∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，∴△GBN∽△FDN，∴=，即=，又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC，∴=，即==k，∴=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．24．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE⊥BC．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点和对称轴，再根据△ABC的面积求出AB，从而得出点A、B的坐标，最后把点A的坐标代入y=ax2﹣2ax﹣4计算即可；（2）过P作PH⊥x轴于点H，设PH=k，AH=2k，根据tan∠PAB=，得出P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0），再代入抛物线的解析式求出k，即可得出P的坐标；（3）设AE交y轴于点D，先根据tan∠ACO=tan∠PAB，得出∠PAB=∠ACO，再根据∠ACO+∠OAC=90°，得出PA⊥AC，根据tan∠BCE=，得出∠ACE=∠OCB，根据B、C的坐标求出∠OCB=∠ACE=45°和BC的长，根据A、C的坐标得出AC和CE的长，从而证出=，再根据∠ACO=∠BCE，证出△ACO∽△EBC，得出∠EBC=∠AOC=90°，从而证出BE⊥BC．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣4，∴与y轴交点C（0，﹣4），对称轴为直线x=﹣=1，∴OC=4，∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12，∴AB=6，∴点A（﹣2，0），B（4，0），∵抛物线过点A，∴0=4a+4a﹣4，∴a=，∴抛物线表达式为y=x2﹣x﹣4；（2）如图1，过P作PH⊥x轴于点H．设PH=k，AH=2k，∵tan∠PAB=，∴P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0）．∵点P在抛物线上，∴k=（2k﹣2）2﹣（2k﹣2）﹣4，∴k=，∴点P的坐标是（5，）；（3）如图2，设AE交y轴于点D，∵A（﹣2，0），C（0，﹣4），∴tan∠ACO=，∵tan∠PAB=，∴∠PAB=∠ACO，∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠PAB+∠OAC=90°，∴PA⊥AC，∵tan∠BCE=，∴∠ACO=∠BCE，∴∠ACE=∠OCB，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴∠OCB=∠ACE=45°，BC=4，∵A（﹣2，0），C（0，﹣4），∴AO=2，OC=4，∴AC=2，∴CE=2，在△AOC和△EBC中，==，==，∴=，∵∠ACO=∠BCE，∴△ACO∽△EBC，∴∠EBC=∠AOC=90°，∴BE⊥BC．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，要注意k的取值范围．。
2020-2021学年湖北省中考5月模拟考试数学试题含答案解析
湖北省九年级5月模拟考试数学试题一、选择题 1.3-5的绝对值是 （ ） A.3-5 B.5-3 C.-3-5 D.3+52.下列运算正确的是（ ）A. (-2x 2)3=-6x 6B.(3a-b)2=9a 2-B 2C.38÷36=32D.x 2+x 3=x 53.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（)A.9πB.10πC.11πD.12π 4.如图，直线a//b 直角三角形如图放置, ∠DCB=90,若∠1+∠2=60,则∠B 的度数为（ ）A. 20°B. 40°C.30°D.25°5.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0(>=x xk y 的图象交矩形OABC 的边AB 于点D 交边于BC 点E 且BE=2EC,若四边形ODBE 的面积为8,则k 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66.圆锥体的侧面展开图的圓心角为180o，侧面积为8π，则其底面半径为（ ）A. 2B.3C.4D.57.从-3, -2, -1. 1,2, 3六个数中任取一个数为k.使得关于x 的分式方锃k 1x 1-k =+-2有解，且关于x 的一次函数y=kx+3不经过第四象限的概率是（ ）A.31B.41C.51D.61 8.如图，某农场有一块长40m,宽32m 的矩形种植地.为方使管理，准备沿平行于两边的方向纵，横备枝逮一条等宽的小路，要使种毡面积为1140m 2,求小路的宽设小路的宽为xm,则可列方程为（ ) A.40×32-32x-40x=1140 B. 40×32-32x-40x-x=1140C.(40-x)(32-x)+x=1140D.(40-x)(32-x)=1140对于摁物线y=ax+4ax+m 与x 轴的交点为A(-1,0),B(x,0)则下列说法1.一元二次方锃ax+4ax+m0的两根为x=-1，x=-32.原抛物线与y 铀交于C 点.CD//x 轴交抛物线千D 点.则CD=43.点E(l ，y).点F （-3，y ）在原抛物线上，则y2>y14.抛物线.y=ax-4ax+m 与原物线关于y 轴对称.其中正确的是（ ）A.1、2、3、4B.1、2、4C.1、2D.1、2、3 10.在平面直角坐标系中，O 为原点点A （-3,0).点B( 0.3),点E ，点F 分别为OA,OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OEDF ，.若直线AE 与线BF 交于点P,则点P 的纵坐标的最大值是（ ）A.213+B.233+C.433+D.4333+二、填空题：（每小题3分，共18分）11.因式分解y 2-x 2-4x-4为______ .12.若一元二次方程ax+bx+c=0（a ≠0）中，下列说法正确的是_____1.若a+b+c=0.则b 2-4ac ≥0；2.若方程两根为-1和3，则3a+2c=0:3.若方程ax+c=0有两个不相等的实数根,则方程ax+bx+c=0必有两个不相等的实数根4.若a=1. C=-1.且方程的两根的平方和为6,利b 只能等于213.如右图，已知直线y1=x+m 与x 轴.y 轴分别交于点A, B 与双曲线x k y 2=分別交千点C,D ，且点C 的坐标为（-1,2）則不等式m x +>xk 的解集为_____14.下列各图形都是由同样大小的圆和正三角形按一定的规律组成．其中，第①个图形由8个圆和1个正三角形组成，第②个图形由16个圆和4个正三角形组成，第③个图形由24个圆和9个正三角形组成，……则第个图形中圆和正三角形的个数相等15.如图,四边形ABED 是平行四边形，B 、E 、C 三点共线.以点C 为圆心、CD 为半径的弧与BC 交于点E 、AB=CD=4，则阴影部分的面积是16.在以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形中.AB=AC=AD,若∠BAC=80，∠CAD=30°,則∠BCD=______三.解答题（17-20毎题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）17.(本韪满分8分）先化简，再求值： 2444122a 22+-÷++--+-a a a a a a a ）（，其中a 满足04a a 212=-+18.如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连结AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若BC=12，DE=4，求△AEF 的面积．19.学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛.现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：甲班： 乙班： 等级 成绩（S ） 频数 A90＜S ≤100 x B80＜S ≤90 15 C70＜S ≤80 10 DS ≤70 3 合计 30⑴（3分）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级 中，扇形统计图中等级D 部分的扇形圆心角n= .⑵（5分）现学校决定从两班所有A 等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛.求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）.20.(本題满分8分）关于x 的方程kx 2+（k+3)x+4k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围：(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于528？若存在，求出k 的值；若不存 在，说明理由，21.(本题满分10分) 某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：3．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？(结果精确到0.1米) (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73．)22.（本题满分10分）如图，C为线段AD上一点.△ABC和△CDE都是等边三角形.连接BE并廷长，交AD长线于F，△ABC的外接圆心O交BF于点M(1)求证: CE是圆心O的切线：(2)求证；AB=BM·BF.：AH'(3)若过点D作DG//CE交EF于点G,过G作GH//DE交DF于点H，则易知三角形DHG是等边三角形设等边三角形ABC、△CDE、三角形DHG分别为S1、S2、S3若S1=8,S3=2求S2的值，23.(本题满分10分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？24.(本题满分12分）抛物线经过点A(4. 0), B(1. 0), C(0, -2)三点.(1)求此抛物线的解析式：-’(2>P是抛物线x轴下方的一个动点，过P作PM丄;r轴，垂足为M，是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似（相似比不为1）？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由；(3>在直线AC上方的抛物线是有一点D.设△DCA的面积为S，求S的取值范围.中考模拟考试数学参考答案一、选择：ACBCB ADDBD第十题：二、填空题：11---（y+x+2）(y-x-2) 12---①③ 13---x<2或-1<x<0 14---8 15---π－ 16---125°或25°（答对1个给2分）三、解答题 17---化简结果（4分） 答案---8（4分）18---（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°， 而F 是CB 的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE 和△ABF 中 ，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（4分）（2）∵BC=12，∴AD=12，在Rt △ADE 中，DE=4，AD=12，∴AE==，∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到，∴AE=AF ，∠EAF =90°，34a a 22+22DE AD +104∴△AEF 的面积=AE 2=×160=80（平方单位）．（4分看过程） 19---（1）x=3 ， 等级C 中， 36°（各1分）（2）（必须列表法）5分20---（1）k>且k ≠0（4分） （2）设方程的两根为,由题意，即，由根与系数和关系可得，，，代入求解得（-----------4分）21--过B 作DC 的垂线交DC 于点H ，设BH=x ，由坡度值得CH=。
2020-2021学年湖北省武汉市中考数学模拟试题及答案解析
最新湖北省武汉市中考数学模拟试卷一、选择题1．在实数0，，﹣，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0 D．|﹣2|2．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞23．下列计算中，正确的是（）A．3﹣2=B．=﹣3 C．m6÷m2=m3D．（a﹣b）2=a2﹣b24．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）510 20 50 100人数（单位：个） 2 4 5 3 1关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（）A．5 B．10 C．20 D．505．下列计算正确的是（）A．a3﹣a=a2B．（﹣2a）2=4a2C．x3•x﹣2=x﹣6D．x6÷x2=x36．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：67．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．①② B．②③C．②④ D．③④8．武汉素有“首义之区”的美名，2011年9月9日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年．某校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．根据以上的信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50名；②参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加进行问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%．其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，64）B．（0，128）C．（0，256）D．（0，512）10．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．1++B．+C．2+D．1+2二．填空题11．分解因式：ax2﹣ay2= ．12．现有32000升水，这一数据用科学记数法表示为．13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n= ．14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为米．15．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是．16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是．三、解答题（8大题，共72分）17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），（1）求k的值；（2）求不等式2x＞kx+4的解集．18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点，（1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是．19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率；（2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率．20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）将△AOB以O为旋转中心顺时针旋转90°得到△A2OB2，求旋转过程中OA所扫过的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE 的外接圆的半径．22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？23．在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB 相交于点F．（1）当AB=AC时，（如图1），①∠EBF= °；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB=kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．24．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE ⊥BC．参考答案与试题解析一、选择题1．在实数0，，﹣，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0 D．|﹣2|【考点】实数大小比较．【分析】求出|﹣2|=2，根据正数大于负数和0，负数都小于0，得出负数小，即可解答．【解答】解：|﹣2|=2，∴，∴最小的数是，故选：B．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0．正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．下列计算中，正确的是（）A．3﹣2=B．=﹣3 C．m6÷m2=m3D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】负整数指数幂；算术平方根；同底数幂的除法；完全平方公式．【分析】分别根据负整数指数幂及同底数幂的除法法则、数的开方法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、原式==，故本选项正确；B、原式=3，故本选项错误；C、原式=m6﹣2=m4，故本选项错误；D、原式=a2+b2﹣2ab，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．4．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）510 20 50 100人数（单位：个） 2 4 5 3 1关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（）A．5 B．10 C．20 D．50【考点】中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：本题数据个数为15，把数据按由小到大顺序排序，第8个数据为20，所以中位数为20．故选C．【点评】本题考查了中位数，求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．5．下列计算正确的是（）A．a3﹣a=a2B．（﹣2a）2=4a2C．x3•x﹣2=x﹣6D．x6÷x2=x3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【分析】利用合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、a3﹣a≠a2，故本选项错误；B、（﹣2a）2=4a2，故本选项正确；C、x3•x﹣2=x3﹣2=x，故本选项错误；D、x6÷x2=x4，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则．此题比较简单，注意掌握指数的变化．6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6【考点】位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．【分析】图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．【解答】解：∵D、F分别是OA、OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．7．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．①② B．②③C．②④ D．③④【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案．【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；球主视图、左视图、俯视图都是圆，故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．8．武汉素有“首义之区”的美名，2011年9月9日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年．某校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．根据以上的信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50名；②参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加进行问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%．其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】条形统计图；扇形统计图．【专题】图表型．【分析】①用了解很少的学生数除以该组所占比例即可得到总人数；②用学生总数乘以该组所占的比例得到基本了解的学生数；③扇形所对圆心角的度数等于圆周角乘以该组所占比例；【解答】解：①∵了解很少的学生有25人，占学生总数的50%，∴参加问卷调查的学生有25÷50%=50人，故①正确；②50×30%=15人，∴参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有15人，故②错误；③360°×30%=108°，∴“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°，故③正确；故选C．【点评】本题考查了两种统计图的认识，解题的关键是正确的利用这两种统计图的关系．9．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，64）B．（0，128）C．（0，256）D．（0，512）【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OA n=4n，求出OA4的长等于44，即可求出A4的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是（0，1），∴OA=1，∵点B在直线y=x上，∴OB=2，∴OA1=4，∴OA2=16，得出OA3=64，∴OA4=256，∴A4的坐标是（0，256）．故选C．【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．10．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．1++B．+C．2+D．1+2【考点】勾股定理；坐标与图形性质；等边三角形的性质．【分析】当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长，设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，分别求出CF、EF、OE即可．【解答】解：如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB∴CF=AC=，AF=BF=1，∵∠BOC=∠AOC=22.5°，∴∠EOA=∠EAO=22.5°，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴AF=EF=1，AE=，∴OC=OE+EF+CF=1++．故选A．【点评】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是确定直线OC是AB的垂直平分线，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题11．分解因式：ax2﹣ay2= a（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．12．现有32000升水，这一数据用科学记数法表示为 3.2×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：32000=3.2×104．故答案为：3.2×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n= 8 ．【考点】概率公式．【分析】根据黄球的概率公式列出方程求解即可．【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+2个球，其中黄球n个，根据古典型概率公式知：P（黄球）==．解得n=8．故答案为：8．【点评】用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为2200 米．【考点】一次函数的应用．【专题】数形结合．【分析】设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．【解答】解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得，解得：，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．故答案为：2200．【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键．15．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是﹣6 ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．【专题】动点型．【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=AE，FC=EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．【解答】解：∵双曲线y=关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA=OB．连接OC，如图所示．∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°．∴tan∠OAC==．∴OC=OA．过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．∴△AEO∽△OFC．∴==．∵OC=OA，∴OF=AE，FC=EO．设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE=a，OE=b．∴OF=AE=a，FC=EO=b．∵点A在双曲线y=上，∴ab=2．∴FC•OF=b•a=3ab=6设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=6．∴xy=﹣6．∵点C在双曲线y=上，∴k=xy=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，由∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，推出A，B，D，C四点共圆，AC=BC，求得∠ADC=∠ABC=45°，得到△ADE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到AE=AD=4，∠E=45°，DE=AD=4，求得CE=DE﹣CD=，通过△ACE ≌△ABD，于是得到BD=CE=．【解答】解：过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，∴A，B，D，C四点共圆，AC=BC，∴∠ADC=∠ABC=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD=4，∠E=45°，DE=AD=4，∴CE=DE﹣CD=，∵∠DAE=∠CAB=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD，∴BD=CE=．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（8大题，共72分）17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），（1）求k的值；（2）求不等式2x＞kx+4的解集．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】（1）将已知点的坐标代入直线的解析式即可求得k值；（2）将k的值代入不等式解之即可．【解答】解：（1）∵直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），∴﹣2k=4，解得：k=﹣2；（2）∵k=﹣2，∴不等式为2x＞﹣2x+4，解得：x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点，（1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是矩形．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．【分析】（1）由ASA证得这两个三角形全等；（2）利用（1）中全等三角形的性质判定AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，则根据”对角线相等的平行四边形为矩形“推知四边形ABCD是矩形．【解答】（1）证明：如图，∵在四边形ABCD中，点O是AC的中点，∴OA=OC．又∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD（ASA）；（2）由（1）知，△OAB≌△OCD，则AB=CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故答案是：矩形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率；（2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据概率公式直接解答；（2）列出树状图，然后利用概率公式解答．【解答】解：（1）四张卡片中，偶数为2，4；P（偶数）==；（2）列树状图为：P（和为3）==．【点评】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）将△AOB以O为旋转中心顺时针旋转90°得到△A2OB2，求旋转过程中OA所扫过的面积．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接根据关于y轴对称轴坐标点的特征进行填空即可；（2）根据题意画出图形；（3）根据扇形的面积计算公式计算即可．【解答】解：（1）根据图可知：点B坐标为（3，2），由于B点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，可知B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2），故答案为（﹣3，2）；（2）作图如图1：（3）作图如图2，OA==，旋转过程中OA所扫过的面积S==．【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换和旋转变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，熟练地掌握扇形面积公式，此题难度不大．21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE 的外接圆的半径．【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACM=∠ABC；（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，∴∠OAC=∠CAD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴△ABC∽△CDE，∴=，⊙O的半径为3，∴AB=6，∴=，∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据题意得，解得．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y=﹣50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．23．在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB 相交于点F．（1）当AB=AC时，（如图1），①∠EBF= 22.5 °；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB=kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．【解答】解：（1）①∵AB=AC∠A=90°∴∠ABC=∠C=45°∵∠EDB=∠C∴∠EDB=22.5°∵BE⊥DE∴∠EBD=67.5°∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°②在△BEF和△DEB中∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°∴△BEF∽△DEB如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形设EF=x，BE=y，则：BG=GD=yFD=y+y﹣x∵△BEF∽△DEB∴=即：=得：x=（﹣1）y∴FD=y+y﹣（﹣1）y=2y∴FD=2BE．（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=∠GDE，∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，DE=DE，∴△DEG≌△DEB，∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，∴△GBN∽△FDN，∴=，即=，又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC，∴=，即==k，∴=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．24．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE ⊥BC．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点和对称轴，再根据△ABC的面积求出AB，从而得出点A、B的坐标，最后把点A的坐标代入y=ax2﹣2ax﹣4计算即可；（2）过P作PH⊥x轴于点H，设PH=k，AH=2k，根据tan∠PAB=，得出P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0），再代入抛物线的解析式求出k，即可得出P的坐标；（3）设AE交y轴于点D，先根据tan∠ACO=tan∠PAB，得出∠PAB=∠ACO，再根据∠ACO+∠OAC=90°，得出PA⊥AC，根据tan∠BCE=，得出∠ACE=∠OCB，根据B、C的坐标求出∠OCB=∠ACE=45°和BC的长，根据A、C的坐标得出AC和CE的长，从而证出=，再根据∠ACO=∠BCE，证出△ACO∽△EBC，得出∠EBC=∠AOC=90°，从而证出BE⊥BC．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣4，∴与y轴交点C（0，﹣4），对称轴为直线x=﹣=1，∴OC=4，∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12，∴AB=6，∴点A（﹣2，0），B（4，0），∵抛物线过点A，∴0=4a+4a﹣4，∴a=，∴抛物线表达式为y=x2﹣x﹣4；（2）如图1，过P作PH⊥x轴于点H．设PH=k，AH=2k，∵tan∠PAB=，∴P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0）．∵点P在抛物线上，∴k=（2k﹣2）2﹣（2k﹣2）﹣4，∴k=，∴点P的坐标是（5，）；（3）如图2，设AE交y轴于点D，∵A（﹣2，0），C（0，﹣4），∴tan∠ACO=，∵tan∠PAB=，∴∠PAB=∠ACO，∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠PAB+∠OAC=90°，∴PA⊥AC，∵tan∠BCE=，∴∠ACO=∠BCE，∴∠ACE=∠OCB，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴∠OCB=∠ACE=45°，BC=4，∵A（﹣2，0），C（0，﹣4），∴AO=2，OC=4，∴AC=2，∴CE=2，在△AOC和△EBC中，==，==，∴=，∵∠ACO=∠BCE，∴△ACO∽△EBC，∴∠EBC=∠AOC=90°，∴BE⊥BC．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，要注意k的取值范围．。
2020年湖北省武汉市九年级五月调考数学试卷 解析版
2020年湖北省武汉市九年级五月调考数学试卷一．选择题（共10小题）1．实数﹣的相反数是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣23．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（）A．两张卡片的数字之和等于1B．两张卡片的数字之和大于1C．两张卡片的数字之和等于9D．两张卡片的数字之和大于94．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．6．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k＜1D．k＞17．在学校举行的运动会上，帅童和胖何报名参加百米赛跑，预赛分A、B、C、D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，帅童和胖何恰好抽到同一组的概率是（）A．B．C．D．8．小明从家去上学，先步行一段路，因时间紧，他改骑共享单车，结果到学校时迟到了7min，其行驶的路程y（单位：m）的图象关系如图．若他出门时直接骑共享单车（两次骑车速度相同），则下列说法正确的是（）A．小明会迟到2 min到校B．小明刚好按时到校C．小明可以提前1 min到校D．小明可以提前2 min到校9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是上一点，连接OC交AB于点D，过点C 作CE∥OA交AB于点E．若∠BOC＝30°，OB＝2，则CE的长是（）A．2﹣B．C．D．﹣110．古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形记为a1，第二个三角形记为a2，…第n个三角形记为a n，则的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．＝．12．为了参加中学生篮球联赛，某校篮球队准备购买10双运动鞋收集尺码，并整理如下统计表：尺码/cm2525.52626.527购买量/双12322则这组数据的中位数是．13．计算：＝．14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD．若∠CDE＝78°，则∠BCD＝°．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣103y n﹣3﹣3当n＞0时，下列结论中一定正确的是．（填序号即可）①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝．三．解答题（共8小题）17．计算：[6a2•a4﹣（2a3）2]÷a3．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠CDA，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠CDA交BC于点F，求证：BE∥DF．19．为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、兵乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）直接写出这次抽样调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该学校总人数是1500人，请估计选择篮球项目的学生约有多少人？20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD；（2）画边AC的中点E；（3）连接DE并延长交BC于点F，直接写出的值；（4）在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD．21．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC相切于点M，⊙O分别交AB、CD 于E、F两点，连接MO并延长交AD于点N．（1）求证：AN＝DN；（2）连接BF交⊙O于点G，连接EG．若AD＝8，求EG的长．22．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如表：两城/两乡C/（元/t）D/（元/t）A2024B1517设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）试比较A、B两城总运费的大小；（3）若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．23．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．24．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接P A、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．实数﹣的相反数是（）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：实数﹣的相反数是，故选：A．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：B．3．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（）A．两张卡片的数字之和等于1B．两张卡片的数字之和大于1C．两张卡片的数字之和等于9D．两张卡片的数字之和大于9【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于1，是不可能事件；B、两张卡片的数字之和大于1，是必然事件；C、两张卡片的数字之和等于9，是随机事件；D、两张卡片的数字之和大于9，是不可能事件；故选：C．4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．5．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B．6．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k＜1D．k＞1【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．【解答】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣1＞0，解得k＞1．故选：D．7．在学校举行的运动会上，帅童和胖何报名参加百米赛跑，预赛分A、B、C、D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，帅童和胖何恰好抽到同一组的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好分在同一组的概率．【解答】解：如下图所示，帅童和胖何两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴帅童和胖何两人恰好分在同一组的概率是＝，故选：B．8．小明从家去上学，先步行一段路，因时间紧，他改骑共享单车，结果到学校时迟到了7min，其行驶的路程y（单位：m）的图象关系如图．若他出门时直接骑共享单车（两次骑车速度相同），则下列说法正确的是（）A．小明会迟到2 min到校B．小明刚好按时到校C．小明可以提前1 min到校D．小明可以提前2 min到校【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从开始到到学校全程骑共享单车用的时间，然后再根据题意，可以得到小明正常到校用的时间，然后即可解答本题．【解答】解：由题意可得，小明到学校正常时间为20﹣7＝13（min），如果小明从开始到到学校全程骑共享单车，用的时间为：＝13（min），故如果小明从开始到到学校全程骑共享单车，小明刚好按时到校，故选：B．9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是上一点，连接OC交AB于点D，过点C 作CE∥OA交AB于点E．若∠BOC＝30°，OB＝2，则CE的长是（）A．2﹣B．C．D．﹣1【分析】作DF⊥OA于F，证△ADF是等腰直角三角形，∠ODF＝30°，得出DF＝AF，DF＝OF，OD＝2OF，求出OF＝﹣1，OD＝2﹣2，CD＝OC﹣OD＝4﹣2，由平行线得出△CDE∽△ODA，进而得出答案．【解答】解：作DF⊥OA于F，如图所示：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∠AOD＝90°﹣∠BOC＝60°，∵DF⊥OA，∴△ADF是等腰直角三角形，∠ODF＝30°，∴DF＝AF，DF＝OF，OD＝2OF，∵AF+OF＝OA＝2，∴OF+OF＝2，∴OF＝﹣1，∴OD＝2﹣2，∴CD＝OC﹣OD＝4﹣2，∵CE∥OA，∴△CDE∽△ODA，∴＝，即＝，解得：CE＝﹣1，故选：D．10．古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形记为a1，第二个三角形记为a2，…第n个三角形记为a n，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先观察得出规律，再按规律进行计算．【解答】解：，，，，，，……由上可知，，∴＝＝＝，故选：D．二．填空题（共6小题）11．＝5．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案为：5．12．为了参加中学生篮球联赛，某校篮球队准备购买10双运动鞋收集尺码，并整理如下统计表：尺码/cm2525.52626.527购买量/双12322则这组数据的中位数是26．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：处于这组数据中间位置的数是26、26，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是26；故答案为：26．13．计算：＝．【分析】原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝+＝+＝＝．故答案为：．14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD．若∠CDE＝78°，则∠BCD＝138°．【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和定理以及周角的定义即可得到结论．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠CAE＝60°，∠E＝∠ACB，∴∠CAE+∠CDE＝360°﹣（∠ACD+∠E），∵∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝360°﹣（∠ACD+∠E），∴∠BCD＝∠CDE+∠CAE＝60°+78°＝138°，故答案为：138．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣103y n﹣3﹣3当n＞0时，下列结论中一定正确的是①②④．（填序号即可）①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．【分析】①确定对称轴的位置和对称轴左侧函数y随x的变化情况，即可求解；②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，即可求解；③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，即可求解；④ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，即可求解．【解答】解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即＝﹣，则b＝﹣3a，∵n＞0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的右侧，故b＜0，而c＝﹣3，故bc＞0正确，符合题意；②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，故②正确，符合题意；③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，故③错误，不符合题意；④当n＝1时，即：x＝﹣1时，y＝1，ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，当x＝1，y＝﹣1，即（1，﹣1）是上述两个图象的交点，根据函数的对称性，另外一个交点的横坐标为：×2＝3，则该交点为（3，﹣3），故两个函数交点的横坐标为﹣1、3，即关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，正确，符合题意，故答案为：①②④．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝．【分析】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A 作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，证明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长．【解答】解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，∵∠BFE＝45°，AM∥BD，∴∠BFE＝∠MAN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝MN，∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，∴∠NMQ＝∠MAK，又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，∴△AKM≌△MQN（AAS），∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，∵D为AC的中点，AC＝6，∴AD＝DC＝BM＝3，∴MK＝NQ＝3，∴BQ＝CH＝5，∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，∵CE∥HN，∴△ACE∽△AHN，∴，即，∴CE＝，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．计算：[6a2•a4﹣（2a3）2]÷a3．【分析】原式利用同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝（6a6﹣4a6）÷a3＝2a6÷a3＝2a3．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠CDA，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠CDA交BC于点F，求证：BE∥DF．【分析】由角平分线的定义结合∠ABC＝∠CDA，可得出∠EBC＝∠ADF，由AD∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EBC＝∠AEB，进而可得出∠AEB＝∠ADF，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出BE∥DF．【解答】证明：∵BE平分ABC交AD于点E，DF平分∠CDA交BC于点F，∴∠EBC＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC．∵∠ABC＝∠CDA，∴∠EBC＝∠ADF．∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF．19．为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、兵乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）直接写出这次抽样调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该学校总人数是1500人，请估计选择篮球项目的学生约有多少人？【分析】（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；（3）用总人数乘以样本中篮球所占百分比即可得出答案．【解答】解：（1）这次活动一共调查的学生人数是：140÷35%＝400（人）；（2）选择“篮球”的人数为：400﹣140﹣20﹣80＝160（人），补全统计图如下：（3）估计该学校选择篮球项目的学生人数约是：1500×＝600（人）．20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD；（2）画边AC的中点E；（3）连接DE并延长交BC于点F，直接写出的值；（4）在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD．【分析】（1）根据旋转的性质即可将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD；（2）根据网格即可画边AC的中点E；（3）根据网格，连接DE并延长交BC于点F，即可写出的值；（4）根据网格即可在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）点E即为所求；（3）＝＝3，所以的值为3；（4）点G即为所求．21．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC相切于点M，⊙O分别交AB、CD 于E、F两点，连接MO并延长交AD于点N．（1）求证：AN＝DN；（2）连接BF交⊙O于点G，连接EG．若AD＝8，求EG的长．【分析】（1）根据⊙O与BC相切于点M，可得∠BMN＝90°，得四边形ABCD是正方形，再根据垂径定理即可证明AN＝DN；（2）接DE，EF，DG，可得DE是⊙O的直径，且四边形AEFD是矩形，由（1）知四边形ABMN是矩形，设OD＝r，则ON＝8﹣r，DN＝4，在Rt△ODN中，根据勾股定理可得r的值，然后由∠BFE＝∠EDG，得sin∠BFE＝sin∠EDG，进而可得EG的长．【解答】解：（1）证明：∵⊙O与BC相切于点M，∴∠BMN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠ONA＝90°，由垂径定理得，AN＝DN；（2）如图，连接DE，EF，DG，∵∠DAE＝90°，∴∠DFE＝90°，∴DE是⊙O的直径，且四边形AEFD是矩形，由（1）知四边形ABMN是矩形，∴MN＝AB＝8，设OD＝r，则ON＝8﹣r，DN＝4，在Rt△ODN中，根据勾股定理，得42+（8﹣r）2＝r2，解得r＝5，∴DE＝10，∵AD＝8，∴AE＝6，∴BE＝2，∵EF＝AD＝8，∴BF＝＝2，∵∠BFE＝∠EDG，∴sin∠BFE＝sin∠EDG，∴＝，即＝，解得EG＝．22．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如表：两城/两乡C/（元/t）D/（元/t）A2024B1517设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）试比较A、B两城总运费的大小；（3）若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．【分析】（1）根据题意即可得出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）根据题意得：y1＝20x+24（200﹣x）＝4800﹣4x，y2＝15（240﹣x）+17（300﹣240+x）＝2x+4620．（2）由4800﹣4x＜2x+4620，解得x＞30，当0≤x＜30时，y1＞y2，B城的总运费较少；当x＝30时，y1＝y2，两城的总运费相等；当30＜x≤200时，y1＜y2，A城的总运费较少．（3）由y2≤4800得2x+4620≤4800，解得x≤90，设两城总费用为y，则y＝y1+y2＝﹣2x+9420，∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝90时，y有最小值9240．答：当从A城调往C乡肥料90t，调往D乡肥料110t，从B城调往C乡肥料150t，调往D乡肥料150t，两城总费用的和最少，最小值为9240元．23．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．【分析】（1）①证明△FBC∽△ECD可得结论．②想办法证明∠AEB＝∠AGB，可得sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，所以PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，推出BP＝PS，由∠BCS＝90°，推出PC＝PS＝PB，推出PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．24．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接P A、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．【分析】（1）将（1，0）、（2，3）代入y＝ax2+c，求出a、c的值即可得；（2）过点P作PD⊥y轴于点D，设P（p，p2﹣1），在Rt△CDP中，由勾股定理得PC2＝PD2+CD2，据此知PC2＝p2+（p2﹣1+）2＝（p2+）2，继而知t＝PC＝p2+，结合d＝PH＝p2﹣1﹣（﹣2）＝p2+1可得d﹣t的值；（3）过点P作PH⊥l于点H，交x轴于点G，证△P AG∽△PMN得＝，设P（p，p2﹣1），知＝＝，据此可得m＝，同理用含p的式子表示n，从而得出答案．【解答】解：（1）根据题意，得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣1；（2）d﹣t＝，证明：如图1，过点P作PD⊥y轴于点D，设P（p，p2﹣1），p≠0，在Rt△CDP中，由勾股定理得PC2＝PD2+CD2，∴PC2＝p2+（p2﹣1+）2＝p2+（p2﹣）2＝（p2+）2，∴t＝PC＝p2+，∵d＝PH＝p2﹣1﹣（﹣2）＝p2+1，∴d﹣t＝；（3）如图2，过点P作PH⊥l于点H，交x轴于点G，∵抛物线y＝x2﹣1与x轴交于点A，B，∴A（﹣1，0）、B（1，0），∵直线l∥x轴，∴△P AG∽△PMN，∴＝，设P（p，p2﹣1），∴＝＝，∴m＝，同理可得n＝，∴mn＝﹣1．。
2020-2021学年湖北省中考数学模拟试卷(5月份)及答案解析
湖北省中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷上.1．实数的值在（）A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间2．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣23．运用乘法公式计算（a+3）2的结果是（）A．a2+3a+6 B．a2+6a+9 C．a2+9 D．a2+3a+94．下列事件属于必然事件的是（）A．姚明罚球线上投篮，投进篮筐B．某种彩票的中奖率为，购买100张彩票一定中奖C．掷一次骰子，向上一面的点数是6D．367人中至少有两人的生日在同一天5．下列式子正确的是（）A．x﹣（y﹣z）=x﹣y﹣z B．﹣（x﹣y+z）=﹣x﹣y﹣zC．x+2y﹣2z=x﹣2（z+y）D．﹣a+c+d+b=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d）6．在平面直角坐标系中，把△ABC经过平移得到△A′B′C′，若A（1，m），B（4，2），点A的对应点A′（3，m+2），则点B对应点B′的标为（）A．（6，5） B．（6，4） C．（5，m）D．（6，m）7．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．8．某校校园足球训练队队员的年龄有13、14、15、16四种年龄，统计结果如表：年龄（岁）13141516人数（个）14151617根据表中信息可以判断该足球训练队队员年龄的众数为（）A．14 B．15 C．16 D．179．若m1，m2，…m2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2016=1546，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2016﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2016中，取值为2的个数为（）A．505 B．510 C．520 D．55010．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O 外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为4B．随点C的运动而变化，最大值为4C．随点C的运动而变化，最小值为2D．随点C的运动而变化，但无最值二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算9+（﹣5）的结果为．12．2016年4月10日，武汉马拉松吸引了来自世界各地36个国家和地区的2万名专业和业余选手同场竞技．最终肯尼亚选手麦约和埃塞俄比亚选手雷加萨分别摘得男女全程组冠军．马拉松全程约为42000米，则42000用科学记数法可表示为．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，前两次抛掷朝上一面点数都是3，那么第三次抛掷朝上一面的点数为3的概率是．14．在▱ABCD中，已知∠A=25°，将△BDA沿BD翻折至△BDA′，连接CA′，∠DA′C=55°，则∠ABD= ．15．如图，四边形ABCD中，两对角线相交于E，且E为对角线BD的中点，∠DAE=30°，∠BCE=120°．若CE=1，BC=2，则AC的长为．16．已知A，B的坐标分别为（2，0），（3，0），若二次函数y=x2+（a﹣1）x+1的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程2x+1=3（x﹣1）．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点D，E在直线l 上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．19．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？20．如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y=（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．（1）求k的值；（2）若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若BA=，OI⊥AD于I，求CD的长．22．某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为（x+20）元/件（1≤x≤50），且该商品每天的销量满足关系式y=200﹣4x．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．（1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）该公司每天还需要支付人工、水电和房租等其它费用共计a元，若公司要求每天的最大利润不低于2200元，且保证至少有46天盈利，则a的取值范围是（直接写出结果）．23．△ABC中，AB=AC=5．（1）如图1，若sin∠BAC=，求S△ABC；（2）若BC=AC，延长BC到D，使CD=BC，点M为BC上一点，连接AM并延长到P，使∠APD=∠B，延长AC交PD于N，连接MN．①如图2，求证：AM=MN；②如图3，当PC⊥BC时，则CN的长为（直接写结果）．24．已知直线l：y=kx（k＜0），将直线y=kx沿y轴向下平移m（m＞0）个单位得到直线y=kx﹣m，平移后的直线与抛物线y=ax2相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物线y=ax2经过点P（6，﹣9）．（1）求a的值；（2）如图1，当∠AOB＜90°时，求m的取值范围；（3）如图2，将抛物线y=ax2向右平移一个单位，再向上平移n个单位（n＞0）．若第一象限的抛物线上存在点M，N两点，且M，N两点关于直线y=x轴对称，求n的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷上.1．实数的值在（）A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间【考点】估算无理数的大小．【分析】根据2＜＜3，即可解答．【解答】解：∵2＜＜3，∴在2和3之间．故选：C．2．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式有意义，得x+2≠0，解得x≠﹣2，故选：D．3．运用乘法公式计算（a+3）2的结果是（）A．a2+3a+6 B．a2+6a+9 C．a2+9 D．a2+3a+9【考点】完全平方公式．【分析】原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：原式=a2+6a+9，故选B4．下列事件属于必然事件的是（）A．姚明罚球线上投篮，投进篮筐B．某种彩票的中奖率为，购买100张彩票一定中奖C．掷一次骰子，向上一面的点数是6D．367人中至少有两人的生日在同一天【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：姚明罚球线上投篮，投进篮筐是随机事件，A错误；某种彩票的中奖率为，购买100张彩票一定中奖是随机事件，B错误；掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，C错误；367人中至少有两人的生日在同一天是必然事件，D正确，故选：D．5．下列式子正确的是（）A．x﹣（y﹣z）=x﹣y﹣z B．﹣（x﹣y+z）=﹣x﹣y﹣zC．x+2y﹣2z=x﹣2（z+y）D．﹣a+c+d+b=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d）【考点】去括号与添括号．【分析】根据去括号和添括号法则选择．【解答】解：A、x﹣（y﹣z）=x﹣y+z，错误；B、﹣（x﹣y+z）=﹣x+y﹣z，括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号，错误；C、x+2y﹣2z=x﹣2（z﹣y），添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号，错误；D、正确．故选D．6．在平面直角坐标系中，把△ABC经过平移得到△A′B′C′，若A（1，m），B（4，2），点A的对应点A′（3，m+2），则点B对应点B′的标为（）A．（6，5） B．（6，4） C．（5，m）D．（6，m）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【分析】先根据点A与点A′的坐标确定平移规律，再根据规律写出点B的对应点B′的坐标即可．【解答】解：∵把△ABC经过平移得到△A′B′C′，点A（1，m）的对应点为A′（3，m+2），∴平移规律是：先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，∵点B的坐标为（4，2），∴点B对应点B′的坐标为（6，4）．故选B．7．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】得到从左往右看组合几何体得到的平面图形中包含的2列正方形的个数即可．【解答】解：从左往右看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，故选C．8．某校校园足球训练队队员的年龄有13、14、15、16四种年龄，统计结果如表：年龄（岁）13141516人数（个）14151617根据表中信息可以判断该足球训练队队员年龄的众数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】众数．【分析】根据众数是出现次数最多的数就可以求解．【解答】解：在这一组数据中16是出现次数最多的，故众数是16．故选C．9．若m1，m2，…m2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2016=1546，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2016﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2016中，取值为2的个数为（）A．505 B．510 C．520 D．550【考点】规律型：数字的变化类．【分析】解决此题可以先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组求解即可【解答】解：设0有a个，1有b个，2有c个，由题意得，列出方程组解得，故取值为2的个数为520个，故选C．10．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O 外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为4B．随点C的运动而变化，最大值为4C．随点C的运动而变化，最小值为2D．随点C的运动而变化，但无最值【考点】圆的综合题．【分析】方法一、先利用SSS判断出△OCD≌△OBD，进而得出点C在运动过程中，∠BDO始终是30°，再构造出直角三角形ODF，即可判断出点F和点B重合时，OF 最大，即可得出OD的最大值．方法二、先判断出△COH是等边三角形，得出HC=OC，∠OCH=60°，进而判断出△OCD≌△HCB，即可得出OD=BH，由圆中最大的弦是直径即可得出结论．【解答】解：如图，连接OC，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，CD=BD，在△OCD和△OBD中，，∴△OCD≌△OBD（SSS），∴∠BDO=∠CDO=∠BDC=30°，过点O作OF⊥BD于F，在Rt△ODF中，∠BDO=30°，∴OD=2OF，当点C在运动的过程中，OD要最大，即OF最大，而OF最大=OB，∴OD最大=2OF最大=2OB=AB=4．故选B．方法二、如图2，连接OC，将△OCD绕点C顺时针旋转60°，则点D落在点B处，OD和⊙O相交于H，连接OH，CH，同方法一，得出∠ODC=30°，∴∠CBH=30°，∴∠COH=60°，∴△COH是等边三角形，∴HC=OC，∠OCH=60°，∵△BCD是等边三角形，∴CD=BC，∠BCD=60°，∴∠OCD=∠HCB，在△OCD和△HCB中，，∴△OCD≌△HCB（SAS），∴OD=BH，∵BH是⊙O的弦，∴BH最大=AB=4，即：OD最大=4，故选B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算9+（﹣5）的结果为 4 ．【考点】有理数的加法．【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+（9﹣5）=4，故答案为：412．2016年4月10日，武汉马拉松吸引了来自世界各地36个国家和地区的2万名专业和业余选手同场竞技．最终肯尼亚选手麦约和埃塞俄比亚选手雷加萨分别摘得男女全程组冠军．马拉松全程约为42000米，则42000用科学记数法可表示为 4.2×104．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42000=4.2×104，故答案为：4.2×104．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，前两次抛掷朝上一面点数都是3，那么第三次抛掷朝上一面的点数为3的概率是．【考点】概率公式．【分析】弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出点数是6的概率．【解答】解：根据概率公式P（向上一面点数是3）=1÷6=．故答案为：．14．在▱ABCD中，已知∠A=25°，将△BDA沿BD翻折至△BDA′，连接CA′，∠DA′C=55°，则∠ABD= 30°．【考点】平行四边形的性质；四点共圆．【分析】首先证明A′、D、B、C四点共圆，得∠CA′B=∠BDC=30°，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD=25°，CD∥AB，∴∠CDB=∠ABD，∵△A′DB是由△ABD翻折，∴∠BA′D=∠A=25°，∴∠DA′B=∠BCD，∴A′、D、B、C四点共圆，∴∠CA′B=∠BDC=30°∴∠ABD=∠BDC=30°，故答案为30°．15．如图，四边形ABCD中，两对角线相交于E，且E为对角线BD的中点，∠DAE=30°，∠BCE=120°．若CE=1，BC=2，则AC的长为 6 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】如图，延长BC交AD的延长线于F，在AE上取一点K，使得EK=CE，连接DK、BK．由四边形CDKB是平行四边形，推出DK=BC=2，DK∥BF，由∠ACB=120°，推出∠FCA=180°﹣120°=60°，由∠DAC=30°，推出∠F=90°，∠ADK=∠F=90°，由∠DAK=30°，推出AK=2DK=4，由此即可解决问题．【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于F，在AE上取一点K，使得EK=CE，连接DK、BK．∵DE=BE，EK=CE，∴四边形CDKB是平行四边形，∴DK=BC=2，DK∥BF，∵∠ACB=120°，∴∠FCA=180°﹣120°=60°，∵∠DAC=30°，∴∠F=90°，∵DK∥BF，∴∠ADK=∠F=90°，∵∠DAK=30°，∴AK=2DK=4，∴AC=AK+EK+CE=4+1+1=6，故答案为6．16．已知A，B的坐标分别为（2，0），（3，0），若二次函数y=x2+（a﹣1）x+1的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据题意，当二次函数顶点在x轴下方或当二次函数的顶点在x轴上时，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答．【解答】解：（1）顶点在x轴上：，无解（2）顶点在x轴下方时，因为抛物线过点点（0，1），①，无解②，解得：所以，三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程2x+1=3（x﹣1）．【考点】解一元一次方程．【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去括号得：2x+1=3x﹣3，移项合并得：﹣x=﹣4，解得：x=4．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点D，E在直线l 上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．【解答】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．19．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有1000 名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；故答案为：1000；（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，补图如下；（3）18000×=3600（人）．答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．20．如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y=（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．（1）求k的值；（2）若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．【考点】反比例函数的性质．【分析】（1）过点B作BM⊥OA于点M，由等边三角形的性质结合点A的坐标找出点B的坐标，再利用中点坐标公式即可求出点D的坐标，最后利用待定系数法即可得出结论；（2）设过点B的反比例函数的解析式为y=，由点B的坐标利用待定系数法求出n的值，根据反比例函数的性质即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）过点B作BM⊥OA于点M，如图所示．∵点A（4，0），∴OA=4，又∵△ABO为等边三角形，∴OM=OA=2，BM=OA=6．∴点B的坐标为（2，6）．∵点D为线段AB的中点，∴点D的坐标为（，）=（3，3）．∵点D为函数y=（x＞0，k为常数）的图象上一点，∴有3=，解得：k=9．（2）设过点B的反比例函数的解析式为y=，∵点B的坐标为（2，6），∴有6=，解得：n=12．若要第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，只需m＜k或m＞n即可，∴m＜9或m＞12．答：若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，m的取值范围为m＜9或m＞12．21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若BA=，OI⊥AD于I，求CD的长．【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质，结合外角的性质可求得∠EBD=∠BAI，再利用同弧所对的圆周角相等可求得∠EBD=∠CAD，从而可证明∠BAI=∠CAD，即AE平分∠BAC；（2）可先证明△BDI≌△BOI，可求得AB、AD、BD的长，分别在Rt△ABC和Rt△ACD 中，可得到关于AC、CD的方程组，可求得CD的长．【解答】（1）证明：∵EB=EI，∴∠EBI=∠EIB，∵IB平分∠ABC，∴∠ABI=∠DBI，又∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠EIB=∠ABI+∠BAI，∴∠EBD=∠BAI，又∠EBD=∠CAD，∴∠BAI=∠CAD，即AE平分∠BAC；（2）解：∵OI⊥AD，AB为圆O直径，∴∠OIA=∠E=90°，∴OI∥BE，∴∠OIB=∠EBI∵EB=EI，∴∠EBI=∠EIB，∴∠OIB=∠DIB，∵IB平分∠ABC，∴∠ABI=∠DBI，在△BDI和△BOI中∴△BDI≌△BOI（ASA），∴AO=BO=BD=，∴AB=2AO=2又AI=EI=EB，∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=BE2+AE2，即（2）2=（2AI）2+AI2，解得AI=2，∴OI=ID=BE=AI=1，∴AD=AI+DI=2+1=3，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2﹣CD2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2=AB2﹣BC2，即，解得CD=．22．某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为（x+20）元/件（1≤x≤50），且该商品每天的销量满足关系式y=200﹣4x．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．（1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）该公司每天还需要支付人工、水电和房租等其它费用共计a元，若公司要求每天的最大利润不低于2200元，且保证至少有46天盈利，则a的取值范围是0＜a ≤300 （直接写出结果）．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据：实际售价﹣成本=利润，列出方程，解方程可得；（2）根据：每天利润=单件利润×每天销售量列出函数关系式，配方成顶点式可得函数的最值情况；（3）根据（2）中每天利润减去每天开支a元列出函数关系式P=﹣4（x﹣25）2+2500﹣a，根据每天的最大利润不低于2200元可得关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围，再由至少有46天盈利可知﹣4x2+200x﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥46，根据韦达定理可得关于a的不等式，求得a的范围，综合上述情况确定a的范围．．【解答】解：（1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，得：0.8×（10+20）﹣a=0.2a，解得：a=20，故该公司生产每件商品的成本为20元；（2）设第x天的销售利润为W，则：W=（x+20﹣20）（﹣4x+200）=﹣4x2+200x=﹣4（x﹣25）2+2500，∴当x=25时，W取得最大值，最大值为2500元，故问销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元；（3）记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，则P=﹣4（x﹣25）2+2500﹣a，根据题意：2500﹣a≥2200，解得：a≤300，又∵至少有46天的盈利，∴﹣4x2+200x﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥46，∴（x1﹣x2）2≥462，即（x1+x2）2﹣4x1x2≥462，∵x1+x2=50，x1x2=，∴502﹣4×≥462，解得：a≤384，综上，0＜a≤300，故答案为：0＜a≤300．23．△ABC中，AB=AC=5．（1）如图1，若sin∠BAC=，求S△ABC；（2）若BC=AC，延长BC到D，使CD=BC，点M为BC上一点，连接AM并延长到P，使∠APD=∠B，延长AC交PD于N，连接MN．①如图2，求证：AM=MN；②如图3，当PC⊥BC时，则CN的长为5﹣5 （直接写结果）．【考点】三角形综合题．【分析】（1）作AB边上的高CD，根据三角函数可求得CD，则可求得△ABC的面积；（2）①过N作NH⊥MD于H点，可证明△ABM≌△DCN，再结合△ABC为等边三角形及直角三角形的性质可求得△MND为等腰三角形，可证得结论；②作辅助线构建直角三角形，在30°的直角△CNH中设CH=x，表示出DH、GM，并利用平行线，得出比例式，求出PC的长，再利用同角三角函数值列等式，求出x的值，则CN=2x=5﹣5．【解答】解：（1）如图1，作高CD，由AB=AC=5，sin∠BAC=，得高CD=4，所以S△ABC=×5×4=10；（2）①如图2，过N作NH⊥MD于H点，∵AB=AC，BC=AC，BC=CD，∴AB=CD，△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵∠ACB=∠NCD，∴∠NCD=∠B=60°，∵∠AND=∠APD+∠PAN，∠AMB=∠ACB+∠PAN，又∵∠APD=∠B=∠ACB，∴∠CND=∠AMB，∴△ABM≌△DCN，则BM=CN，AM=DN，在Rt△CNH中，∠CNH=90°﹣60°=30°，∴CH=CN，又CD=BD，CD﹣CH=（BD﹣CN）═（BD﹣BM），即DH=DM，所以MN=DN=AM；②如图3，过A作AG⊥BD，过N作NH⊥BD，垂足分别为G、H，则BG=，AG=，设CH=x，则CN=2x，BM=2x，DH=5﹣x，NH=x，∵NH∥PC，∴，∴，PC=，∵tan∠AMB==，tan∠PMC==，∴=，∴2x2+10x﹣25=0，x1=，x2=（舍去），∴CN=2x=5﹣5．故答案为：5﹣5．24．已知直线l：y=kx（k＜0），将直线y=kx沿y轴向下平移m（m＞0）个单位得到直线y=kx﹣m，平移后的直线与抛物线y=ax2相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物线y=ax2经过点P（6，﹣9）．（1）求a的值；（2）如图1，当∠AOB＜90°时，求m的取值范围；（3）如图2，将抛物线y=ax2向右平移一个单位，再向上平移n个单位（n＞0）．若第一象限的抛物线上存在点M，N两点，且M，N两点关于直线y=x轴对称，求n的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点P（6，﹣9）的坐标代入y=ax2，即可求出a的值；（2）将y=kx﹣m代入y=﹣x2，得x2+kx﹣m=0，根据二次函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系得出y1=﹣x12，y2=﹣x22，x1•x2=﹣4m，那么y1•y2=m2．当∠AOB=90°时，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．证明△AOM∽△OBN，根据相似三角形对应边成比例得出y1•y2=﹣x1•x2，依此列出关于m的方程，求出m的值，进而得出当∠AOB＜90°时，m的取值范围；（3）根据轴对称的性质得出直线y=x是线段MN的垂直平分线，如图2，设直线MN 的解析式为y=﹣x+b，与平移后的抛物线y=﹣（x﹣1）2+n交于M、N两点，交x 轴于E点，分别过M，N作y轴、x轴垂线，垂足分别为G、H，设M（m1，n1），N （m2，n2）．利用AAS证明△OMG≌△ONH，得出MG=HN，即MG=HE．将y=﹣（x ﹣1）2+n代入y=﹣x+b得：x2﹣x++b﹣n=0，由根与系数的关系得m1+m2=6，则b=6，那么x2﹣x+﹣n=0，再根据△＞0以及M，N在第一象限分别列出不等式，进而求出n的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2经过点P（6，﹣9），∴36a=﹣9，解得a=﹣；（2）将y=kx﹣m代入y=﹣x2，得x2+kx﹣m=0，∵y=kx﹣m与抛物线y=﹣x2相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1=﹣x12，y2=﹣x22，x1•x2=﹣4m，∴y1•y2=（﹣x12）•（﹣x22）=•（﹣4m）2=m2．当∠AOB=90°时，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．在△AOM与△OBN中，，∴△AOM∽△OBN，∴=，即=，∴y1•y2=﹣x1•x2，∴m2=4m，∵m＞0，∴m=4，∴当∠AOB＜90°时，m＞4；（3）∵M，N两点关于直线y=x轴对称，∴直线y=x是线段MN的垂直平分线，∴直线MN的斜率为﹣1，OM=ON，∴∠MOP=∠NOP，∵∠GOP=∠HOP=45°，∴∠GOM=∠HON．如图2，设直线MN的解析式为y=﹣x+b，与平移后的抛物线y=﹣（x﹣1）2+n交于M、N两点，交x轴于E点．分别过M，N作y轴、x轴垂线，垂足分别为G、H，设M（m1，n1），N（m2，n2），直线MN与直线y=x交于点P．在△OMG与△ONH中，，∴△OMG≌△ONH，∴MG=HN，即MG=HE．将y=﹣（x﹣1）2+n代入y=﹣x+b得：x2﹣x++b﹣n=0，由根与系数的关系得m1+m2=6，∵OE=HE+OH=MG+OH=m1+m2=6，∴b=6．即x2﹣x+﹣n=0，∵△＞0，∴（﹣）2﹣4××（﹣n）＞0，解得n＞4．又M，N在第一象限，∴m1•m2=4（﹣n）＞0，解得n＜，∴n的取值范围是4＜n＜．。
2021年湖北省武汉市东西湖区中考数学模拟试卷(5月份)(解析版)
2021年湖北省武汉市东西湖区中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（共10小题）.1．6的相反数是（）A．﹣6B．C．D．62．掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是（）A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．4．（﹣xy3）2的计算结果是（）A．xy5B．x2y6C．﹣x2y6D．x2y55．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（）A．B．C．D．6．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．7．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）都在反比例函数y＝的图象上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是（）A．t＜n＜m B．t＜m＜n C．m＜t＜n D．m＜n＜t8．小明用刻度不超过100℃的温度计来估计某食用油的沸点温度：将该食用油倒入锅中，均匀加热，每隔10s测量一次锅中的油温，得到如下数据：时间t（单位：S）010203040油温y（单位：℃）1030507090当加热100s时，油沸腾了，则小明估计这种油的沸点温度是（）A．150℃B．170℃C．190℃D．210℃9．如图，AB为⊙O的直径，以OB为斜边作等腰Rt△OBD，连接AD交⊙O于点E．若AB ＝10．则DE的长为（）A．B．5C．D．10．方程有无实数解，可以通过构造函数，利用函数图象有无交点来判断．一元三次方程x3+2x+1＝0的实数解的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．计算的结果是．12．某校八年级同学2020年4月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是．13．方程＝1的解为．14．某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是．16．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．三、解答题（共8小题，满分72分）17．解不等式组．请结合解题过程，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．18．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．19．某学校为了解九年级男同学1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．成绩等级频数A24B10C bD2合计a（1）表中a＝，b＝；（2）扇形图中C的圆心角度数是；（3）若该校共有九年级男生600人，请估计没有获得A等级的学生人数．20．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题：（1）直接写出△ABC的形状；（2）图1中，在AB上求作点D，使CD平分∠ACB；（3）图2中，在AB上求作点P，使AP：BP＝4：3；再作点P关于AC的对称点Q．21．已知，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的的切线，切点分别为A，C，过点C作CD ∥AB交⊙O于D．（1）如图1，当P，D，O共线时，若半径为r，求证CD＝r；（2）如图2，当P，D，O不共线时，若DE＝2，CE＝8，求tan∠POA．22．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：方案A：若单独投资燃油汽车时，则所获利润w1（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在正比例函数关系例w1＝kx，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；方案B：若单独投资新能源汽车时，则所获利润w2（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在二次函数关系：w2＝ax2+bx，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？（3）如果公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出x的取值范围．23．已知，在△ABC中点，E在AB上，点D在AC上，CE与BD交于点F，∠BEC+∠BDC ＝180°．（1）如图1，若AB＝AC，∠A＝52°，BE＝CD，则∠FBC＝°；（直接写出答案）（2）如图2，若BF＝AC，求证：BE＝EC；（3）如图3，若∠A＝60°，BC＝6，点E为AB的中点，则CE的最小值为．（直接写出答案）24．抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C．（1）直接写出A，B，C点的坐标；（2）如图1，在第三象限的抛物线上求点P，使∠CAP＝∠CAO；（3）如图2，点M为第一象限的抛物线上的一点，过点B作BN∥AM交抛物线于另一点N，MN交x轴于点E，且满足S△AME：S△BNE＝9：4，求MN的解析式．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．6的相反数是（）A．﹣6B．C．D．6【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．解：6的相反数是：﹣6．故选：A．2．掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是（）A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可．解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前一次的影响，掷一枚质地均匀的硬币6次，不一定3次正面朝上，因此A选项不符合题意，“可能有3次正面朝上”是正确的，因此B选项正确；可能6次都是反面向上，因此C不符合题意，有可能6次正面向上，因此D选项不符合题意；故选：B．3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．4．（﹣xy3）2的计算结果是（）A．xy5B．x2y6C．﹣x2y6D．x2y5【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．解：原式＝x2y6．故选：B．5．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（）A．B．C．D．【分析】左视图就是从几何体的左侧看，所得到的图形，实际上就是从左面“正投影”所得到的图形，解：从这个几何体的左面看，所得到的图形是长方形，能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，因此，选项D的图形，符合题意，故选：D．6．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：＝．故选：C．7．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）都在反比例函数y＝的图象上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是（）A．t＜n＜m B．t＜m＜n C．m＜t＜n D．m＜n＜t【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．解：反比例函数y＝中，k＝2021＞0，图象位于一、三象限，∵a＜0，∴点（a，m）在第三象限，∴m＜0；∵0＜b＜c，∴点（b，n）和点（c，t）在第一象限，∴0＜t＜n，∴m＜t＜n，故选：C．8．小明用刻度不超过100℃的温度计来估计某食用油的沸点温度：将该食用油倒入锅中，均匀加热，每隔10s测量一次锅中的油温，得到如下数据：时间t（单位：S）010203040油温y（单位：℃）1030507090当加热100s时，油沸腾了，则小明估计这种油的沸点温度是（）A．150℃B．170℃C．190℃D．210℃【分析】根据表中y随t的变化而变化的趋势知y与t成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将t＝100代入解析式求出y的值即可得．解：设y＝kt+b，根据题意，得：，解得，∴y＝2t+10，当t＝100时，y＝2×100+10＝210，即当加热100s时，油沸腾了，小明估计这种油的沸点温度是210℃，故选：D．9．如图，AB为⊙O的直径，以OB为斜边作等腰Rt△OBD，连接AD交⊙O于点E．若AB ＝10．则DE的长为（）A．B．5C．D．【分析】连接BE，过D作DM⊥AB于M，根据等腰直角三角形的性质求出DM，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理求出AD，根据勾股定理得出①②，再相减即可求出答案．解：连接BE，过D作DM⊥AB于M，∵AB＝10，∴OB＝OA＝5，∵△BDO是等腰直角三角形（∠BDO＝90°），DM⊥OB，∴OM＝BM＝OB＝，∴DM＝OB＝，由勾股定理得：2DB2＝OB2，∵OB＝5，∴DB＝，在Rt△AMD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°，设DE＝x，BE＝y，在Rt△BED中，由勾股定理得：DE2+BE2＝BD2，即x2+y2＝（）2＝①，在Rt△BEA中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即（+x）2+y2＝102＝100②，②﹣①得：5x+＝100﹣，解得：x＝，即DE＝，故选：D．10．方程有无实数解，可以通过构造函数，利用函数图象有无交点来判断．一元三次方程x3+2x+1＝0的实数解的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】原方程变形为：x3＝﹣2x﹣1，分别作出y1＝x3和y2＝﹣2x﹣1的图象，查看这两个图象有几个交点即可．解：原方程变形为：x3＝﹣2x﹣1，分别作出y1＝x3和y2＝﹣2x﹣1的图象如下：从图象可以看出：函数与x轴的交点只有一个，即一元三次方程有一个根，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．计算的结果是3．【分析】根据二次根式的性质解答．解：＝＝3．故答案为：3．12．某校八年级同学2020年4月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是6．【分析】根据众数的概念可得答案．解：由条形图知，数据6出现次数最多，有52次，∴这组数据的众数为6，故答案为：6．13．方程＝1的解为x＝﹣2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：1+x2+x＝x2﹣1，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故答案为：x＝﹣214．某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为13.7米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】根据题意可得，∠ABC＝90°，CD＝10，根据锐角三角函数即可求出AB的长．解：根据题意可知：∠ABC＝90°，CD＝10，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，∴tan30°＝，即＝，解得AB≈13.7（米）．答：树高约为13.7米．故答案为：13.715．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是①②．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，∴①abc＜0，正确；∵﹣＜1，∴b＜﹣2a，∴②a＜b＜﹣2a正确；由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，由题意知，a+b+c＝2，（1）a﹣b+c＜0，（2）4a+2b+c＜0，（3）把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，则a＜．由（1）代入（2）得到：b＞1．则a＜﹣1．故④错误．综上所述，正确的结论是①②．故答案为①②．16．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2＝6+2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5++＝8+2．故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．故答案为：6+2或10或8+2．三、解答题（共8小题，满分72分）17．解不等式组．请结合解题过程，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故答案为：x＞﹣1，x≤2，﹣1＜x≤2．18．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．【分析】根据AB∥CD可得∠BAD＝∠ADC，再根据AE平分∠BAD，DF平分∠ADC可得∠EAD＝∠FDA，所以得AE∥FD，进而得证∠E＝∠F．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠EAD＝∠BAD，∠FDA＝∠ADC，∴∠EAD＝∠FDA，∴AE∥FD，∴∠E＝∠F．19．某学校为了解九年级男同学1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．成绩等级频数A24B10C bD2合计a（1）表中a＝40，b＝4；（2）扇形图中C的圆心角度数是36°；（3）若该校共有九年级男生600人，请估计没有获得A等级的学生人数．【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出b即可；（2）用360°乘以C等级的人数所占的百分比即可得出答案；（3）用该校的男生人数乘以没有获得A等级的学生所占的百分比即可．解：（1）抽取的学生数是：10÷25%＝40（人），即a＝40；则b＝40﹣24﹣10﹣2＝4（人）；故答案为：40，4；（2）扇形图中C的圆心角度数是：360°×＝36°；故答案为：36°；（3）根据题意得：600×＝240（人），答：没有获得A等级的学生人数是240人．20．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题：（1）直接写出△ABC的形状；（2）图1中，在AB上求作点D，使CD平分∠ACB；（3）图2中，在AB上求作点P，使AP：BP＝4：3；再作点P关于AC的对称点Q．解：（1）∵AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形．（2）如图1中，射线CD即为所求作．（3）如图2中，点P，点Q即为所求作．21．已知，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的的切线，切点分别为A，C，过点C作CD ∥AB交⊙O于D．（1）如图1，当P，D，O共线时，若半径为r，求证CD＝r；（2）如图2，当P，D，O不共线时，若DE＝2，CE＝8，求tan∠POA．【解答】（1）证明：连接OC，∵PA，PC是⊙O的的切线，切点分别为A，C，∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90°，在Rt△PAO和Rt△PCO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL），∴∠POA＝∠POC，∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠DOA，∴∠CDO＝∠COD，∴CD＝OC＝r；（2）解：设OP交CD于E，连接OC，过O作OH⊥CD于H，由（1）可知，Rt△PAO≌Rt△PCO，∴∠POA＝∠POC，∵CD∥AB，∴∠CEO＝∠COE，∴∠CEO＝∠COE，∴CE＝CO＝8，∴CD＝CE+ED＝10，∴CH＝DH＝5，∴EH＝3，∴OH＝＝＝，∴tan∠POA＝tan∠HEO＝＝．22．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：方案A：若单独投资燃油汽车时，则所获利润w1（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在正比例函数关系例w1＝kx，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；方案B：若单独投资新能源汽车时，则所获利润w2（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在二次函数关系：w2＝ax2+bx，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？（3）如果公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出x的取值范围．解：（1）由题意可得，当x＝2时，w1＝0.8，代入w1＝kx得，0.8＝2k，解得k＝0.4，∴正比例函数的表达式为w1＝0.4x．当x＝1时，w2＝1.4；当x＝3时，w2＝3，代入w2＝ax2+bx，得：，∴，∴二次函数表达式为w2＝﹣0.2x2+1.6x；（2）根据题意得：w1+w2＝5，∴0.4x+（﹣0.2x2+1.6x）＝5，∴﹣0.2x2+2x﹣5＝0，解得：x1＝x2＝5．∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，则w2＝﹣0.2（2x）2+1.6×2x＝﹣0.8x2+3.2x，根据题意得：w1+w2≥3x×60%，∴0.4x+（﹣0.8x2+3.2x）≥3x×60%，∴﹣0.8x2+3.6x≥1.8x，∴0≤x≤2.25；∵获得总利润为不低于4千万元，∴﹣0.8x2+3.6x﹣4≥0，∴2≤x≤2.5．综上所述，x的取值范围是2≤x≤2.5．23．已知，在△ABC中点，E在AB上，点D在AC上，CE与BD交于点F，∠BEC+∠BDC ＝180°．（1）如图1，若AB＝AC，∠A＝52°，BE＝CD，则∠FBC＝26°；（直接写出答案）（2）如图2，若BF＝AC，求证：BE＝EC；（3）如图3，若∠A＝60°，BC＝6，点E为AB的中点，则CE的最小值为3﹣3．（直接写出答案）【分析】（1）证明△CBE≌△BCD（SAS），则∠BEC＝∠BDC＝90°＝∠ADB，进而求解；（2）在AB上取点G使CG＝CA，证明△CEG≌△BEF（AAS），即可求解；（3）当点C、E′、F三点共线时，CE（CE′）的长度最小，进而求解．解：（1）∵AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝76°，在△CBE和△BCD中，，∴△CBE≌△BCD（SAS），∴∠BEC＝∠BDC，而∠BEC+∠BDC＝180°∴∠BEC＝∠BDC＝90°＝∠ADB，则∠FBC＝∠ABC﹣∠ABD＝76°﹣（90°﹣∠A）＝26°，故答案为：26；（2）在AB上取点G使CG＝CA，则∠A＝∠AGC，∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BDC+∠EAC+∠DFC＝∠BDC+∠EAC+∠EFB＝180°，∴∠BDC+∠BEC+∠EFB+∠FCD＝180°+∠A+∠AEC，∵∠BEC+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠EFB＝∠GFC，在△CEG和△BEF中，，∴△CEG≌△BEF（AAS），∴CE＝BE；（3）作△ABC为外接圆O，过点O作OH⊥BC于点H，连接OB、OC，则∠AOC＝2∠BAC＝2×60°，则∠BOH＝60°，则BH＝BC＝3，在Rt△BOH中，∠BOH＝60°，BH＝3，则BO＝6，OH＝3，取BO的中点F作圆F，交AB于点E，设圆F的半径为r，则r＝3，∵∠OHB＝90°，故点H在圆F上，当点C、E′、F三点共线时，CE（CE′）的长度最小，过点F作FD⊥BC于点D，则DH＝BH＝CH，则DF＝OH＝，∴CD＝DH+CH＝CH＝BC＝，∴CF＝＝＝3，则CE的最小值为CE′＝CF﹣r＝3﹣3．故答案为：3﹣3．24．抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C．（1）直接写出A，B，C点的坐标；（2）如图1，在第三象限的抛物线上求点P，使∠CAP＝∠CAO；（3）如图2，点M为第一象限的抛物线上的一点，过点B作BN∥AM交抛物线于另一点N，MN交x轴于点E，且满足S△AME：S△BNE＝9：4，求MN的解析式．【分析】（1）对于y＝x2+x﹣2①，令y＝x2+x﹣2＝0，解得x＝﹣4或1，令x ＝0，则y＝﹣2，即可求解；（2）在Rt△ONC中，OC＝2，ON＝x，CN＝4﹣x，求出tan∠ONC＝＝＝，得到设直线AP的表达式为y＝﹣（x+4），即可求解；（3）由S△AME：S△BNE＝9：4，则△NEB和△MEA相似比为2：3，则ME：EN＝3：2＝AE：BE，求出点E（﹣1，0），由△MES∽△NET，得到ES：ET＝3：2，进而求解．解：（1）对于y＝x2+x﹣2①，令y＝x2+x﹣2＝0，解得x＝﹣4或1，令x＝0，则t＝﹣2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（1，0）、（0，﹣2）；（2）延长AP交y轴于点H，过点C作CN∥AP交x轴于点N，∵CN∥AP，则∠NCA＝∠CAP，∵∠CAP＝∠CAO，则∠NAO＝∠CAO＝∠NCA，∴AN＝CN，设ON＝x，则AN＝CN＝4﹣x，在Rt△ONC中，OC＝2，ON＝x，CN＝4﹣x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝1.5；则tan∠ONC＝＝＝，∵CN∥OP，故设直线AP的表达式为y＝﹣x+t，将点A的坐标代入上式得：y＝﹣（x+4）②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S、T，∵AM∥BN，∴△NEB∽△MEA，∵S△AME：S△BNE＝9：4，故△NEB和△MEA相似比为2：3，即ME：EN＝3：2＝AE：BE，而AB＝5，故AE＝3，故点E（﹣1，0），∵MS∥TN，则△MES∽△NET，则ES：ET＝3：2，即（x M﹣x E）：（x E﹣x N）＝3：2，即（x M+1）：（1﹣x N）＝3：2③，由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y＝k（x+4）④，联立①④并整理得：x2+（3﹣2k）x﹣4﹣8k＝0，故x A+x M＝2k﹣3同理可得，直线BN的表达式为y＝k（x﹣1），同理可得，x A+x N＝2k﹣3，∴x M﹣x N＝5，而（x M+1）：（1﹣x N）＝3：2，解得x M＝2，x N＝﹣3，故点M、N的坐标分别为（2，3）、（﹣3，﹣2），由M、N的坐标得，直线MN的表达式为y＝x+1．。
2020年湖北省武汉市中考数学模拟考试试卷及答案解析
2020年湖北省武汉市中考数学模拟考试试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，6B．5，2，6C．2，5，﹣6D．5，2，﹣6 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）下列事件中，不可能事件是（）A．水在100℃沸腾B．射击一次，命中靶心C．三角形的内角和等于360°D．经过路口，遇上红灯4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+3）2+2以原点为中心旋转180°得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣3）2+2B．y＝﹣2（x+3）2﹣2C．y＝2（x﹣3）2﹣2D．y＝2（x﹣3）2+25．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．（3分）⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝6cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能在⊙O上或在⊙O内8．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A，沿顺时针方向旋转后得到Rt△AB1C1，当点B1恰好落在斜边BC的中点时，则∠B1AC＝（）A．25°B．30°C．40°D．60°9．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O1分别交AC、BC于两D、E点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连FD、BD、OD，下列结论：①四边形ODCE是平行四边形；②E是△BFD的内心；③E是△FDO的外心；④∠C＝∠BFD；其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．（3分）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．t＜3二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是．12．（3分）若点A（m，7）与点B（﹣4，n）关于原点成中心对称，则m+n＝．13．（3分）今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤40元上涨到第三季度的每公斤元90，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为．14．（3分）用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏（红色与蓝色可配成紫色），则能配成紫色的概率为．15．（3分）如图，正六边形ABCDEF纸片中，AB＝6，分别以B、E为圆心，以6为半径画、．小欣把扇形BAC与扇形EDF剪下，并把它们粘贴为一个大扇形（B与E重合，F与A重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为．16．（3分）如图，P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，P A＝，PB＝2，PC＝1，∠APC的度数是．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．18．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．19．（8分）如图，两转盘分别标有数字，转盘一被三等分，转盘二被分成六份，其中标有数字“8”的扇形的圆心角为90°，标有数字“5”的扇形圆心角是标有数字“2”的扇形圆心角的2倍，转动转盘，等旋转停止时，每个转盘上的前头各指向一个数字（若箭头指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指向数字为止）．（1）转动转盘一次，求出指向数字“3”的概率，（2）同时转动两个转盘，通过画树状图法或列表法求这两个转盘转出的数字之和为偶数的概率．20．（8分）如图，已知点A（﹣2，﹣1）、B（﹣5，﹣5）、C（﹣2，﹣3），点P（﹣6，0）．（1）将△ABC绕点P逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为；（3）把△A2B2C2向下平移6个单位长度得△A3B3C3，画出△A3B3C3，由图可知△A3B3C3可由△A1B1C1绕点Q逆时针旋转90°而得到，则点Q的坐标为；21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连结AC（1）求证：AB＝AP；（2）若AB＝10，DP＝2，①求线段CP的长；②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积．22．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2，D是BC边上的动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接EC．（1）如图a，求证：CE⊥BC；（2）连接ED，M为AC的中点，N为ED的中点，连接MN，如图b．①写出DE、AC，MN三条线段的数量关系，并说明理由；②在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，M，E两点之间的距离最小？最小值是，请直接写出结果．24．（12分）如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标；（2）若点E是第一象限抛物线上的点，满足∠EAB＝∠ADC．①求点E的纵坐标；②试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．2020年湖北省武汉市中考数学模拟考试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，6B．5，2，6C．2，5，﹣6D．5，2，﹣6【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【解答】解：方程整理得：2x2+5x﹣6＝0，则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6，故选：C．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，故选：B．3．（3分）下列事件中，不可能事件是（）A．水在100℃沸腾B．射击一次，命中靶心C．三角形的内角和等于360°D．经过路口，遇上红灯【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、水在100℃沸腾是必然事件；B、射击一次，命中靶心是随机事件；C、三角形的内角和等于360°是不可能事件；D、经过路口，遇上红灯是随机事件；故选：C．4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+3）2+2以原点为中心旋转180°得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣3）2+2B．y＝﹣2（x+3）2﹣2C．y＝2（x﹣3）2﹣2D．y＝2（x﹣3）2+2【分析】求出绕原点旋转180°的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+3）2+2的顶点为（﹣3，2），绕原点旋转180°后，变为（3，﹣2）且开口相反，故得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣2，故选：C．5．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．【解答】解：A、必然事件发生的概率是1，正确；B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选：C．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】连接AC，如图，利用圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，则∠ACD＝∠DCB ﹣∠ACB＝20°，然后再利用圆周角定理可得到∠AED的度数．【解答】解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，∴∠AED＝∠ACD＝20°．故选：B．7．（3分）⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝6cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能在⊙O上或在⊙O内【分析】连接CP，根据圆心到直线l的距离CM＝6cm，在直线l上有一点P且PM＝3cm 得出CP的长度，即可得出P与圆的位置关系．【解答】解：∵过点O作OM⊥l，连接OP，∴MP＝3cm，OM＝6cm，∴CO＝＝＝3，∵⊙C的半径r＝10cm，∴d＝3＜10，∴点P在圆内，．故选：A．8．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A，沿顺时针方向旋转后得到Rt△AB1C1，当点B1恰好落在斜边BC的中点时，则∠B1AC＝（）A．25°B．30°C．40°D．60°【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得AB1＝BB1，再根据旋转的性质得AB1＝AB，旋转角等于∠BAB1，则可判断△ABB1为等边三角形，所以∠BAB1＝60°，从而得出结论．【解答】解：∵点B1为斜边BC的中点，∴AB1＝BB1，∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，∴AB1＝AB，旋转角等于∠BAB1，∴AB1＝BB1＝AB，∴△ABB1为等边三角形，∴∠BAB1＝60°．∴∠B1AC＝90°﹣30°＝60°．故选：B．9．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O1分别交AC、BC于两D、E点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连FD、BD、OD，下列结论：①四边形ODCE是平行四边形；②E是△BFD的内心；③E是△FDO的外心；④∠C＝∠BFD；其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】首先利用三角形的中位线定理证明OE∥AC，然后证得△FDO≌△FBO，可以得到DF是圆的切线，然后利用内心以及外心的定义和的等腰三角形的性质：等边对等角即可作出判断．【解答】解：连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，又∵AB＝AC，∴BE＝CE，又∵OA＝OB，∴OE∥AC，∴∠BOE＝∠BAC，∠EOD＝∠ADO，∵∠BAC＝∠ADO，∴∠BOE＝∠EOD，在△FDO和△FBO中∵，∴△FDO≌△FBO∴∠ODF＝∠OBF＝90°，即△FDO是直角三角形，DF是圆的切线．如果四边形ODCE是平行四边形，则OD∥BC，则∠BEO＝∠EOB＝∠DOE则△OBE是等边三角形，从而得到△ABC是等边三角形，与已知不符，故①是错误的；∵FD、FB是圆的切线，∴FD＝FB，又∵OB＝OD∴OF是BD的中垂线，∴＝，E在∠DFB的平分线上，∴E在∠FBD的平分线上，则E是△BFD的内心，故②正确；Rt△DOF中，若E是△FDO的外心，则E是OF的中点，可以得到△ODE是等边三角形，则△ABC是等边三角形，与已知不符，故③是错误的；设∠C＝x°，则∠A＝180﹣2x°，则在直角△ABD中，∠ABD＝90°﹣（180﹣2x）＝2x﹣90°，∵BF是切线，则∠ABF＝90°，∴∠DBF＝90°﹣∠ABD＝90°﹣（2x﹣90）°＝180﹣2x°，在等腰△BDF中，∠F＝180°﹣2∠DBF＝180°﹣2（180﹣2x）°＝4x﹣180°，而4x﹣180与x不一定相等，故④不正确．故正确的只有②．故选：A．10．（3分）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．t＜3【分析】二次函数的表达式为y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），x＝﹣1时，y＝4，x＝4时，y＝8，即可求解．【解答】解：二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，则x＝﹣＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），x＝﹣1时，y＝4，x＝4时，y＝8，t的取值范围为顶点至y＝8之间的区域，即﹣1≤t＜8；故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是0．【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△＞0求解即可；【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4+4m＞0，∴m＞﹣1；故答案为0；12．（3分）若点A（m，7）与点B（﹣4，n）关于原点成中心对称，则m+n＝﹣3．【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（m，7）与点B（﹣4，n）关于原点成中心对称，∴m＝4，n＝﹣7，∴m+n＝﹣3．故答案为：﹣3．13．（3分）今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤40元上涨到第三季度的每公斤元90，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为50%．【分析】设平均每个季度的增长率为x，根据该超市第一季度及第三季度排骨的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设平均每个季度的增长率为x，依题意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．故答案为：50%．14．（3分）用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏（红色与蓝色可配成紫色），则能配成紫色的概率为．【分析】画树状图列出所有等可能结果和能配成紫色的结果，再根据概率公式计算可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中能配成紫色的有3种结果，所以能配成紫色的概率为＝，故答案为：．15．（3分）如图，正六边形ABCDEF纸片中，AB＝6，分别以B、E为圆心，以6为半径画、．小欣把扇形BAC与扇形EDF剪下，并把它们粘贴为一个大扇形（B与E重合，F与A重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为2．【分析】根据正六边形的性质和弧长的公式即可得到结论．【解答】解：正六边形ABCDEF纸片中，∵∠B＝∠E＝120°，∵AB＝6，∴+的长＝×2＝8π，∴圆锥的底面半径＝＝4，∴圆锥的高＝＝2，故答案为：2．16．（3分）如图，P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，P A＝，PB＝2，PC＝1，∠APC的度数是135°．【分析】如图，将△P AC绕C点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，连结PP′．可求PP′＝，∠CP′P＝45°，由勾股定理的逆定理可求∠BP′P＝90°，即可求解．【解答】解：如图，将△P AC绕C点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，连结PP′．∴△P AC≌△P′BC，∠PCP′＝90°，∴CP＝CP′＝1，∠APC＝∠CP′B，AP＝BP′＝，∴△PCP′是等腰直角三角形，且PC＝1，∴PP′＝，∠CP′P＝45°，在△BPP′中，∵PP′＝，BP′＝，PB＝2，∴PP′2+BP′2＝PB2，∴△CP′P是直角三角形，∠BP′P＝90°，∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°，∴∠APC＝135°，故答案为135°．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．【解答】解：a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3∴x＝＝∴，．18．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠F AB＝∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；（2）当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB＝60°，得到∠F AB＝∠CAB ＝∠CAB＝60°，从而得到EF＝AD＝AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E＝∠CAB，∠EF A＝∠F AB，∵∠E＝∠EF A，∴∠F AB＝∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF（SAS），∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴BF⊥AF；（2）解：当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．理由如下：∵∠CAB＝60°，∴∠F AB＝∠CAB＝60°，∴∠EAF＝60°，∵AE＝AF＝AD，∴△AEF，△ADF都是等边三角形，∴EF＝AE＝AD＝AE，∴四边形ADFE是菱形．19．（8分）如图，两转盘分别标有数字，转盘一被三等分，转盘二被分成六份，其中标有数字“8”的扇形的圆心角为90°，标有数字“5”的扇形圆心角是标有数字“2”的扇形圆心角的2倍，转动转盘，等旋转停止时，每个转盘上的前头各指向一个数字（若箭头指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指向数字为止）．（1）转动转盘一次，求出指向数字“3”的概率，（2）同时转动两个转盘，通过画树状图法或列表法求这两个转盘转出的数字之和为偶数的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出答案（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）转动转盘一一次，指向数字“3”的概率为；（2）∵标有数字“8”的扇形的圆心角为90°，∴标有数字“4”的扇形的圆心角为90°，∵标有数字“5”的扇形圆心角是标有数字“2”的扇形圆心角的2倍，∴标有数字“2”和“5”的扇形的圆心角的分别为60°、120°，画树状图如图：共有36个等可能的结果，两个转盘转出的数字之和为偶数的结果有16个，∴两个转盘转出的数字之和为偶数的概率为＝．20．（8分）如图，已知点A（﹣2，﹣1）、B（﹣5，﹣5）、C（﹣2，﹣3），点P（﹣6，0）．（1）将△ABC绕点P逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为（﹣3，5）；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为（1，1）；（3）把△A2B2C2向下平移6个单位长度得△A3B3C3，画出△A3B3C3，由图可知△A3B3C3可由△A1B1C1绕点Q逆时针旋转90°而得到，则点Q的坐标为（3，3）；【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（3）分别作出A1，B1，C1的对应点A3，B3，C3即可．对应点连线段的垂直平分线的交点即为所求的点Q．【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求．点C的对应点C1的坐标为（﹣3，5）；故答案为（﹣3，5）．（2）如图△A2B2C2即为所求．点A的对应点A2的坐标为（1，1）；故答案为（1，1）．（3）如图△A3B3C3即为所求．由图可知△A3B3C3可由△A1B1C1绕点Q逆时针旋转90°而得到，则点Q的坐标为（3，3），故答案为（3，3）．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连结AC（1）求证：AB＝AP；（2）若AB＝10，DP＝2，①求线段CP的长；②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积．【分析】（1）利用等角对等边证明即可．（2）①利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．③作FH⊥AD于H．首先利用相似三角形的性质求出AE．DE，再证明AE＝AH，设FH＝EF＝x，利用勾股定理构建方程解决问题即可．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠BAC＝∠CAP，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．（2）①解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∴BD＝＝＝6，∴PB＝＝＝2，∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PC＝PB＝，∴PC＝．②解：作FH⊥AD于H．∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴＝＝，∴＝＝，∴AE＝，DE＝，∵∠FEA＝∠FEH，FE⊥AE，FH⊥AH，∴FH＝FE，∠AEF＝∠AHF＝90°，∵AF＝AF，∴Rt△AFE≌Rt△AFH（HL），∴AH＝AE＝，DH＝AD﹣AH＝，设FH＝EF＝x，在Rt△FHD中，则有（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝，∴S△ADF＝•AD•FH＝×8×＝．22．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2，D是BC边上的动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接EC．（1）如图a，求证：CE⊥BC；（2）连接ED，M为AC的中点，N为ED的中点，连接MN，如图b．①写出DE、AC，MN三条线段的数量关系，并说明理由；②在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，M，E两点之间的距离最小？最小值是1，请直接写出结果．【分析】（1）如图a，过点A作AH⊥AC交BC于H，由“SAS”可证△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，可得结论；（2）①如图b，连接AN，CN，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得AN＝CN ＝DN＝EN＝DE，MN⊥AC，AM＝CM＝AC，由勾股定理可得结论．②根据垂线段最短即可解决问题．【解答】证明：（1）如图a，过点A作AH⊥AC交BC于H，∵∵∠ACB＝45°，AH⊥AC，∴∠AHC＝∠ACB＝45°，∴AH＝AC，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠HAC＝∠DAE＝90°，∴∠HAD＝∠CAE，且AD＝AE，AH＝AC，∴△HAD≌△CAE（SAS）∴∠ACE＝∠AHD＝45°，∴∠HCE＝90°，∴CE⊥BC；（2）MN2+AC2＝DE2，理由如下：如图b，连接AN，CN，∵∠EAD＝∠ECD＝90°，点N是DE中点，∴AN＝CN＝DN＝EN＝DE，∵M为AC的中点，∴MN⊥AC，AM＝CM＝AC，∵MN2+CM2＝CN2，∴MN2+AC2＝DE2．（3）如图c中，由（1）可知∠ECB＝90°，∴CE⊥BC，∴当ME⊥EC时，ME的值最小，在Rt△ACH中，∵AH＝AC＝2，∴HC＝4，∵AM＝MC＝，在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，∴EC＝EM＝1，由（1）可知：△HAD≌△CAE，∴HD＝EC＝1，∴CD＝4﹣1＝3，∴BD＝5﹣3＝2，∴当BD＝2时，EM的值最小，最小值为1，故答案为：124．（12分）如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标；（2）若点E是第一象限抛物线上的点，满足∠EAB＝∠ADC．①求点E的纵坐标；②试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意将a＝1，C（0，﹣3）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），进而求出m 的值，即可得出答案；（2）①表示D点坐标，得出∠EAB＝∠BAD，则x轴平分∠BAD，可得出点D关于x 轴的对称点一定在直线AE上，求出直线AE的解析式，联立直线AE和抛物线解析式可得出点E的坐标．②由①知E点的坐标，得出F（m，﹣4）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），再利用PF，AD，AE的关系得出答案．【解答】解：（1）当a＝1时，y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝x2﹣2mx﹣3m2，∵与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3m2＝﹣3，解得：m＝±1，∵m＞0，∴m＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵CD∥AB，∴C，D关于直线x＝1对称，∴D点坐标为：（2，﹣3）；（2）①对于y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），当y＝0，则0＝a（x2﹣2mx﹣3m2），解得：x1＝﹣m，x2＝3m，当x＝0，y＝﹣3am2，可得：A（﹣m，0）、B（3m，0），C（0，﹣3am2），∵抛物线过点C，∴﹣3am2＝﹣3，则am2＝1，∵CD∥AB交抛物线于点D，∴∠ADC＝∠BAD，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝m对称，∴D（2m，﹣3），∵∠EAB＝∠ADC，∴∠EAB＝∠BAD，∴x轴平分∠BAD，∴点D关于x轴的对称点D'（2m，3）一定在直线AE上，∴直线AD′的解析式为：y＝x+1，联立，整理得x2﹣3mx﹣4m2＝0，解得x1＝4m，x2＝﹣m（舍去），∴E点的横坐标为4m，∴y＝．∴点E的纵坐标为5．②存在，理由：当x＝m时，y＝a（m2﹣2m2﹣3m2）＝﹣4am2＝﹣4，∴F（m，﹣4），∵E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），设P（b，0），∴PF2＝（m﹣b）2+16，AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，∴（m﹣b）2+16+9m2+9＝25m2+25，解得：b1＝﹣3m，b2＝5m∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．。
2020-2021学年湖北省中考5月模拟考试数学试题含答案解析
4.如图，直线a//b直角三角形如图放置，/DCB=90若/1+ /2=60，则/B的度
数为（）
A.20°B.40°C.30°D.25°
k
5.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y - （x0）的图象交矩形OABC的边AB于点D交
6
k -1一 一、，
A.1、2、3、4B.1、2、4C.1、2D.1、2、3
10.在平面直角坐标系中，。为原点点A (-3,0).点B( 0.3)，点E,点F分别为OA,OB的中点 若正方 形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEDF.若直线AE与线
BF交于点P,则点P的纵坐标的最大值是()
. 3 1c .3 3c.3 3c 3.3 3
15.如图，四边形ABED是平行四边形，B、E、C三点共线.以点C为圆心、CD为半径的弧与BC交
于点E、AB=CD=4,则阴影部分的面积是
/BCD=
三.解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17.（本题满分8分）先化简，再求值:
a2a1、a412
―弓—弓)，其中a,两足 一a a4 0
a22a a24a4a 22
18.如图，已知四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上
的点，且DE=BF,连结AE、AF、EF.
(1)求证：△AD-△ ABF;
(2)若BC=12, DE=4,求AAEF的面积.
对于掘物线y=ax+4ax+m与x轴的交点为A(-1,0),B(x,0)则下列说法
1.一元二次方程ax+4ax+m0的两根为x=-1,x=-3
2.原抛物线与y铀交于C点.CD//x轴交抛物线千D点.则CD=4
湖北省武汉市2021年中考数学模拟试卷(含答案)
武汉市江岸区2020～2021学年度中考模拟试卷九年级数学一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．实数﹣2020的相反数是（ ）A ．2020B ．﹣2020C ．2021D ．﹣20212．代数式12+x 在实数范围内有意义的条件是（ ）A ．x ＞﹣21B ．x ≠﹣21C ．x ＜﹣21D ．x ≥﹣21 3．“购买1张彩票，中奖”这个事件是（ ）A ．确定事件B ．不可能事件C ．必然事件D ．随机事件 4．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若点A （﹣2020，y 1）、B （2021，y 2）都在双曲线x a y 23+=上，且y 1＞y 2，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ． 23->aD ．23-<a 7．有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ）A ．两个转盘转出蓝色的概率一样大B ．如果A 转盘转出了蓝色，那么B 转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同1D．游戏者配成紫色的概率为68．近期，某国遭遇了近年来最大的经济危机，导致该国股市大幅震荡，昨天某支股票累计卖出的数量和交易时间之间的关系如图中虚线所示，累计买入的数量和交易时间之间的关系如图中实线所示，其中点A是实线和虚线的交点，点C是BE的中点，CD与横轴平行，则下列关于昨天该股票描述正确的是（）A．交易时间在3.5h时累计卖出的数量为12万手B．交易时间在1.4h时累计卖出和累计买入的数量相等C．累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有5个D．从点A对应的时刻到点C对应的时刻，平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量9．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8B．163C．32D．32310．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中心点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n个图形中小黑点的个数应该是（）A．4n+1B．3n+2C．5n﹣1D．6n﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．计算：2)11(-＝ ．12．为了参加区中学生篮球联赛，某校篮球队准备购买10双运动鞋．其尺码如下表：尺码/cm24.5 25 26 26.5 27 购买量/双 2 3 3 1 1则这组数据中位数是 ．13．已知21)2)(1(15++-=+-+x B x A x x X ，则3A ﹣B ＝ ． 14．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．则线段OF 长的最小值为 ．15．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数）的对称轴为直线x ＝1，经过A （0，2），B （﹣1，m ）两点，其中m ＜0．下列四个结论：①ab ＜0；②一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根在1和2之间；③点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞32时，y 1＞y 2； ④a ＜﹣32． 其中正确的结论是 （填写序号）．16．如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 为半径作弧，交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于21BF 为半径作弧，两弧交于点G ，射线AG 交BC 于点E ．若BF ＝8，AB ＝5，则AE 的长为 ．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（2m3）2+m2•m4﹣2m8÷m218．（8分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．19．（8分）近年以来，雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）求扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角的度数；（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数．20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将边BC 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD ；（2）画边AC 的中点E ；（3）连接DE 并延长交BC 于点F ，直接写出BF CF 的值； （4）在AB 上画点G ，连接FG ，使FG ∥CD ．21．（8分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠BAC ＝2∠CDE ；（2）若CE ＝4，cos ∠ABC ＝31，求⊙O 的半径．22．（10分）疫情期间，某销售商在网上销售A 、B 两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日） A 型400 600 200 B 型 800 1200 400根据市场行情，该销售商对A 型手写板降价销售，同时对B 型手写板提高售价，此时发现A 型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．23．（10分）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此时BD和CE的数量关系是；（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．24．（12分）如图，直线y ＝﹣21x +2交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线y ＝﹣41x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．（1）直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标； （3）将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．。
2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷(5月份)(附答案详解)
2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·安徽省·历年真题)−2的绝对值是()A. −2B. 2C. 12D. −122.(2017·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末考试)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是()A. 摸出的是3个白球B. 摸出的是3个黑球C. 摸出的是2个白球、1个黑球D. 摸出的是2个黑球、1个白球3.(2020·安徽省·期末考试)下面四个图案可以看作轴对称图形的是()A. B.C. D.4.(2021·陕西省西安市·月考试卷)计算(−2a2)3的结果是()A. −6a6B. 6a6C. 8a6D. −8a65.(2021·山东省临沂市·期末考试)如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是()A.B.C.D.6.(2021·湖北省武汉市·模拟题)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中，至少有两只雄鸟的概率是()A. 18B. 38C. 12D. 347.(2021·湖北省武汉市·模拟题)若点A(x1,−2)，B(x2,−3)，C(x3,2)在反比例函数y=−m2−1x(m是常数)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是()A. x1>x2>x3B. x1>x3>x2C. x3>x1>x2D. x2>x1>x38.(2021·湖北省武汉市·模拟题)某登山队大本营所在地的气温为5℃，气温随着海拔高度增加而下降.已知登山队所在的位置的气温是y(单位：℃)，登山队员由大本营向上登高x(单位：km)，则y是x的一次函数.如表记录了四次测量的数据，其中只有一组是记录错误的数据，它是()组数第一组第二组第三组第四组x12 2.54y−1−7−10−15A. 第一组B. 第二组C. 第三组D. 第四组9.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA.若OA=2√3，则阴影部分的面积为()A. π+√32B. π+√3 C. π−√32D. π−√310.(2021·湖北省武汉市·模拟题)将双曲线y=2x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则(a−1)(b+2)的值为()A. 1B. 2C. −2D. −1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.(2021·湖北省武汉市·模拟题)计算√(−12)2的结果是______ ．12.(2021·湖北省武汉市·模拟题)某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是______ ．13.(2021·湖北省武汉市·模拟题)分式方程2x+1=x−13x+3+1的解是______ ．14.(2021·湖北省黄石市·单元测试)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为______m.(结果保留根号)15.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在2和3之间(不包括这两个点)，下列结论：①当−1<x<3时，y>0；②−1<a<−23；③对于任意实数m，a+b>m(am+b)始终成立；④b2−4ac=16a2，其中正确的结论的序号是______ ．16.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图一，矩形纸片ABCD中，已知AB：BC=5：3，先按图二操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图(三)操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则∠HAF的余弦值______ ．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.(2021·广东省惠州市·期末考试)解不等式组{4(x+1)≤7x+10①3x−15<x−8②，并在数轴上画出它的解集．18.(2021·湖北省武汉市·单元测试)如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC//DF．19.(2021·四川省绵阳市·模拟题)某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图：请你根据以上的信息，回答下列问题(1)本次共调查了________名学生，其中最喜爱戏曲的有________人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是________；(2)根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．20.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，在下列6×6的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A(0,3)，B(5,3)，C(1,5)，D(3,4)都是格点，在网格中仅用无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：(1)直接写出△ABC的形状；(2)画出点D关于AB的对称点E，并写出点E的坐标；(3)在线段AB上找一点F，连接DF，使DF//AC；(4)在线段AB上确定一点M，使得tan∠ACM=3．521.(2021·陕西省西安市·模拟题)如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．(1)求证：DB=DE；(2)若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．22.(2019·湖北省武汉市·模拟题)某商店销售A型和B型两种电器，若销售A型电器20台，B型电器10台可获利13000元，若销售A型电器25台，B型电器5台可获利12500元．(1)求销售A型和B型两种电器各获利多少元？(2)该商店计划一次性购进两种型号的电器共100台，其中B型电器的进货量不超过A型电器的2倍，该商店购进A型、B型电器各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？(3)实际进货时，厂家对A型电器出厂价下调a(0<a<200)元，且限定商店最多购进A型电器60台，若商店保持同种电器的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电器销售总利润最大的进货方案．23.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ=60°，连接PQ．(1)求证△MEP≌△MBQ；(2)当点Q在线段GC上时，求证：PF+GQ=2BG．(3)若点Q从G点运动到C点的过程中，直接写出点P的运动路径长．24.(2021·广东省广州市·单元测试)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．答案和解析1.【答案】B【知识点】绝对值【解析】解：|−2|=2，故选：B．根据绝对值的定义，可直接得出−2的绝对值．本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2.【答案】A【知识点】随机事件、必然事件与不可能事件【解析】【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．【解答】解：A.摸出的是3个白球是不可能事件；B.摸出的是3个黑球是随机事件；C.摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；D.摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，故选A．3.【答案】C【知识点】轴对称图形【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．4.【答案】D【知识点】幂的乘方与积的乘方【解析】解：(−2a2)3=(−2)3⋅(a2)3=−8a6．故选：D．根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．本题考查了积的乘方，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．5.【答案】D【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．故选：D．根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．6.【答案】C【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：根据题意画图如下：共8种等可能结果，三只雏鸟中至少有两只雄鸟的有4种情况，所以3只雏鸟中，至少有两只雄鸟的概率是48=12，故选：C．根据题意列举出所有等可能结果，看三只雏鸟中至少有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．7.【答案】A【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：∵−m2−1<0，∴反比例函数y=−m2−1(m是常数)的图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大x而增大．∵−2<0，−3<0，∴A，B在第四象限，且x1>x2>0．∵2>0，∴C在第二象限．∴x3<0．∴x1>x2>x3．故选：A．(m是常数)的图象在第二、四象限，在每一由−m2−1<0可知，反比例函数y=−m2−1x象限内y随x的增大而增大；由−2<0，−3<0可知A，B在第四象限，且x1>x2>0，由2>0可知：C在第二象限，x3<0，综上所述，结论可得．本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征．熟记反比例函数图象的性质并熟练运用是解题的关键．8.【答案】D【知识点】一次函数的应用【解析】解：根据题意得：y=5−6x．当x=4时，y=5−24=−19，故第四组是记录错误的数据，故选：D．根据表格中的数据可得海拔每升高1km气温下降6℃，据此判断即可．本题考查一次函数的应用，关键知道气温随着高度变化，某处的气温=地面的气温−降低的气温．9.【答案】B【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理【解析】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB，∴AE=BE=12AB，∠AOE=12∠AOB=12×120°=60°，∴∠OAE=30°，∴OE=12OA=√3，AE=√32OA=3，∴AB=6，∵CO⊥OA，∴∠AOD=90°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOD=120°−90°=30°，∴∠OBA=∠COB，∴OD=BD，设OD=BD=x，则DE=3−x，在Rt△DEO中，由勾股定理得：DE2+OE2=DO2，即(3−x)2+(√3)2=x2，解得：x=2，即OD=BD=2，∴阴影部分的面积S=S△AOD+S扇形COB−S△BOD=12×(6−2)×√3+30π×(2√3)2360−12×2×√3=√3+π，故选：B．过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE和OE，根据勾股定理求出DE，再求出阴影部分的面积即可．本题考查了勾股定理，三角形的面积，扇形面积的计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r ，那么这个扇形的面积=nπr 2360．10.【答案】C【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】解：∵一次函数y =kx −2−k(k >0)，∴当x =1时，y =−2，∴一次函数的图象过定点P(1,−2)，∵P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，∴将双曲线y =2x 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y =kx −2−k(k >0)相交于两点，∴在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为(a −1,2a−1)，(2b+2,b +2)，∴a −1=−2b+2，∴(a −1)(b +2)=−2，故选：C ．由于一次函数y =kx −2−k 过定点P(1,−2)，P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，将双曲线y =2x 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y =kx −2−k(k >0)相交于两点， ∴在没平移前是关于原点对称的，表示出坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键． 11.【答案】12【知识点】二次根式的性质【解析】解：√(−12)2=12， 故答案为：12．根据二次根式的性质求出答案即可．本题考查了二次根式的性质与化简，注意：当a<0时，√a2=−a．12.【答案】14岁【知识点】中位数【解析】解：人数共有6+10+14+10=40人，中位数为第20人和第21人，为14岁，中位数为14岁．故答案为14岁．根据中位数的定义，把数据按照从小到大依次排列，即可找到中位数．本题考查了中位数的定义，把数据按照从小到大依次排列是解题的关键．13.【答案】x=1【知识点】分式方程的一般解法【解析】解：2x+1=x−13x+3+1，原方程化为：2x+1=x−13(x+1)+1，方程两边都乘以3(x+1)，得6=x−1+3(x+1)，解得：x=1，检验：当x=1时，3(x+1)≠0，所以x=1是原方程的解，即原方程的解是x=1，故答案为：x=1、变形后方程两边都乘以3(x+1)得出6=x−1+3(x+1)，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．14.【答案】(53√3−1.6)【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：如图，在Rt△DEA中，∵cos∠EDA=DEDA，∴DA=5cos45∘=5√2(m)；在Rt△BCF中，∵cos∠BCF=CFCB，∴CB=5cos30∘=10√33(m)，∴BF=12BC=5√33(m)，∵AB+AE=EF+BF，∴AB=3.4+5√33−5=5√33−1.6(m)．答：AB的长为(53√3−1.6)m．故答案为：(53√3−1.6)，如图，在Rt△DEA中，利用45°的余弦可计算出DA=5√2m；在Rt△BCF中利用30度的余弦可计算出CB10√33m，则BF=12BC=5√33m，然后利用AB+AE=EF+BF计算AB的长．本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)．15.【答案】①②④【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象与系数的关系【解析】解：∵抛物线与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，∵抛物线开口向下，∴当−1<x<3，y>0，所以①正确；∵抛物线与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，∴a−b+c=0，−b2a=1，∴b=−2a，c=−3a，∵抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，而抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点)，∴2<c<3，∴2<−3a<3，∴−1<a<−23，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴二次函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c>mx2+bm+c(m≠1)∴a+b>m(am+b)(m≠1)，所以③不正确；∵b=−2a，c=−3a，∴b2−4ac=4a2−4a⋅(−3a)=16a2，所以④正确．故答案为：①②④．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，利用函数图象得到在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用x=−1，y=0，−b2a=1得到b=−2a，c=−3a，而2<c<3，所以2<−3a<3，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为a+b+c，则a+b+c> mx2+bm+c(m≠1)，于是可对③进行判断；利用b=−2a，c=−3a可对④进行判断．本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．16.【答案】3√1010【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、解直角三角形【解析】解：设AB=5x，BC=3x，由折叠的性质可得，AE=AD=3x，HF=FC，∠AEF=∠D=90°，∴四边形ADFE为矩形，四边形BCFE为矩形，四边形GCFH为矩形，∴EF=AD=BC=3x，FC=HG=BE=5x−3x=2x，∴EH=EF−HF=3x−2x=x，在Rt△AEH中，由勾股定理得，AH=√AE2+EH2=√(3x)2+x2=√10x，∴cos∠HAF=AEAH =√10x=3√1010，故答案为：3√1010．设AB=5x，BC=3x，由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3x，EH=EF−HF= 3−2=1，根据勾股定理可求AH，进而可求∠HAF的余弦值．本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据折叠的性质找到不变的边和角，属于中考常考题型．17.【答案】解：解不等式①，得：x≥−2，解不等式②，得：x<3.5，则不等式组的解集为−2≤x<3.5，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式组的解集、一元一次不等式组的解法【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，{AB=DE ∠B=∠E BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠ACB=∠DFE，∴AC//DF．【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】要证明AC//DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)50；3；72°；(2)2000×8%=160(人)，答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、条形统计图【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)由“新闻”类人数及百分比可得总人数，由总人数及“戏曲”类百分比可得其人数，求出“体育”类所占百分比，再乘以360°即可；(2)用样本中“新闻”类人数所占百分比乘以总人数2000即可．【解答】解：(1)本次共调查学生：4÷8%=50(人)，最喜爱戏曲的人数为：50×6%=3(人)；×100%=36%，∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：1850∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：100%−8%−30%−36%−6%=20%，∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是360°×20%=72°；故答案为50；3；72°；(2)见答案．20.【答案】解：(1)∵AC=√5，BC=2√5，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．(2)如图，点E即为所求作，E(3,2)．(3)如图，线段DF即为所求作．(4)如图，点M即为所求作．【知识点】勾股定理、作图-轴对称变换、解直角三角形、勾股定理的逆定理【解析】(1)利用勾股定理的逆定理判断即可．(2)根据轴对称的性质作出图形即可．(3)取格点D，W，连接DW交AB于F，线段DF即为所求作．(4)连接AM，取格点J，连接OJ交AW于点T，连接CT交AB于M，点M即为所求作．本题考查作图−轴对称变换，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，学会利用圆周角定理解决问题，题目有一定21.【答案】(1)证明：∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA，又BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBE+∠EBD=90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA=90°，∴∠CEA=∠EBD ∵∠CEA=∠DEB，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE．(2)作DF⊥AB于F，连接OE．∵DB=DE，AE=EB=6，AO=OB，∴EF=12BE=3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，∴DF=√52−32=4，∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE=AEAO =45，∵AE=6，∴AO=152．∴⊙O的半径为152．【知识点】勾股定理、锐角三角函数的定义、垂径定理、切线的性质、等腰三角形的性质【解析】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)欲证明DB =DE ，只要证明∠DEB =∠DBE ；(2)作DF ⊥AB 于F ，连接OE.只要证明∠AOE =∠DEF ，可得sin∠DEF =sin∠AOE =AE AO =45，由此求出AO 即可解决问题．22.【答案】解：(1)设销售A 型和B 型两种电器分别获利为a 元/台，b 元/台， {20a +10b =1300025a +5b =12500，得{a =400b =500， 答：销售A 型和B 型两种电器分别获利为400元/台，500元/台；(2)设销售利润为W 元，购进A 种型号电器x 台，W =400x +500(100−x)=−100x +50000，∵B 型电器的进货量不超过A 型电器的2倍，∴100−x ≤2x ，解得，x ≥3313，∵x 为整数，∴当x =34时，W 取得最大值，此时W =−100×34+50000=46600，100−x =66， 答：该商店购进A 型、B 型电器分别为34台、66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)设利润为W 元，购进A 种型号电器x 台，W =(400+a)x +500(100−x)=(a −100)x +50000，∵0<a <200，0≤x ≤60，∴当100<a <200时，x =60时W 取得最大值，此时W =60a +44000>50000，100−x =40；当a =100时，W =50000；当0<a <100时，x =0时，W 取得最大值，此时W =50000，100−x =100； 由上可得，当100<a <200时，购买A 种型号的电器60台，B 种型号的电器40台可获得最大利润；当a =100时，利润为定值50000，此时只要A 种型号的电器不超过60台即可；当0<a<100时，购买A种型号电器0台，B种型号电器100台可获得最大利润．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的方法解答．(1)根据销售A型电器20台，B型电器10台可获利13000元，销售A型电器25台，B 型电器5台可获利12500元可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；(2)根据题意可以得到利润和甲种型号电器之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答本题；(3)根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题．23.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC=6，AM=BM=3，∵△MBE是等边三角形，∴MB=ME=BE，∠BME=∠PMQ=60°，∴∠BMQ=∠PME，又∵∠ABC=∠MEP=90°，∴△MBQ≌△MEP(ASA)．(2)解：PF+GQ的值不变，理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，∵ME=MB，MG=MG，∴Rt△MBG≌Rt△MEG(HL)，∴BG=GE，∠BMG=∠EMG=30°，∠BGM=∠EGM，∴MB=√3BG=3，∠BGM=∠EGM=60°，∴GE=√3，∠FGH=60°，∵FH⊥BC，∠C=∠D=90°，∴四边形DCHF是矩形，∴FH=CD=6，∵sin∠FGH=FHGF =√32=6FG，∴FG=4√3，∵△MBQ≌△MEP，∴BQ=PE，∴PE=BQ=BG+GQ，∵FG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=2√3+GQ+PF，∴GQ+PF=2√3=2BG．(3)∵△MBQ≌△MEP，∴BQ=PE，∴点Q从G点运动到C点的过程中，点P的运动路径长=BC−BG=6−√3．【知识点】四边形综合【解析】(1)由题意可得ME=MB，∠ABC=∠MEP=90°，再证∠BMQ=∠PME，即可证明两三角形全等；(2)如果PF+GQ的值不变，那么在变化过程中的任意位置PF+GQ的值都不变，可通过特殊位置求出相应的值即PF=QK，再尝试在任意位置下证明PF=QK然后求值即可；(3)由△MBQ≌△MEP，推出BQ=PE，推出点Q从G点运动到C点的过程中，点P的运动路径长=BC−BG．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3；故二次函数表达式为：y=x2−4x+3；(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PE=2，则点P坐标为(4,3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4,3)或(0,3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：m+22， 即：m+22=2，解得：m =2，故点P(2,−1)；故：点P(4,3)或(0,3)或(2,−1)；(3)直线BC 的表达式为：y =−x +3，设点E 坐标为(x,x 2−4x +3)，则点D(x,−x +3)，S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )=−x +3−x 2+4x −3=−x 2+3x ， ∵−1<0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x =32，其最大值为94，此时点E(32,−34).【知识点】二次函数综合【解析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．(1)用交点式函数表达式，即可求解；(2)分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；(3)利用S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )，即可求解．。
2020-2021学年湖北省武汉市七一江岸区华源学校九年级(下)月考数学试卷(5月份)(附答案详解)
2020-2021学年湖北省武汉市七一江岸区华源学校九年级（下）月考数学试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.实数−2的相反数是()A. 2B. −2C. 12D. −122.有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是()A. 两张卡片的数字之和等于1B. 两张卡片的数字之和大于1C. 两张卡片的数字之和等于9D. 两张卡片的数字之和大于93.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.计算(−ab3)2的结果是()A. −a2b5B. a2b5C. −a2b6D. a2b65.如图所示的几何体的主视图是()A.B.C.D.6.点A(x1,y1)，B(x2,y2)为反比例函数y=m−5x图象上两点，当x1>x2>0时，y1>y2，则m的取值范围是()A. m≥5B. m>5C. m<5D. m≤57.4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是()A. 16B. 13C. 12D. 238.一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是()组数1234重物x/kg0.5 1.535长度y/cm13151821A. 第1组B. 第2组C. 第3组D. 第4组9.平面直角坐标系中，函数y=−√3x(x<0)与y=x+4的图象交于点P(a,b)，则代数式1a −1b的值是()A. −43√3 B. 4√33C. −√33D. √3310.如图，AB为⊙O的直径，将BC⏜沿BC翻折，翻折后的弧交AB于D.若BC=4√5，sin∠ABC=√55，则图中阴影部分的面积为()A. 256π−2B. 253π−2C. 8D. 10二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.化简√(−3)2的结果是______．12.8名学生参加体育中考的成绩(单位：分)分别为：27、28、29、29、26、30、29、30，这组数据的中位数是______．13.分式方程：xx+1=2x3x+3+1的解是______ ．14.如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为30°，再向建筑物CD前进20米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°，则建筑物CD的高度为______米(结果保留根号)．15.抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，c<0)的对称轴是直线x=1，图象与x轴一个交点横坐标在−2和−1之间．下列四个结论：①b=−2a；②3a+c<0；③若点A(−3,y1)，点B(2+π,y2)在该抛物线上，则y1>y2；④若一元二次方程ax2+bx +c =p(p <0)的根为整数，则p 的值有3个．其中正确的结论是______(填写序号)．16. 将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB =2AD ，则ba 的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17. 解不等式组{2x +2>x +1①x +5≤4x −1②请按以下步骤完成解答：(1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为______．18. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，DE//AB ，∠A =∠EDF.求证：∠C =∠BDF ．19.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类——非常了解；B类——比较了解；C类——一般了解；D类——不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图；请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)这次共抽取了______名学生进行调查统计，扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为______°；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校九年级学生共有1200名，请你估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少人？20.如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网络线交于点D.仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)如图1，画出△ABC的角平分线CE；(2)如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；(3)如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；(4)如图3，AB与网络线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q．21.如图，AB为⊙O的直径，AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E．(1)如图1，连接OC、OD，求证：OC⊥OD；(2)如图2，连接AD交⊙O于点M，若tan∠AME=1，求cos∠CDB的值．222.九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元(0<m<10)给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m的值为______.(直接写出答案)23.如图，四边形ABCD中，∠A=∠DBC=90°，BD平分∠ADC，连接AC交BD于点O．(1)如图1，求证：BD2=AD⋅CD；(2)如图2，若DO=32OB，求CDBC的值；(3)如图3，延长DA、CB交于点E，连接EO交AB于点G，若tan∠BCD=12，AE=8，则AG的长为______.(直接写出答案)24.如图1，直线y=2x+3与抛物线y=x2交于点A、B，直线y=kx−k+5与AB交于点C，与抛物线交于点D、E．(1)点A、B、C的坐标分别为______；(2)如图2，若DC=2CE，求k的值；(3)如图3，直线DA、BE交于点Q，求OQ的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：实数−2的相反数是2，故选：A．由相反数的定义可知：−2的相反数是2．本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、两张卡片的数字之和等于1，是不可能事件；B、两张卡片的数字之和大于1，是必然事件；C、两张卡片的数字之和等于9，是随机事件；D、两张卡片的数字之和大于9，是不可能事件；故选：C．根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】D【解析】解：原式=a2b6，故选：D．原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果．此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．6.【答案】C【解析】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)为反比例函数y=m−5图象上两点，当x1>x2>0x时，y1>y2，∴m−5<0，解得m<5，故选：C．根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．7.【答案】D【解析】解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为812=23，故选：D．画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．8.【答案】D【解析】解：由四次称重的数据得，x=0.5时，伸长的长度为13−12=1(cm)，x=1.5时，伸长的长度为15−12=3(cm)，x=3时，伸长的长度为18−12=6(cm)，x=5时，伸长的长度为11−12=9(cm)，∵挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．设该正比例函数的解析式为：y1=kx，将(3,6)代入，得：3k=6，解得：k=2，∴y1=2x，当x=0.5时，y=2×0.5=1，记录正确，当x=0.5时，y=1.5×2=3，记录正确，当x=5时，y=5×2=10，而根据记录得x=5时，伸长的长度为11−12=9(cm)，与计算结果不符，∴记录错误的是第四组，故选：D．先用待定系数法求出函数解析式，再把数据代进去验证即可．本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是求出解析式，再对数据进行分析．9.【答案】A【解析】解：把点P(a,b)分别代入y=−√3x(x<0)与y=x+4中，得b=−√3a，b=a+4，即ab=−√3，b−a=4，∴1a −1b=b−aab=−√3=−4√33故选：A．先把点P(a,b)分别代入y=−√3x 与y=x+4中，可得ab与b−a得值，代数式1a−1b可化为b−aab，即可得出答案．本题主要考查了一次函数与反比例函数图像上点得坐标特征，合理应用相关特征进行计算是解决本题得关键．10.【答案】C【解析】解：如图，连接AC，CD，过点C作CH⊥AB于H．∵∠ABC=∠DBC，∴AC⏜=CD⏜，∴AC=CD，∵CH⊥AD，∴AH=HD，∵BC=4√5，sin∠ABC=√55，∴CH=BC⋅sin∠ABC=4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵sin∠ABC=ACAB =√55，∴设AC=√5m.AB=5m，根据勾股定理，AC2+BC2=AB2，∴5m2+80=25m2，∴m=2，∴AC=CD=2√5，∴AH=√AC2−CH2=√(2√5)2−42=2，∴AD=2AH=4，∴S阴影=S△ACD=12AD⋅CH=12×4×4=8，故选：C．连接AC，CD，过点C作CH⊥AB于H.根据圆周角定理得出AC⏜=CD⏜，则AC=CD，从而得出S阴影=S△ACD，解直角三角形求得CH、AD，利用三角形面积公式即可求得阴影的面积．本题考查扇形的面积，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建直角三角形．11.【答案】3【解析】解：√(−3)2=√9=3．故答案为：3．根据二次根式的性质化简即可解答．本题考查了二次根式的性质与化简．12.【答案】29【解析】解：将这8名学生体育成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是29，因此中位数是29，故答案为：29．根据中位数的意义求解即可．本题考查中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的计算方法是正确解答的关键．13.【答案】x=−1.5【解析】【解答】解：方程变形得：xx+1=2x3(x+1)+1去分母得：3x=2x+3x+3，解得：x=−1.5，经检验x=−1.5是分式方程的解，故答案为：x=−1.5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14.【答案】10√3【解析】解：在Rt△BDC中和Rt△ACD中，∵∠DAC=30°，∠DBC=60°，∴∠ADB=30°，∴DB=AB=20米，∴BC=10米，∴CD=10√3(米)，答：建筑物CD的高度为10√3米．故答案为：10√3．在Rt△BDC中和Rt△ACD中，∠DAC=30°，∠DBC=60°，可得∠ADB=30°，得DB= AB=20米，进而可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．15.【答案】①②④【解析】解：二次函数对称轴x=1，c<0，与x轴一个交点横坐标在−2和−1之间．可作出函数大致图象，，=1，b=−2a，正确．①对称轴x=−b2a②由图可知，当x=−1时，y<0，即y=a−b+c=a+2a+c=3a+c<0，正确．③函数图象开口朝上，距离对称轴越近，y值越小．∵点A离对称轴距离为4，点B离对称轴距离为1+π，4<1+π，∴y1<y2.错误．④若一元二次方程ax2+bx+c=p(p<0)的根为整数，即二次函数y=ax2+bx+c与直线y=p(p<0)的交点横坐标为整数，横坐标可以为−1，0，1，2，3.因为x=−1与x=3，x=0与x=2关于对称轴对称，分别为一组．所以对应P点的位置有三个．故答案为①②④．知对称轴可得a，b之间关系，知c和与x轴的交点可简略画出函数图象，借助函数图象分析四个结论是否正确．本题主要考查二次函数与图象与系数之间的关系、二次函数上点的坐标特征和判定根的情况，解题的关键是数形结合思想，借助函数图象分析解题．16.【答案】15−√576【解析】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b−x，AB=4a−2b，∵JR=DQ=5a−x，AB=2CD，∴CD=2a−b，∵KQ=PF，∴x+2a−b+5a−x=5a+2b−x，∴x=3b−2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴EHFP =HFPT，∴4a5a+2b−(3b−2a)=3b−2a2b，整理得，3b2−15ab+14a2=0，∴b=15±√576a，∵4a−2b>0，∴ba<2，∴ba =15−√576．故答案为：15−√576如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b−x，AB=4a−2b，首先证明x=3b−2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】x>−1x≥2x≥2【解析】解：(1)解不等式①，得x>−1；(2)解不等式②，得x≥2；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下：(4)原不等式组的解集为x≥2，故答案为：x>−1，x≥2，x≥2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】证明：∵DE//AB，∴∠BFD=∠EDF，∵∠A=∠EDF∴∠A=∠BFD，∴DF//CA，∴∠C=∠BDF．【解析】根据平行线的性质，得到∠BFD=∠EDF，再根据平行线的判定，可得出DF//CA，由平行线的性质即可得出结论．本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．19.【答案】50 36【解析】解：(1)这次共抽取的学生有：20÷40%=50(名)，=36°．扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为：360°×550故答案为：50，36；(2)C类的人数有：50−15−20−5=10(名)，补全统计图如下：=360(人)，(3)1200×1550答：估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有360人．(1)根据B类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，用360°乘以D类所占的百分比即可得出D类所对应的扇形圆心角度数；(2)用总人数减去其他类别的人数，求出C类的人数，从而补全统计图；(3)用总人数乘以对新冠肺炎防控知识非常了解的人数所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.【答案】解：(1)如图1中，线段CE即为所求作．(2)如图1中，线段DN即为所求作．(3)如图2中，点G即为所求作．(4)如图3中，直线EQ即为所求作．【解析】(1)如图1中，取格点T，构造菱形ACBT，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求作．(2)如图1中，取格点M，构造平行四边形ABMC，取BM的中点N，连接DN，线段DN即为所求作．(3)如图2中，作点D关于直线AB的对称点K，连接CK交AB于点G，点G即为所求作．(4)如图3中，取格点M，N，连接MN，取MN的中点F，连接EF交AC于点Q，直线EQ即为所求作．本题考查作图−平移变换，菱形的性质，三角形的中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.【答案】(1)证明：连接OE，∵AB为⊙O的直径，AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E．∴∠OAC=∠DBO=90°，OE⊥CD，OA=OB=OE，∴CE平分∠ACE，DO平分∠BDC，∴∠OCD+∠ODC=1(∠ACE+∠BDC)，2∵∠OAC+∠DBO=90°+90°=180°，∴AC//BD，∴∠ACE+∠BDC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∵∠OCD+∠ODC+∠COD=180°，∴∠COD=90°，∴OC⊥OD；(2)解：过C点作CN⊥BD，垂足为N，连接OC，OD，OE，∵∠CAO=∠DBO=∠CNB=∠CND=90°，∴四边形ABNC为矩形，∴CN=AB，BN=AC，∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠BDO+∠BOD=90°，∴∠AOC=∠BDO，∴△AOC∽△BDO，∴AC：BO=AO：BD，∵∠AOE=2∠AME，∠AOE=2∠AOC，∴∠AME=∠AOC，∵tan∠AME=12，∴tan∠AOC=ACAO =12，设AC=a，则BO=AO=2a，则CN=AB=AO+BO=4a，∴a：2a=2a：BD，解得BD=4a，∴DN=4a−a=3a，在Rt△CND中，DC=√CN2+DN2=√(4a)2+(3a)2=5a，∴cos∠CDB =DN CD =3a 5a =35．【解析】(1)连接OE ，由圆的切线的性质及基本概念可得∠OAC =∠DBO =90°，OE ⊥CD ，OA =OB =OE ，利用角平分线的性质可得CE 平分∠ACE ，DO 平分∠BDC ，即可得∠OCD +∠ODC =12(∠ACE +∠BDC)，利用平行线的性质与判定可求解∠OCD +∠ODC =90°，进而可证明结论；(2)过C 点作CN ⊥BD ，垂足为N ，连接OC ，OD ，OE ，已证CN =AB ，BN =AC ，通过证明△AOC∽△BDO ，可得AC ：BO =AO ：BD ，结合tan∠AME =12，及圆周角定理可设AC 的长为a ，则CN =4a ，DN =3a ，利用勾股定理可求解CD =5a ，再利用锐角三角函数的定义可求解．本题主要考查圆周角定理，圆的切线的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定等知识的综合运用，利用解直角三角形设AC =a ，则BO =AO =2a ，证明三角形相似计算求解是解题的关键．22.【答案】6【解析】解：(1)当1≤x <50时，y =(200−2x)(x +40−30)=−2x 2+180x +2000，当50≤x ≤90时，y =(200−2x)(90−30)=−120x +12000，综上所述：y ={−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)；(2)当1≤x <50时，y =−2x 2+180x +2000=−2(x −45)2+6050．∴a =−2<0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x =45，当x =45时，y 最大=6050，当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，当x =50时，y 最大=6000，综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)根据题意得，y=(200−2x)(x+40−30−m)=−2x2+(180+2m)x+2000−200m，函数的对称轴x=−180+2m−4=45+m2，当x=45+m2时，函数取得最大值，即y=(200−2x)(x+40−30−m)=(200−90−m)(45+m2+10−m)=(110−m)(55−m2)=5408，即m2−220m+1284=0，解得：m1=6，m2=214(不合题意，舍去)，故m的值为6．故答案为：6．(1)根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；(3)在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．23.【答案】87【解析】(1)证明：如图1，∵∠A=∠DBC=90°，∠ADB=∠BDC，∴△ADB∽△BDC，∴ADBD =BDCD，∴BD2=AD⋅CD．(2)如图2，作CH//AD，交DB的延长线于点H，则∠H=∠ADB，△AOD∽△COH，∵∠ADB=∠BDC，∴∠H=∠BDC，∴CH=CD，∵∠DBC=90°，∴BC⊥DH，∴BH=BD；设OB=m，则DO=32OB=32m，∴BH=BD=m+32m=52m，∴HO=52m+m=72m，∴ADCH =DOHO=32m72m=37，∴AD=37CH=37CD；由(1)得，BD2=AD⋅CD，∴BD2=37CD⋅CD=37CD2，∴BC2=CD2−BD2=CD2−37CD2=47CD2，∴CD2BC2=CD247CD2=74，∴CDBC =√72．(3)如图3，作CH//AD，交DB的延长线于点H，作OM⊥CD于点M，由(1)得，△ADB∽△BDC，BD2=AD⋅CD，∴∠ABD=∠BCD，ADAB =BDBC=tan∠BCD=12，∴AB=2AD，BC=2BD，∴BD2=AD2+AB2=AD2+(2AD)2=5AD2，∴5AD2=AD⋅CD，∴CD=5AD；由(2)得，BH=BD，CH=CD，∴CH=5AD；∵△AOD∽△COH，∴ODOH =ADCH=AD5AD=15，∴OH=5OD，∴DH=5OD+OD=6OD，∴BD=12DH=3OD；由BD2=5AD2，得BD=√5AD，∵∠OMD=90°，∴∠MOD=90°−∠BDC=∠BCD=∠ABD，∴MOOD =BDCD=ADBD=sin∠ABD=√5AD=√5，∴OD=√5MD，CD=√5BD；设MD=a，则OD=√5a，∴BD=3√5a，∴CD=√5×3√5=15a，∴CM=15a−a=14a，∴DMOM =tan∠MOD=tan∠BCD=12，∴OM=2DM=2a，∵∠DBE=∠DBC=90°，BD=BD，∠EDB=∠CDB，∴△BDE≌△BDC(ASA)，∴ED=CD，BE=BC，∴BD垂直平分CE，∴OE=OC，∵OD=OD，∴△EOD≌△COD(SSS)，∴∠AEG=∠MCO，∵∠GAE=∠OMC=180°−90°=90°，∴AGAE =OMCM=tan∠MCO=2a14a=17，∴AG=17AE=17×8=87，故答案为：87．(1)证明△ADB∽△BDC，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式再变形即可证明结论；(2)过点C作CH//AD，交DB的延长线于点H，构造与△AOD相似的三角形，再利用相似比及(1)中的结论推得CD2与BC2之间的关系，即可求出CDBC的值；(3)在(2)的基础上，过点O作OM⊥CD于点M，由tan∠BCD=12及前面得出的结论计算出OMCM的值，再证明∠AEG=∠MCO，根据这两个角的正切值相等求出AG的长．此题重点考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造相应的全等三角形或相似三角形，此题计算与推理较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．24.【答案】(−1,1)，(3,9)，(1,5)【解析】解：(1)联立{y =2x +3y =x 2， 化简得，x 2−2x −3=0，∴x =3或−1，当x =3时，y =9，当x =−1时，y =1，∵直线与抛物线交于A ，B 两点，且A 在B 点左侧，∴A(−1,1)，B(3,9)，∵y =kx −k +5=k(x −1)+5，∴当x =1时，y =5，∵(1,5)既在直线y =kx −k +5上，且满足直线y =2x +3，∴点(1,5)是两条直线的交点，∴C(1,5)，故答案为(−1,1)，(3,9)，(1,5)；(2)过点D ，E 分别作x 轴平行线，过H 作y 轴平行线，交两平行线分别于点G ，H ，如图1，∴∠DGC =∠EHC =90°，又∠DCG =∠ECH ，∴△DGC∽△EHC ， ∴DG EH =CG CH =DC CE =2，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，联立{y =kx −k +5y =x 2， 化简得，x 2−kx +k −5=0，∴x 1，x 2是该方程的两根，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=k −5，∵G(1,y 1)，H(1,y 2)，∴1−x 1x 2−1=2，5−y 1y 2−5=2，∴x 1+2x 2=3①，y 1+2y 2=15②，由①得，x 2=3−(x 1+x 2)=3−k ，∴x 1=2k −3，由②得，x 12+2x 22=15，∴(2k −3)2+2(3−k)2=15，∴k 2−4k +2=0，，∴k =2±√2；(3)由(2)可得，D(x 1,x 12)，E(x 2,x 22)设直线AD 为y =m(x +1)+1，代入点D 的坐标得，m =x 1−1，∴直线AD 为y =(x 1−1)(x +1)+1，同理，直线BE 为y =(x 2+3)(x −3)+9，联立{y =(x 1−1)(x +1)+1y =(x 2+3)(x −3)+9， 解得{x =k+2x 22x 2−k+4y =7k−20−6x 22x 2−k+4， ∴Q(k+2x 22x 2−k+4,7k−20−6x 22x 2−k+4)，∵2⋅k+2x 22x 2−k+4−7k−20−6x 22x 2−k+4=5， ∴Q 在直线2x −y =5上运动，设Q(x,y)，∴OQ 2=x 2+y 2=5(x −2)2+5≥5∴OQ 的最小值为√5．(1)联立两个函数解析式，可以求出交点A ，B 的坐标，由直线y =k(x −1)+5，发现其经过定点(1,5)，且直线y =2x +3也经过点(1,5)，C 即为(1,5)；(2)如图1，利用“斜化直”思想，将DC =2CE ，转化成DG =2HE ，CG =2CH ，利用根与系数的关系，得到相关的方程，最后转化成关于k 的方程，即可求解；(3)先求出直线AD 的解析式，再求出直线BE 的解析式，联立两条直线解析式，求得交点Q 的坐标，发现Q 在定直线上运动，设Q(x,y)，用x 的式子表示出OQ 的长度，用函数思想求出最值．此题是一道二次函数综合题，第2问中利用“斜化直”思想是突破口，第3问对运算能力要求比较高．。