微分算子法
微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,xxe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123xxy C C eC e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x Da x y -≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
微分算子法典型例题讲解
高阶常微分方程的微分算子法1(n a x -+,()n a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成1()())n a x Da x y ++)x可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
0y =3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
第四节 微分算子法
3 xy 0，
2
u2 ( x, y, z , t ) 3 xyt B( x, y, z )t 代入方程u tt a u xx , 得到：
2
3
6Bt a 0 Bt
2
2
B( x, y, z ) 0 令 B ( x, y , z ) 0
2
故u ( x, y, z, t ) x 3xy 5 xyz a t 2 6 x 10 xy
2 2 2 2
A( x, y, z ) 0 令 A( x, y, z ) a 2 2 6 x 10 xy
二、波动方程Cauchy问题的解法
utt a 2uxx 0 ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R) 1 shat u ( x, t ) chat ( x) ( x) a
2
2
k 0
2
a t [ x
2 k k
2
k!
3 xy 5 xyz ]
2 2
at 2 2 2 x 3xy 5 xyz x 3xy 5 xyz 0 1!2 x 2 3 xy 2 5 xyz 2 a t 2 6 x 10 xy
at k [ ( x)] 1 at k [ ( x)] 2k 1! 2k ! a k 0 k 0
2k 2 k 1
( x)
t k 1
2k
A2k ( x) ( x)t
u1
t k 1
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法摘要：一、微分算子法的概念1.微分算子的定义2.微分算子在数学中的应用二、多项式除法的基本原理1.多项式的表示方法2.多项式除法的步骤3.多项式除法的应用三、微分算子法在多项式除法中的应用1.微分算子法的基本思想2.微分算子法在多项式除法中的具体应用3.微分算子法与传统多项式除法的比较四、微分算子法在实际问题中的应用1.微分算子在微分方程求解中的应用2.微分算子在数据处理和机器学习中的应用正文：微分算子法是一种在数学领域广泛应用的方法，它涉及到微分算子的定义及其在各种问题中的应用。
其中，多项式除法是微分算子法的一个重要应用方向。
本文将首先介绍微分算子法的相关概念，然后阐述多项式除法的基本原理，接着分析微分算子法在多项式除法中的应用，最后讨论微分算子法在实际问题中的具体应用。
一、微分算子法的概念微分算子是一种在数学中广泛应用的算子，它可以用于表示各种变化率和导数。
给定一个函数f(x)，我们可以定义微分算子Df(x) 为：Df(x) = f"(x)。
其中，f"(x) 表示函数f(x) 在点x 处的导数。
微分算子可以用于表示各种变化率和导数，例如，一阶导数、二阶导数等。
二、多项式除法的基本原理多项式除法是一种基本的数学运算，它可以用于计算两个多项式相除的结果。
给定两个多项式P(x) 和Q(x)，多项式除法的步骤如下：1.将除数Q(x) 的最高次项与被除数P(x) 的最高次项相除，得到商的常数项。
2.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从被除数P(x) 中减去得到一个新的多项式。
3.将新多项式的最高次项与除数的次高次项相除，得到商的次高次项。
4.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从新多项式中减去得到一个新的多项式。
5.重复上述过程，直到除数的次数小于被除数的次数，此时多项式除法结束。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在利用微分算子表示多项式的导数，从而简化多项式除法的计算过程。
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法
微分算子法，也称为Heaviside除法，是一种用微分算子来实
现多项式除法的方法。
它基于这样的观察：两个多项式相除的结果可以表示为一个常数乘以指数函数的线性组合。
具体步骤如下：
1. 将被除式和除式表示为微分算子的形式。
例如，对于被除式p(x)和除式q(x)，将它们表示为P(D)和Q(D)，其中D是微分
算子。
2. 将除式Q(D)的次数提取出来。
将Q(D)表示为Q(D) = D^m + a_(m-1)D^(m-1) + ... + a_1D + a_0，并求出m的值。
3. 计算常数乘以指数函数的线性组合。
根据多项式除法的原理，p(x)/q(x)可以表示为：
p(x)/q(x) = C_0 + C_1e^x + C_2e^(2x) + ... + C_me^(mx)
其中，C_0, C_1, ..., C_m是待求的常数。
4. 求解线性组合中的常数。
将p(x)/q(x)代入原方程，并依次对
x求导m次，得到一系列的待定方程。
利用这些方程，可以求解出C_0, C_1, ..., C_m的值。
5. 得到多项式除法的结果。
将求解出的C_0, C_1, ..., C_m带入线性组合中，即可得到p(x)/q(x)的表达式。
需要注意的是，微分算子法多项式除法适用于特定情况，即解决形如常系数线性常微分方程的问题。
在应用这种方法时，要保证被除式和除式都具有相同的形式，即都可以表示为微分算子的形式。
微分算子法中D的运算
微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x , D 3x 2=0D 1：积分的意思，如D 1x=2x 2**＊*＊＊**＊＊*＊*＊*＊＊＊*＊*＊＊＊＊*＊**＊*＊＊＊**＊＊*＊＊******＊＊***＊＊*＊＊***＊*＊*＊*＊＊＊*＊＊＊******定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论:)(1)(F 1k F e e D kx kx = （F(k ）≠0） 例：x e y y 2=+''x e y D 22)1(=+x x x e e e D y 22222*51121)1(1=+=+= ＊＊＊**＊*＊＊*＊＊＊**＊＊＊＊**＊*＊＊＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊*＊*****＊＊＊******＊**＊＊***＊＊＊＊＊＊*＊＊***＊*＊定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(cos cos )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序 推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= (F （—a 2) ≠0) 例：x y y 3cos 24=+）（x y D 3cos 2)1(4=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。
F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D ）。
***＊＊＊＊＊*＊**＊＊**＊＊****＊＊**＊*＊＊*＊*＊*＊＊*＊＊*＊＊＊＊＊**＊*＊*＊＊**＊＊＊＊***＊*＊**＊＊＊＊*＊***＊*定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论：)()(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx +=例：x e x y y 22y 44⋅=+'-''x e x y D D 222)44(⋅=+-42222222222*1211)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-= 例：x e y y y =-'+''-'''y 33x e y D =-3)1(x e D y 3*)1(1-= 此时不能用定理1，故 3333*61111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x ⋅⋅=⋅=⋅=-+= ＊＊＊*＊*＊**＊*＊＊****＊＊＊＊＊*****＊**＊*＊*＊＊**＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊**＊＊*＊*＊***＊＊＊**＊**＊**＊＊**例： x y y e 4=-）（x e D e D e e D e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例:22+-=+''x x y y2)1(22+-=+x x y D)2()1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
微分算子法求微分方程的特解2022
二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。
具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则 方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！ 记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。
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微分算子法高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y=，将方程写成 32230D y D y Dy --=或32(23)0DD D y --=我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x xe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123xxy C C eC e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dxa x y f x ---=++++=L其中系数1(),,()na x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y-≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()ia x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解写成32(6116)0D D D y -+-=从特征方程 3206116DD D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123xx xy C eC e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0DD D y -++=或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D DD +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是xe -，2cos3xex，2sin 3xe x从而通解是22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x-=++4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0DD D D y -+-+=或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin xx exe x x，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x=+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x xx x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+= 解 (1)12xxy C e C e -=+34(cos 2sin 2)xe C x C x -++(2)12(cos sin )22xx x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题(1)330;y y y y ''''''-+-=(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+==== 解 (1) (1)xy e x =+(2) xy x e -=+8.求解非齐次方程21(0)y y y x x x'''++=≠解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x '''++=的两个线性无关的特解。
现设用观察法得到两个特解12sin cos ,x xy y x x==令12sin cos ()()()x xy x C x C x x x=+考虑方程组1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x xx x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩最后解得1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为12sin cos 1()x x y x C C x x x=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。
因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。
这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解256y y y x '''++= 解 写成 2(2)(3)D D y x ++= 故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为23112()xxy x C e C e --=+今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足 *2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x*21()(2)(3)y x x D D =++222222222222222222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111(()())224111(()())33911122()()223391561x D D x x D D x x D DD D x D D x D D x D D xx x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +通解为*123212()()()1519618108xxy x y x y x C eC ex x --=+=++-+注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运算来处理，上法中1(2)(3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D +展开或读作除数，最后，又将2,,D D L 恢复其运算功能。
至此，积分微分方程问题已变为求导问题。
上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。
10.给定一个微分算子 111nn nn nL D a D a D a --=++++L (,1,2,,)ia i n =L 为常数则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x (())()nL g x f x =今定义逆运算1(())()nf xg x L= g恰为微分方程(())()nL g x f x =的一个特解。
证明下列事实：(1)给定f 后，g 不唯一 (2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立111(()())(())(())n n nah x bg x a h x b g x L L L +=+(3)设有另一微分算子11mm mL D a D -=++L ma +，则1111(())(())m m nng x g x LL L L =(4)有下式成立1111(())(())()()kn k g x g x L D D ρρλλ=--L证明 (1)设1()g x 是方程()0nL y =的特解，则有1(()())(())()nnL g x g x L g x f x +== 故11(())()()nf xg x g x L=+ (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出11.给定nL 如上题，证明下列性质：(1)设()0F k ≠，此处11()nn F a λλλ-=++L 1n na a λ-++为多项式(与nL 对应)，则11()kx kxne e LF k = 当k ρ≠时11kxkxe e D k ρρ=--(2)11()()()()kx kx n n e f x e f x L D L D k =+g 特别 11()()()()kx kxmme f x e f x D D ρ=-g(3)当()F λ为偶次多项式，()0F ik ≠，则11sin sin ()()n kx kx L D F ik =，其中1i =-对cos kx 也有类似公式 特别，对一般的()nL D ，当()0F ik ≠时， 11sin ()sin ()()()nn n nkx L D kx L D L ik L ik =-- 证明 (1)因()()kx kxD e k e ρρ-=-，故有1()()kx kxe k e D ρρ=-- 于是11111()()()1()()()1()kx kxn nkxn nkxe e L D D D eD D k e F k ρρρρρ-=--=---=L L L (2)()()kxD eg x ρ-()()()[()()()]()()kx kx kx kx kxke g x e g x e g x e Dg x k g x e D k g x ρρρ'=+-=+-=+-g今令1()(())g x f x D k ρ=+- 则()(())()D k g x f x ρ+-=，代入上式得1()(())()kxkx D e f x e f x D k ρρ-=+-或11(())()()kxkxe f x e f x D k D ρρ=+-- 一般公式可由此逐步推出(3)因22(sin )()sin D kx ik kx =，故22()sin (())sin D kx ik kx ρρ-=- 从而221sin (())sin kx ik kx D ρρ=-- 当()F λ为偶多项式时 221()()()n L D D D k ρ=--L ， 故一般公式由上式逐步推出 注 (1)1nL还有另一性质，我们述而不论：111111001()()()()m m n n n n m m i m i m i mi m i m r x b x D a D a D a b x b D x b D x b ββ----∞==++++++++=++=++∑∑L L L L(2)当()0F ik =时，此时宜用Euler 公式cos sin ikxe kx i kx =+如不懂，可参看我在豆丁上上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。