数学分析(I)
数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数
俄罗斯高等数学教材介绍
俄罗斯高等数学教材介绍在数学教育领域，俄罗斯素以其严谨的教学方法和优质的教材而闻名。
俄罗斯高等数学教材在国际上也享有很高的声誉，本文将介绍一些著名的俄罗斯高等数学教材，以及它们在数学学习中的重要性。
1. 《高等数学》(V. Smirnov)这本教材是俄罗斯最经典的高等数学教材之一。
它内容广泛，思路清晰，注重理论与实践的结合。
《高等数学》详尽地讲解了微积分、代数、几何和数学分析等领域的重要内容。
其深入浅出的解释和丰富的例题，可以帮助学生更好地理解数学原理和解题方法。
2. 《数学分析》(I. Petrovsky)这本教材被广泛应用于俄罗斯的大学教育中。
它深入而全面地介绍了数学分析的基本概念和理论，涵盖了极限、导数、积分、级数等关键内容。
《数学分析》强调数学思维的培养和问题解决能力的提升，通过严谨的推理和论证，培养学生的数学逻辑思维和分析问题的能力。
3. 《微积分学教程》(N. Krylov)这本教材被许多俄罗斯大学的工程和科学专业引用。
《微积分学教程》系统地介绍了微积分的基本概念、性质和应用。
它讲解了导数、微分方程、定积分等重要知识，让学生能够理解微积分的原理和应用，培养他们的问题解决能力和工程实践技巧。
4. 《线性代数与解析几何》(A. Skorobogatov)这本教材适用于线性代数和解析几何的学习。
它详细介绍了向量、矩阵、线性空间和线性变换等内容，并结合几何学概念进行讲解。
《线性代数与解析几何》注重理论与实践的应用，通过大量的例题和实例，巩固学生对线性代数和几何学的理解和应用能力。
这些俄罗斯高等数学教材以其独特的教学风格和严谨的内容，对数学学习起到了重要的推动作用。
它们注重理论与实践相结合，帮助学生理解数学原理和方法的同时，注重培养学生的问题解决能力和数学思维。
这些教材在俄罗斯国内外享有很高的声誉，并且被广泛采用。
总而言之，俄罗斯高等数学教材以其深入浅出的讲解和严谨的推理，为数学学习者提供了优质的学习资源。
数学分析与习题课 教学大纲
《数学分析I》课程教学大纲（本课程周课时数为5，共85课时，此外每周还有2课时的习题课）课程编号：MAAB1101课程类别：大类基础课授课对象：数学与应用数学基地、数学与应用数学师范、信息与计算科学、统计专业开课学期：秋季，第1学期学分：5学分指定教材：1、华东师范大学数学系，《数学分析（下）》（第三版），高等教育出版社，2003年2、谢惠民，《数学分析讲义》（第一册），自编一、教学目的数学分析课程是是数学专业最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。
课程的其特点是：学习时间的跨度很大，一般是三个学期，内容极为丰富。
《数学分析I》课程是基础，其基本的内容为极限和连续理论、一元微分学。
课程的教学目的是通过系统的数学训练，使学生进一步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。
二、课程内容第一章、引论（5 课时）1. 集合；2. 实数的连续性实数的一些描述方法。
3. 数集与确界确界的描述、确界原理及其应用；4. 逻辑记号的对偶法则逻辑记号的对偶法则；用逻辑记号叙述否命题；5. 常用不等式三角不等式、Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式。
.第二章、数列极限（20课时）1. 数列极限的定义数列极限的ε－N语言和邻域语言。
2. 数列极限的计算适当放大法；发散数列；一些重要例子；Cauchy命题和Stolz定理。
3. 单调数列的极限单调有界定理、闭区间套定理及其应用；4. Cauchy收敛准则用Cauchy收敛准则描述极限存在和不存在；5. 子列及其应用.子列的概念、它与收敛发散的关系及其应用。
第三章、映射与函数（2课时）1.映射；2. 一元实函数；3. 函数的几何特性草图的画法（如两个函数和的草图等）；有界函数、单调函数、反函数、奇偶函数和周期函数的特性。
第四章、函数极限与连续性（10课时）1. 函数极限的定义与性质,函数极限的定义、性质和几个重要的函数极限；三种存在性条件（Heine归结原则；单调有界函数的收敛定理；Cauchy准则），能有选择地应用。
第15讲泰劳公式2009
第15讲 泰勒公式讲授内容一 、带有佩亚诺型余项的泰勒公式由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n x x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式.)()()()(0202010nn n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1)逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，10)(a x p n ='，20!2)(a x p n =''，n n na n x p !)(,0)(= ，即 .!)(,!2)(,!1)(),(0)(020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n =''='== 由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000-++-''+-'+= （2） 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数=k k x f k (!)(0)(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x fk n k == （3）下面将要证明))(()()(0n n x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于n x x )(0-的高阶无穷小量．定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0n x x -ο).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4）证：设 n R (,)()(),()()0n n n x x x Q x T x f x -=-=现在只要证 .0)()(lim0=→x Q x R nn x x 由关系式(3)可知，0)()()(0)(0'0===x R x R x R n n n n ，并易知!.)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x fn 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则n —1次，得到.0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''0000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n x x定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如))((0n x x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0nn x x x p x f -+=ο （5）注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的． 以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：n k x k x f xx f x x f k k k ,,2,1,)1()!1()1()(,,11)()1ln()(1)(' =+--=+=+=--).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （6）它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．例1 验证下列函数的麦克劳林公式：)1( );(!!212n n xx n x x x e ο+++++= (2) );()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- )3( ;)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο (4) )()1(32)1ln(132n nn x nx x x x x ο+-+++-=+- ； )5( );(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+(6))(1112n n x x x x xο+++++=- ． 证：这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明．(2) 设x x f sin )(=，由于)2sin()()(πk x x f k +=，因此.,2,1,)1()0(,0)0(1)12()2(n k f f k k k =-==-- 代人公式(6)，便得到x sin 的麦克劳林公式．由于这里有)()(212x T x T m m =-，因此公式中的余项可以写作)(12-m x ο，也可以写作)(2m x ο)．关于公式3)中的余项可作同样说明．)4(设因此 .,,2,1,)!1()1()0(1)(n k k f k k =--=-代人公式(6)，便得)1ln(x +的麦克劳林公式例2 写出22)(x ex f -=的麦克劳林公式，并求)0()98(f与)0()99(f ．解：用)2(2x-替换公式1)中的x ，便得).(!2)1(!22212224222n n n nx x n x x x e ο+⋅-+⋅+-=-根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．由泰勒公式系数的定义，在上述)(x f 的麦克劳林公式中，98x 与99x 的系数分别为.0)0(!991,!4921)1()0(!981)99(4949)98(=⋅-=f f 由此得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(=⋅-=f f 例3 求x ln 在2=x 处的泰勒公式．解：由于),221ln(2ln )]2(2ln[ln -++=-+=x x x 因此 ).)2(()2(21)1()2(221)2(212ln ln 122nn nn x x n x x x -+-⋅-++-⋅--+=-ο例 4 求极限4202cos limx e x x x -→-.解：本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取4=n ，并利用例2)：),(821 ),(2421cos 54225422x x x ex xx x x οο++-=++-=-).(12cos 5422x x ex x ο+-=--因而求得.121)(121lim cos lim 45404202-=+-=-→-→xx x x e x x x x ο 二 、带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。
i数学含义
i数学含义
i数学是指复数，也就是具有虚数和实数部分的数。
这是数学中虚数概念开发的一种形式，它含有一种新的数量概念，即虚数，这种数量的含义是与实数和复数完全不同的。
复数可以分解成实部和虚部，这两个部分具有不同的性质，实部是实数，可以用来描述物体的形状及各种性质，而虚部则可以用来描述物体的运动。
它们可以被用来表示不同的实际物体，如圆柱体、锥形等，复数的概念在几何学中有着一种重要的作用。
i数学的发展还是从费马把一个复数的形式提出来，也就是i，
我们称之为虚数，它的特点是它可以像实数一样进行加减乘除的运算，可以进行复数之间的比较，并且比较的结果是实数。
但是要注意的是，在这里所乘的i只是一种符号，它本身不能被乘以任何实数，因为它没有实际意义。
i数学主要应用在数学分析和复数函数，它对描述实际物体有重要的作用，这些物体的变化可以描述为复数。
i数学也在很多其它领域中被用到，如数学建模，机器学习，信号处理，图像处理，动力学，控制系统，电路设计等。
它的应用使得许多非线性的系统或者是多元的系统的解决得以简化，给解决实际问题带来了许多便利。
总体来说，i数学是一种重要的概念，它的发展让实际问题的求解变得更加容易，从而更好地指导人们把理论转化为实际应用。
因此，i数学是实际应用中不可或缺的一部分，它在当今社会中发挥着重要的作用。
数学分析I,II,III
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。
数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。
通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。
本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。
数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。
数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。
2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。
课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。
课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。
单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。
主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。
多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。
内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。
数学分析戴斌祥答案
数学分析戴斌祥答案第一章实数集与函数
S1实数
1、设a为有理数，x为无理数，试证明：
(I)a+x是无理数.
(2)当a≠0时，ax是无理数.
证：(I)假设a+x是有理数，则(a+x)-a=x是有理数，这与题设x为无理数相矛盾，故a+x是无理数.
(②)假设ax是有理数，则匹=x为有理数，这与题设x为无理数相矛盾a故r是无理数.
1、试在数轴上表示出下列不等式的解：
x(x²-1)>0; (2)||(3)
2、设a、b∈R.证明：若对任何正数&有a-<6,则a=b.
证：用反证法.倘若结论不成立，则根据实数集有序性，有a>b 或a<b:
若a>b,则又由绝对值定义知：a-b=a-b.
令6=a-b,则c为正数，但这与a-b=a-b<6矛盾：
若a<b,则又由绝对值定义知：a-=b-a.
令e=b-a,则e为正数，但这与a-b=b-a<6矛盾：
从而必有a=b.
3、设0，证+补2，并说明其中等号何时成立。
证：因x与1/x同号，从而+到-+日22问旧=2.
等号当且仅当时-日即x=士1时成立.
4、证明:对任何xER,有(1) |x-1+x-221; (2)|x-i|+|x-2|+|x-3|≥2,（2)因为2-|x-3sx-1|sx-1+1x-2,所以x-1+x-2+1x-322
5、5、设a、b、ceR*(R*表示全体正实数的集合),证明:Va+b-va+sb-d 深:对任意的正实数a、b、c有2abcSa(b+c),两端同时加a+bc2,有a+bc+2abcsabdc+b即(a +bc)2 <(a +b2)(a2 +c)。
数学分析1
第1章 集合与映射 █ █1《数学分析Ⅰ》第1讲 教学内容：数学分析总概第1章 集合与映射一、数学分析总概牛顿（Newton.I 1642-1727）英国数学物理学家，在1665－1666年间发表著名公式()()()baf x dx F b F a =-⎰。
莱布尼兹（Leibniz.G.W 1646-1716）德国数学家，在1673－1676年间发表著名公式()()()b af x dx F b F a =-⎰。
二、集合 §1.1集合概念：一些事物所汇聚的总体通常称为一个集合，总体中的每一个成员，叫做该集合的元素。
一般用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示集合中的元素，例如：,,...A B C 通常表示集合；,,...,...a b c x y 等表示集合中的元素。
－自然数集； －整数集； －有理数集； －实数集； {|0}x x +==>▇ ▇ 数学分析2有限集 可列集 无限极 空集 子集 ∙集合的运算：（1）并集：A B{|A B x x A =∈ 或}x B ∈见(图1-1)（2）交集：A B{|A B x x A =∈ 且}x B ∈见(图1-2)（3）差集：A B -{|A B x x A -=∈且}x B ∉见(图1-3)（4）设 A X ⊂，即A 为X 的子集，补集：CA X A =-称为A 的补集。
见(图1-4)（5）无限并：设12,,...,...n A A A 是一 列集合，定义1{|,}nn n x n x A ∞=A=∃∈∈（6）无限交：设12,,...,...n A A A 是一 列集合，定义1{|,}nn n Ax n x A ∞==∀∈∈设Γ是任意的一个非空集合（拓扑集），α∀∈Γ，对应有集合A α， {:}A αα∈Γ称为集合族，无论Γ是有限集、可列集、还是不可列集（不可数集），都可定义（1） 不可数并：{|,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈ （2） 不可数交：{|,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈第1章 集合与映射 █ █3命题1.1 设{ A α：α∈Γ}中每一个集合都是某个大集合X 的子集，记 A C＝X －A ，其中A ⊂X ，则 （3） ()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA （4）()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA 上面公式（9）和（10）通常称为DeMorgan 公式（隶末根定理）。
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一.函数
实数理论简介；确界存在定理；函数概念与基本性质；初等函数
二. 序列极限
序列极限定义；无穷小量与无穷大量； 序列极限的性质； 单调有界序列，实数系连续性的基本定理；Cauchy收敛准则；序列的上，下极限
三． 函数的极限与连续性
函数极限的定义与推广；函数极限的性质，数列极限与函数极限的关系；函数极限存在性定理及两个重要极限； 函数的连续与间断；连续函数的基本性质与初等函数的连续性；闭区间连续函数的性质；一致连续函数；无穷小量与无穷大量的阶
数学分析（I）课程详细信息
课程号
00132301
学分
5
英文名称
Mathematical Analysis (I)
先修课程
无
中文简介
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。第一册内容主要包括极限论、一元微分学。本课程是数学分析（II）（III）的基础， 同时是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析(I)将提供大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析(I)的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。
杨家忠：
英文简介
Mathematical analysis (I) is one of the most important courses for the students who wish to study the mathematics and related subjects. The course mainly includes the theory of limits of sequence of numbers and functions; derivatives and differentials of real functions. The course is a basis for Mathematical analysis (II) and (III) and for many courses such as differential equations; differential geometry, functions of one complex variable; real analysis, probability; basic physics, etc. The course provides the training for the mathematical thinking and skills.
期中考试时间， 初步定在 2020.11.18（周三随堂），前三章内容。
期末考试时间， 学校已定： 2021.1.20 上午。
课堂讲授为主.
课程总评成绩由三部分构成： 平时成绩 15%，期中成绩 35%, 期末成绩 50%.
作业提交和发放： 习题课课堂。
作业布置： 课堂、微信群、邮件 等方式。
教学评估
四． 导数和微分
导数的引入与定义； 单侧导数；求导的方法； 微分的定义与一阶微分的形式不变性； 高阶导数与高阶微分
五． 导数的应用
微分中值定理； del′Hospitale法则；Taylor公式；利用导数研究函数
六．不定积分
原函数； 不定积分；第一与第二换元法；分部积分法；一些常见函数的不定积分 有理函数积分
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否言
中文
教材
数学分析(I),伍胜健,北京大学出版社,2009年07月,第一,978-7-301-15685-8/O-0787；
数学分析习题演练,周民强,数学分析习题课讲义,谢惠民等编著,数学分析,卓里奇,
参考书
教学大纲
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。其基本内容包括极限论、微分学。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。