陕西省2010—2017年中考数学第24、25、16题——压轴题陕西行2018年11月

以抛物线为背景的压轴题陕西省中考数学第24题（2010年--2018年）例 2018年陕西省中考第24题已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．（原题无图）例 2017年陕西省中考第24题在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（原题无图）（1）求抛物线C1、C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1, 3)和点N(3, 5)．（1）试判断该抛物线与x轴的交点情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2, 0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．图1在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋5x＋4的顶点为M，与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C．（原题无图）（1）求点A、B、C的坐标；（2）求抛物线y＝x2＋5x＋4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′、B′两点，与y轴交于点C′，在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A(1,0)、B(3,0)两点．（原题无图）（1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连结AC、DE和DB．当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的解析式．如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是_______三角形；（2）若抛物线y＝－x2＋bx (b＞0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图1，△OAB是抛物线y＝－x2＋b′x (b′＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．如图1，二次函数22133y x x =-的图像经过△AOB 的三个顶点，其中A (－1,m )，B (n ,n )． （1）求点A 、B 的坐标；（2）在坐标平面内找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线22133y x x =-平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－1)三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．以计算说理为主的压轴题陕西省中考数学第25题（2010年--2018年）例 2018年陕西省中考第25题问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为______．问题探究（2）如图2，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．问题解决（3）如图3所示，AB、AC、弧BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站P，在AB、AC路边分别建物资分站E、F，也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站间按P→E→F→P的路径进行运输，因此要在各物资站之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．图1 图2 图3例 2017年陕西省中考第25题问题提出（1）如图1，△ABC是等边三角形，AB＝12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为________．问题探究（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18．如果点P是AD边上一点，且AP＝3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图3所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头时，既要确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水．于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌），同时，再合理设计好喷灌龙头的射程就可以了．如图3，已测出AB＝24m，MB＝10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交»AB于点E，又测得DE＝8m．请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）．图1 图2 图3例 2016年陕西中考第25题问题提出 （1）如图1，已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形． 问题探究 （2）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，AE ＝4，AF ＝2．是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决 （3）如图3，有一块矩形板材ABCD ，AB ＝3米，AD ＝6米，现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使∠EFG ＝90°，EF ＝FG∠EHG ＝45°．经研究，只有当点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、BC 上时，且AF ＜BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时，才有可能截出符合要求的部件．试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出截得的四边形EFGH 部件的面积；若不能，请说明理由．挑战压轴题公众号如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC ＝12．（1）如图1，点M是四边形ABCD的边AD上一点，则△BMC的面积为______；（2）如图2，点N是四边形ABCD的边AD上任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．问题探究 （1）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4．如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个．．等腰△APD ，并求出此时BP 的长； （2）如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点．当AD ＝6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF ＝90°，求此时BQ 的长；问题解决 （3）有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安监控装置，用来监视边AB ．现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳．已知∠A ＝∠E ＝∠D ＝90°，AB ＝270m ，AE ＝400m ，ED ＝285m ，CD ＝340m ．问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB ＝60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由．问题探究（1）请在图1中做出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图2，M是正方形ABCD内一定点，请在图2中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点．如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，请说明理由．正三角形ABC的边长为3（1）如图1，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图2，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．如图1，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F．然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个___________三角形；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？问题探究（1）请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图2，点M是矩形ABCD内一定点．请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；问题解决如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC//OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4．开发区综合服务委员会（其占地面积不计）设在点P(4,2)处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由．图形运动中的最值问题陕西省中考数学第14题2015年以前，陕西省中考选择题填空题共16道题目；2015年开始，改为14道．选择题填空题的最后一道题目，属于选拔性的题目，需要挑战．知识回顾我们学过的最值：（1）两点之间，_________最短．由此得到：三角形的两边之和大于___________，两边之差小于___________．（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，_________最短．由此得到：直角三角形的直角边小于__________．（3）________是圆中最长的弦．（4※）抛物线的开口向上时，抛物线的顶点是最_____点，顶点的纵坐标是函数的最____值；抛物线的开口向上时，抛物线的顶点是最_____点，顶点的纵坐标是函数的最____值．难点疏导（1）最小值中的最小值；（2）最小值中的最大值．课前热身1．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC的周长最小，求点P的坐标．2．如图，抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．3．（1）梯子的长为2米，梯子沿墙下滑的过程中，梯子与地面、墙面围成的直角三角形的面积的最大值是多少？（2）斜边长为4的直角三角形的面积的最大值为________．4．（1）已知⊙的半径为2，圆周角∠ACB ＝30°，怎样找弦AB ？AC 的最大值是多少？ （2）已知⊙的半径为2，圆周角∠ACB ＝45°，怎样找弦AB ？AC 的最大值是多少？真题讲解5．（09陕西16）如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______．6．（13陕西16）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点G、H分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于E、F两点．若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为_______．7．（14陕西16）如图，⊙O的半径是2．直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧．若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是_______．8．（15陕西14）如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB ＝45°．若M、N分别是AB、BC的中点，那么MN长的最大值是__________．9．（16陕西14）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为________．10．（11陕西16）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD．若AD＝3，BC ＝7，则梯形ABCD面积的最大值为_______．11．（18陕西14）如图1，点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF ＝12AB ，G 、H 是BC 边上的点，且GH ＝13BC ．若S 1、S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是____________．图1他山之石12．（12台州10）如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为_________．13．（16安徽10）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4．P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）．A ．32 B ．2 C D ． 14．（16娄底10）如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B 、C 不重合），作BE ⊥AD 于E ，作CF ⊥AD 于F ，则BE ＋CF 的值（ ）．A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小第11题图 第12题图 第13题图15．（16苏州09）如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3, 4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（ ）．A ．3,1（）B ．43,3（） C ．53,3（） D ．3,2（）16．（16台州10）如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的动点，联结PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）．A ．6B ．1C ．9D ．32317．（16无锡17）如图，已知平行四边形OABC 的顶点A 、C 分别在直线x ＝1和x ＝4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为________．第14题图 第15题图 第16题图。