5年级下册数学(春季)-第4讲-应用题中的数量关系
五年级下册数学试题培优专题讲练：第4讲巧解盈亏应用题人教版
第4讲巧解盈亏应用题方法和技巧分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。
常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。
问：小波家和体育馆相距多少米？分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。
每分钟50米少150米？分钟每分钟每分钟65米多195米比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。
时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。
按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。
做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。
问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成：如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。
每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只）猴子总数为5×24＋32＝152﹙个）答：猴山有猴24只，共买来152个桃。
王敏行：第4讲：列方程解应用题
第四讲列方程解应用题【专题知识点概述】有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。
此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。
利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助，并且在代数学中乃至整个数学中有重要的意义。
列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找.一、列一元一次方程解应用题方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.解一元一次方程的步骤：1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数化1二、二元一次方程组列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别，由于可以多设未知数，所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程更需要一些技巧方法，其中最关键的步骤是消元，“消元”顾名思义减少方程组中未知数的个数，解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等，将方程组中方程的相减达到消元目的.代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式，然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.消元后，把方程转化成一元一次方程求解。
【重点难点解析】重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量.3、找到题目中的等量关系，建立方程.4、解方程.5、通过求到的关键量求得题目答案.难点：1.恰当的假设未知数2.从已知条件中寻找等量关系，列出方程或方程组并求解。
五下数学必备常用数量关系公式
1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数
总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数
几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单产量×面积=总产量总产量÷面积=单产量
总产量÷单产量=面积
5、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价6、加数+加数=和
和-—个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
10、植树问题
两端都栽：棵数=间隔数+1只栽一端：棵数=间隔数两端不栽：棵数=间隔数-1
11、（甲速+乙速）×相遇时间=路程和即：速度和×相遇时间=路程和
路程和÷速度和=相遇时间
路程和÷相遇时间=速度和
12、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
13、鸡兔同笼问题
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷（4-2）如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷（4-2）兔的只数=总头数-鸡的只数。
小学人教版数学五年级下册课件：第4单元04分数与除法的关系的应用(共16张ppt)
上面两个问题 有什么关系？ 都是用除 法算的。 7 10
答：养鹅的只数是鸭的 是鸭的2倍。
。鸡的只数
你还能提出其他数学问题并解答吗？
鸡的只数是鹅的几分之几？鸭的只数是鹅的几分之几？ 鸭的只数是鸡的几分之几？
（5 ） 花彩带的长是红彩带的 ， （4 ） （4 ） 红彩带的长是花彩带的 。 （5 ）
。
求一个数是另一个数的几分之 几，可以用除法计算。
例3
小新家养鹅7只，养鸭10只。养
△
鹅的只数是鸭的几分之几？鸡的只数 是鸭的多少倍？
阅读与理解
“鹅的只数 是鸭的几分 之几”是什 么意思？
就是求7只 是10只的 几分之几.
例3 小新家养鹅7只，养鸭10只。养 鸡20只。养鹅的只数是鸭的几分之几？ 鸡的只数是鸭的多少倍？
的个数是
的个数是
（ 5 ） 的 （ 7 ） （ 7 ） 的 （ 5 ）
8棵
松树 11棵 杨树
（8 ） 松树的棵树是杨树的 （ 11 ） （ 11 ） 杨树的棵树是松树的 （ 8 ）
做一做
1.在下面的括号里填上适当的数。
（ 7） 7 ÷13= 13 （ ）
（
4
）÷7=
2.动物园里有大象9头，金丝猴4只。金丝 猴的数量是大象的几分之几？
每本书的标价是售价的几分之几？
11 答：每本书的标价是售价的 。 9
11 11÷9= 9
△ 单位“1”指的是全班参赛作品
4 答：五（1）班获奖作品占全班参赛作品的 17 。
4÷17=
4 17
△ 单位“1”指的是全校参赛作品
17÷255=
17 答：五（1）班参赛作品占全校参赛作品的 。 255
第4讲 行程问题
第4讲行程问题教学目标1、理解行程应用题的基本数量关系，正确的解决相遇、追及……等问题。
2、掌握用“转化、假设……”等方法把复杂的数量关系转化为简单的数量关系。
重点用线段图、示意图分析数量关系。
难点用类比法把行程问题转化成“和差、盈亏、工程……”等问题来解决。
教学内容【内容概述】行程问题大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度×时间（3）同向而行：追及时间=追及距离÷速度差解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，简化数量关系，把一个复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。
【典型问题-1】相遇问题例1、货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距中点18千米处相遇。
东西两地相距多少千米？分析：货车比客车速度快，当货车过中点18千米时，客车距中点还有18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米。
每小时货车比客车多行48－42=6千米，即可求出两车相遇的时间。
解： 18×2÷（48-42）=6（小时）（48+42）×6=540（千米）练习1、快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时后，快车已驶过中点25千米，这时慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米？【典型问题-2】例2 、甲乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米。
整修路面的一段路长多少千米？分析：假如这8小时都是每小时行60千米，就比实际行的路程多出了60×8－420=60千米。
在8小时里，只要有1小时行驶在整修路面的公路上，汽车就少行60－20=40千米，60里面有1.5个40，因此，汽车在整修路面的公路上行驶了1.5小时，路长20×1.5=30千米。
五年级列方程解应用题找等量关系
列方程解应用题找等量关系(1)以总路程为等量关系建立方程例题：两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇,慢车每小时行60千米，快车每小时行多少小时？解：设快车小时行X千米数量关系：快车4小时行的+慢车4小时行的二总路程列方程：4X+60×4=536(2)以总量为等量关系建立方程例题：甲、乙两个粮仓一共有粮6800包，甲是乙的3倍，两仓各有多少包？解：设乙仓有粮X包，则甲仓有粮3X包数量关系：甲粮仓的包数+乙粮仓的包数=总共的包数列方程：X+3X=6800(3)以相差数为等量关系建立方程例题：化肥厂三月份用水420吨，四月份用水380吨，四月份比三月份节约水费60元，这两个月各付水费多少元？解：设每吨水费X元数量关系：三月份的水费一四月份的水费=节约的水费列方程：420X—380X=60(4)从事情变化的结果找等量关系。
例如：共有1428个网球，每5个装一筒，装完后还剩3个，一共装了多少筒？解：设一共装了X筒等量关系：网球总个数-装了的个数=剩下的个数(5)从关键句中找等量关系。
例如：足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的.白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块.共有多少块黑色皮？解：设黑色皮有X块数量关系：黑色皮块数x2-4=白色皮块数列方程：2x-4=20(6)从常见的数量关系中找等量关系。
例如：学校买回椅子4把，桌子2张，椅子单价22元，共花198元，求桌子的单价是多少？解：设桌子的单价是X元等量关系：椅子总价+桌子的总价=一共花的钱列方程：22×4+2x=198(7)从公式中找等量关系。
例如：用120厘米长的铁丝，围成一个长方形，要使长是42厘米,宽应该是多少厘米？解：设宽应该是X厘米等量关系：(长+宽)x2=长方形周长列方程：(x+42)×2=120(8)从隐蔽条件中找等量关系。
例如：笼子里关了一些鸡和兔子，已知它们的腿加起来共有48条,并且鸡的只数和兔子的只数相同，那么鸡和兔子各有多少只？解：设鸡和兔各有X只，等量关系：鸡的腿数+兔的腿数=总腿数隐藏条件：鸡和2条腿，兔有4条腿。
第4讲《用假设法解题》
疯狂操练5
（1）某场羽毛球比赛售出40元、30元、 50元的门票共400张，收入15600元，其中 40元和50元的张数相等。每种票各售出多 少张？
把10元和50元都换成45元 （15600-30×400）÷（45-30）÷2=120（张） 40元或50元的张数 400-240=160（张）30元的张数
例题4 某玻璃杯厂商场运送1000个玻璃杯，双方商定 每个远费为1元，如果打碎一个，这个不但不给 运费，而且要赔偿3元，结果运到目的地后结算 时，玻璃杯厂共得运费920元，求打碎了几个 下班杯？
【思路导航】
假设1000个杯全部运到并完好无损应得运费1X1000=1000 （元），实际上少得远费1000-920=80（元），这说明运输过 程中打碎了下班杯，每打碎1个，不但不给运费还要赔偿3元， 这样玻璃杯厂就少收入1+3=4元，又已求出共少收入80元，所 以打碎的玻璃杯数为80 4=20（个）。 （1X1000-920）÷（1+3）=20（个） 答：打碎了玻璃杯20个。
【例4】传说中九头鸟有九头一尾,九尾鸟有九尾一头. 今有头580个,尾900个,问两种鸟各有多少只?
两种鸟共有: 九头鸟只数: 九尾鸟只数:
(580＋900)÷(9 ＋1)=148只 (148×9)÷(9－1)=94只 148－94=54只
【例5】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿 118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅 膀；蝉6条腿，一对翅膀），问蜻蜓多少只？
（1）搬运1000只玻璃瓶，规定安全运 到一只可得搬运费3角。但打碎一只， 不仅不给搬运费，还要赔5角，如果运 完后共得运费260 元，那么，搬运中打碎了多少只。 假设全部安全运到了，所得运费比实得的运 费高，这说明运输过程中打碎了玻璃瓶。这 是解题的突破口。260元=2600角
第4讲 和差倍问题
和差倍问题课首小测（100分）1、0.36里面有36个（ ）分之一, 化成分数是（ ）。
2、把3米长的绳子平均分成5段，每段长（ ）米，每段占这条绳子的（ ）。
3、A ÷B ＝5（A ，B 是不为0的自然数），则A 和B 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（）。
4、分数单位是81的所有最简真分数的和是（ ）。
5、解方程。
32＋x ＝1211x －135＝416、计算下列题，能用简便算法的要用简便算法。
)4183(43+-31838532+++7、幼儿园买来一些糖果，第一次吃了它的51，第二次比第一次少吃了这些糖果的61，两次一共吃了这些糖果的几分之几？培优导学知识点一：和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数。
和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l 份数×(倍数－1)=两数差解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
例题大挑战1、根据线段图列式计算：2、小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？3、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍。
爷爷比小华大多少岁？4、师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？我爱展示1、5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。
每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？2、红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?3、果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？4、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?5、实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?知识点二：差倍问题解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
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5年级数学下册（春季）辅导教案 学员姓名： 学科教师：
年 级： 辅导科目：
授课日期
××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 应用题中的数量关系
教学内容
1．知道开平方、平方根的概念，理解无理数和实数的概念以及实数的分类；
2．会求平方根，会进行开平方相关的混合运算；
3. 理解实数相关的相反数、绝对值，会进行相关运算；
（以提问的形式回顾）
对于列方程解应用题，最困难的部分一般在于寻找等量关系，下面我们来看看预习作业
猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时110km ，比大象的2倍还多30km 。
大象最快能达到每小时多少千米？
此题中的等量关系就是：230猎豹的速度大象的速度=?
让每一个学生都说说自己的想法，然后指点出找等量关系的关键句。
仿照上面找等量关系关键句的方法让学生再次练习，如有问题详细分析讲解，也可以让做的好的同学分享一下他的思考方法
例1. 写出下列应用题中的等量关系：
(1) 故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。
天安门广场的面积多少万平方米？
___________________＝____________________________________________。
(2) 妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。
儿子和妈妈今年分别是多少岁？
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1．根据所设未知数，将下列问题中的数量用x表示：
(1) 甲、乙两地的公路长285千米，客、货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。
已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？
设货车每小时行x千米，货车一共行________千米，客车一共行________千米。
(2) 水果店老板购进香蕉和苹果一共1039千克，其中香蕉比苹果的一半还多13千克。
香蕉一共多少千克？
设香蕉有x千克，那么苹果有____________千克，一共有_________________千克。
答案：3x，135，2（x-13），x+2（x-13）
2．两个水池共蓄水50吨，甲池用去5吨，乙池又注入3吨后，这样甲池的水比乙池少3吨。
原来两池各蓄水多少吨？
答案：甲池蓄水27.5吨，乙池蓄水22.5吨
3. 一个大人一顿饭能吃6个面包，一个幼儿一顿饭只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一顿饭恰好吃150个面包，大人和幼儿分别有多少人？
答案：大人有10人，幼儿有90人
4. 甲袋大米重68千克，从甲袋倒出15千克到乙袋后，甲袋还比乙袋重5千克。
求乙袋原有大米多少千克？
答案：乙袋原有大米33千克
本节课主要知识点：寻找等量关系，会根据题中的条件设合理的未知数，能够列方程解应用题
1．列方程解应用题：
(1) 鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。
鸡和兔各有多少只？
答案：鸡和兔各有8只
(2) 甲、乙两人原来存款数相同。
后来甲取出250元，而乙又存入350元，这时乙的存款数正好是甲存款数的4倍。
原来每人存款多少元？
答案：原来没人存款450元
(3) 一个笼子里装有鸡兔两种动物，它们共有70个头，200只脚。
笼中有鸡多少只，兔多少只？
答案：有40只鸡，30只兔
【预习思考】
1. 小胖和小巧一共有232张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？。