解线性方程组的迭代法收敛速度
线性方程组迭代法收敛性分析
lim Ak 0 .
k
(2.27)
由定理 2.5 知，
( A k ) Ak ，
即
( A)
由(2.27) 和(2.28)可得
k
Ak .
(2.28)
lim ( A) 0
k k
再由矩阵谱半径的定义可知一定有 ( A) 1 . （必要性） 若 ( A) 1 ，则有定理 2.5 的推论可知至少存在一个 0 使得一种范数
若有
lim x ( k ) x* , 即 lim xi( k ) xi* ,
k k
则有 lim x ( k ) x*
k 2
0.
常见的向量范数有： ① 1-范数
x 1 xi ；
i 1
n
② ∞-范数
x
max xi ；
1 i n
③ 2-范数
x 2 ( x ) ；
lim x x* lim G k x x* 0 ，
k
0
k
k
再由向量范数的定义可知
lim x k x* 0 ，
k
即迭代过程收敛. （必要性） 若迭代公式(2.20)收敛，即满足
lim x x* 0
k k
由此推论可知当 ( A) 1 时，至少存在一种范数 A 1 .
定 理 2.6 设 A R nn ， 则 lim Ak 0 的 充 要 条 件 为 ( A) 1 . （ 其 中
k
Ak AA A）
k
证明： （充分性） 若 lim Ak 0 ，则由矩阵范数的定义可知
第2章解线性代数方程组的迭代法
第二章解线性代数方程组的迭代法2. 1 引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。
迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。
山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。
那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。
因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。
本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收敛法。
2. 2 基本迭代法考虑线性方程组如坷+如勺+…+气兀”二勺a2t x i+a22x2 + - + a2…x n =b2■•••••••••••(2. 1)采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成Ax = h(2.2)其中，为非奇异矩阵，设下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。
为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：4SD-U,(2.3)其中-a2\-a n\(1)雅可比迭代的基本思想从式(2.1)的第i个方程中解出X t=(/ = 1,2,•••,«)我们把迭代前面的值代入上式右边，山计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。
gauss-seidel迭代法收敛判断
Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。
在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。
下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。
1. 收敛性定义在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。
一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。
否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。
2. Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。
这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。
然而，它的收敛性需要进行严格的判断。
3. 收敛条件对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断：a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。
b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
4. 不收敛的情况尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。
当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。
此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。
5. 收敛速度除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。
一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。
然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。
37第七节 迭代法及其收敛性
x(k) x qk x(1) x(0) 1q
证 因 (B)||B||=q<1, 所以迭代格式收敛, 且有 设 lim x (k) =x*，由 x(k+1) = Bx(k) + f ， 得 x* = Bx* + f ，则
数学学院 信息与计算科学系
又 || Bk|| ||B||k ，有 lim||Bk||=0 ， 故 lim B k =0，由1）知，迭代格式收敛。
数学学院 信息与计算科学系
三、迭代法的收敛速度
考察误差向量
e(k) =x(k) -x＊=Bk ·e(0)
设B有n个线性无关的特征向量及相应的特征值为
1 ,2 , ,n ,
1 , 2 , , n
数学学院 信息与计算科学系
2） 由1)知，迭代格式收敛 lim Bk=O ， 即lim||Bk||=0 ，从而存在 k ，使 || B k || <1，由谱半径 的性质有
[( B )]k = (B k ) ||B k ||<1，
故得
( B )<1，
因(B)=inf{||B||}且(B)<1，存在 >0及使 || B || ( B )+ <1，
取对数得 定义3 称
k s ln10
ln (B)
R(B) ln (B)
为迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛速度。 由此看出，当(B)<1愈小，速度R(B)就愈大，
所需要的迭代次数也就愈少。
数学学院 信息与计算科学系
定理 2 若 ||B||=q<1，则对任意x(0) 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ，且有误差估计式
线性方程组迭代法收敛性分析
k
0
k
k
再由向量范数的定义可知
lim x k x* 0 ，
k
即迭代过程收敛. （必要性） 若迭代公式(2.20)收敛，即满足
lim x x* 0
k k
若有
lim x ( k ) x* , 即 lim xi( k ) xi* ,
k k
则有 lim x ( k ) x*
k 2
0.
常见的向量范数有： ① 1-范数
x 1 xi ；
i 1
n
② ∞-范数
x
max xi ；
1 i n
③ 2-范数
x 2 ( x ) ；
考查方程
Ax b ，
建立某种迭代公式
x
k 1
Gx d ,
k
步骤 1：观察系数矩阵 A 是否满足对角占优，满足则迭代法收敛，不满足转步骤
2；
步骤 2：计算迭代矩阵是否存在一种范数满足 G 1 （一般只计算 G 1 , G ） ， 满足则迭代法收敛，不满足转步骤 3； 步骤 3：计算迭代矩阵的谱半径是否满足 (G ) 1 ，满足则迭代法收敛，不满足 则迭代法发散. 有了上面的结论，不仅让我们清楚地认识迭代法的收敛条件，也为我们利用 计算机进行迭代法的编程计算提供了理论依据.
因为 G 1 ，所以有
lim G
k k
k
x 0 x* .
(2.22)
0
(2.23)
由(2.22)和 (2.23)可知
lim x k x* 0
解线性方程组的迭代法收敛速度
解线性方程组的迭代法收敛速度实验六解线性方程组的迭代法收敛速度.一、实验内容(1)选取不同的初始向量)0(x ,在给定的迭代误差要求下,用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.(2)用SOR 迭代法求上述方程组的解,松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在给定的迭代误差要求下.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.二、方法步骤雅克比迭代法：（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，x (0)=(x 1(0),x 2(0),…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N.（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i(0). （3）置k=1.（4）对i=1,2,3,…,n,置y i =1a ii (b i∑a ij x j nj=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i ?x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.（6）若kk,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，停机。
高斯-塞德尔迭代法（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，，x (0)=(x 1(0),x 2(0),…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N.（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i (0)（3）置k=1.（4）对i=1,2,3,…,n,置y i =1ii (b i∑a ij x j nj=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i ?x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.（6）若kk,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，停机。
数值分析第三章线性方程组迭代法
数值分析第三章线性方程组迭代法线性方程组是数值分析中的重要问题之一，涉及求解线性方程组的迭代法也是该领域的研究重点之一、本文将对线性方程组迭代法进行深入探讨。
线性方程组的一般形式为AX=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x和b是n维向量。
许多实际问题，如电路分析、结构力学、物理模拟等，都可以归结为求解线性方程组的问题。
然而，当n很大时，直接求解线性方程组的方法计算量很大，效率低下。
因此，我们需要寻找一种更高效的方法来求解线性方程组。
线性方程组迭代法是一种基于迭代思想的求解线性方程组的方法。
其基本思想是通过构造一个序列{xn}，使得序列中的每一项都逼近解向量x。
通过不断迭代，可以最终得到解向量x的一个近似解。
常用的线性方程组迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法等。
雅可比迭代法是其中的一种较为简单的迭代法。
其基本思想是通过分解系数矩阵A，将线性方程组AX=b转化为x=Tx+c的形式，其中T是一个与A有关的矩阵，c是一个常向量。
然后，通过不断迭代，生成序列xn，并使序列中的每一项都逼近解向量x。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
其核心思想是利用当前迭代步骤中已经求得的近似解向量的信息。
具体而言，每次迭代时，将前一次迭代得到的近似解向量中已经计算过的分量纳入计算，以加速收敛速度。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
逐次超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
其核心思想在于通过引入一个松弛因子ω，将高斯-赛德尔迭代法中的每次迭代变为x[k+1]=x[k]+ω(d[k+1]-x[k])的形式，其中d[k+1]是每次迭代计算得到的近似解向量的一个更新。
逐次超松弛迭代法可以根据问题的特点调整松弛因子的值，以获得更好的收敛性。
除了以上提到的三种迭代法，还有一些其他的线性方程组迭代法，如SOR迭代法、共轭梯度法等。
这些方法都具有不同的特点和适用范围，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代法。
2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理
设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
0 a11 a 21 0 a 22 A a n 1 ,1 a n 1 , 2 0 a nn a n 2 a n , n 1 a n1 0 a12 a1,n1 a1n 0 a 2 , n 1 a 2 n 0 a n 1, n 0 D LU. 0
则
k
B ( H )
k
两边取对数得: k ln ( H ) ln k
ln ln ( H )
定义:
ln ( H )
为迭代法(2.2.3)的渐近收敛速 度。
解线性方程组的迭代法
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
复习：矩阵的谱半径 设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx 向量-矩阵范数的相容性，得到 |λ| || x ||=||λx|| =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A || （ 3）
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称 ( A) max i
x ( k 1) x* H ( x ( k ) x* )
由此递推：x ( k 1) x* H k 1 ( x ( 0) x* ), k 0,1,2,
x 是线性方程组Ax=b的解
x* Hx* g
x
k 1
*
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验六 解线性方程组的迭代法收敛速度.
一、实验内容
(1)选取不同的初始向量)0(x ,在给定的迭代误差要求下,用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.
(2)用SOR 迭代法求上述方程组的解,松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在给定的迭代误差要求下.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.
二、方法步骤
雅克比迭代法：
（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，x (0)=(x 1(0),x 2(0)
,…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N.
（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i
(0). （3）置k=1.
（4）对i=1,2,3,…,n,置
y i =1a ii (b i
−∑a ij x j n
j=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i −x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.
（6）若k<N,置k+1== >k,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，停机。
高斯-塞德尔迭代法
（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，，x (0)=(x 1(
0),x 2(0),…,x n (0))T ，容许
误差ε，最大容许迭代次数N.
（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i (0)
.y i =x i .
（3）置k=1.
（4）对i=1,2,3,…,n,置
y i =1ii (b i
−∑a ij x j n
j=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i −x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.
（6）若k<N,置k+1== >k,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，
停机。
三、实验结果
讨论的数据为:
④ A=ones(20,20)-diag(5*ones(20,1),0);
b=ones(20,1);wuch=1e-6;
（1）雅可比迭代法
谱半径为：p = 15.0000
收敛情况：发散
高斯-赛德尔迭代法
谱半径为：p = 15.0000
收敛情况：发散
（2）SOR迭代法
谱半径为：p = 15.0000
收敛情况：发散
迭代次数：100
ans = 1.0e+275 *
-0.0045
-0.0062
-0.0085
-0.0117
-0.0161
-0.0221
-0.0303
-0.0417
-0.0572
-0.0786
-0.1080
-0.1484
-0.2038
-0.2800
-0.3846
-0.5284
-0.7259
-0.9972
-1.3699
-1.8820
结论：当谱半径大于1时，雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、SOR迭代法均为发散的。