九年级数学上册 第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减练习 (新版)华东师大版
华师大版数学九年级上册全册复习课件精选全文
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
第22章┃ 复习
3．一元二次方程根的判别式 由于一元二次方程的根的个数由代数式_b_2_－__4_a_c_____的符 号决定，因此把_b_2_－__4_a_c____叫做一元二次方程根的判别式． (1)当_b_2_－__4_a_c_＞__0___时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 x2＝两_个__不_－_相_b_－等__的2_ba_实2_－_数_4_a根_c_，__即__x_1_＝_____．－__b_＋___2_ab_2－__4_a_c________，
•第二十一章 二次根式 •21.1《二次根式》 •21.2二次根式的乘除法 •21.3二次根式的加减法
第21章┃ 复习
1．二次根式的概念 一般地，我们把形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式．
第21章┃ 复习
2．二次根式的性质
(1) a≥___0___(a≥0)；(2)( a)2＝___a___(a≥0)；
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝ 2± 5，所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
Байду номын сангаас
第22章┃ 复习
方法技巧 如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但 有局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1， 一次项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公 式法，公式法是解一元二次方程的万能方法，但要先化成一般 式确定 a，b，c，计算 b2－4ac.
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
【新华东师大版】九年级数学上册：21《二次根式》章末复习学案(含答案)
第21章知识升华3 .几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 .2^.8; ^.18是同类二次根式. 4、二次根式的主要性质-..a (a >0)是一个非负数，即、.a >0 (a >0);5、二次根式的运算分别合并(类似整式中的合并同类项)三、考点例析2 .满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(即被开方数不含分母)；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如2・a b等(2) 2(；a ) =a (a 》0)； (3)(4) 二次根式的乘法法则:、a , b 、ab (a 0, b 0)(5) 二次根式的除法法则:a(a 0, b 0)(1) (1)二次根式的加减：二次根式相加减, 先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式(2)二次根式的乘除：二次根式相乘除, 把被开方数相乘除，根指数不变、知识结构图1 •形如(a > 0)的式子叫做二次根式•事实上 ,a (a > 0)表示非负数a 的算术平方根.等不是最简二次根式.3是最简二次根式.但 8;考点1:最简二次根式例1、（2010年哈尔滨市）在下列根式4.5a; - 2a ［、b; , 8x 中，最简二次根式的个数为（）,2a 3中有因式a 2可以开出，.8x 中有因数22可以开出,所以、:2a 3; 8X 不是最简二次根式.故选C.考点2：同类二次根式 例2、（2010年北京市）下列根式中，能与合并的是（） A .24B..12C. ， 3D. 18分析：能与.3合并的应是.3的同类二次根式， 这几个二次根式都不是最简二次根式，应先化为最简二次根式，刀=厶6;忑23;于；•吊3巨所以与4是同类二次根C.考点3:二次根式的运算A . 4个 B. 3个 C. 2 个 D.1分析：4.5a; _ b 是最简二次根式, 例3、（2010年青海省）若最简二次根式/1 人3 4 A. aB. a —43C. a 1D.a 1a 与2a 的被开方数相同，则a 的值为（） 的被开方数相同；即1a 4 2a ，解得a 1 ,故选4、（2010年山东省东营市F 列计算正确的是（）A . B.「43C.D.分析：由二次根式的性质和运算法则的 2 2,2 .2、2.而B 选项中明显用被开方数除以非被开方数，错用二次根式除法法则 ；C 选项用平方差公式即可得 4— 5 = — 1;D 选项丢了才1这”故选A.例5、（2010年江西省）化简2 2 2得（ ）式的是,12，故选B.分析：最简二次根式四、热点、易混点追踪1、概念理解模糊、审题不清例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数,最简二次根式；（3）若， 是二次根式，则a 0,b 0.其中正确的个数有（A .— 2 B. C. 2D.4.2 2分析：由二次根式的性质和运算法则得, 、,8 J ,22 2,2 2 2“ 2.故选 A.考点4:化简2例6、 （2010年北京市）计算近1分析：原式=2(2 1)2 .2 1 1.考点5:运用二次根式的性质化简 例7、（ 2010年江西省） 已知 a 2,贝,,(a 2)2分析:a 2, a0,2 a.例8、 （2010年绍兴） 化简 \ 4x 24x 1 2x2得（ A . 2B.4x 4C.D.4x 4.分析:由2x 3 0,得2x 10 ,所以,4x 2 4x 1. 2x 3 22x (2x 3) = 2x 2x 3 2，故应选A.考点6:二次根式成立的条件例9、（2010年山西省课该实验区）代数式1厂有意义时，字母x 的取值范围（A . x 1 B.x 1 C.D.x 0 且 x 1.分析：由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以 x 10,即x 1.故选A考点7:估算二次根式例10、（2010年沈阳课改） 估算 ,24 3的值为（）A . 在 5和6之间 B. 在6和7之间C. 在7和8之间D.在8和9之间.分析：因为\ 16、；24、、25 即 4^.24 5，所以 7 .243 8.故选 C.则其值是非负数；（2）... x 2 y 2是)个.A 、0B 、1C 、2错解：选D.剖析：本例中，(1)错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如,.a a 0的式子就是二次.事实上，—2 .. a a 0等也是二次根式，但它是非正数.(2) (3)错在将二次根式的概念与其性质.a aa 0,b\ b Jb例2、已知,2x 3与,5是同类二次根式，则 x 的值为( )选项A 错在是解2x 3 5而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况 .当2x52x 5也是同类二次根式，故选C.2、对性质成立的条件理解不透定成立的有( )个.A 、0B 、1 错解：选D.必须满足a 0,b 0 .故选A.3、忽视几何图形中的条件限制2 例4、已知a,b,c ABC 的三边长，求• a b c错解：原式=abcbac 2b 2c .剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误 原式=a b c b a c 2a .4、计算不依据法则，随意而为 例5、下列计算：(1).2a . 3a . 5a ； (2)3. 2 2、、2 1 ； (3) 2 . 2 2. 2； (4).132 122132 ，122 1 ; (5)亦2 <4 2.正确的个数有()A 、3B 、4C 、5D 、非上述答案 错解：选C.根式，而二次根式的值是非负数的 错在忽视了 X 2y 2 0的条件. 为一谈了，事实上只要满足 -b0即可•故选A.A 、 4B 、5C 、无数个D、非上述答案错解: 选A.剖析: 例3、有下列各式：(1) . ab 2b ；(2) . a 211 ;(3)1ab b剖析：(1)错在a b 不一定是非负数,(2)错在忽视了a 1的条件, (3)错在等式要成立,的值.剖析： (1 )错在臆造 2 .、3 ,5 ; (2)错在合并冋类二次根式是只考虑了“系数”；(3)错在套用了整数与分数相加的法则； (4 )、(5)错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.5、求解顾后不瞻前f ---------例6、若'4—X 有意义，则x 的取值范围是V x 14x0错解：由题意，得，解得0 x 4.x 0剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能为零这个条件，正确结果为0 x 4 且 x 1.例7、先化简 X —1.. x 2 x ，然后再选择合适的数求值•J x 1----- 2错解：原式="X 1 _ J'x x 1 X 1 j x .当x =0时，原式=0. y/x 16、忽视隐含条件，使结论多解、漏解 例9、化简a错解：原式=•• xy xy 2 _ xy 2 3剖析：虽然xy 3，但我们并不知道 x, y 的取值符号，因此要进行讨论.(1 )当x 0, y 0 时，原式=xy xy 2 xy 2 3; ( 2 ) 当 x 0, y 0时，原式=、xy xy 2 xy 2 3.故填 2 3.剖析: 由题意，知x1 ,当x =0时，原式无意义， 因此只可取x1的数求值.如取x =4时,原式=6.例8、2解方程：x2 x 24错解: 原方程变为：2x 4x 4x 4x 4，解得:X 1 2,X 2 2.剖析: 只顾一直做下去, 以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中, x =— 2时，x 无意义，所以x =2.错解：原式=a3 2a2a 5(a 1(a 3)3)剖析：本例隐含着.2 a0，则a 2，化简得原式=1.7、已知xy 3， y i —的值是；y8米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（ ） A 、8B、2 + 1C 、2 D五、本章达标测试、选择题（每小题 3分，共30分）：1、已知、、2卩 与、一5是同类二次根式，则 x 的值为（ A 、 4、无数个D 、非上述答案2、有下列各式: a 1a 1 ； ( 2) ： a b $ a b ；( 3)定成立的有（ A 、如果实数x, y 满足x 0，则的值为A 、若.14.02 x10，y 的值为（A 、 14.02、0.1402、1.402A 、 A 、 C 、A 、 8、 A 、如果」一x 2yx 2y F 列运算正确的是（1.52 0.521.5 如果代数式 第一象限F 列各组二次根式中, 4xy 4y 22y1，贝U x,2 y 的关系为、x 2yx 2y0.5、2.0?2x、第二象限那么直角坐标系中点C 、第三象限x 的取值范围相同的是（m, n 的位置在（、第四象限9、如图所示，有一边长为 D二、填空题（每小题2分，共20分）：10、请写出一个无理数使它与「3 1的积是有理数：___________ . __________11若常a a 0，贝U a的取值范围是 ___________________________ .若=7a & ，贝卩a的取值范围是12、已知二次根式J2a 1与J7是同类二次根式，试写出三个a的可能取值13、一个密码系统的原理如下所示：输入x T x21 T输出，如果输出结果为13时，则输入的x =15、已知0.2 a , 「03 b，则.0.24用含a,b的代数式表示为.16、已知A n】，B 3. n 2 （n为正整数），当n 5时，有A B.请用计算器计算当n 62时，A、B的若干值，并由此归纳出当n 6时，A B间的大小关系为17、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简.（a 1）2（b 1）2. （a b）2= _____ .18、已知长方形相邻两边之比为 2 : 3,对角线长为.39，则长方形的面积为 _.19、规定两种新运算：a b a b,c d .c - d，如3 2 329,2 3 .2 .3 .6 ,1那么12 - 3 = .2三、解答题（70 分）:20、（8分）不使用计算器，计算，113.14 0- 4554* 54' 521、（10分）已知x y 2 .3, y x2、、3，求x2y2 2 z xy xz yz 的值.22、（10分）图1是-种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个26、数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体， 并用一个长方形的金属薄片（金属厚度忽略不计） 分隔开来（如图2）,已知圆筒高为20cm ，容积为25120cm 3，问这个长方形玻璃薄片的面积为 多少？（ 取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）25、（7分）阅读理解:.12 .48r（10分）同学们都知道对于 -a 的式子，可以将分子、分母同乘以.b 来化去分母中的根号,Vb23、（ 10分）边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为 a的正方形方孔.3若沿图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.24、（ 7分）已知： ,a^=| a2ab b 2 a b 2，一个同学在化简.7 4.3时是这样化简的：7 4-3 ,44.3 3 ,22 才水3 (奇.(2 G)2=2+ G .请仿照这个同学的做法化简:J4 6 5阶行列式，规定它的运算法则为ad be ,如2 6 5 48，现在请你计算2、2图1如1_ -_22，那么如果分母中是形如、a b的形式，该怎么办呢？办法有的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以Ja b ,从而化去分母中的根号，如参考答案一、 1 〜9、C A D C B D B C C 二、 10、、、3 1 11、 a 0, O v a w 1 12、 3, 31, 87 13、 土 2.3 14、 土 22 15、 2ab 16、 A B 17、 一 2 18、18 19、~7、20、 x51221、1522、解: 设圆柱形圆筒的底面半径为X ，则：x =25120 V 3.1420 20cm ，故长方形玻璃薄片的面积应为:20 40 800 cm 2 .23、解: 设新正方形的边长为x , 根据题意有： 2 2x a1 a 2，解得X 2 &a .3324、3 —:』5cu 47 L25、6626、 (1) 10 4、. 543 11 1 .3 1-L J .根据以上介绍，请你解答下面的问题:2(1) 4已知------- 的整数部分为.5 1a ，小数部分为b ，求a 2 b 2的值. (2) 1 试着化简：1 .22<3(2)原式=—L1—吕迈9康i忑近i 近运忑丘''、品屆4^晶。
华东师大版九年级数学上册第21章《二次根式的加减》课时练习题
21.3 二次根式的加减一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1．下列根式，与3是同类二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列各式计算正确的是（）A．3a3+2a2=5a6 B．2+=3C．a4•a2=a8 D．（ab2）3=ab6 3．计算-9的结果是（）A．- B． C．- D．4．下列根式，不能与合并的是（）A．B．C． D．5.下列运算正确的是（）A．a2+2a＝3a3B．（﹣2a3）2＝4a5C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．二、填空题（本题包括3小题）6．计算：-3+=______．7. 若最简二次根式与﹣3能够合并，则a＝．8．下列计算正确的序号是______．①2-=2；②sin30°=；③|-2|=2．三、解答题（本题包括3小题）9. 计算：（1）（﹣）﹣2（﹣）；（2）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）10. 已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且a＝，b＝．（1）求此矩形的周长；（2）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．11. 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．（第10题图）21.3 二次根式的加减参考答案一、选择题（本题包括5小题.每小题只有1个选项符合题意）1．B 2．B 3．B 4．C 5.C二、填空题（本题包括3小题）6. 7.5 8.③三、解答题（本题包括3小题）9.解：（1）原式＝2﹣﹣+2＝4﹣；（2）原式＝9﹣5﹣（3﹣2+1）＝4﹣4+2＝2．10. 解：（1）此矩形的周长为（+）×2＝（2+）×2＝3×2＝6；（2）×＝2×＝4，故与此矩形面积相等的正方形的对角线的长＝2．11. 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．。
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
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归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
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方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
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考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
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［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
【练闯考】华师版九年级数学上册全章学案：第21章%E3%80%80二次根式
第21章 二次根式21．1 二次根式1.a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a (a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a ，即有：(1)a __≥__0(a ≥0)；(2)(a )2＝__a __(a ≥0)． 2．形如a __(a ≥0)__的式子叫做二次根式．3.a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a （a ≥0）－a （a <0）知识点1：(a )2＝a (a ≥0) 1．计算：(2015)2＝__2015__；(53)2＝__53__． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)7＝；(2)8.3＝；(3)112＝；(4)t ＝t ≥0)． 知识点2：二次根式的概念3．下列式子：①4；②12；③－5；④38；⑤（－1）2.其中二次根式的个数有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列式子中，一定是二次根式的有( C ) a ，－22，－x 2＋1，（－13）2，3－2，32x 2，π.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 知识点3：二次根式有意义的条件5．(2014·武汉)若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 6．(2014·巴中)要使式子m ＋1m －1有意义，则m 的取值范围是( D ) A ．m >－1 B ．m ≥－1C ．m >－1且m ≠1D ．m ≥－1且m ≠17．下列四个式子中，x 的取值范围为x ≥2的是( C )A.x －2x －2 B.1x －2C.x －2D.2－x8．使二次根式－（x －1）2有意义的x 的取值范围是__x ＝1__． 知识点4：二次根式的性质 9．计算（－3）2的结果是( B ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9 10．如果（3a －2）2＝2－3a ，则( B ) A ．a <23 B ．a ≤23C ．a >23D ．a ≥2311．化简下列各式： (1)4； 解：2 (2)49； 解：7(3)2025； 解：45(4)（－5）2； 解：5 (5)－（13）2； 解：－13(6)4×10－4. 解：2×10－212．已知－1≤a ≤1，下列是二次根式的为( C ) A.a －12B.1－1aC.1－a 2D.a13．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为( B )A ．5B ．6C ．7D ．814．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( A )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定15．已知点P (x ，y )在函数y ＝1x 2＋－x 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．(2014·张家界)若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2014等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2014 D ．－2014 17．使代数式2x －13－x有意义的x 的取值范围是__x ≥12且x ≠3__．18．(2014·德州)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y)y ＝__14__．19．x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)x ＋1－2－x ； 解：－1≤x ≤2 (2)53－2x； 解：x<32(3)41－x . 解：x ≥0且x ≠120．(1)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，试求x 2015－y 2015的值．(2)若a ，b 为实数，且a ＝b －7＋14－2b ＋2，求a ＋b 的平方根．解：(1)由已知得1＋x ＋(1－y )1－y ＝0，由于1＋x ≥0，1－y ≥0，故根据非负数的性质可得：1＋x ＝0，1－y ＝0，解得x ＝－1，y ＝1，代入则有x 2015－y 2015＝(－1)2015－12015＝－1－1＝－2 (2)由于b －7≥0，14－2b ≥0，则有b ≥7，b ≤7，故b ＝7，所以a ＝2，所以a ＋b 的平方根为±321．甲、乙两位同学做一道相同的题目： 化简求值：1a ＋1a 2＋a 2－2，其中a ＝15. 甲同学的解法是：原式＝1a ＋（1a －a ）2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝10－15＝495. 乙同学的解法是：原式＝1a＋（a －1a ）2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15.请问哪位同学的解法正确？请说明理由． 解：甲同学的解法是正确的，理由如下：∵1a2＋a 2－2＝（a －1a ）2＝|1a－a|，且a＝15，即1a ＝5.∴1a >a.∴1a －a>0.∴|1a －a|＝1a －a.乙同学在去绝对值时忽略了1a 与a 的大小关系，导致错误21.2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法 21．2.2 积的算术平方根1.a ·b ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的__积__的算术平方根．2.ab ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的__积__．知识点1：二次根式的乘法 1．计算：(2014·河北)8×12＝__2__；2×18＝__6__；35×16920＝__34__． 2．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( C ) A ．x >1 B ．x <－1C ．x ≥1D ．x ≤－13．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 6 4．计算： (1)98×2； 解：14(2)52×10； 解：5(3)36×167；解：1242(4)6a 3×3a2(a ≥0)． 解：3a 25．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地考察，为了考查一下同学们的数学应用能力，他把长方形的基地设计长为8020米，宽为345米，请同学们算出这块实验基地的面积．解：这块实验基地的面积为8020×345＝240900＝240×30＝7 200(平方米)知识点2：积的算术平方根6．化简二次根式（－3）2×6得( B ) A ．－3 6 B ．3 6 C ．±3 6 D ．67．若等式9－x2＝3－x·3＋x成立，则x的取值范围是( A )A．－3≤x≤3 B．x>－3C．x<3 D．－3<x<38．化简：(1)48＝；(2)－72＝；(3)－135＝．9．化简：(1)108；解：63(2)（－5）×（－90）；解：152(3)292－212；解：20(4)18x2yz3(x≥0，y≥0，z≥0)．解：3xz2yz10．下列化简正确的是( B )A.（－4）×（－9）＝－4×－9＝6B.12×27＝4×81＝18C.16＋4＝16＋4＝4＋2＝6D.414＝4×14＝2×12＝111．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm12．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54，则下列正确的是( A ) A ．3ab B ．2ab C ．ab 2 D ．a 2b 13．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5<m <6 B ．4<m <5C ．－5<m <－4D ．－6<m <－514．若点P (x ，y )在第二象限内，化简x 2y 的结果是． 15．比较大小：(1)23__<__32；(2)－211__>__－3 5. 16．将根号外面的因数移到根号内：35＝，212＝；－656＝，a －1a＝． 17．若20n 是整数，则正整数n 的最小值是__5__． 18．计算： (1)15×60； 解：23 (2)6×1218； 解：33(3)3220×(－1215)×(－1324)． 解：15219．化简： (1)3200；解：402 (2)－21×（－28）； 解：143(3)43×92×5；解：725 (4)1327x 2y 3z 4(xy ≥0)．解：xyz 23y20．小强在计算机课上设计了一幅长140π cm ，宽35π cm 的矩形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．解：设圆的半径为r cm ，则140π×35π＝πr 2，35×4×35π2＝πr 2，∴70π＝πr 2，∴r 2＝70，∴r ＝70，即圆的半径为70 cm21．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 338＝3＋38. 验证： 338＝32×38＝338＝33－3＋332－1＝3（32－1）＋332－1＝3（32－1）32－1＋332－1＝3＋38 同理可得：4415＝4＋415，5524＝5＋524，……通过上述探究你能猜测出：a aa 2－1＝a >1)，并验证你的结论． 解：a aa 2－1＝a ＋a a 2－1，验证：a aa 2－1＝a 2·a a 2－1＝a 3a 2－1＝a 3－a ＋aa 2－1＝a 3－a a 2－1＋aa 2－1＝a （a 2－1）a 2－1＋aa 2－1＝a ＋aa 2－121.2.3 二次根式的除法1.a b＝a __≥__0，b __>__0)．即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的__商__的算术平方根．2.a b ＝a __≥__，b __>__0)．即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的__商__．3．被开方数中不含__分母__，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于__2__的二次根式称为最简二次根式．4．二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子，分母同乘以一个__恰当的二次根式__就可以了，这种化简过程称为分母有理化．知识点1：二次根式的除法 1．计算：10÷2＝( A ) A.5 B ．5 C.52 D.1022．菱形ABCD 的面积为27，对角线AC 的长为23，则对角线BD 的长为( D ) A.92 B ．9 C.32D ．3 3．等式x x －2＝xx －2成立的条件为__x>2__．4．计算下列各题： (1)60÷5；解：23 (2)2423；解：2 (3)45÷215； 解：6 (4)2a 2bb(a ≥0)．解：2a知识点2：商的算术平方根5．下列各式计算正确的是( C )A.－4－9＝－4－9＝－2－3＝23B.429＝213 2C.4×225＝25 2D.1249＝7126．(2014·济宁)如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是( B )A．①②B．②③C．①③D．①②③7．化简：(1)11549；(2)6316；(3)25a481b2(b>0)．解：(1)87(2)374(3)5a29b知识点3：最简二次根式8．下列式子中，属于最简二次根式的是( B )A.9B.7C.20D.139．把下列各个二次根式化为最简二次根式．(1)8a2b3(a≥0)；解：2ab2b(2)83；解：236(3) 4.8；解：2305(4)3y32x2(x>0)．解：y 2x6y10．下列各式计算正确的是( C ) A.483＝16 B.326＝13C.3663＝22D.698＝27 11．下列二次根式中：12，12a ，30， 1.6，a 2－b 2，5a 3，a 2，a2，9x ＋18y ，最简二次根式有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．在化简323时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分别是：甲：原式＝3×23＝3×2×33×3＝6；乙：原式＝3×69＝3×69＝6；丙：原式＝32×23＝ 6.其中解答正确的是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确13．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.24，则下列表示正确的是( B ) A ．2ab B ．0.2ab C ．0.1ab 2 D ．0.1a 2b14．计算：(1)3850＝__65__；(2)26315＝15；(3)－3227＝__3；(4)12＋13＝6．15．已知点A (x 1，－3)，B (22，y 2)都在反比例函数y ＝－32x的图象上，则x 1＝__，y 2＝__－32__．16．把(a －b )1b －a的根号外的因式移到根号内的结果是． 17．计算： (1)18÷8×272；解：946(2)30×32223÷2212； 解：32 (3)945÷212×32223. 解：54318．先化简，再求值：xx 3－2x 2÷x －2x －2，其中x ＝8. 解：原式＝1x，当x ＝8时，原式＝2419．进行二次根式化简时，有时会碰到像53，23＋1这样的式子，其实还可以将其进一步化简：53＝5×33×3＝533；23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1. 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23＋1还可以这样化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.请选择适当的方法化简：(1)13－1；(2)25＋3；(3)143－7.解：(1)13－1＝3＋1（3－1）（3＋1）＝3＋12(2)25＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－3(3)143－7＝43＋7（43－7）（43＋7）＝43＋7－1＝－43－721.3二次根式的加减1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果__被开方数相同__，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2．二次根式相加减时，先把各个二次根式__化简__，再将__同类二次根式__合并．知识点1：同类二次根式1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与2合并的是( C )A.12 B.8 C.12 D.182．下列各式中与3是同类二次根式的是( C )A.24B.23 C.27 D.0.33．如果最简二次根式3a－8和17－2a是同类二次根式，那么a＝__5__．知识点2：二次根式的加减4．下列计算正确的是( C )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 25．(2014·哈尔滨)计算：12－3＝．6．计算：(1)45－1480＋515－53145；解：25(2)(30.5－613)－(218－20－2927)． 解：2－433＋25知识点3：二次根式的运算与乘法公式7．若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则xy 的值是( D ) A ．2a B ．2b C ．a ＋b D ．a －b8．已知a ＝22＋3，b ＝22－3，则：(1)a ＋b ＝； (2)a －b ＝__6__； (3)ab ＝__－1__； (4)a 2＋b 2＝__34__；(5)a 2－2ab ＋b 2＝__36__． 9．计算：(1)(2＋3)(2－3)； 解：－1 (2)(2－12)2； 解：12(3)(5＋32)2. 解：23＋610知识点4：二次根式的混合运算 10．(2014·台湾)算式(6＋10×15)×3之值为何？( D ) A ．242 B ．12 5 C ．1213 D ．18 211．计算：24－18×13＝．12．计算：(1)(54－12＋1)÷3； 解：32－2＋33(2)45×35＋3(5－2)． 解：3＋1513．计算412＋313－8的结果是( B ) A.3＋2 B.3 C.33D.3－ 2 14．下列计算正确的是( D ) A ．(22－3)(2＋3)＝－1 B ．(2＋5)(2－5)＝1 C.6÷(2－3)＝3－ 2D.27－123＝9－4＝115．计算32×12＋2×5的结果估计在( A ) A ．7到8之间 B ．8到9之间 C ．9到10之间 D ．10到11之间16．已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为( C ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．617．计算：(26＋5)2015×(26－5)2016＝．18．工厂因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2 m 2，18 m 2，32 m 2的正方形铁框，则焊工师傅需用钢材的总长度为19．计算：(1)(212－6118＋348)×52；解：806－10(2)(318＋1550－412)÷32； 解：2(3)(2014·荆门)24×13－4×18×(1－2)0. 解：220．已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值： (1)ab 2＋a 2b ；解：原式＝ab (b ＋a )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝67(2)a 2－2ab ＋b 2；解：原式＝(a －b )2.当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝16(3)a 2－b 2.解：原式＝(a ＋b )(a －b )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝8721．阅读下列解题过程：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1， 13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－ 2.请回答下面的问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出1n ＋n －1的值；(2)利用上面的规律计算： (11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋12013＋2014＋12014＋2015)×(1＋2015)． 解：(1)1n ＋n －1＝n －n －1 (2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…2014－2013＋2015－2014)×(1＋2015)＝(2015－1)(2015＋1)＝(2015)2－12＝2014综合练习 二次根式的化简与运算1．(2014·徐州)下列运算中错误的是( A ) A.2＋3＝5 B.2×3＝ 6 C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 2．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11333．估算50＋232的值在( C ) A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．55．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥66．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，那么a ＋b 等于( D ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．107．若a ＝3－10，则代数式a 2－6a －2的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.108．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝__1__．9．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝__－6__．10．已知等腰三角形的两边长为32和45，则此等腰三角形的周长为． 11．观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，请写出满足上述规律的用n (n 为任意自然数，且n ≥3)表示的等式：__．12．计算：(1)32－212－418＋348； 解：22＋83(2)(0.5－213)－(132－75)； 解：382＋1333(3)212÷1550×1234； 解：322(4)(548＋12－627)÷3； 解：4(5)(3＋2－5)(3－2－5)． 解：6－21513．化简：18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.解：原式＝32－322－(1＋2)＋1＋|1－2|＝32－322－1－2＋1＋2－1＝322－114．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝5.求8※12的值．解：8※12＝8＋128－12＝20－4＝25－4＝－5215．已知x－1＝3，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2，当x－1＝3时，原式＝(3)2＝316．已知x，y为实数，且y＝3－x＋4x－12＋1，化简(5－x)2|y－3|－y2－8y＋16.解：∵3－x≥0，4x－12≥0，∴x＝3，y＝1，∴原式＝(5－x)(3－y)－（y－4）2＝(5－x)(3－y)－(4－y)＝(5－3)×(3－1)－(4－1)＝2×2－3＝4－3＝117．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，E点在AB上，DE＝AE＝EB＝ 5.求▱ABCD的周长和面积．解：∵DE ⊥AB ，DE ＝AE ＝5，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝（5）2＋（5）2＝10.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，DC ＝AB ＝2 5.∴▱ABCD 的周长为AD ＋DC ＋CB ＋AB ＝2(10＋25)＝210＋4 5.▱ABCD 的面积为AB ×DE ＝25×5＝1018．已知a －b ＝5＋3，b －c ＝5－ 3. (1)求a －c 的值；解：a －c ＝(a －b )＋(b －c )＝25(2)求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值．解：a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝1819．已知等式|a －2014|＋a －2015＝a 成立，求a －20142的值． 解：∵a －2015≥0，∴a ≥2015.∴|a －2014|＝a －2014.∴a －2014＋a －2015＝a.∴a －2015＝2014.∴a －2015＝20142.∴a －20142＝201520．已知11－1的整数部分是a ，小数部分是b ，试求(11＋a )(b ＋1)的值． 解：∵3<11<4，∴2<11－1<3，故11－1的整数部分是2，即a ＝2，∴11－1的小数部分是11－1－2＝11－3，即b ＝11－3.∴(11＋a )(b ＋1)＝(11＋2)(11－3＋1)＝第21页 (11＋2)(11－2)＝(11)2－22＝721．观察下列等式及验证过程： 12－13＝1223；12（13－14）＝1338； 13（14－15）＝14415. 验证：12－13＝222×3＝1223； 12（13－14）＝12×3×4＝32×32×4＝1338. (1)请按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想14（15－16）的变形结果及验证过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n 表示的等式，并验证．(n 为自然数) 解：(1)14（15－16）＝15524 验证：14（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15524(2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1 验证：1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ·（n ＋1）（n ＋2）＝n ＋1n （n ＋1）2（n ＋2）＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1。
九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减作业华东师大版(2021年整理)
2018年秋九年级数学上册第21章二次根式21.3 二次根式的加减作业（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第21章二次根式21.3 二次根式的加减作业（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21．3 二次根式的加减1．通过回忆同类项的概念，类比理解同类二次根式的概念，并能准确识别出同类二次根式．2．通过自学阅读，类比整式加减运算的方法，讨论归纳出二次根式加减的法则，并用该法则进行二次根式的加减运算．3．通过回顾整式的混合运算，理解二次根式混合运算中加、减、乘、除、乘方、开方等运算的运算顺序,能正确进行二次根式的混合运算．目标一会识别同类二次根式例1 教材补充例题下列二次根式中,与错误!是同类二次根式的是（）A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!【归纳总结】1．判断同类二次根式的“一化、二看、三判断”法：2．同类二次根式的“两相同、一无关":目标二会利用法则进行二次根式的加减运算例2 教材例1针对训练计算：2 错误!＋3 错误!－5 错误!－3 错误!。
例3 教材例2针对训练计算：（1)错误!＋错误!－错误!；(2)3 8＋2错误!－错误!；(3）错误!错误!－2错误!＋错误!－3 错误!.【归纳总结】二次根式加减运算“三步法”:目标三会进行二次根式的混合运算例4 教材例3针对训练计算：（1）（错误!＋2错误!－错误!）×2 错误!；（2)（错误!＋错误!）2＋(错误!－错误!）2.【归纳总结】二次根式混合运算的“五点注意”：（1)确定运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的；(2）灵活运用运算律;(3）正确使用乘法公式；(4）有些运算中约分可使运算简便；（5)最后将结果化为最简二次根式或整式．小结◆◆◆知识点一同类二次根式的概念几个二次根式化为最简二次根式后，如果________________，那么这几个根式叫做同类二次根式．知识点二二次根式的加减法法则法则：二次根式的加减类似于整式的加减,关键是____________________．通常应先将各个二次根式化简（化为最简二次根式),再将同类二次根式合并．知识点三二次根式的混合运算二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，实质上就是实数的混合运算和代数式的混合运算．◆◆◆计算：错误!÷错误!.解：错误!÷错误!＝错误!÷错误!＋错误!÷错误!＝2＋错误!.以上解答正确吗？若不正确，请指出错误,并给出正确答案．详解详析【目标突破】例1［解析]B先把它们化成最简二次根式,再进行判断．因为错误!＝2 错误!,错误!＝2 错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以错误!与错误!是同类二次根式．故选B.例2解：原式＝(2－5)错误!＋(3－3)错误!＝－3 错误!.[备选例题］若最简二次根式错误!与x错误!是同类二次根式，则x的值是多少？解:因为错误!与x错误!都是最简二次根式,且是同类二次根式，所以5x＋7＝8x－2，解得x＝3.例3［解析］先化简，再合并．解:(1）错误!＋错误!－错误!＝错误!＋2 错误!－3 错误!＝0。
数学 九年级 上册 华师 配套册答案
姨26-m 是同类二次根式.
6. 解析 假设它们是同类二次根
式.
则
1 2
2
（2x-y）=
1 2
（y+6）=2
x+y=3x+y-2，
x=1，
解得 y=-2.
x=1，
∵ 当 y=-2 时，
x+y=-1，3x+y-2=-1.
=-10
姨 姨 （2）姨3a3 ÷
a = 3a3×3
3
a
=姨9a2 =3a 题组二 1. B 2. C
∴ 该汽车的经济时速为
90km／h.
当 x=90 时，百千米耗油量为
2 100×
1 + 450 18 8 100
≈11.1（L）.
第 22 章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
+2）=4-3-1-2姨 2 -2=-2-2姨 2 .
题组一 1. B 2. -6 3. 1 4. 2
2 题组二 1. C 2. 4+2 姨 3 3. -7+6 姨 2
不是负数的有 姨 2 ， 姨a2+b2 ，
姨x2+2
014
，
3
姨
5
，故属于二
意义.
02x+3≥0，
7. 解析 根据题意，得
解
x+1≠0，
得
x≥-
3 2
且 x≠-1.
所以当 x≥
-
3 2
且 x≠-1 时， 姨2x+3
+
1 x+1
次根式的有： 姨 2 ， 姨a2+b2 ， 姨x2+2 014 ，共 3 个.
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[21.3 二次根式的加减]
一、选择题
1．以下二次根式：①12；②22；③
23
；④27中，与3是同类二次根式的是( ) A ．①和②B ．②和③ C ．①和④D ．③和④
2．xx·十堰下列运算正确的是( ) A.2＋3＝5B ．2 2×3
2＝6
2
C.8÷2＝2 D ．3
2－2＝3
3．计算48－9
1
3
的结果是链接听课例3归纳总结( ) A ．－3B.3C.1133D ．－11
3
3
4．xx·聊城计算(51
5
－2 45)÷(－5)的结果为( )
A ．5
B ．－5
C ．7
D ．－7
5．对于任意的正数m ，n ，定义运算“※”为：m ※n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －n （m ≥n ），
m ＋n （m <n ）.
计算(3
※2)×(8※12)的结果为( )
A ．2－4
6B ．2C ．2
5D ．20
二、填空题
6．计算：(1)xx·衡阳8－2＝________；
(2)xx·山西4 18－9 2＝________． 7．xx·西宁计算：(2－2
3)2＝________．
8．若最简二次根式7a －1与6a ＋1是同类二次根式，则a ＝________．
9．若一个三角形的三边长分别为8cm ，12cm ，18cm ，则这个三角形的周长为________cm.
10．(1)若x ＝2＋7，y ＝7－2，则x ＋y ＝________，xy ＝________；链接听课例4归纳总结 (2)若x ＝2－1，则x 2＋2x ＋1＝________． 11．计算(5＋2)xx ×(5－2)xx 的结果是________． 三、解答题
12．计算：(1)523－346＋323＋1
46；
(2)32－1
28＋
1
2
；链接听课例3归纳总结
(3)(2 2－3 6)(2 2＋3 6)；链接听课例4归纳总结
(4)(10－215)÷ 5.
13．已知x＝2－3，求代数式(7＋4 3)x2＋(2＋3)x＋3的值．
14．先化简，再求值：x 2＋y 2－2xy x －y ÷(x y －y
x
)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.
15.2017年9月28日，由袁隆平挂帅的“海水稻”项目测产结果为最高亩产620.95千克，其中一块长方形试验土地的长是宽的3倍，面积是3600平方米，则这块试验田的周长约是多少米？(精确到1米，3≈1.732)
16.已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．
模拟应用在进行二次根式的除法运算时，我们有时会碰上如5
3，
23，23＋1
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5
3＝5×33×3＝5 33(一)；
2
3＝2×33×3＝6
3
(二)； 2
3＋1＝2（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）
（3）2
－1＝3－1(三)． 以上这种化简的步骤叫分母有理化． 2
3＋1
还可以用以下方法化简： 2
3＋1＝3－1
3＋1＝（3）2－13＋1＝（3＋1）（3－1）
3＋1
＝3－1(四)． (1)请用不同的方法化简：25＋3
.
①参照(三)式得
25＋3
＝______________；
②参照(四)式得
2
5＋3
＝_____________.
(2)化简：1
3＋1
＋
1
5＋3
＋
1
7＋5
＋…＋
1
2n＋1＋2n－1
.
详解详析
【课时作业】[课堂达标]
1．[解析]C∵12＝2 3，22＝2，2
3
＝
6
3
，27＝3 3，∴与3是同类二次
根式的是①和④，故选C.
2．[解析]C A.2与3不能合并，所以A选项错误；B.原式＝2×3×(2)2＝6×2＝12，所以B选项错误；C.原式＝8÷2＝2，所以C选项正确；D.原式＝2 2，所以D选项错误．故选C.
3．[解析]B48－9 1
3
＝42×3－9
3×1
3×3
＝4 3－9×
3
3
＝(4－3)3＝ 3.
4．[解析]A原式＝(5－6 5)÷(－5)＝(－5 5)÷(－5)＝5，故选A.
5．[全品导学号：34942178][解析]B原式＝(3－2)(8＋12)＝(3－2)(2 3＋2 2)＝2(3－2)(3＋2)＝2[(3)2－(2)2]＝2×(3－2)＝2.故选B.
6．[答案] (1) 2 (2)3 2
[解析] (1)原式＝2 2－2＝ 2.
(2)原式＝12 2－9 2＝3 2.
7．[答案] 16－8 3
[解析] 原式＝4－8 3＋12＝16－8 3.
8．[答案] 2
[解析] 由题意，得7a－1＝6a＋1，解得a＝2.
9．[答案] (5 2＋2 3)
[解析] 这个三角形的周长为(8＋12＋18)cm，先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，8＋12＋18＝2 2＋2 3＋3 2＝(5 2＋2 3)cm.
10. [答案] (1)2 7 3 (2)2
[解析] (2)∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴当x＝2－1时，原式＝(2－1＋1)2＝(2)2＝2.
11．[答案]5－2
[解析] (5＋2)xx ×(5－2)xx ＝[(5＋2)xx ×(5－2)xx ]×(5－2)＝[(5＋2)×(5－2)]xx
×(5－2)＝[(5)2－22]xx ×(5－2)＝1xx ×(5－2)＝5－2.
12．解：(1)原式＝(523＋323)＋(－346＋146)＝(52＋3
2
)
3＋(－34＋14
)
6
＝4 3－
1
2
6. (2)原式＝4
2－2＋22＝7
2 2.
(3)原式＝(2
2)2－(3
6)2＝8－54＝－46.
(4)原式＝105－2 15
5
＝2－2
3.
13．解：把x ＝2－3代入代数式(7＋4 3)x 2＋(2＋3)x ＋3，得(7＋4 3)(2－3)2
＋(2＋3)(2－3)＋3＝(7＋4
3)(7－4
3)＋4－3＋3＝49－48＋1＋3＝2＋ 3.
14．解：原式＝（x －y ）2x －y ÷x 2－y 2xy ＝（x －y ）2x －y ·xy （x ＋y ）（x －y ）＝xy
x ＋y .
当x ＝2＋1，y ＝2－1时，
原式＝（2＋1）（2－1）（2＋1）＋（2－1）＝12 2＝2
4.
15．解：设这块试验田的宽是x 米，则长是3x 米． 依题意得3x·x＝3600， 解得x ＝20
3(负值已舍去)，则3x ＝60
3.
所以这块试验田的周长是(20 3＋60
3)×2＝160
3≈277(米)．
答：这块试验田的周长约是277米．
16．解：∵x＝1－2，y＝1＋2，∴x－y＝(1－2)－(1＋2)＝－2 2，xy＝(1－2)(1＋2)＝－1，
∴x2＋y2－xy－2x＋2y
＝(x－y)2－2(x－y)＋xy
＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)
＝7＋4 2.
[素养提升]
解：(1)①2（5－3）
（5＋3）（5－3）＝
2（5－3）
（5）2－（3）2
＝5－3
②5－3
5＋3
＝
（5）2－（3）2
5＋3
＝
（5＋3）（5－3）
5＋3
＝5－3
(2)1
3＋1
＋
1
5＋3
＋
1
7＋5
＋…＋
1
2n＋1＋2n－1
＝
3－1＋5－3＋7－5＋…＋2n＋1－2n－1
2
＝
2n＋1－1
2
.。