随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列2.学生版

知识内容1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的X X 结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字X 母表示．,,X Y 如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．X X ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：X i x i p (1,2,,)i n = X 1x 2x …i x …n x P1p 2p …ip …np 我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．X X 2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量的分布列为X X 10Ppq其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．01p <<1q p =-X p 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率10为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．80%X X X 1P0.80.2两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分01-布又称为伯努利分布．⑵超几何分布一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件N M n ，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率()n N ≤n X m 为，为和中较小的一个．C C ()C m n mM N Mn N P X m --==(0m l ≤≤l n M )我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为X X N，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求M n N M n 离散型随机分布列的计算出取不同值时的概率，从而列出的分布列．X ()P X m =X ⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相A A A 同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次n n 独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为n A k ．()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n = 2．二项分布若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复A X A 1q p =-n 试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于A k ()C k k n kn P X k p q -==0,1,2,,k n = 是得到的分布列X X 01…k…nP00C nn p q111C n n p q-…C k k n kn p q-…C n n n p q由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q--+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，X n p 记作．~(,)X B n p 二项分布的均值与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则X n p ，．()E X np =()D x npq =(1)q p =-⑷正态分布1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．X X 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两1X 个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．a b ，2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为，22()2()x f x μσ--=，其中，是参数，且，．x ∈R μσ0σ>μ-∞<<+∞式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期μσ望为、标准差为的正态分布通常记作．μσ2(,)N μσ正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．01⑶重要结论：①正态变量在区间，，内，取值的概率(,)μσμσ-+(2,2)μσμσ-+(3,3)μσμσ-+分别是，，．68.3%95.4%99.7%②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概()-∞+∞，1(33)μσμσ-+，率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的0.3%x μ=原则．3σ⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分2~()N ξμσ，()f x ()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．2~(01)N ξμσ-，22()t x x dt φ-=⎰．()(x P x μξφσ-<=标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些X 1x 2x n x 值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随1p 2p n p 1122()n n E x x p x p x p =+++ 机变量的均值或数学期望（简称期望）．X 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的X 1x 2x n x 概率是，，…，，则叫1p 2p n p 2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++- 做这个离散型随机变量的方差．X 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随()D X X 机变量波动大小的量．3．为随机变量，为常数，则；X a b ，2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二X p n 点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．X np ⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，X n p ()E X np =．()D x npq =(1)q p =-⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，X N M n ，，则，．()nM E X N=2()()()(1)n N n N M MD X N N --=-4．事件的独立性如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，A B (|)()P B A P B =这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．A B 如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发1A 2A n A n 生的概率的积，即，并且上式中任意多个1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯ 事件换成其对立事件后等式仍成立．i A 5．条件概率对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件A B A B概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或P B A A B D A B(|)= ）．=D AB典例分析离散型随机分布列的性质【例1】袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放ξξ回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A．5 B．9 C．10 D．25ξ【例2】下列表中能成为随机变量的分布列的是A．ξ－101P0．30．40．4B．ξ123P0．40．7－0．1C．ξ－101P0．30．40．3D．ξ123P0．30．40．4【例3】设离散型随机变量的分布列为XX01234P 0．20．10．10．30．3求⑴的分布列；⑵的分布列．21X +1X -【例4】已知随机变量的分布列为：X X 2-1-0123P112141*********分别求出随机变量的分布列．2121,2Y X Y X ==【例5】袋中有个大小规格相同的球，其中含有个红球，从中任取个球，求取出1223的个球中红球个数的概率分布．3X 【例6】某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求答对试题数的概率分ξ布．【例7】盒中的零件有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布．ξ【例8】有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列．ξξ【例9】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：⑴不放回抽样时，抽到次品数的分布列；ξ⑵放回抽样时，抽到次品数的分布列．η【例10】设随机变量所有可能取值为，且已知概率与成正比，求ξ1234，，，()P k ξ=k 的分布．ξ【例11】某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）ξ2 1.2m n +=2nm -A ．B ．C ．D ．0.2-0.20.10.1-【例12】设随机变量的分布列为，则的值为（ ）ξ1(),1,2,33iP i a i ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭a A ．1 B ．C ．D ．91311132713【例13】设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值ξq ξ-101P1212q-2q 【例14】随机变量的概率分布规律为，其中是常ξ()()1aP n n n ξ==+()1,2,3,4n =a 数，则的值为（）1522P ξ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ A ．B ．C ．D ．23344556ξ0123P0.1m n 0.1【例15】一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则ξ（ ）1533P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤ A ．B ．C ．D ．17273747【例16】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0．020．040．060．090．280．290．22求此射手“射击一次命中环数”的概率________．7≥【例17】设随机变量X 的分布列是求⑴；⑵．()1P X =()13P X <≤【例18】随机变量的分布列，为常数，则X ()(1234)(1)pP X k k k k ===+，，，p （ ）1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．23344556X 123P1/31/21/6【例19】设随机变量的概率分布列为，其中为常数，X ()1262k c P X k k === ，，，，c 则的值为（）(2)P X ≤A ．B ．C ．D ．34162163646463【例20】设随机变量的分布列为，求的取值．X ()()123k P X k k n λ=== ，，，，，λ【例21】已知为离散型随机变量的概率分布，求的取值．(12)(1)k p k k k λ==+ ，，λ【例22】若，，其中，则等于()1P X n a =-≤()1m P X b =-≥m n <()P m X n ≤≤（ ）A ．B ．C ．D ．(1)(1)a b --1(1)a b --1()a b -+1(1)b a --【例23】甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮0.40.6的次数为，若甲先投，则_________．X ()P X k ==【例24】某人的兴趣小组中，有名三好生，现从中任意选人参加竞赛，用表1256X 示这人中三好生的人数，则________．6(3)P X ==【例25】设随机变量的分布列如下：X 123…n Pk 2k4k…12n k-求常数的值．k 【例26】设随机变量等可能的取值，如果，那么（ ）X 123n ，，，，(4)0.3P X <=A ．B ．C ．D ．3n =4n =9n =10n =【例27】设随机变量的概率分布列为，则的值是（ ）X 2()1233iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，a A ．B ．C ．D ．1738273817192719【例28】已知随机变量的分布列为，则X ()(123)2i P X i i a===，，(2)P X == ．【例29】设随机变量的概率分布是，为常数，，则X ()5ka P X k ==a 123k =，，a =（ ）A ．B ．C ．D ．253131251253131125离散型随机分布列的计算【例30】在第路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽136816，，，，车），有一位乘客等候第路或第路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可616能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于 ．【例31】在个村庄中有个村庄交通不便，现从中任意选取个村庄，其中有个15610X 村庄交通不便，下列概率中等于的是（ ）46691015C C C A ． B ． C ．D ．(4)P X =(4)P X ≤(6)P X =(6)P X ≤【例32】已知随机量服从正态分布，且，则X ()31N ，()240.6826P X =≤≤（）()4P X >=A ．B ．C ．D ．0.15880.15870.15860.1585【例33】某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列．【例34】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得分，试写出从该盒中取出一1球所得分数的分布列，并求出所得分数不为0的概率．X【例35】旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．求选择甲线路旅游团数的分布列．【例36】甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每A B C D ，，，个岗位至少有一名志愿者．⑴ 求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；A ⑵ 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶ 设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．ξA ξ【例37】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为40，，……，，由此得到样本的频率分布直方(]490495，(]495500，(]510515，图，如图4所示．⑴ 根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量．505⑵ 在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求402Y 505Y 的分布列；⑶ 从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．52505【例38】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷次，记国徽面（记为正面）朝上的次数3为随机变量；乙用一枚硬币掷次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为X 2随机变量．Y ⑴求随机变量与的分布列；X Y ⑵求甲得到的正面朝上的次数不少于的概率．1⑶求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为的概率；3⑷求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率．【例39】一袋中装有编号为的个大小相同的球，现从中随机取出个123456，，，，，63球，以表示取出的最大号码．X ⑴ 求的概率分布；⑵ 求的概率．X 4X 【例40】袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、7217乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，1直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数．X ⑴ 求袋中所有的白球的个数；⑵ 求随机变量的概率分布；X ⑶ 求甲取到白球的概率．【例41】一个袋中有个球，编号为，在其中同时取3个球，以表示取512345，，，，X 出的个球中的最大号码，试求的概率分布列以及最大号码不小于4的概3X 率．【例42】对于正整数，用表示关于的一元二次方程有实数根的2n ≥n T x 220x ax b ++=有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随()a b ，{}12a b n ∈ ，，，，a b 机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方{}12a b n ∈ ，，，，a b n P x 程有实数根的概率．220x ax b ++=⑴求及；⑵求证：对任意正整数，有2n T 2n P 2n ≥1n P >【例43】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下12一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球，则下一次出现红1233，球、绿球的概率分别为；记 第次按下按钮后出现红球的概率为3255，(*)n n ∈N ．n P ⑴求的值；2P ⑵当时，求用表示的表达式；2n n ∈N ，≥1n P -n P ⑶求关于的表达式．n P n。