2.1.2 离散型随机变量的分布列

2.1.2 离散型随机变量的分布列

1．离散型随机变量的分布列

(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：

(2)表示：离散型随机变量可以用表格法、解析法、图象法表示． (3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②

11

=∑=n

i i

p

2．两个特殊分布列 (1)两点分布列

如果随机变量X 的分布列是

P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布列

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为

P (X ＝k )＝n

N

k

n M

N k M C C C --，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，称分布

列

如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．

(3)公式P (X ＝k )＝C k M C n －

k N －M

C n N

的推导

由于事件{X ＝k }表示从含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有k 件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N 件产品中任取n 件．由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有n

N C 个基本事件，而其中恰有k 件次品，则必有(n －k )件正品，因此事件{X ＝k }中含有k

n M N k M C C --个基本事件，由古典概

型的概率公式可知P (X ＝k )＝C k M C n －

k

N －M

C n N

.

[知识点拨]1.离散型随机变量分布列表格形式的结构特征

分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率． 2．两点分布的特点

(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知：P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝1.

3．两点分布的适用范围

(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律． (2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．

如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．

4．对超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M ，N ，n.

(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．

题型一、离散型随机变量的分布列

例1、一袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.

[解析] 随机变量X 的可能取值为3、4、5、6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件

“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33；事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 23；事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 24；事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 25.从而有P (X ＝3)＝

C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23

C 36＝320

，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25

C 36＝12

.

所以随机变量X 的分布列如下表：

例[解析] 将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1、2、3、4、5、6.

P (ξ＝1)＝1

36，ξ＝2包含三个基本事件(1,2)、(2,1)、(2,2)，(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数

为y .∴P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝14，P (ξ＝6)＝11

36

，∴ξ的分布列为

例3、设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (1

3)k .(k ＝1,2，…，n )，求实数a 的值.

[解析] 依题意，有P (ξ＝1)＝13a ，P (ξ＝2)＝(13)2a ，…，P (ξ＝n )＝(1

3

)n a ，

由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋…＋P (ξ＝n )＝1知，a (13＋132＋…＋1

3n )＝1.则a ·13(1－1

3n )1－13＝1.∴a ＝2×3n 3n －1

.

例4、(1)设随机变量X 的分布列P (X ＝i )＝k

2

i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.

(2)设随机变量X 的概率分布列为

，则P (|X －3|＝1)＝________.[答案] (1)37 (2)5

12

题型三、两点分布

例5、袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎨⎧

0，两球全红；

1，两球非全红.求X 的分布列.

[解析] 由题设可知X 服从两点分布

P (X ＝0)＝C 25

C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.

∴X 的分布列为

例6η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．

[解析] 随机变量η可以定义为：η＝⎩⎨⎧

1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4.

显然η只取0,1两个值．

且P (η＝1)＝P (掷出点数小于4)＝36＝1

2

，故η的分布列为

题型四、超几何分布列

例7、盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．(精确到0.001)

[解析] ξ可能取的值为0、1、2、3，P (ξ＝0)＝

C 04C 316C 320≈0.491，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320≈0.421，P (ξ＝2)＝C 24C 116

C 320

≈0.084，P (ξ＝3)＝C 34C 016

C 320

≈0.004.

∴ξ的分布列为

箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．

[解析] 由题意得X 取3、4、5、6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542；P (X ＝4)＝C 14·C 2

5

C 39＝1021

；

P (X ＝5)＝

C 24·C 1

5C 39＝514；P (X ＝6)＝C 34

C 39＝121

. 所以X 的分布列为

题型五、综合应用

例9、已知A 盒中有2个红球和2个黑球；B 盒中有2个红球和3个黑球，现从A 盒与B 盒中同时各取出一个球再放入对方盒中.

(1)求A 盒中有2个红球的概率；(2)求A 盒中红球数ξ的分布列．