三相逆变器的建模

三相逆变器的建模1.1逆变器主电路拓扑与数学模型三相全桥逆变器结构简单,采用器件少,并且容易实现控制,故选择三相三线两电平全桥逆变器作为主电路拓扑,如图 1所示。

图 1三相三线两电平全桥逆变拓扑图 1中V dc为直流输入电压；C dc为直流侧输入电容；Q1-Q6为三个桥臂的开关管;L fj(j=a，b,c）为滤波电感；C fj（j=a,b，c)为滤波电容，三相滤波电容采用星形接法；N为滤波电容中点；L cj （j=a,b，c）是为确保逆变器输出呈感性阻抗而外接的连线电感;v oj(j=a,b，c）为逆变器的滤波电容端电压即输出电压;i Lj(j=a，b,c)为三相滤波电感电流，i oj(j=a,b,c）为逆变器的输出电流。

由分析可知，三相三线全桥逆变器在三相静止坐标系abc下,分析系统的任意状态量如输出电压v oj(j=a，b，c)都需要分别对abc三相的三个交流分量v oa、v ob、v oc进行分析。

但在三相对称系统中,三个交流分量只有两个是相互独立的。

为了减少变量的个数,引用电机控制中的Clark变换到三相逆变器系统中，可以实现三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换,即将abc 坐标系下的三个交流分量转变成αβ坐标系下的两个交流分量。

由自动控制原理可以知道，当采用PI 控制器时，对交流量的控制始终是有静差的，但PI控制器对直流量的调节是没有静差的。

为了使逆变器获得无静差调节,引入电机控制中的Park变换，将两相静止坐标系转换成两相旋转坐标系，即将αβ坐标系下的两个交流分量转变成dq坐标系下的两个直流分量。

定义αβ坐标系下的α轴与abc三相静止坐标系下的A轴重合，可以得到Clark变换矩阵为：1 / 11 / 111122230ClarkT ⎡⎤--⎢⎥⎢=⎢⎢⎣ （1）两相静止坐标系αβ到两相旋转坐标系dq 的变换为Park 变换，矩阵为：cos()sin()sin()cos()Park t t T t t ωωωω⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2)对三相全桥逆变器而言，设三相静止坐标系下的三个交流分量为:cos()cos(2/3)cos(2/3)a mb mc m u U t u U t u U t ωωπωπ==-=+ (3）经过Clark 和Park 后，可以得到：d m q u U u == (4）由式(3）和式（4)可以看出，三相对称的交流量经过上述Clark 和Park 变换后可以得到在 d 轴和 q 轴上的直流量,对此直流量进行 PI 控制,可以取得无静差的控制效果.1.1.1 在abc 静止坐标系下的数学模型首先考虑并网情况下，微电网储能逆变器的模型。

选取滤波电感电流为状态变量，列写方程:000a a a la b f b b lb c c lc c di dt u u i di L u u r i dt u u i di dt ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5）其中，f L 为滤波电感，r 为滤波电感寄生电阻，系统中三相滤波电感取值相同。

在abc 三相静止坐标系中，三个状态变量有两个变量独立变量，需要对两个个变量进行分析控制，但是其控制量为交流量，所以其控制较复杂。

1.1.2 在αβ两相静止坐标系下的数学模型由于在三相三线对称系统中，三个变量中只有两个变量是完全独立的,可以应用Clark 变换将三相静止坐标系中的变量变换到αβ两相静止坐标系下,如图 2所示。

1 / 1A图 2 Clark 变换矢量图定义αβ坐标系中α轴与abc 坐标系中a 轴重合，根据等幅变换可以得到三相abc 坐标系到两相αβ坐标系的变换矩阵：12121203a b c u u u u u αβ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(6）联立式（5）与式（6），可以得到微电网储能逆变器在αβ坐标系下的数学模型：00f di u u i dt L r u u i di dt ααααββββ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（7）从式（7）可以看出，与三相静止坐标系下模型相比，减少了一个控制变量，而各变量仍然为交流量，控制器的设计依然比较复杂。

1.1.3 在dq 同步旋转坐标系下的数学模型根据终值定理，PI 控制器无法无静差跟踪正弦给定，所以为了获得正弦量的无静差跟踪,可以通过Clark 和Park 变换转换到dq 坐标系下进行控制。

dq 两相旋转坐标系相对于αβ两相静止坐标系以ω的角速度逆时针旋转，其坐标系间的夹角为θ，图 2给出了Park 变换矢量图。

图 3 Park 变换矢量图Park 变换矩阵方程为：cos sin sin cos d q u u t t u u t t αβωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8）联立式（7）和式（8）可得微电网储能逆变器在dq 坐标系下的数学模型：1 / 100df d d f q d qf q q f d q di L u u L i ri dtdi L u u L i ri dtωω⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩(9）在两相旋转坐标系下电路中控制变量为直流量，采用PI 控制能消除稳态误差，大大简化了系统控制器的设计。

但是，由于dq 轴变量之间存在耦合量，其控制需要采用解耦控制，解耦控制方法将在下节介绍。

1.1.4 解耦控制从式（9）可以看出，dq 轴之间存在耦合,需要加入解耦控制。

令逆变器电压控制矢量的d 轴和q 轴分量为：d gd q dq gq d q v u Li v v u Li v ωω=+-∆⎧⎪⎨=--∆⎪⎩(10）其中d v ∆，q v ∆分别是d 轴和q 轴电流环的输出，当电流环采用PI 调节器，满足：**()()()()ii d ip d d ii q ip q q K v K i i sK v K i i s ⎧∆=+-⎪⎪⎨⎪∆=+-⎪⎩（11)ip K ,ii K 分别是电流PI 调节器的比例系数和积分系数，*d i ，*q i 分别为d 轴和q 轴的参考电流，d i ，q i 分别为d 轴和q 轴的实际电流采样.把公式（10）代入公式（9）可得：dd d q q q di L ri v dtdi L ri v dt⎧=-+∆⎪⎪⎨⎪=-+∆⎪⎩ （12)由式（12）可以看出，由于在控制矢量中引入了电流反馈，抵消了系统实际模型中的耦合电流量，两轴电流已经实现独立控制。

同时控制中引入电网电压前馈量gd u 和gq u ,提高了系统对电网电压的动态响应。

图 4是电流解耦控制框图。

解耦方法为在各轴电流PI 调节器输出中加入其他轴的解耦分量,解耦分量大小与本轴被控对象实际产生的耦合量大小一致，方向相反[1]。

1 / 1图 4 电流解耦控制图对公式(12)进行拉普拉斯变换，同时把公式（11)代入公式（12)可得：()()()()()()ii d ip d d ii q ip q qk Ls r i k i i s k Ls r i k i i s **⎧+=+-⎪⎪⎨⎪+=+-⎪⎩（13） 在采用解耦控制之后，d 轴电流和q 轴电流分别控制。

图 5给出电流内环的结构框图.*图 5 电流内环结构框图其中，s T 为电感电流采样周期，ip K 和ii K 对应电流环的PI 参数，1/(10.5)s T s +代表PWM 控制产生的惯性环节[2]，1/(1)s T s +代表电流采样的延迟[3］。

PWM K 为调制比，由于本文空间矢量调制(Space Vector Pulse Width Modulation, SVPWM ），调制过程中引入了直流电压的前馈环节，所以PWM K 可以表示为：1PWM K =(14）本系统开关频率和器件参数为:1/1/15kHz=66.7us s s T f ==， 1.5mH L =，0.1R =Ω，50uF C =.由于d 轴和q 轴电流环完全对称，所以本文只分析d 轴电流环的设计过程。

由于合并小惯性环节并不会影响系统低频特性,可以将图 5化简，得到图 6。

1 / 1图 6 d 轴电流环简化结构框图1.2 电压电流双环设计1.2.1 电流环设计由上述分析可知,在环路设计时可以对d 轴电流和q 轴电流分别进行控制［4］，从而可以得到如图 7所示的电流环控制框图。

图 7 电流环控制框图其中， K ip 和K ii 对应电流环的PI 参数，T s 为电流内环采样周期，1/(1+T s s ）和1/(1+0.5T s s ）分别代替电流环信号采样的延迟和PWM 控制的小惯性延时环节［5］。

本文设计的系统参数如下：L =1。

5mH ，R =0.1Ω,C =50μF ，T s =1/f s =1/15k Hz=66.7μs 。

由于d 轴与q 轴的电流环类似，故以d 轴电流环为例进行分析。

补偿前电流环的开环传递函数为:0()(1.51)()PWMc s K G s T s R Ls =++(15）补偿网络的传递函数为：1()ip iiK s K H s s+=（16）直流增益20lg|G c 0(s ）|=20dB ；幅频特性的转折频率为100Hz ，设定补偿后的穿越频率为1/10的开关频率,即1500Hz 。

则有：011(21500)(21500)c G j H j ππ⋅=⋅(17)若加入补偿网络后，系统回路的开环增益曲线以-20dB/dec 斜率通过0dB 线,变换器具有较好的相位裕量.由于补偿前的传递函数在中频段的斜率已经为-20dB/dec ，因此补偿网络在1500Hz 时斜率为零。

将PI 调节器的零点设计在原传递函数的主导极点转折频率处，即100Hz 处。

1 / 1令：ip iiK L K R= （18)联立式（17)及式(18）可得电流环的PI 参数：K ip =18,K ii =1200。

实际取值：K ip =10，K ii =1200。

频率/Hz图 8 电流环补偿前后的波特图图 8所示为电流环补偿前后的波特图。

可以看出，补偿前电流环的开环传递函数G c 0（s )在低频段的增益为20dB,并且在100Hz 时穿越0dB 线，相位裕度为75°；加入补偿环节后，电流环的闭环传递函数G il （s ）其幅频特性曲线在1000Hz 处以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，相位裕度为60°。

补偿之后回路的开环传递函数为:()()(1.51)()PWM ip ii s K K s K G s s T s R Ls +=++ （19）因此，补偿之后电流环的闭环传递函数为：2()(1.51)()()1()() 1.51()11(1.51)()PWM ip ii s il PWM ip ii s ip PWMip PWM s K K s K s T s R Ls G s G s K K s K LT LG s s s K K K K s T s R Ls +++===+++++++ (20)1.2.2 电压环设计电压外环主要是保证输出电压的稳态精度，动态响应相对较慢。