投资组合优化模型研究
投资组合优化的数学模型
投资组合优化的数学模型一、引言投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。
在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。
本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。
二、投资组合优化模型投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。
下面将分别进行介绍。
1.均值-方差模型均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。
其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。
具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。
均值-方差模型的数学表达式如下：$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。
该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。
但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实际应用中有着一定的局限性。
2.风险价值模型风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。
与传统的风险度量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。
VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。
投资组合优化模型及其实证研究
投资组合优化模型及其实证研究投资组合是指从多种投资品种中选择一定的比例进行投资的过程。
投资组合优化模型是指通过某种方式计算出最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目的。
本文将就投资组合优化模型及其实证研究展开阐述。
一、投资组合优化模型1.1 基本概念投资组合优化模型是利用数学方法，以最大化收益或最小化风险为目标，通过计算股票、债券、黄金等不同资产的相关性、预期收益率、风险、流动性等指标，制定最佳投资组合方案。
其目的是在各种不确定性因素中，在最小风险的前提下获得最大收益。
1.2 常见方法目前常用的投资组合优化方法有均值方差分析法、Markowitz模型、Black-Litterman模型、最大化效用函数模型等。
其中，Markowitz模型最具代表性和广泛使用。
1.3 Markowitz模型Markowitz模型，也称为均值方差分析模型，是现代投资组合理论的基础。
该模型主要考虑投资组合的预期收益和风险，通过计算不同证券之间的相关性确定最理想的投资权重。
具体计算方法如下：首先计算各个证券的预期收益率和方差，然后计算该证券与其他证券之间的协方差，进而计算出不同组合的预期收益率和方差。
最后通过对不同组合的收益方差关系进行优化，确定最优投资组合。
二、实证研究2.1 数据来源本文采用的数据来自国内外的股票、债券、黄金等资产市场数据，以及相应的基金、指数等投资产品数据。
2.2 研究方法本文采用Markowitz模型，通过计算各种投资产品的预期收益率、方差、协方差等风险指标，确定最优投资组合。
2.3 结果分析实证研究结果显示，在所有标的物中，黄金是一个比较安全的资产，但收益率不高且波动性较大。
债券的收益率相对稳定，但波动性低于股票。
股票收益率高，但波动性也相对较大。
在多元组合分析中，投资者可以通过调整不同资产的比重来降低整个投资组合的风险，提高收益率。
例如，当股票市场不稳定时，可以增加债券和黄金的比例，以稳定投资组合。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
投资组合优化方法研究
投资组合优化方法研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都在追求如何构建一个最优的投资组合，以实现风险与收益的平衡，并达到自身的投资目标。
投资组合优化方法作为金融领域的重要研究课题，一直以来都备受关注。
投资组合优化的核心目标是在给定的风险水平下，实现预期收益的最大化，或者在给定的预期收益水平下，使风险最小化。
为了实现这一目标，研究者们提出了多种不同的方法和策略。
均值方差模型是投资组合优化领域中最为经典和基础的方法之一。
这一模型由马科维茨提出，它通过计算投资组合中各资产的预期收益率和方差，来确定最优的资产配置比例。
均值代表预期收益，方差则代表风险。
投资者可以根据自己对风险的承受能力，在均值方差的有效前沿上选择合适的投资组合。
然而，这一模型也存在一些局限性。
例如，它对输入参数的准确性非常敏感，预期收益率和方差的微小偏差可能导致投资组合的显著变化。
而且，它假设资产收益率服从正态分布，但在实际市场中，资产收益率往往呈现出非正态分布的特征。
另一种常见的投资组合优化方法是资本资产定价模型（CAPM）。
CAPM 认为，在均衡市场中，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
投资者可以根据资产的贝塔系数来构建投资组合。
然而，CAPM 也有其不足之处。
它基于一系列严格的假设，如市场完全有效、投资者具有相同的预期等，这些假设在现实中往往难以满足。
近年来，随着计算机技术和数学算法的发展，智能优化算法在投资组合优化中得到了广泛的应用。
例如，遗传算法、粒子群优化算法等。
这些算法通过模拟自然进化或群体行为的过程，来搜索最优的投资组合解。
与传统的优化方法相比，智能优化算法具有更强的全局搜索能力和适应性，能够处理更复杂的投资组合优化问题。
但它们也存在一些问题，比如计算复杂度较高，需要较长的计算时间，而且对于算法参数的选择较为敏感。
除了上述方法，还有基于风险平价的投资组合优化方法。
风险平价策略的核心思想是使投资组合中各资产对组合的风险贡献相等。
投资组合优化理论及应用研究
投资组合优化理论及应用研究第一章：绪论投资组合优化理论及应用研究是金融领域中重要的研究方向。
随着金融市场不断发展和完善，投资者的投资需求越来越多样化和个性化，如何利用有限的资金获得最大的收益，是投资者始终关注的重要问题。
本文将围绕投资组合优化理论及应用展开，阐述其研究背景、研究意义、发展现状及未来趋势。
第二章：投资组合优化理论投资组合优化是指在多种资产中选取一定数量的资产进行组合，以最小化风险或最大化收益为目标，以达到满足投资者特定需求的投资组合。
投资组合优化理论主要包括现代投资组合理论、均值方差模型、风险价值模型、期望效用模型和最小方差前沿等方法。
1. 现代投资组合理论现代投资组合理论由马尔科维茨于1952年提出，是投资组合优化理论的重要基础。
该理论认为投资组合的风险不仅与单个资产的风险有关，还与不同资产之间的相关性有关。
因此，选择相关性较低的资产进行组合可以有效降低整个投资组合的风险并提高收益。
2. 均值方差模型均值方差模型是投资组合优化中最常用的方法之一，其基本思想是在风险和收益之间建立一个权衡，并寻找均值和方差相对最优的投资组合。
其中，均值可以反映预期收益水平，方差可以反映收益的波动性，所以该模型可以较好地对收益和风险进行考量。
3. 风险价值模型风险价值模型是一种综合考虑投资组合风险和收益的方法，其基本思想是寻找在给定置信度范围内所需的最小损失。
该模型可以帮助投资者更好地把握投资组合的风险水平，并寻找最优组合。
4. 期望效用模型期望效用模型是一种将效用理论引入投资组合优化中的方法，其基本思想是最大化投资组合的总效用，并同时考虑投资者的风险偏好。
该模型可以在最大化收益的同时避免超过投资者的承受能力而产生的风险。
5. 最小方差前沿最小方差前沿是指投资组合在给定收益率水平下的最小方差情况，该方法可以帮助投资者在预期得到一定收益的情况下，选择风险最小的投资组合。
第三章：投资组合优化应用投资组合优化理论在实际应用中也有着广泛的应用。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究投资组合优化是金融领域的一个重要课题，通过合理配置不同投资资产的比例，能够有效降低投资风险并获得预期收益。
在过去几十年的研究中，学者们提出了许多投资组合优化模型和策略，旨在找到最优的投资组合。
一、投资组合优化模型1.1. Markowitz模型Markowitz模型是投资组合优化领域的开创性工作，由哈里·马科维茨于1952年提出。
该模型认为，投资者的目标是在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定预期收益的情况下最小化风险。
马科维茨提出了有效边界的概念，有效边界上的投资组合即为最优投资组合。
1.2. 基于均值方差的优化模型基于均值方差的优化模型是应用广泛的一类投资组合优化模型。
该模型假设投资者的收益率符合正态分布，并以投资组合的平均收益率和方差作为衡量指标，通过调整不同资产的权重来实现最优化。
1.3. 基于风险价值的优化模型基于风险价值的优化模型是近年来发展起来的一类模型。
该模型通过引入风险价值度量，例如条件风险价值或极端风险价值，来对投资风险进行衡量。
通过最小化或最大化风险价值，可以得到最优的投资组合。
二、投资组合优化策略2.1. 马科维茨均衡模型马科维茨提出的马科维茨均衡模型是一种相对比较保守的投资组合优化策略。
该策略根据不同资产的预期收益率和协方差矩阵，构建出投资组合的有效边界，并选择在该边界上风险最低的投资组合。
2.2. 最小方差模型最小方差模型是一种追求较低风险的投资组合优化策略。
该策略认为，通过降低投资组合的方差可以减小投资风险。
因此，最小方差模型的目标是找到方差最小的投资组合。
2.3. Sharpe比率模型Sharpe比率模型是一种综合考虑风险和预期收益的投资组合优化策略。
该策略通过计算投资组合预期收益与风险之间的比率来评估投资组合的绩效。
目标是选择使得Sharpe比率最大化的投资组合。
2.4. 增量风险模型增量风险模型是一种关注投资组合下行风险的策略。
投资组合优化模型分析
投资组合优化模型分析投资组合是指将资金分散投资于多个资产上，以达到降低风险、提高回报的目的。
投资组合理论通过对不同资产的风险和回报进行优化分配，建立起一套可靠的资产配置策略，使投资者可以在不同市场情况下获得最大的收益。
投资组合优化模型是基于投资组合理论，通过各种数学方法对投资组合进行分析和优化，以实现投资效益最大化的目标。
1. 组合收益计算在投资组合优化中，组合收益是一个非常重要的指标。
组合收益指的是投资组合中各个资产的加权平均收益率。
计算组合收益的公式如下：组合收益率 = ∑（资产收益率×资产占比）其中，资产收益率指的是某个资产的收益率，资产占比是指该资产在投资组合中所占的比例。
通过计算组合收益率，可以更加全面地了解投资组合的回报情况，从而进行优化调整。
2. 组合风险计算组合风险是指投资组合中存在的波动风险。
由于投资组合中存在多种资产，因此其波动风险也更加复杂。
针对组合风险，可以通过各种方法进行计算和优化。
常用的计算方法有协方差矩阵法、方差-协方差法、价值-at-风险法等。
协方差矩阵法：该方法是一种比较常见的组合风险计算方法。
它通过计算各个资产之间的协方差矩阵，来获得投资组合的总体风险。
协方差矩阵法能够对资产间的风险相关性进行较为准确的估计，因此被广泛应用于投资组合优化。
方差-协方差法：该方法是一种以方差和协方差为基础的组合风险计算方法。
该方法通过计算每种资产的波动率和资产间的协方差，来评估投资组合的总体风险。
方差-协方差法可以较为准确地表示资产间的权衡关系，因此也被广泛应用于组合风险计算中。
价值-at-风险法：该方法是一种较为新颖的组合风险计算方法。
该方法通过计算组合在一定风险水平下可能承受的最大亏损，来评估投资组合的风险水平。
价值-at-风险法具有较强的直观性和实用性，因此也被越来越多的投资机构所采用。
3. 投资组合优化模型投资组合优化模型是一种基于数学方法对投资组合进行优化的模型。
投资组合优化方法研究
投资组合优化方法研究1. 简介投资组合优化是一个重要的领域，其目的是为投资者提供最优的投资组合方案。
在投资组合优化中，投资者可以通过优化投资组合的权重、资产配置等方面来最大化收益，并增加投资组合的风险抵御能力。
2. 投资组合优化的基本概念2.1 投资组合投资组合是指投资者持有的一些资产，包括股票、债券、货币市场基金等。
一个投资组合可以包含多种不同类型的资产，在不同的市场环境下表现也不同。
2.2 投资组合优化投资组合优化是一种管理投资组合的策略，其目的是为投资者提供最佳的投资组合。
投资组合优化需要考虑多方面的因素，包括资产种类、资产期限、风险控制、收益率、成本等。
2.3 投资组合的风险投资组合的风险既包括市场风险，也包括非市场风险。
市场风险是指由于汇率、利率、商品价格等因素导致的风险，而非市场风险是指由于合同、法律条款等因素导致的风险。
3. 投资组合优化方法3.1 马科维茨模型马科维茨模型是一种经典的投资组合优化方法，旨在求解最优的投资组合权重。
马科维茨模型采用历史数据分析的方式，通过计算投资组合中各个资产的收益率、方差、相关系数来计算最优的投资组合权重，从而达到最大化收益、最小化风险的目标。
3.2 期望收益率法期望收益率法是一种根据投资者的风险偏好来确定投资组合的方法。
该方法采用逐步修正的方式，会根据风险偏好和投资组合的预期收益率来不断修正投资组合的权重。
通过这种方法可以较为准确的确定投资组合的最佳权重，进而达到最优化的目标。
3.3 黄金分割法黄金分割法是一种基于历史数据的方法，能够分配每个资产的权重以达到最优的投资组合。
该方法将资产的历史收益率使用黄金分割法进行分割，根据分割的结果计算出最佳的投资组合权重，从而实现最优化的目标。
3.4 粒子群算法粒子群算法是一种基于群体智能原理的投资组合优化方法。
该方法能够处理多重不确定性因素，如汇率风险、信用风险、市场风险等多种因素。
通过采用优化算法计算出最优的投资组合权重，从而实现最优化的目标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
投资组合优化模型研究学生姓名:刘铭雪学号:20095031277数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:韩建新职称:讲师摘要:本文在VaR方法约束的基础上,对Markwitz均值—方差模型进行深入研究,给出了一种几何求解方法,并分析了该组合的特性,研究了在VaR约束条件下的最优投资组合的确定问题．关键词:VaR;均值;方差;投资组合Research on Portfolio Optimization Modle underThe VaR ConstraintAbstract: The basic constraint in VaR(Value at Risk)method is used in the article, Markwitz mean-variance model is in-depth studied, a geometrical method is gave , and the characteristics of the portfolio is analyzed,Determination of optimal portfolio VaR constraint conditions are researched.Keywords: VaR(Value at Risk); mean value;variance;investment portfolio 前言在丰富的金融投资理论中,组合投资理论占有非常重要的地位,投资决策也是金融机构经营活动中最基本的决策之一.现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系,也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象,以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大.对金融机构和投资者来说,相对与资产向上波动,资产价格向下波动而使资产遭受损失是真正的风险.正是由于这一点,集中考虑资产价格向下波动风险的风险价值(VaR)作为对风险的度量获得广泛的认可,越来越多的金融机构使用它来度量和管理市场风险,因此投资者在作投资选择时,应考虑VaR约束.VaR约束下的投资组合优化模型是在Markwitz证券组合理论框架基础上发展起来的,是对现代投资组合理论的扩展.1. VaR约束下的投资组合优化模型1.1VaR的基本原理与分析1.1.1VaR的定义VaR,即风险价值(Value at Risk),是指市场正常波动下,在一定的概率水平下,某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失.由于VaR值可以用来简明地表示市场风险的大小,因此没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值对金融风险进行评判.并且VaR 方法可以事前计算风险,它不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小.另外,VaR方法还可以衡量全部投资组合的整体风险,这也是传统金融风险管理所不能做到的.VaR方法的这些特点使得它逐渐成了度量金融风险的主流方法,越来越多的金融机构采用VaR测量市场风险,使用VaR 作为风险限额,特别是监管当局也在使用VaR确定风险资本金,这使得许多金融机构及其业务部门在投资选择时,往往需要满足VaR约束.为此,本文将研究一个在马柯维茨均值—方差模型的基础上加入VaR约束的投资组合优化模型.根据VaR的定义,可以表示为:其中,Prob表示概率,为证券组合在持有期内的损失,VaR为置信水平下处于风险中的价值.从上面的定义中我们可以看出,VaR有两个重要的参数:资产组合的持有期及置信水平.这两个参数对VaR的计算及应用都起着重要的作用.例如,假定某一资产某天置信度为的日VaR为600万元,根据VaR的含义可知:该资产以的可能性保证,这就意味着这一资产在24小时内发生大于600万人民币亏损的可能性为.1.1.2资产组合的持有期从投资者的角度来说,资产组合的持有期应由资产组合自身的特点来决定.资产的流动性越强,相应的持有期越短;反之,流动性越差,持有期则越长.国外商业银行由于其资产的高流动性,一般选择持有期为一个交易日;而各种养老基金所选择的持有期则较长,一般为一个月.在应用正态假设时,持有期选择得越短越好,因为资产组合的收益率不一定服从正态分布,但在持有期非常短的情形下,收益率渐进服从正态分布,这时的持有期一般选为一天.另外,持有期越短,得到大量样本数据的可能性越大.Basle 委员会选择10个交易日作为资产组合的持有期,这反映了其对监控成本及实际监管效果的一种折衷.持有期太短则监控成本过高;持有期太长则不利于及早发现潜在的风险.本文主要对股票投资组合进行分析,持有期选为一个交易日.1.1.3置信水平置信水平的选取反映了投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高,厌恶风险的程度越大.由前面所述VaR的定义我们可以看出,置信水平的选取对VaR值有很大影响.同样的资产组合,由于选取的置信水平不同计算出的VaR值也不同.由于国外已将VaR值作为衡量风险的一个指标对外公布,因此各金融机构有选取不同的置信水平以影响VaR值的内在动力.例如,国外各银行选取的置信水平就不尽相同,美洲银行和J.P.Morgan银行选择95%,花旗银行选择95.4%,大通曼哈顿银行(Chemical and Chase)选择97.5%,信孚银行(Bankers Trust)选择99%.由VaR的定义可知,置信水平越高,资产组合的损失小于其VaR值的概率越大,也就是说,VaR模型对于极端事件的发生进行预测时失败的可能性越小.因此,Basle委员会要求采用99%的置信水平.1.1.4VaR的数学表达式为了更好地理解VaR的概念,下面我们将推导其数学表达式.设资产组合的初始价值为,持有期末的期望收益为,的数学期望和标准差分别为和,在给定的置信水平下,期末资产组合的最低值为,其中为相应的最低收益率(一般为负值),则:(1)VaR也可由资产组合值的概率分布推导而得.由VaR的定义,该式等价于:即组合价值低于的概率为.设资产组合的价值服从正态分布,为标准正态分布相应的分位数,则:其中为标准正态分布密度函数.又由可知:(2)将(2)式代入(1)式可得:(3)这就是正态分布假设下VaR的一般表达式.2.引入VaR约束的马柯维茨均值—方差模型2.1马柯维茨均值—方差模型经典马柯维茨均值—方差模型为:模型()其中,;是第种资产的预期回报率;是投资组合的权重向量;是种资产间的协方差矩阵;和分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差.该模型的解在空间是图1中的抛物线,即投资组合的有效前沿.马柯维茨均值-方差模型利用方差度量了资产组合的市场风险,但该方法主要存在两个缺点:①方差只描述了收益的偏离程度,却没有描述偏离的方向.而实际中最关心的是负偏离(损失);②方差并没反映证券组合的损失到底是多大.因此对于随机变量统计特征的完整描述需要引入概率分布,而不仅仅是方差.2.2引入VaR约束鉴于前述VaR方法在风险度量与管理领域中的主流地位,现在我们考虑在模型中加入VaR约束.假定置信水平为,由VaR的定义,有:(4)在模型()中考虑VaR约束后,经典均值-方差模型为:模型() (5)在正态分布下,(4)式可化为:(6)其中,是标准正态分布的分布函数.模型()的解在空间中是图1中的弧线,称其为基于VaR约束下的投资组合的有效前沿.VaR约束-VaRAB图1 基于VaR约束的投资组合的有效前沿O图1中VaR约束表现为一条斜率为,截距为-VaR的直线.在该直线或其以上的全部投资组合都具有的概率使其回报率超过最小值-VaR;而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度下不超过-VaR.这样,VaR约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR约束直线间的阴影部分,即点和之间的弧线上.进一步地,根据有效集定理,最优投资组合选择应为抛物线顶点与点之间的弧线,即弧线段.2.3模型的几何求解方法由图1可知,VaR约束的最优投资组合确定时,只需求出点和处的权重即可.但由于该模型的约束条件比较复杂,用传统的Laganerge乘子法无法求解.因此在这里我们用几何方法来解决此问题.设种资产组合的权重是（其中）,则投资组合的期望回报率与方差分别可表示为:(7)(8)因为协方差矩阵是正定矩阵,所以在权重空间中,(8)式代表等方差超椭球面.取不同值可得到一族同心超椭球面,中心记为,表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数;在权重空间中,(7)式代表等期望回报率超平面,取不同值可得到一族平行超平面.因而,种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点.将这些正切点连接起来,就得到一条直线,称其为种资产投资组合的临界线.不难看出,临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式.(7)式在点处的法向量为:(8) 式在点处的法向量为:令则(8)式在点处的法向量可简化为:由临界线定义,可得临界线方程为(9)由(9)式可得到个方程构成的线性方程组:(10)其中:进一步将(6)式化为如下形式:(11)根据均值和方差的表达式:,,将其代入上式:(12)因为线性方程组(10)的秩是,所以它的基础解系的个数是1,我们可以用分别表示.而由于,也可以用表示.将代入(12)式,就得到一个关于的一元二次方程,求出就可得到相应的值.因为有两个根,因此有两组解,它们分别是点和点处的权重.这样就求出了点和点处投资组合的预期回报率,和方差,.进一步地,根据方程,我们可求出抛物线顶点处的投资权重.该方程是常数项包含的关于一元二次方程,当其判别式为零时只有一个解,此时与重合为.利用判别式为零求出后,便可分别求出点的投资权重及投资回报率.于是可以得到VaR约束下投资组合的选择范围:针对这一范围内投资组合的一个回报率,联立(10)式和(7)式,就可在临界线上求得投资组合最优权重,该权重下的投资组合的方差为最小,并通过(8)式可算出这个最小方差;同理,给定了上述范围内投资组合的一个方差,联立(10)式和(8)式,就可在临界线上求得投资组合的最优权重,使得该权重下的投资组合的预期回报率最高,并且由(7)式可算出这个最高的预期回报率.需要指出的是,VaR约束可能太严格以致关于的一元二次方程无解,即任何组合都被排除在外,这种情况体现在图1中便是VaR约束线和弧线没有交点.同样,VaR约束太宽松也将使计算结果变得没有意义.3.VaR约束下的投资组合优化模型的特性分析3.1Markwitz均值—方差模型的缺点Markwitz均值—方差模型存在2个明显的缺点:一是用方差或标准差从波动性角度来反映风险,只描述了收益偏离期望值的程度,并没有描述损失情况;二是用等效曲线函数来描述投资者的收益,风险特征,具有很大的额随意性,很难用一个准确的数学公式来表示.而VaR测量的是在一定的置信度下,在正常的市场环境下,某一资产或资组合在未来特定的一段时间内的预期最大的可能损失,是一种非常直观的风险测量方法,弥补了方差或标准差的不足.同时,VaR方法能够使投资者根据自身财务状况,市场环境和对投资损失的心理承受能力,比使用等效曲线函数更能客观,容易,准确地量化自己的收益和风险特征,而且VaR描述的是损失状况,因此它更接近投资者对风险的直接心理感受.因此,引进VaR方法,是对传统的均值—方差模型的补充和改进.3.2VaR组合模型有事先防范风险的作用在进行投资决策过程中,投资者首先要确定置信水平和VaR值,将自身对风险的承受能力与风险的大小加以比较,尽可能减少因投资失误带来的损失.VaR可以事前计算风险,在均值—方差模型中加入了VaR约束后,将投资者不能接受的投资组合排除在外,就是将投资可能发生最大损失降至投资者能承受的概率水平.VaR含义简洁,价值判断方式直观,使得资产组合的风险,能够具体化为一个可以与收益相配比的数字,从而有利于经营者管理目标的实现.3.3VaR组合模型体现了投资者的个人偏好在投资活动中,风险与期望收益率之间存在正比关系,如何在二者间做出选择,主要依赖于投资者对风险的个人偏好.在组合模型中,不同的置信水平对应于不同的VaR值,组合的VaR值会随置信度的提高而上升,投资者可以根据自身对风险的承受能力来决定投资策略,调整相应的获利能力.对于风险承受能力较低的投资者,应选择较高的置信水平,以降低风险;对于风险承受能力较强的投资者来说,可以设置较低的置信水平,以利于作出积极的投资策略.3.4VaR组合模型具有高效性由前面的模型介绍可知,VaR约束实际上缩小Markwitz均值—方差模型所确定的最优投资组合选择范围（主要由所确定的置信水平决定有效解的范围）,即投资者的选择范围在缩小,实质上排出了投资者所不能接受的投资组合,从而提高了投资决策的速度与效率.但应注意可能出现的两种极端情况:一是约束太严,即VaR约束线的斜率太大以至于过多投资选择被排除在外（如模型一有可能无解）;二是约束太松,即VaR约束线的斜率太小,以至于失去实质性的约束意义.3.5应用VaR组合模型应注意的问题应用VaR组合模型应注意的问题:(1)VaR描述的是市场正常波动下资产组合最大的可能损失,而不是处理发生剧烈波动的市场极端情况,如市场崩盘等;同时,从技术角度讲,VaR表明的是一定置信度内的最大损失,并不能绝对排除高于值的损失发生的可能性,这种情况一旦发生就会给投资者带来严重损失.所以,需要运用其它各种定性,定量分析方法作为辅助的风险测量工具.(2)由于我国证劵市场起步较晚,市场尚需规范,政府的干预和机构的坐庄行为在一定程度上导致收益率不能完全满足正态分布.事实上,在正发达国家较成熟证劵市场,也不能完全满足上述条件,因此,利用VaR模型组合时,在考虑资产收益率偏离正态分布程度的同时,只能做近似正态处理.结束语马柯维茨的证券组合理论是现代投资理论和投资实践的基础,他的均值-方差模型给出了投资决策的最基本也是最完整的框架.投资决策大都是在马柯维茨证券组合理论的框架或基本思想下展开的,不同的只是收益和风险的描述不同.由于当前VaR在风险测量,风险限额设定和绩效评估中的广泛应用,因此在马柯维茨证券组合理论的框架下,基于VaR的投资决策具有重要的实用价值.本文在马柯维茨的均值—方差模型的基础上,加入了VaR约束,给出了一个基于VaR的证券投资组合优化模型.VaR约束来寻求投资者的最优投资组合,体现了一种较为成熟的投资理念,即在投资组合管理中,应考虑如何控制风险,相应的调整获利目标,客观量化收益和风险特征.因此在马柯维茨证券组合理论的框架下,基于VaR的投资决策具有重要的实用价值.参考文献:[1]金道政,黄永兴,金融投资学[M].中国科学技术大学出版社,2002.[2]卢文莹.金融风险管理[M].复旦大学出版社,2006.[3]张尧庭.金融市场的统计方法[M].广西师范大学出版社,1998.[4]杜海涛.VaR模型在证券风险管理中的应用.证券市场导报.2000年(8):57-61.[5]王春峰.金融市场金融管理[M].天津:天津大学出版社.2001.[6]景乃权,陈姝.VaR模型及其在投资组合中的应用[J].财贸经济.2003.(2):68-71.[7]黄继平,黄良文.基于风险控制的证劵投资决策[J].统计研究.2004.(7(:44-48.[8]郑明川,吴晓良.VaR约束下的投资组合管理[J].技术经济与管理研究.2003.(6):34-35.[9]维普.K.班瑟尔,皮埃特罗.潘泽.用VaR度量市场风险[M].北京:机械工业出版社.2002.。