菱形的性质与判定

AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形。
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
符号语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是:（ D ）
(A)对角线互相平分
(B)对角线相等
(C)对角线互相垂直且相等
(D)对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角
2.已知菱形的周长是12cm，那么它的
边长是_3_c__m__.
3.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60
度，则∠AB6D0＝0 _______.
（1）若AB=AD，则□ABCD是菱 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD菱是 形。
D
C
O
A
B
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O， DE∥AC,AE∥DB，AE交DE于E。
求证：四边形AODE是菱形。 E
D
A
O
C
B
4、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分
别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
分析： S菱形ABCD 4SAOB
D
4 1 OA • OB A
O
C
2
4 1 1 AC • 1 BD B
22
2
S菱形ABCD

1 2
AC • BD
你有什么发现？
24
D
S菱形ABCD AB • DE
A
D
B
O
C
2、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得 到如图所示的四边形ABCD.
求证：四边形ABCD是菱形。 DC
N
A MB
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC 的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F。 四边形AFCE是菱形吗？为什么？
A
E
D
O
B
F
C
4、已知，如图，在△ABC中，AD是角平分线，
在平行四边形中，如果内角大小保持不 变仅改变边的长度，能否得到一个特殊 的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形的性质与判定
有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A
∵四边形ABCD
是平行四边形
B
D
AB=BC
C
∴四边形ABCD
是菱形
探索新知
从边、角、对角线方面， 观察或度量,猜想菱形的 特征
A
O
C
E B
S菱形ABCD

1 2
AC
•
BD
AB• DE 1 AC • BD 2
你敢挑战吗？
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、 D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
F D
C
E
A
B
交流反思
1.菱形概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
方法总结: 四边形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
对角线互相垂直
①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分； ④菱形的对角线分别平分两组对角； ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角；
已知:如图四边形ABCD是菱形
D
求证: (1)AB=BC=CD=DA
E是AB上一点，且AE=AC,EF∥BC,
EF交AD于点F.
A
求证：四边形CDEF是菱形。
E
F
B
DC
①具有平行四边形的一切性质；
2.菱形特征
②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分；
④菱形的对角线分别平分两组对角；
⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3.菱形与平行四边形的关系
4.菱形的面积 = 对角线乘积的一半
菱形的判定
1.菱形判定方法1：用定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)AC⊥BD
O
AC平分∠DAB和
A
C
∠BDD平CB分∠ADC和
证明(∠1A)∵B四C 边形ABCD是菱
B
形∴DA=DC(菱形的定 义∵D) A=BC,AB=DC
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
∴AB=BC=DC=DA
同理： DB平分∠ABC；
(2)在△DAC中,又∵AO=CO AC平分∠DAB和∠DCB
菱形的判定
观察与思考：如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD 则四边形ABCD是不是菱形？
注： 对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形。
B
B
A
CA
C
D
D
若 ABCD的对角线AC⊥BD ，则 ABCD是
不是菱形？为什么？
菱形的判定：
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言：
B
∵四边形ABCD是 平行四边形
AB=AD
A
C
∴
ABCD是菱形。
D
已知：在 ABCD 中,对角线AC⊥BD
B
求证： ABCD是菱形。
A
O
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD
D
பைடு நூலகம்
又∵AC⊥BD
∴AB=AD
∴ ABCD是菱形。
菱形判定方法: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，
菱形
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（）
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
D
A
（）
C
╳
A
∟
C
B
B
D
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，