1.1 菱形的性质与判定(1)
(1)1.1菱形的性质与判定(1)
北师大版九年级上数学科导学案（1）课题：1.1 菱形的性质与判定（1）主备：审核：初三备课组班级姓名学号家长签名学习目标：熟记菱形的定义，性质并能进行简单的运用。
一、知识回顾（课堂完成，小测）1.ABCD中，若∠A=48,BC=3cm，那么∠B=_____，∠C=_______，A D=________.2.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝3，BD=8,则AC= ,OB=3.已知：如图，在□ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形。
二．预习交流（课前完成）阅读第2—4页，回答：1. 定义：有一组邻边______的平行四边形是菱形.数学语言表示:∵在□ABCD中，AB=______∴□ABCD是菱形2.从以下几方面探究菱形的性质：(1)边：_____________________________________________(2)角：_____________________________________________(3)对角线：_______________________________________(4)对称性：是___对称图形，它有___条对称轴；又是___对称图形，它的对称中心是.小结：定理（1）：菱形的四边相等。
（2）菱形的对角线互相垂直。
3. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相较于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD 证明：CFB三．互助探究（先各自独立完成，再师友互助）例1 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于点O ，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.四．分层提高基础题：1、已知菱形的周长为24cm ，那么菱形的边长是2、菱形的两条对角线长分别是8cm 和10cm ，则边长是3、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=5cm ， AO=4cm ，则AC= ,AD= ,OB= ,BD=4、已知菱形边长为4cm ，一个内角为60，那么菱形的两条对角线分别是提高题：5.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，图中有多少个等腰三角形和直角三角形。
1.1菱形的性质与判定(1)
D O 菱形的性质： A C 边：四条边都相等， B 对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相垂直、平分，且每一条对角线 平分一组对角
探索
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O. （1）图中有哪些线段是相等的？哪些 D 角是相等的？
A
O C
B
探索
（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
D
AOCB源自（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置 关系？
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对 角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD.
想一想：下图中的平行四边形有什么 共同特征？
1、定义：
一组邻边相等的平形四边形是菱形。
思考：菱形是平行四边形吗？
平行四边形
菱形
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形所有的性质。
议一议
木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证 四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ 与同伴交流。
定理:菱形的四条边相等.
练习2.已知菱形的周长8cm，一条对角线 长为2cm，则另一条对角线的长为____cm。
A
D
B
C
例3.P4习题1.1第3题 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AC 平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和 ∠ADC.
结论：菱形的对角线平分对角！
练习3. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是 AB和AD 上的点，且AE=AF，求证CE=CF
D
A
O
C
B
2、菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形的所有性质 (2)菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直平分,
1.1.1菱形的性质与判定
习题1.1
知识技能 1、2、3 数学理解 4
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定（1）
驶向胜利 的彼岸
图片欣赏
与左图相比较，这种平行 四边形特殊在哪里？
探索新知
有一组邻边相等 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .
条件：⑴是平行四边形； ⑵ 有一组邻边相等.
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具 有一般平行四边形的所有性质。你能列 举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等， 对角线互相平分。 菱形还具有哪些特殊的性质？请你 与同伴交流。
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
菱形是特殊的平行四边形，它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边 形所没有的特殊性质： 定理 定理 菱形的四条边都相等。 菱形的两条对角线互相垂直。
例题：如图1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的 边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD
1.1 菱形的性质与判定 (1)
为
．
第 4页（共 12页）
21．（2020 秋•兰州期末）若一个菱形的周长为 200cm，一条对角线长为 60cm，则它的面积
为
．
22．（2020 秋•昌图县期末）若某个菱形的两条对角线的长度分别为 3 和 4，则该菱形的周长
为
．
23．（2020 秋•舞钢市期末）如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线，P 是 AC 上的一个动点，过 点 P 分别作 AB 和 BC 的垂线，垂足分别是点 F 和 E，若菱形的周长是 12cm，面积是 6cm2，
第 6页（共 12页）
GF 的最3．（2020 秋•青羊区期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD
＝60°，AC＝12，求菱形对角线 BD 的长．
34．（2020 秋•南山区期末）如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 AE＝DE， 连接 CE． （1）求证：CE＝DE． （2）当 BE＝2，CE＝1 时，求菱形的边长．
42．（2020 秋•揭西县期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC 的垂直平分线交 AB 于点 E，连接 CE，BF∥CE 交 DE 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形； （2）当∠A 满足什么条件时，四边形 BCEF 是菱形？回答并证明你的结论．
43．（2020 秋•武功县期末）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线 AC 于点 E，F，连接 BE，DF．若 BE＝DE，求证：四边形 EBFD 是菱形．
四边形 ABCD 为菱形的是（ ）
A．AB＝CD
B．AD∥BC
C．BC＝CD
D．AB＝BC
§1.1菱形的性质与判定(1)
第二环节 第三环节 第四环节 第五环节
猜想 、探究与证明 性质应用与巩固 课堂小结 布置作业:
教学后记
6
1
中卫市常乐中学教案
九年级数学（上册） 第 1 课 课 时：3
学生 2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。 教师： 同学们观察的很仔细， 像这样， “一组邻边相等的平行四边形叫做菱形” 。
第二环节
猜想 、探究与证明
【教学内容】 1、想一想 ①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。 你能列举一些这样的性质吗？ 学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 ②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。 学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的 组员发言，并汇总结果。 教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四 边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教 师要及时评价，积极引导，激励学生。 2、做一做 教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么 位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结果。 教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正 确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论， 以便于后面的教学。 师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直 线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。 3、证明菱形性质 教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我 们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。 教师活动：展示题目
菱形的性质与判定(1)
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
问题1: 菱形是特殊的平行四边形，它具有一 般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样 的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线 互相平分。
问题2:菱形还具有哪些特殊的性质？请你与 同伴交流。
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
定理2:菱形的两条对角线互相垂直
核心问题三： 菱形性质定理的应用
如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角 线AC的长。
目标检测
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于 点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长.
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线 AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD
（2）AC⊥BD.
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边 形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊 性质：
定理1:菱形的四条边都相等
问题3:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列 问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
结论： 1. 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形 两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。 2. 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
课堂小结
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是 菱形。
2.菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是 两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分。
1.1菱形的性质与判定(1)
一、温故互查：（二人小组互述）1. 平行四边形的定义是什么？ 2．平行四边形的性质有哪些？二、设问导读：阅读教材P 2-4完成下列问题： 1.从“菱形的定义”中可知，菱形是特殊的_________四边形。
2.菱形具有某些特殊性质。
例如菱形是轴对称图形，你是怎么知道的？3.在操作过程中通过观察与思考，从而可获得哪些结论？4.在菱形性质的证明过程中，哪些过程用到了平行四边形的性质？5.“菱形的对角线互相垂直”的证明是通过等腰三角形的什么性质得到结论的？6.如图，四边形ABCD 是菱形，图中哪些三角形是等腰三角形？哪些三角形是直角三角形？三、自学检测：1.在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AC=6,四边形ABCD 的周长为______.2. 在菱形ABCD 中，AC=6cm,BD=8cm,则第一章 特殊平行四边形 1．1 菱形的性质与判定四、巩固训练：1. 如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 _________ cm．2．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为________cm2．3．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）4.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 _____ cm2五、拓展探究：1.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．2.如图所示，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.。
1.1.1菱形的性质与判定
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
结
论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱 形领条对角线所在的直线。两条对称轴互 相垂直。 • 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相 等。
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
菱形是特殊的平行四边形，它除 具有平行四边形的所有性质外，还有平行 四边形所没有的特殊性质：
定理 菱形的四条边都相等。定理ຫໍສະໝຸດ 菱形的两条对角线互相垂直。
例1
如图1-2，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD