高考数学考前专题复习篇 专题一 数学思想与方法 分类讨论思想1-2 课件
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数学思想方法选讲 高三数学复习课件 (共29张PPT)
1本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情 况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.
2题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.
练习：由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m
四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法
转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关 数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通 过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转 化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化 为已解决的问题.
＝－a－1； ②当 1<a2<e，即 2<a<2e 时，g(x)在1，a2上为减函数，
在a2，e上为增函数， h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；
③当a2≥e，即 a≥2e 时，g(x)在[1，e]上为减函数， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
－a－1，a≤2， 综上，h(a)＝alna2－14a2－a，2<a<2e，
转化与化归思想在解题中的应用
在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复
1
杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的 作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角
度的转化、函数的转化等.
2
在函数，不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、 不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等.
则①g′(x)≥0 在(1,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(1,3)上恒成立．(正反转化)
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(1,3)时恒成立， ∴由m②＋得4≥3x2x2－＋3(mx ＋恒4成)x立－，2≤则0，m＋即4m≥＋－4≤1，2x－即3mx，≥－5；
2题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.
练习：由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m
四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法
转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关 数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通 过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转 化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化 为已解决的问题.
＝－a－1； ②当 1<a2<e，即 2<a<2e 时，g(x)在1，a2上为减函数，
在a2，e上为增函数， h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；
③当a2≥e，即 a≥2e 时，g(x)在[1，e]上为减函数， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
－a－1，a≤2， 综上，h(a)＝alna2－14a2－a，2<a<2e，
转化与化归思想在解题中的应用
在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复
1
杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的 作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角
度的转化、函数的转化等.
2
在函数，不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、 不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等.
则①g′(x)≥0 在(1,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(1,3)上恒成立．(正反转化)
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(1,3)时恒成立， ∴由m②＋得4≥3x2x2－＋3(mx ＋恒4成)x立－，2≤则0，m＋即4m≥＋－4≤1，2x－即3mx，≥－5；
高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导二分类讨论思想课件文
二、分类讨论思想
高考命题聚焦 从近五年的高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现, 已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几 道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与 函数)常有一道分类求解的压轴题,选择题、填空题也会出现不同 情形的分类讨论题.
思想方法诠释 1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需 要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一 类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.对问题实行分 类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问 题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度. 2.分类讨论思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类讨论; (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; (3)由数学运算要求引起的分类讨论; (4)由图形的不确定性引起的分类讨论; (5)由参数的变化引起的分类讨论.
D.-12
题后反思一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二
次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的
变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动 或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.
答案D ������ + ������-2 ≥ 0,
解析 作出线性约束条件 ������������-������ + 2 ≥ 0,的可行域,当 k>0 时,如图①所
的取值范围是 (1,+∞) .
解析 设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a有两 个零点,就是函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象(图 略)可知,当0<a<1时,两函数图象只有一个交点,不符合;当a>1时,因 为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点 (0,1)的上方,所以一定有两个交点.故实数a的取值范围是(1,+∞).
高考命题聚焦 从近五年的高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现, 已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几 道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与 函数)常有一道分类求解的压轴题,选择题、填空题也会出现不同 情形的分类讨论题.
思想方法诠释 1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需 要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一 类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.对问题实行分 类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问 题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度. 2.分类讨论思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类讨论; (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; (3)由数学运算要求引起的分类讨论; (4)由图形的不确定性引起的分类讨论; (5)由参数的变化引起的分类讨论.
D.-12
题后反思一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二
次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的
变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动 或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.
答案D ������ + ������-2 ≥ 0,
解析 作出线性约束条件 ������������-������ + 2 ≥ 0,的可行域,当 k>0 时,如图①所
的取值范围是 (1,+∞) .
解析 设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a有两 个零点,就是函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象(图 略)可知,当0<a<1时,两函数图象只有一个交点,不符合;当a>1时,因 为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点 (0,1)的上方,所以一定有两个交点.故实数a的取值范围是(1,+∞).
高考数学二轮复习 第二部分应试高分策略 第1讲 数学思想方法 第2课时 分类讨论思想、转化与化归思想
x≥0， 2．已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x，
表示的是一个直
kx－y＋1≥0
角三角形围成的平面区域，则实数 k＝( D )
A．－12
B．12
C．0
D．－12或 0
x≥0， 解析：不等式组y≥2x，
表示的可行域如图(阴影部分)所示，
kx－y＋1≥0
x≥0， 由图可知，若不等式组y≥2x，
[名师点评] 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式 的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的 最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求 解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进 行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则．
3．(2015·长沙模拟)已知函数 f(x)＝sin x，g(x)＝mx－x63(m 为实 数)．
(1)求曲线 y＝f(x)在点 Pπ4 ，fπ4 处的切线方程；
(2)求函数 g(x)的单调递减区间．
解：(1)由题意得所求切线的斜率 k＝f′π4 ＝cos
π4 ＝
2 2.
切点 Pπ4 ， 22，则切线方程为 y－ 22＝ 22x－π4 ，即 x－ 2y
1．(2015·威海模拟)若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2＋ ym2＝1 的离心率是( D )
3 A. 2
B． 5
C.
23或
5 2
D． 23或 5
解析：因为 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m2＝2×8＝16，所以
m＝±4.
当 m＝4 时，圆锥曲线y42＋x2＝1 是椭圆，其离心率 e＝ac＝ 23；
常见的化归与转化的方法
所以 f(x)的极小值为 f(0)＝0. (2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令 g(x)＝ex－ax－1，则 g′(x)＝ex－a. 若 a≤1，则 x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而 g(0) ＝0，所以当 x≥0 时，g(x)≥0，从而 f(x)≥0. 若 a>1，则 x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，g(0)＝0， 故 x∈(0，ln a)时，g(x)<0，从而 f(x)<0，不符合题意． 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，1]．
数学分类讨论思想课件
Ｅ
Ｆ a
2、在直角坐标系中，O为坐标原点， 已知 A（1，1），在x轴上确定点P， 使得△AOP为等腰三角形，则符合条 y 4 件的P点共有 个
1
P2(2 ,0)
A (1,1)
P1(2,0)
-1
o
-1
P4( 1, 0 )
1 P3(
2
,0) x
例7、在下图三角形的边上找出一点，使得 该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！C
当ＡＱ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形， 即6－t=2t,解得t=2（秒） ∴当t=2秒时， △QAP为等腰直 角三角形。
16 17
(1）若顶角顶点与矩形顶点重合
A
F
D
16
E B
17
如图，当AE=AF=10时,S△AEF=
1 2 2×10×10=50(cm )
C
(2）若底角顶点与矩形顶点重合
A D E A D
E B F C B C
F
如图，当EA=EF=10时,BE=6, BF= 102 62 =8,
1 S△AEF= ×10×8=40(cm2) 2
例5
1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦， 且AB=6cm， CD=8cm，AB∥CD，则AB与CD之 间的距离为 7cm或1cm 。
A B C C A B D
O 2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分 别是 3、 2，则∠BAC的度数是 150或750 。
3、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若 0或1200 60 BC=2 cm,则∠ A的度数是 。
1）、对∠A进行讨论
110° 20° 50° B
3）、对∠C进行讨论
C
高考数学常用方法分类讨论思想课件 新人教
含有参数的不等式求解；含有参数的方程 求解；含有参数的函数的单调性、极值（最值） 问题。解题思路为：结合参数的意义及对结果 的影响进行分类讨论。
分类讨论的步骤
（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行 讨论；
（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时 要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越 级）；
4
4
y 当2 a b时，f (x)在[a，b]上单调递增
b
a
2
f f
(a) (b)
3 a2 4 3 b2 4
3a 5 a 3b 5 b
a 2
解得：
b
10 3
本题中，利用二次函数的图象，避免了分类讨论！
0
2a b
x
变题2
已知不等式
a
3 4
x2
3x
5
b
的解集为 [a，b]
，
其中 a，b 是常数，求 a b 的值
y b4
a
a1
0a
2
b
x
感悟反思
解决分类讨论问题需要注意的几个问题 没有无缘无故的分类 寻求思路时要牢记三个“W” Why? 为什么要讨论？ What? 讨论的对象是什么? How? 怎样分类讨论？ 解题过程中要做到：
(1).知识背景----清 (2).分类依据----明
(3).不重不漏，有化有归
，所以
当椭圆的焦点在y轴上时，
a2=m,b2=2,则c2=m－2，又e＝
1 2
所以
［点评］本题主要考查椭圆的方程及其性质，椭圆的方程
虽然是标准形式但由于焦点位置未定所以要讨论.
图形的不确定性引起的分类讨论
自主探究、自我完善：
4．若不等式
分类讨论的步骤
（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行 讨论；
（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时 要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越 级）；
4
4
y 当2 a b时，f (x)在[a，b]上单调递增
b
a
2
f f
(a) (b)
3 a2 4 3 b2 4
3a 5 a 3b 5 b
a 2
解得：
b
10 3
本题中，利用二次函数的图象，避免了分类讨论！
0
2a b
x
变题2
已知不等式
a
3 4
x2
3x
5
b
的解集为 [a，b]
，
其中 a，b 是常数，求 a b 的值
y b4
a
a1
0a
2
b
x
感悟反思
解决分类讨论问题需要注意的几个问题 没有无缘无故的分类 寻求思路时要牢记三个“W” Why? 为什么要讨论？ What? 讨论的对象是什么? How? 怎样分类讨论？ 解题过程中要做到：
(1).知识背景----清 (2).分类依据----明
(3).不重不漏，有化有归
，所以
当椭圆的焦点在y轴上时，
a2=m,b2=2,则c2=m－2，又e＝
1 2
所以
［点评］本题主要考查椭圆的方程及其性质，椭圆的方程
虽然是标准形式但由于焦点位置未定所以要讨论.
图形的不确定性引起的分类讨论
自主探究、自我完善：
4．若不等式
高考数学文二轮复习课件：第一部分 方法、思想解读 第2讲
2 +48
(2)设 bn=
,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值.
-15思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
解 (1)设公差为 d,则有
1 + 3 = 10,
71 + 21 = 70,
即
22 = 1 6 ,
(1 + )2 = 1 (1 + 5),
= 1,
= 10,
点)的个数.
-23思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
突破训练1定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),当x∈[0,2]
时,f(x)=-4x2+8x.若在区间[a,b]上,存在m(m≥3)个不同整数
-1
xi(i=1,2,…,m),满足 ∑ |f(xi)-f( )|≥72 ,则b-a的最小值为(
范围是
.
答案 [-6,-2]
-10思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
解析 当-2≤x<0 时,不等式转化为
令
则
2 -4-3
f(x)= 3 (-2≤x<0),
-2 +8+9
-(-9)(+1)
f'(x)= 4
=
,
4
2 -4-3
a≤ 3 .
故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)内单调递增,
综上,实数 a 的取值范围是[-6,-2].
-11思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构
造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.
(2)设 bn=
,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值.
-15思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
解 (1)设公差为 d,则有
1 + 3 = 10,
71 + 21 = 70,
即
22 = 1 6 ,
(1 + )2 = 1 (1 + 5),
= 1,
= 10,
点)的个数.
-23思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
突破训练1定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),当x∈[0,2]
时,f(x)=-4x2+8x.若在区间[a,b]上,存在m(m≥3)个不同整数
-1
xi(i=1,2,…,m),满足 ∑ |f(xi)-f( )|≥72 ,则b-a的最小值为(
范围是
.
答案 [-6,-2]
-10思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
解析 当-2≤x<0 时,不等式转化为
令
则
2 -4-3
f(x)= 3 (-2≤x<0),
-2 +8+9
-(-9)(+1)
f'(x)= 4
=
,
4
2 -4-3
a≤ 3 .
故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)内单调递增,
综上,实数 a 的取值范围是[-6,-2].
-11思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构
造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.
高三数学复习备考讲座PPT课件
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11.空间向量： 旧考纲对立体几何有A，B两种要求，
考生可以不掌握空间向量知识，新考纲 突出了空间向量的应用，要求能用向量 语言表述线面平行、垂直关系，能用向 量方法证明线面位置关系的一些定理， 解决空间三种角的计算问题.
第33页/共92页
例（09年浙江卷理）如图，平面PAC⊥平 面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角 形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝ 16，PA＝PC＝10．
大小分别为2和4，则F3的大小为 （ ）
A. 6 B. 2
C.2 5 D.2 7
第29页/共92页
9.解三角形：
新考纲要求能运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与测量和 几何计算有关的实际问题，强调解三 角形的实际应用.
第30页/共92页
例（09年宁夏/海南卷）为了测量两山顶M， N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行 测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞 机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离， 请设计一个方案，包括：①指出需要测量的 数据（用字母表示，并在图中标出）；②用 文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，其图像
经过点( a, a)，则f(x)＝
A.log2 x B.log1 x
C.
1 2x
2
() D.x2
第21页/共92页
3.圆的方程： 新考纲要求能根据给定的两个圆的方程
判定两圆的位置关系，提高了考查圆方程的 能力要求.
例（09年江苏卷）已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2 ＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. （1）若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长
11.空间向量： 旧考纲对立体几何有A，B两种要求，
考生可以不掌握空间向量知识，新考纲 突出了空间向量的应用，要求能用向量 语言表述线面平行、垂直关系，能用向 量方法证明线面位置关系的一些定理， 解决空间三种角的计算问题.
第33页/共92页
例（09年浙江卷理）如图，平面PAC⊥平 面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角 形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝ 16，PA＝PC＝10．
大小分别为2和4，则F3的大小为 （ ）
A. 6 B. 2
C.2 5 D.2 7
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9.解三角形：
新考纲要求能运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与测量和 几何计算有关的实际问题，强调解三 角形的实际应用.
第30页/共92页
例（09年宁夏/海南卷）为了测量两山顶M， N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行 测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞 机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离， 请设计一个方案，包括：①指出需要测量的 数据（用字母表示，并在图中标出）；②用 文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，其图像
经过点( a, a)，则f(x)＝
A.log2 x B.log1 x
C.
1 2x
2
() D.x2
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3.圆的方程： 新考纲要求能根据给定的两个圆的方程
判定两圆的位置关系，提高了考查圆方程的 能力要求.
例（09年江苏卷）已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2 ＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. （1）若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长
高考数学大二轮专题复习 第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想课件 理
(2)设数列{an}前n项和为Sn， 因为d<0，所以d＝－1，an＝－n＋11，则 由an≥0，即－n＋11≥0得n≤11. 所以当n≤11时，an≥0，n≥12时，an<0. 所以n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋221 n；
n≥12时，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2
a>0， 又b＝c－a，所以247a3－a＋c>0 a<0， 或247a4－a＋c<0， 设g(a)＝247a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的 取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，
则在(－∞，－3)上g(a)<0， 且在1，32∪23，＋∞上g(a)>0均恒成立， 从而g(－3)＝c－1≤0， 且g23＝c－1≥0，因此c＝1. 此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－ a]， 因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个 异于－1的不等实根，
所以Sn＝n2a1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－
1)2a1＝(2n－1)a1，当n＝1时，适合上式，
所以bn＝
an＋1 an
＋
an an＋1
＝
2n＋1 2n－1
＋
2n－1 2n＋1
＝1＋
2 2n－1
＋1－
2n2＋1＝2＋22n1－1－2n1＋1，
所以Tn＝2n＋2 1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝2n ＋21－2n1＋1＝2n＋2n4＋n 1＝42nn2＋＋61n.
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－ (a－1)＋1－a≠0，
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交点．由图象可知，当 0＜a＜1 时，两函数只有一个交 点，不符合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象 过点(0,1)，而直线 y＝x＋a 的图象与 y 轴的交点一定在 点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数 a 的取
值范围是 a＞1. 归纳拓展 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直 线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有 关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完
综上所述：当 q＝1 时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列； 当 q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
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归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比 如：除法运算中分母是否为 0；解方程、不等式中的恒等变 形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底 数是否大于 1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等， 如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．
存在．
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4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象 确定讨论的全体
选择分类的标准
逐类进行讨论 获得初步结果
归纳整合 写出结论
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分类突破
一、根据概念分类 例 1 若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，则
实数 a 的取值范围是___a_＞__1__． 解析 设函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和函数 y＝x＋a.则函 数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y ＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象与函数 y＝x＋a 的图象有两个
数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指
数函数 y＝a响；⑦等比数列前 n 项和公式中 q＝1 与
q≠1 的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负
数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系
的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否
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整地解决问题．
变式训练 1 设 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，比较loga (1－x)与 loga (1＋x)的大小． 解 ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1. ①当 0＜a＜1 时，loga (1－x)＞0，loga (1＋x)＜0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝loga (1－x)－[－loga (1＋x)]＝loga (1－x2)＞0； ②当 a＞1 时，loga (1－x)＜0，loga (1＋x)＞0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝－loga (1－x)－loga (1＋x)＝－loga (1－x2)＞0. 由①②可知，loga (1－x)＞loga (1＋x).
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二、根据运算需要分类
例 2 已知在等比数列{an}中，a1＝1， Sn 是其前 n 项和， 且 ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)试判断 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列， 并说明理由．
解 (1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则 ak＋1＝qk， ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1， 依题意得 2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于 qk≠0，所以 2q2－q－1 ＝0，解得 q＝1 或 q＝－12. (2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2 ＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3， 故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构精成品课等件差数列；
综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由 bn＝an＋2－32an＋1，得 bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn， 于是 Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)． 又因为 Sn＞0 且－1＜q＜0 或 q＞0，所以当－1＜q＜－21或
§2 分类讨论思想 方法解读
1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原 问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各 个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化 解题思路，降低问题难度．
2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
当
q＝－12时，Sk＋1＝1－1－－－1212k＋
1
＝231－－21k＋1，
同理可得 Sk＋2＝231－－21k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，
于是 Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－21k＋2
＝232－－21k＋1－－12k＋2＝341－－12k＋3＝2Sk＋3，
所以 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
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3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：
①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根
的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数 y＝kx(x≠0)的反比例系数 k，正比例
函数 y＝kx 的比例系数 k，一次函数 y＝kx＋b 的斜率 k
与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数 y＝xa 的幂指
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变式训练 2 设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn＞0(n ＝1,2,3，…)．
(1)求 q 的取值范围； (2)设 bn＝an＋2－23an＋1，记{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较
Sn 与 Tn 的大小．
解 (1)∵{an}是等比数列，Sn＞0，可得 a1＝S1＞0，q≠0，
当 q＝1 时，Sn＝na1＞0； 当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＞0，
即11－－qqn＞0(n＝1,2,3，…)，
上式等价于①11－－qq＜n＜00
(n＝1,2,3，…) 精品课件
或②11－－qq＞n＞00 (n＝1,2,3，…)
解①式得 q＞1；
解②式，由于 n 可为奇数、可为偶数，故－1＜q＜1.
值范围是 a＞1. 归纳拓展 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直 线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有 关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完
综上所述：当 q＝1 时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列； 当 q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
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归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比 如：除法运算中分母是否为 0；解方程、不等式中的恒等变 形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底 数是否大于 1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等， 如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．
存在．
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4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象 确定讨论的全体
选择分类的标准
逐类进行讨论 获得初步结果
归纳整合 写出结论
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一、根据概念分类 例 1 若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，则
实数 a 的取值范围是___a_＞__1__． 解析 设函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和函数 y＝x＋a.则函 数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y ＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象与函数 y＝x＋a 的图象有两个
数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指
数函数 y＝a响；⑦等比数列前 n 项和公式中 q＝1 与
q≠1 的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负
数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系
的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否
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整地解决问题．
变式训练 1 设 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，比较loga (1－x)与 loga (1＋x)的大小． 解 ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1. ①当 0＜a＜1 时，loga (1－x)＞0，loga (1＋x)＜0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝loga (1－x)－[－loga (1＋x)]＝loga (1－x2)＞0； ②当 a＞1 时，loga (1－x)＜0，loga (1＋x)＞0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝－loga (1－x)－loga (1＋x)＝－loga (1－x2)＞0. 由①②可知，loga (1－x)＞loga (1＋x).
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二、根据运算需要分类
例 2 已知在等比数列{an}中，a1＝1， Sn 是其前 n 项和， 且 ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)试判断 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列， 并说明理由．
解 (1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则 ak＋1＝qk， ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1， 依题意得 2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于 qk≠0，所以 2q2－q－1 ＝0，解得 q＝1 或 q＝－12. (2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2 ＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3， 故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构精成品课等件差数列；
综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由 bn＝an＋2－32an＋1，得 bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn， 于是 Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)． 又因为 Sn＞0 且－1＜q＜0 或 q＞0，所以当－1＜q＜－21或
§2 分类讨论思想 方法解读
1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原 问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各 个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化 解题思路，降低问题难度．
2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
当
q＝－12时，Sk＋1＝1－1－－－1212k＋
1
＝231－－21k＋1，
同理可得 Sk＋2＝231－－21k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，
于是 Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－21k＋2
＝232－－21k＋1－－12k＋2＝341－－12k＋3＝2Sk＋3，
所以 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
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3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：
①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根
的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数 y＝kx(x≠0)的反比例系数 k，正比例
函数 y＝kx 的比例系数 k，一次函数 y＝kx＋b 的斜率 k
与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数 y＝xa 的幂指
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变式训练 2 设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn＞0(n ＝1,2,3，…)．
(1)求 q 的取值范围； (2)设 bn＝an＋2－23an＋1，记{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较
Sn 与 Tn 的大小．
解 (1)∵{an}是等比数列，Sn＞0，可得 a1＝S1＞0，q≠0，
当 q＝1 时，Sn＝na1＞0； 当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＞0，
即11－－qqn＞0(n＝1,2,3，…)，
上式等价于①11－－qq＜n＜00
(n＝1,2,3，…) 精品课件
或②11－－qq＞n＞00 (n＝1,2,3，…)
解①式得 q＞1；
解②式，由于 n 可为奇数、可为偶数，故－1＜q＜1.