含参数及绝对值的二次函数解题策略初探
含参数及绝对值的二次函数解题策略初探
一
４ 个 交 点 ， 只 需 。 一 丢 ＜ １ ＜ 。 ，
故ｌ ＜ ａ ＜ ５
４ ．
图１
点评 ： 本题体现 了数形 结合 的思想． 它常用来研 究方
程根 的情 况、 讨 论 函数 的值 域 （ 最值 ） 及 求 变量 的 取 值 范
、
知 识 梳 理
都不在 轴上方 ， 求ｂ 的最小值．
解析 ： 由已知 ， 对 任意
ｖＪ ＾Ｌ ＝一 ６
２ ）绝对值 函数其 图像作 法也应 依不 同区 间分 别来
作： 作 ＝ Ｉ ｆ （ ｘ ） ｌ 的图像可将ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图像在 轴下方的部
分翻折 Ｎｘ 轴上 方 ， 其余部 分不变 ； 作ｙ ＝ ｆ （ ） 的图像可 先作 ０ ３ ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） 当 １０ ＞ 时 的 图像 ， 再利用 偶 函数的 图像关 于Ｙ 轴对 称 ， 作 出ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） （ ｘ ＜ Ｏ ） 的 图像． 而一 般绝对值 二次 函数可 由以上两种基本绝对值 函数组合 或变换得到．
以发 现 ， 当抛 物线ｈ （ ｘ ） 与射 线ｇ （ ） ＋ ３ 相 切时 ， ５ ６ － 最 小
二、 策 略探 究
策略 １ ： “ 以形 助 数 ” 为主 。 “ 以数 定 形 ” 为 辅
值 ． 故 由 ｙ ： ｛ 卅 ｊ 。 ‘ ， 消 去 有 ２ ＋ ｘ ＋ ３ — ６ ： ０ ， 由 △ ： ｏ Ｎ ｉ ￣ ｂ ：
ｇ （ ） ＝ Ｉ 斛０ ｌ ， ｈ （ ｘ ） ＝ － － ｘ Ｅ ＋ ｂ ， 函
数ｇ （ ｘ ） 与ｈ （ ｘ ） 的 图像 如 图
’
・
’ ，
．
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。
例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。
而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。
在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。
首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。
接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。
这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。
现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。
假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。
首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。
对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。
情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。
这可以通过求导数的方式来实现。
我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。
然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。
我们将这个最大值命名为M。
因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。
扬州市初中数学名师工作室交流课件：探索二次函数综合题解题技巧-(共28张PPT)【可编辑全文】
求抛物线和直线BC的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上
的一个动点，求使△BPC为直角三角 形的点P的坐标.
解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），
得BC2=OB2+OC2＝18,
PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,
探究平行四边形：①以已知边为平行四
边形的某条边，画出所有的符合条件的 图形后，利用平行四边形的对边相等进 行计算；②以已知边为平行四边形的对 角线，画出所有的符合条件的图形后， 利用平行四边形对角线互相平分的性质 进行计算；③若平行四边形的各顶点位 置不确定，需分情况讨论，常以已知的 一边作为一边或对角线分情况讨论.
（1）求抛物线的解析式并写出 其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛 物线上，动点N在对称轴I上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此 时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时， 求四边形PABC面积的最大值及此 时点P的坐标．
方法指导：
1.三角形面积最值.分规则与不规则。有 底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平 行属于规则，直接用面积公式求解。没 有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴 属于不规则，用割补法。
类型四 特殊四边形的探究问题
例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、
C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达
式；
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存
在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平
简单概括就是规则与不规则线段的 表示：规则：横平竖直。横平就是 右减左，竖直就是上减下，不能确 定点的左右上下位置就加绝对值。 不规则：两点间距离公式
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
二次函数及绝对值
表達式 b 2 4ac 稱為二次方程的 判別式， 並以符號 來表示，即 b 2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個不等的實根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個相等的實根 （或稱該二次方程有二 重根）
x 10 1 或 3 2
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.2
1 若二次方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 試求 k 的值及方程的另一根
1 解： 因為方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 2 1 1 2 k 6 0 2 2 1 k 6 0 2 2 1 k 12 0 左右兩邊乘以 2。
2
x
3 17 4
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法推導二次公式
解方程 ax 2 bx c 0 ， 其中 a 0
x2
2
b c x a a
2 2
b b b c x x a 2a 2a a b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a
解： (a) (6) 2 4(3)(2)
12 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為無理數 (b) (3) 2 4(2)(2) 25
52 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為有理數 (c) (12) 2 4(9)(4)
1
二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
初中二次函数的解题方法
11.1班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a ∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。
常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
二次函数知识点和解题方法总结
二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c 的性质：上加下减3. y a x h 2的性质：左加右减24. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0向上 h ，kX=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．a0向下h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：方法二：① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b 4ac b 2b 4ac b 2 者，即 y a x，其中 h ，k ．2a 4a 2a 4ay=ax 2y=ax 2+k平移 |k|个单位y=a (x-h) 2向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2 +k向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位向右( h>0) 【或左 (h<0)】 向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k <0) 】 平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左(h<0)】 平移 |k| 个单位五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 ya(x h)2 k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质21. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y2a 2a 4a 2a2随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．2a 2a 4a2随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时，y 有最大值 4ac b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解 析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb， 2a ，顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 2b a 时，y2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0 的前提下，当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在2ay 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于y 轴对称y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.a② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：一、二次函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。
53.怎样快速求含绝对值的二次函数最值---刘培杰 代数
53怎样快速求含绝对值的二次函数最值我们介绍如下的含绝对值的二次函数，即形如①c bx d c b a y i i n i ++++⋅+⋅=∑=ωμμ||21 或 ②c bx ax L c b x a y i l ni +++⋅+⋅+=∑=21|.|)((其中c b a n i d c b a i i i i ,,,,,2,1,,,, =均为常数，且①中的②,i i b a 中的i i c a 不全为零，),,2,1n i = 的极值的一种快速求法，其方法与步骤为：(1)找出函数的零点，将函数写成分段函数；(2)找出分段函数中每个抛物线顶点的横坐标在相应分段区间上的点；(3)列表，表中第一横行x 列函数的零点值及抛物线顶点横坐标在相应分段区间上的值将(一∞，+∞)分成若干区间；表中第二横行Y 列出第一横行中相应点的Y 值，再根据相邻两点处Y 值的大小，画出抛物线段上升(记作7↗)或下降(记作↘)的方向；(4)表中相邻两箭头相反处，即是函数的极值点及极值．例1求函数|6|22---+=x x x y 的极值．解 (1)令,062=--x x 解得函数的零点一2，3，将所给函数写成分段函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤≤---<++-=3,8232,42,82222x x x x x x x x y (2) )2,(1,122--∞∉=-- ]3,2[0,020-∈=- ),3(1,12+∞∉=- (4)由表明显看出：当x=一2时，函数y 取极大值0；当x=0时，函数y 取极小值一4；当x=3时，函数y 取极大值5．例2 求函数1|1||4|2++--=x x y 的极值．解 令04,012=-=+x x 得函数的零点为一2，一l ，2，所给函数写成分段函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+---<≤-++--<-+=2,421,42,62,22222x x x x x x I x x x x x x y 而)2,(21--∞∉- ].1,2[2121--∉=-- ]2,1[2121-∈-=--- ),2(2121+∞∉=-- 列表[注：a ，b 表示(a ，b)区间]：由上表明显看出：当x=一2时，函数Y 取极小值0；当21-=x 时，函数y 取极大值;417 当x=2时，函数Y 取极小值一2．。
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。