基于Poisson方程的曲网格生成技术
泊松方程的有限差分法的MATLAB实现
泊松方程的有限差分法的MATLAB实现作者：冯立伟徐涛屈福志来源：《电脑知识与技术》2017年第13期摘要：泊松方程是物理及工程应用领域中一类非常重要的方程，研究其数值求解方法具有重要意义。
给出了使用有限差分法求解泊松方程的计算方法，并讨论了使用MATLAB编写计算程序，使用数值算例和静电场实例进行了数值实验，实验结果与理论一致，检验了算法的有效性。
关键词：泊松方程；五点差分格式；有限差分法中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）13-0233-031概述物理过程，都可用椭圆型方程来描述。
其中最典型的方程是泊松（Poisson）方程。
传热学中带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布、流体动力学中不可压缩流体的稳定无旋流动、弹性力学中平衡问题及电磁学中静电场的电势等均满足泊松方程，泊松方程也是数值网格生成技术所遵循的基本方程。
因此，研究其数值求解方法具有重要意义。
MATLAB是目前应用最广泛的科学和工程计算软件。
MATLAB基于矩阵运算，具有强大数值运算能力，是方便实用、功能强大的数学软件；同时，MATLAB具有强大的图形绘制功能，用户只需提供绘图数据和指定绘图方式，用很少的程序指令就可得到将计算结果转化为直观、形象的图像。
使用MAT-LAB求解微分方程已有大量的研究。
因此，近些年来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解泊松方程。
利用MAT-LAB强大的数值计算能力和图形绘制技术，可以实现使用差分法求解泊松方程并绘制出数值解的二维、三维图像，从而可以更好地理解泊松方程解的物理意义。
本文讨论使用差分法通过MATLAB编程求解二维矩形区域上的泊松方程，并使用两个算例进行检验和对结果进行分析。
边界条件为将未知解函数在内部节点上的值按行排列，组成解向量为：3差分格式的求解为了便于使用MATLAB编写程序，将差分方程转化为矩阵形式：4数值实验算例1：为了分析和比较差分格式在不同步长下的结果，使用2范数意义下的绝对误差和相对误差作为评价指标，表1给出了步长h=0.01取不同值的绝对误差和相对误差从表1可看出随着网格步长h的减小数值解的绝对误差和相对误差在变小。
表面重建的几种方法
表面重建的几种方法一、引言表面重建是计算机视觉领域中的一个重要问题，它涉及到从图像或点云数据中重建出物体表面的三维模型。
在实际应用中，表面重建被广泛应用于工业设计、医学图像处理、虚拟现实等领域。
本文将介绍几种常见的表面重建方法，并对其优缺点进行分析。
二、基于点云的表面重建方法1. Poisson算法Poisson算法是一种基于点云的无网格方法，它通过求解拉普拉斯方程来估计物体表面法向量，并利用这些法向量构造出一个光滑的三角网格模型。
Poisson算法具有较高的精度和鲁棒性，在处理噪声较少的点云数据时效果比较好。
2. Moving Least Squares(MLS)算法MLS算法是一种基于局部最小二乘拟合的方法，它通过对每个点周围的邻域进行最小二乘拟合来估计物体表面，并根据邻域内点的密度来控制拟合曲率。
MLS算法具有较高的灵活性和鲁棒性，在处理噪声较多或曲率变化大的点云数据时效果比较好。
三、基于图像的表面重建方法1. Structure from Motion(SfM)算法SfM算法是一种基于多视图几何的方法，它利用多张图像中的特征点来计算相机位姿和三维点云，然后通过三角测量和光束法平差来重建物体表面。
SfM算法具有较高的精度和鲁棒性，在处理多视角图像时效果比较好。
2. Shape from Shading(SfS)算法SfS算法是一种基于单张图像的方法，它利用光照信息来推断物体表面的形状。
SfS算法通过求解反问题来估计物体表面法向量，并根据法向量和光照信息推断出物体表面。
SfS算法具有较高的精度和鲁棒性，在处理光照变化较小或物体表面光滑的图像时效果比较好。
四、基于深度学习的表面重建方法1. PointNet++网络PointNet++网络是一种基于深度学习的无网格方法，它利用卷积神经网络对点云数据进行特征提取，并根据特征进行点云分割和分类。
PointNet++网络具有较高的精度和鲁棒性，在处理大规模点云数据时效果比较好。
poisson方程三维有限差分格式
poisson方程三维有限差分格式三维Poisson方程有限差分格式主要应用于求解三维空间中的Poisson方程。
与二维情况类似，我们需要将三维空间划分为网格，然后对网格节点上的函数值进行差分。
以下是一个基本的三维有限差分格式求解过程：1. 网格划分：首先对三维求解区域进行网格划分。
网格划分的方向可以采用均匀网格或非均匀网格，取决于问题的特性。
通常，在边界附近的网格节点密度会较大，以更好地捕捉边界附近的梯度变化。
2. 建立差分方程：根据五点差分格式，我们可以得到三维Poisson方程的差分形式。
在x、y、z方向上，分别对函数u(x, y, z)进行差分，得到如下形式的差分方程：u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z) / (2h) = λ* (u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z)) / (2h) u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z) / (2h) = λ* (u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h)) / (2h) u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h) / (2h) = λ* (u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z)) / (2h)其中，h为网格步长，λ为比例系数，可根据边界条件和初始条件进行调整。
3. 迭代求解：将差分方程组转化为矩阵形式，然后采用迭代方法（如Gauss-Seidel迭代法）求解。
对于每个网格节点，迭代更新u(x, y, z)的值，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
4. 后处理：在求解过程中，可以采用一些后处理方法来提高解的质量，如欠松弛技术、人工粘性层等。
5. 验证与分析：将求解得到的结果与理论解析解或实验数据进行比较，分析数值解的准确性和稳定性。
需要注意的是，在实际应用中，根据问题的具体情况，可能需要对上述求解过程进行相应的调整，如采用非均匀网格、多重网格技术、自适应步长等方法。
表面重建算法
表面重建算法概述表面重建算法是计算机图形学中的一个重要研究领域，其主要目的是从点云数据中生成连续、光滑的曲面模型。
表面重建算法应用广泛，如三维扫描、医学成像、地形建模等领域。
本文将介绍表面重建算法的基本原理、分类以及常用算法。
基本原理表面重建算法的基本原理是从离散的点云数据中生成连续、光滑的曲面模型。
点云数据通常由三维扫描仪或激光雷达等设备获取。
对于一个给定的点云，表面重建算法需要确定每个点在曲面上的位置和法向量。
分类表面重建算法可以分为两类：基于网格和基于隐式函数。
1. 基于网格基于网格的表面重建算法将点云转换为一个三角网格，然后通过对网格进行平滑处理来生成曲面模型。
其中最常用的方法是Poisson重构算法。
Poisson重构算法基于Poisson方程，该方程描述了曲面上任意一点处梯度向量与曲面法向量之间的关系。
该算法首先计算每个点在曲面上的法向量，然后通过对点云进行重采样得到一个规则的网格，最后利用Poisson方程求解得到曲面模型。
2. 基于隐式函数基于隐式函数的表面重建算法将点云转换为一个隐式函数，然后通过等值面提取算法生成曲面模型。
其中最常用的方法是Moving Least Squares (MLS)算法。
MLS算法首先对点云进行平滑处理，然后对每个点构建一个局部加权多项式函数。
该函数表示了该点附近的曲面形状，然后通过等值面提取算法生成曲面模型。
常用算法1. Marching Cubes算法Marching Cubes算法是一种基于网格的表面重建算法。
该算法将三维空间划分为一系列小立方体，并在每个立方体中确定等值面的位置和拓扑结构。
最终将所有立方体中的等值面拼接起来形成曲面模型。
2. Poisson重构算法Poisson重构算法是一种基于网格的表面重建算法。
该算法首先计算每个点在曲面上的法向量，然后通过对点云进行重采样得到一个规则的网格，最后利用Poisson方程求解得到曲面模型。
3. MLS算法MLS算法是一种基于隐式函数的表面重建算法。
三维泊松方程的高精度求解方法
三维泊松方程的高精度求解方法三维泊松方程是一种常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学与工程领域的建模和计算。
解决三维泊松方程的高精度方法是很有挑战性的，因为它涉及到大规模的计算和内存需求。
本文将介绍几种常见的高精度求解三维泊松方程的方法。
一、直接方法直接方法是通过离散化三维泊松方程，并利用线性代数方法求解线性方程组。
其中最常用的方法是基于有限差分法的离散化方法。
具体而言，我们可以将泊松方程转化为一个线性方程组Ax=b的形式，其中A是一个稀疏矩阵，x是未知量，b是常数向量。
对于高精度求解，可以使用稀疏矩阵的特殊性质进行优化，如共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）、预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Method）等。
这些方法可以充分利用矩阵的稀疏性，减少计算复杂度和存储空间。
二、迭代方法迭代方法是通过迭代更新解的数值，直到达到预设的收敛条件。
常见的迭代方法包括雅可比迭代法（Jacobi Method）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Method）和多重网格法（Multigrid Method）等。
对于高精度求解，可以选择迭代方法的高阶或者加速版本，如SOR迭代法（Successive Over-Relaxation Method）、MGCG迭代法（Multigrid Conjugate Gradient Method）等。
这些方法可以加快收敛速度，提高数值精度。
三、谱方法谱方法是基于函数的全局性质进行求解的方法。
将输入函数在一组合适的基函数上展开，并选择合适的权重，然后通过将展开系数带入泊松方程，得到一组线性方程，进而求解出解。
对于高精度求解，可以选择具有较高收敛阶的基函数，如拉格朗日插值基函数和切比雪夫基函数等。
此外，合理地选择基函数的数量和位置，可以进一步提高数值精度。
四、混合方法混合方法是将上述不同的方法结合在一起，以充分发挥各自的优点。
Particle-In-Cell模拟的发展 - 物理考虑和计算技术
48 50 54 55 55 57 59 61 63
I.
概述 A. 基本概念
数值模拟是研究等离子体演化问题的重要手段[1][2][3][4][5][6][7]。通常的等离子体数值 模拟技术可以按照其数学模型分成两类，一类是基于等离子体的流体模型，通过等离子体 的密度，流速，温度等局部平均量的演化方程进行的数值研究，这种模拟称为流体模拟。 另一类是基于动理学模型，即直接在相空间中研究等离子体分布函数的演化。对于等离子 体来说，流体力学方程基本上是Vlasov方程的头几阶矩方程，是Vlasov方程对于速度空间 做平均的结果，因此必须适当地假定速度空间分布函数以及局域输运系数才能建立。这使 得流体力学模拟中不能包含各种动理学和非局域效应。动理学研究是严格和自洽的，然而 由于Vlasov方程是(3+3)维度的，其直接数值求解远远超出现阶段计算机的能力。 此外，无论是流体力学模拟还是直接处理Vlasov方程，还存在一些和数值方法相关的 困难。其中之一和所谓数值耗散效应有关。非线性双曲型方程的数值求解很容易带来数值 振荡，在间断面附近尤其明显；而为了消除这种振荡，维持计算的稳定性，通常需要在求 解中引入人为阻尼，而这种阻尼常常会影响到一些小尺度过程的正确建模。 作为Vlasov问题的一种折衷处理手段，等离子体的Particle-In-Cell(PIC)模拟[1][2]是较 为成熟的手段之一。PIC模拟本身基于简单的“宏粒子”概念，即用一些宏粒子（云）的 运动来代替实际等离子体带电粒子的运动，每个宏粒子可以看成一堆一起运动的等离子体 粒子，其荷质比等于真实粒子的荷质比，同时具有一个权重参数，表明每个宏粒子代表多
程基本可以忽略（因为几乎是在真空背景中），于是，可以用PIC进行相当有效的分析模 拟[10][11][12]。直线加速器等设备也属于这一类[13]。 低气压下的放电过程，例如在微电子制造工艺中经常碰到的射频等离子体源[14]。当背 景气压非常低时，电子自由程接近甚至大于整个放电器件的尺寸；同时电子具有一些和轨 道相关的能量获取机制（例如费米加热），因此电子分布会显著偏离麦克斯韦分布；最 后，鞘层行为常常很重要，于是必须考虑局部电荷分离效应。这时，流体力学模拟难以跟 踪其中发生的各种物理过程，而传统的扩散近似FPE模拟方法由于电子自由程太长也无法 使用，通常都需要用PIC方法建模。 极强外场（激光）和晕区等离子体的相互作用[8][15][16]。由于外场极强，电子具有很 高的颤动能量，并且会被有质动力以及尾场加速到极高的能量，电子的能量分布是高度非 各向同性的，甚至难以使用球谐函数展开；由于能量非常高，碰撞截面很低，以至于可以 完全忽略电子-电子碰撞效应；最后，极少数被加速粒子是物理上主要关心的目标，大部 分背景粒子甚至可以当成冷等离子体描述。这样的问题也非常适合用PIC方法处理。 在另一个方面，也存在传统上不适合用PIC方法研究的过程，这主要发生在等离子体密 度非常高，和/或碰撞截面非常大的情况下。这类情况下，一方面PIC 模拟的计算量会成 数量级地上升，另一方面由于固有的噪声问题，模拟结果会变得相当不可靠。应该指出的 是密度和碰撞截面参数都是相对于系统的实际尺度的，在激光加速问题的数十微米尺寸 内，1019 cm−3 的电子密度仍然可以认为相当稀薄，而在放电问题中，由于特征长度达到几 个厘米，即使1011 cm−3 的电子密度就可以看做非常高了。 无论如何，理论上只要空间网格够细，每个网格内的粒子数够多，那么PIC模拟完全等 同于直接求解Vlasov方程。换句话说，PIC模拟能考虑的物理效应等价于能写进Vlasov方 程中的项目。而Vlasov方程包含了弱碰撞（或者无碰撞）区几乎所有重要的等离子体物 理。因此，只要克服了PIC方法的巨大计算量困难，PIC方法原则上可以解决我们关心的 绝大部分等离子体问题。但在实际中，如同前述的情况，多维的PIC模拟，其计算量过于 庞大，基本不可能有效地处理。因此，几十年来，很多人都致力于对PIC方法的改进：对 于那些适合PIC方法处理的问题，希望能得到更准确和适应更复杂环境的模拟程序；而对 传统上不适合PIC方法的问题，则致力于绕过PIC方法处理这类问题的困难。这种改进分 为几种不同的类型。 第一种是通过修改PIC的基本框架和物理原理，使得PIC方法可以研究其它物理效应。 这方面的代表性工作就是利用附加的Monte-Carlo过程来引入粒子-粒子短程耦合[9][17]， 从而使得PIC方法可以处理碰撞和电离、合并等等过程。这种方法已经被大量应用在低 温等离子体物理研究中，特别是关于放电过程的模拟。通过引入库仑碰撞模型或者直接 6
基于Poisson方程的曲网格生成技术
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围绕旋翼飞行器的三维结构化运动嵌套网格生成方法
围绕旋翼飞行器的三维结构化运动嵌套网格生成方法尹江离;招启军;李鹏【摘要】考虑到旋翼飞行器的旋翼各种运动和机身复杂外形特点,建立了一种鲁棒性高的三维结构化嵌套网格生成方法.采用三维Poisson方程对初始网格进行迭代,获得了高质量的旋翼桨叶三维结构化网格.以此方法为基础,以复杂外形几何体表面网格为初始网格,建立了一种抛物型法向外推方法.推进过程中,使用经抛物化处理的新Poisson方程进行光顺迭代,源项由Hilgenstock法确定,有效克服了椭圆型方程生成网格时边界点较难调整的困难.通过网格最小正交度的检测,表明了该抛物型方法的先进性.进一步将高效的挖洞法(“Top map"法)和贡献单元搜寻法(“Inverse map"法)引入上述三维结构化网格生成中,建立了围绕旋翼飞行器的运动嵌套网格生成方法,采用RANS方程分别对Caradonna-Tung旋翼和V-22倾转旋翼机流场进行计算流体力学(Computational fluid dynamics,CFD)计算,表明该网格生成方法能够满足CFD计算的需求.【期刊名称】《南京航空航天大学学报》【年(卷),期】2015(047)002【总页数】7页(P228-234)【关键词】旋翼飞行器;流场;三维结构化网格;运动嵌套网格;Poisson方程;RANS 方程【作者】尹江离;招启军;李鹏【作者单位】南京航空航天大学直升机旋翼动力学国家级重点实验室,南京,210016;南京航空航天大学直升机旋翼动力学国家级重点实验室,南京,210016;南京航空航天大学直升机旋翼动力学国家级重点实验室,南京,210016【正文语种】中文【中图分类】V211.3高质量的网格生成技术是使用CFD方法进行流场精确分析的基础和重要前提[1]。
结构网格具有良好的拓扑性，数据结构简单、方便索引且便于构造高精度格式，能够显著提高流场模拟的精度。
然而研究如包含旋翼运动部件及机身静止部件等的旋翼飞行器时，生成一套结构化网格难度较大，通常采用运动嵌套网格技术来实现，允许各区网格重叠，降低了网格生成的难度。
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第九章粘流初步及CFD 初步§9.1边界层理论基础
§9.2边界层方程
§9.3CFD中网格生成技术简介
§9.4N-S方程的基本解法
边界层厚度δ
位移厚度动量厚度
*δθ
边界层的概念
边界层的概念
尖头物体超音速绕流的边界层
边界层
边界层厚度
δ
速度型
壁面剪切应力
位移厚度*δ
致的质量流量的损失。
界层外的流线向方向的偏移量。
动量厚度θ
边界层理论的两个基本假设1.
2.
边界层方程
方向动量方程：e
v
x
方向动量方程：
y
e
v
x
方向动量方程
无量纲参数
无量纲化
∞∞'' ⎪ ⎪ ∞∞∞
∞
M ∞
最终无量纲形式
11u u p v u γ∂∂∂∂∂∂''''''''各项量级如下
''()
量级分析
-
Re
-
22
γδ
方向边界层动量方程x
'''
-⎥
y
方向动量方程
无量纲形式量级分析
''-
y
方向边界层动量方程
网格的分类结构网格非结构网格
网格的分类
结构网格是具有规则的拓扑结构的
格时工作量很大；而
非结构网格节点在
网格的分类（续）
结构网格
结构网格（续）
非结构网格
非结构网格（续）
拓扑结构生成方法分区网格
结构网格的拓扑结构
为C型网格，O型网格和H型网格。
无论是
C型网格的拓扑结构
翼型的C型网格
O型网格的拓扑结构
翼型的O型网格
H型网格的拓扑结构
叶栅的H型网格
结构网格的生成方法
➢代数方法
➢椭圆型偏微分方程生成方法➢双曲型偏微分方程生成方法
代数方法
i )k
椭圆型偏微分方程生成方法
P Q P Q ηη ⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪
双曲型偏微分方程生成方法
双曲型偏微分方程生成方法（续）
分区网格技术
法有对接网格和重叠网格。
分区网格技术（续）
对接网格
对接网格（续）
重叠网格。