第08章投资组合优化动态图

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第十二章投资组合优化1.pptx

X X AX为标量 X 为列向量，
A A X 也为列向量
• 列向量对列向量求导为矩阵
AX A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵 X
主要内容 • 问题1：给定预期收益，最小化风险 • 问题2：给定风险，最大化预期收益 • 问题3：不考虑预期收益，最小化风
险 • 问题4：不考虑风险，最大化预期收
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
f1 X
f
X
f2
X
fm
X
• f(X)的一阶导数如下：
x1
X
x2
xn
f11 f12
f
f21
f22
X
fm1
fm2
f1n
f2
n
fij
fi x j
f
mn
Matlab实现
12
1
2
13
1
3
121 2
2 2
23 2 3
131
3
23 2 3
2 3
投资组合优化
• 目标函数
1 2 wVw w1
w2
w3
2 1
21
12
2 2
13 23
w1 w2
31
32
2 3
w3
w12
2 1
w22
2 2
w32
2 3
2w1
w212
2w1
w313
2w2 w3 23
• 约束条件1
wT e w1 w2
w3
e1
e2
e3
w1e1
w2e2
w3e3
E

12 在均值方差偏好下的组合选择金融经济学(王江)课件,最全面的,最重要的内容解析

存在无风险资产的MVF
●定理12.11：当存在无风险证券时，MVF可由
无风险证券和切点组合组合而成。
Sharpe比
资本市场线
●切点组合：过无风险收益的直线与风险证券
组合MVF双曲线的切点。
●切点组合的Sharpe比最大。 ●CML（Capital
Market Line）:CML给出所有M-V偏好参与者的最优组合。
●均值向量
●协方差阵 ●组合权重 ●组合收益率 ●组合均值 ●组合方差 -方差前沿组合
●定理12.4：任何一个有均值方差偏好的参
与者的最优组合是一个MVF组合。
两个特殊组合
§12.3 均值方差前沿组合的性质
●定理12.5：任何MVF组合可由
两个
MVF组合组合而成。
切点组合、CML、Sharpe比
风险证券与切点组合
定理12.13证明
Beta
●在M-V偏好下，只持有MVE即CML上的组合
●风险由相对于切点组合的Beta度量。 ●风险溢价与Beta成正比。
第12章
在均值-方差偏好下的投资组合选择
组合选择
●前面四章（8-11章）：一般偏好、收益分布
下的组合选择的一般结论，揭示一些经济原理，尚不具备可操作性。
●本章：Markowitz,Portfolio Theory ●偏好只与未来收益分布的均值方差有关
§12.1 均值-方差偏好
变量定义
●证券收益率
●推理12.1：MVF可由任意两个MVF组合而成。
●推理12.2：MVF组合的任意组合也是MVF组合。 ●定理12.6：M-V偏好下两基金分选成立。
●定理12.7：MVF组合位于RN中的一条直线上
均值方差有效组合

运筹学第八章动态规划

□状态转移律为： xk+1 = uk( xk )
B1 C2
（5）策略（policy）和子策略（subpolicy）
□策略：由依次进行的n个阶段决策构成的决策序列就构成一个
策略，用 p1n{ u1(x1), u2(x2), …, un(xn) } 表示。
7
B1 5
6
2
3
1
C1 4
6
D1 3
A5
3
B2
15
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合实际上是关于状态的约束条件。
□通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
□当过程处于某一阶段的某状态时，可以做出不同的决定，从而
第八章动态规划
1
引言
□动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。 □该方法是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman）等人在20世纪50年代初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。Bellman在1957年出版了《Dynamic Programming》一书，是动态规划领域中的第一本著作。
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。
□例1中，如 f3( C2 ) = 3+略 p1n ◎最优值：最优指标 f1(A)
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决定选择C2（也即确定了下一阶段的状态）。
B1 C2

投资学第7章最优风险资产组合

w iri c ,
i1
n
wi 1
i1
37
对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下
nn
n
n
L w iw jij( w iric)( w i1 )
i 1j 1
i 1
i 1
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组
38
和方程
L

w
1

n
w j 1 j r1
j1
0
L

w
2

n
w j 2 j r2 0
j1

L

w
n

n
w j nj rn
j1
0

n i1
w i ri

c
n

)

E

E(rD )
D
E(rE
E
)

P
15
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。
收益 E(rp)
E
D
风险σp
16
两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
13
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。
有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。

第八章动态规划

第8章动态规划
1
引言
• 动态规划(Dynamic Programming)是应用数学和计算机科学领域中一个非常重要的算法设计技术 • 美国数学家Richard Bellman于20世纪50年代发明，用于解决多阶段决策过程最优问题 • 这里的Programming是计划和规划的意思
2
动态规划的适用条件
C(i,j)的值记录在第i行，第j列
9
• 算法 Binomial(n,k) //用动态规划算法计算C(n,k) //输入：—对非负整数n>=k>=0 //输出：C(n,k)的值 for i← 0 to n do for j ← 0 to min(i,k) do if j=0 or j=i C[i,j] ← 1 else C[i,j] ←C[i-1,j-1]+C[i-1,j] return C[n,k]
当k 1, d
(0) ij
wij时, d
(k ) ij
min{d
( k 1) ij
,d
( k 1) ik
d }
(0) kj
• （3）以自底向上的方式计算出最优值。 • （4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
25
a
2
b
3
c
6
1
7
d
D(0) 0 2 ∞ 6 ∞ 3 ∞ 0 ∞∞ 7 0 1 ∞∞ 0
13
a
b
c
d
邻接矩阵 a b c d a0 1 0 0 b0 0 0 1 c0 0 0 0 d1 0 1 0
传递闭包
a b c d a1
1 b1 1 c0 0 d1 1
1 1 0 1
1 1 0 1

第十二章投资组合优化1

•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Wednesday, May 26, 2021May 21Wednesday, May 26, 20215/26/2021
L w
Vwp
e
0
L
E
~
rp
wTp e
0
L
1
wPT
0
• Remark：第一个等式实际上可以展开n个
投资组合优化的数学表述
• 其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件。
• 由上述方程可得
wp V 1e V 1
E
r~p
eTV 1e
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f
f
X
X X X
0 3
3
0
Matlab实现
• Syms x1 x2 • X=[x1 x2] • F=2*x1+3*x1*x2 • Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)] • g1=jacobian(Dfdx,X)
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。21.6.1103:06:4903:06Jun-2111-J un-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。03:06:4903:06:4903:06Friday, June 11, 2021
eTV 1

运筹学第八章动态规划

2 动态规划的基本概念
学习目标：
1 准确、熟练地掌握动态规划的基本概念、特别是状态变量、决策变量、状态转移律、指标函数、基本方程等。
12
（1）阶段（stage）
□为了便于求解和表示决策及过程的发展顺序，而把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有区别的子问题，称之为多段决策问题的阶段。一个阶段，就是需要作出一个决策的子问题。 □通常，阶段是按决策进行的时间或空间上先后顺序划分的。 □描述阶段的变量称为阶段变量，常记为k，k=1,2, …,n。 □如本例可按空间分为4个
Vkn( xk, uk, xk+1, uk+1, ···, xn ) = vk(xk, uk) vk+1(xk+1, uk+1) ··· vn(xn, un)
式中，表示某种运算，可以是加、减、乘、除、开方等。
28
□多阶段决策问题中，常见的目标函数形式之一是取各阶段效应
之和的形式，即:
n
23
□子策略：从k阶段到第n阶段，依次进行的阶段决策构成的决策序列称为k部子策略，表示为
pkn = { uk(xk), uk+1(xk+1), …, un(xn) }
□如从第3阶段的C2
状态开始的一个子策
C2
略可表示：
p34={u3(C2) = D1,
u4(D1) = E }
24
（6）指标函数
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决定选择C2（也即确定了下一阶段的状态）。
B1 C2
20
□一般来说，下一阶段状态变量xk+1的取值是上阶段的某一状态
变量xk和上阶段决策变量uk(xk)的函数，记为

第十二章投资组合优化1PPT48页

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
第十二章投资组合优化1
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

运筹学第八章_动态规划

15
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
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（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的状态B1出发，可以选择下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。

数量经济学--CH8动态优化：动态规划-9页word资料

CH8动态规划当时间和不确定性同时出现时，现实中往往确实如此，动态规划就显得特别有用。

动态规划是通过值函数把动态问题转变为静态问题。

连续时间一、确定性问题定义值函数: []10,t t s ∈∀,从s 出发的值函数为:首先计算控制变量u 的最优选择，然后得到状态变量x 的最优值。

若u 和x 在整个区间中是最优的，那么在子区间中也是最优的。

根据积分中值定理去掉大括号中第一项的积分号，然后围绕时刻s 进行泰勒展开。

代入原方程得到:消除方程两边相同项,并除以ds ,得到:这就是动态规划的递归方程（Recursive Equation,RE ）。

递归方程把动态问题转为只有s 时期的静态问题。

根据RE 右边项对控制变量u 求导数等于零，得到最优值：()J u u =*。

将其代回到RE 中，得到贝尔曼方程（Bellman Equation,BE ）。

连续时间动态规划求解步骤 1、定义值函数，写出RE 。

2、根据控制变量的一阶条件得到最优控制变量的表达式。

3、把其代回到RE ，得到BE 。

4、通过BE 求出值函数，最终得到控制变量的最优值。

注意：BE 是偏微分方程，只有少数几种情况可以求解：目标函数是相当或绝对厌恶风险效用函数，或二次型；约束条件是线性约束。

问题：值函数的形式事先不知道，需要猜测。

经济学中动态规划问题的猜测方式： 1、值函数与目标函数形式相同。

2、控制变量是状态变量的线性函数。

例：目标函数为二次型[]∞∈∀,0s ,定义值函数:写出递归方程RE: 有一阶条件得到:得到BE ：()()()b e J s x s J e ax rs x s rs 4,022⋅-+=-。

猜测：值函数与目标函数有相同的形式，即为二次型。

()()rs e Ax s x s J -=2, A 为待定常数，如果存在A ，猜测正确。

()()t b Ae x t x x bAu x ==⇒-==0.代回上式即得到控制变量自控问题：时间不独立出现经济学中常遇到的是自控问题。

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投资组合优化动态图
输入
无风险利率5.0%250.0%
风险资产18.0%4020.0%100
风险资产29.0%4520.0%100
风险资产310.0%5020.0%100
风险资产411.0%5520.0%100
风险资产512.0%6020.0%100

12345
1100.0%-40.0%-20.0%-20.0%-20.0%
2-40.0%100.0%20.0%-20.0%30.0%
3-20.0%20.0%100.0%-30.0%-30.0%
4-20.0%-20.0%-30.0%100.0%-10.0%
5-20.0%30.0%-30.0%-10.0%100.0%

26
3812
4887
581379

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