证券投资组合的优化模型
毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第一章引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.1 文献综述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.2 问题提出⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.3 研究的主要内容⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3第二章马科维茨组合投资模型基本概念和理论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42.1 马科维茨的基本理论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42.2 理性投资者的行为特征和决策方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42.3 资产的收益和风险特征⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯72.4 马科维茨的均值方差模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8第三章股票中的数学模型及优化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯103.1 模型的假设与符号说明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯103.2 模型的建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯103.3 模型的求解及优化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11第四章股票的预测与程序设计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13第五章模型的结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15第六章对马科维茨理论的评价与启示⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯166.1 对马科维茨理论的评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯166.2 马科维茨理论的启示⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18证券投资组合的优化模型张东柱摘要：马科维茨( Markowitz )1952 年提出的组合投资理论开创了金融数理分析的先河，是现代金融经济学的一个重要理论基础。
利用马科维茨模型确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。
在此基础上，依据理性投资者投资决策准则确定最小方差资产组合。
本文以马科维茨的均值方差模型为主要的理论基础，根据投资者对收益率和风险的不同偏好，建立投资组合优化模型，并且通过数学软件Matlab 进行实证研究，希望能为投资者实践提供某种程度的科学依据。
关键词：股市；组合投资；均值；方差；收益；风险中图分类号：O221.7Optimization for Portfolio Investment ModelZhang DongzhuAbstract ：In 1952 Markowitz proposed the Portfolio Theory and created the analysis way in financial mathematics, which was an important theoretical basis in modern Financial Economics. We use Markowitz model to establish Minimum Variance Portfolio. Firstly we calculate proceeds and risk of single assets in Portfolio Theory and the relationship between assets, and then calculate the expected proceeds and risk of portfolio. On this basis, we determine Minimum Variance Portfolio according to the rational criteria of investors' decision to invest. Based on the investment portfolio and does empirical study through mathematical software Matlab, hoping to provide a certain scientific basis in practical investment.Key Word: Stock Market, Portfolio, Mean, Variance, Proceeds, Risk第一章引言1.1 文献综述马科维茨( Markowitz )1952 年提出的组合投资理论开创了金融数理分析的先河，是现代金融经济学的一个重要理论基础。
在马科维茨的组合投资模型中，数学期望代表着预期收益，方差或标准差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系，进而资产组合的预期收益是资产组合中所有资产收益的简单加权平均，而资产组合的方差则为资产方各自方差与它们之间协方差的加权平均。
利用马科维茨模型确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。
在此基础上，依据理性投资者投资决策准则确定最小方差资产组合。
现代组合理论的主要贡献在于它阐明了组合风险并不取决于各个个别资产风险的均值，而是各资产的协方差——资产之间的相互关系。
运用马科维茨关于组合投资的基本思想，我们可以看到在资产完全不相关的情况下，资产组合的风险会随着资产数量的增加而消失。
由于在现实生活中，资产完全不相关或完全相关的情况不多，大部分处于不完全正相关状态，所以资产之间的协方差就成了资产组合方差的决定因素，而协方差是不能靠资产组合多元化来降低的。
投资者构建证券投资组合的主要动因在于降低投资风险和实现收益最大化目标。
投资者通过科学的组合投资，可以在投资收益和投资风险之间找到一个平衡点，即在风险既定的条件下实现收益最大，或在收益既定的条件下使风险尽可能降低。
诺贝尔奖得主马科维茨提出的证券组合优化均值方差模型奠定了现代证券组合投资理论的基础。
1.2 问题提出作为一个成熟的投资者，我们应该时刻牢记一句话：“股市有风险，入市须谨慎。
尤其是最近受到世界经济形势的影响，因此投资者对风险的控制是必要的，投资者必须确保在获得一定的预期收益时，使得风险最小或者在一定风险水平下获得最大收益。
为了达到这个目标，并创造出更多的可供选择的投资机会，进行证券投资的组合优化无疑是非常必要的。
在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性和流动性为前提，合理的运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。
投资于高收益的证券，很可能获得较高的投资回报；但是，高收益往往伴随着高风险，低风险常又伴随着低收益。
如果投资者单独投资于某一种有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格出现较大波动，投资者将蒙受较大的损失，所以，稳健的投资方法是将资金分散地投资到若干种收益和风险都不同的有价证券上，以“证券组合投资”的方式来降低风险。
1.3 研究的主要内容证券投资是一种复杂而又充满风险的金融活动，它既可以给投资者带来丰厚的收益，也可能使投资者遭受巨大的损失，因而越来越多的投资者利用投资组合以及多元化投资来分散风险，然而风险依赖于效用，不同偏好的投资者可能具有不同的衡量标准，其效用函数不同，拥有不同的风险测度，但是迄今为止，并没有一种令人满意的风险度量标准。
马科维茨的证券投资组合模型中用方差来度量风险，但是据研究，只有在证券收益率服从正态分布条件下，方差才是风险的有效测度，这表明投资者对风险、收益的理解不对称，更谈不上均匀分布在均值左右。
而统计数据也表明收益率并不一定服从正态分布，因而选择何种度量风险的标准，对投资组合的证券及比例的选择尤为重要。
第二章马科维茨组合投资模型基本概念和理论2.1 马科维茨的基本理论马科维茨以理性投资者及其基本行为特征为基本假设，论述了建立有效资产组合边界（即在一定风险水平上收益最高的资产组合的集合）的思想和方法。
马科维茨考虑的问题是单期投资问题，投资者拥有一笔资金，从现在起投资于一特定长的时间（称为持有期），在期初投资者需要作出决定购买哪种证券及其数量，并持有到期末。
分别以一定资金比例购买的一组证券称为一个证券组合，因而投资者的决策就是要从一系列的可能的证券组合中选择一个最优的证券组合，这样的一个决策问题被马科维茨称为证券组合选择问题。
为了解决这个问题，马科维茨对投资者的决策方法和行为特征做了如下假设：（1）、每一种投资都可以由一种预期收益的可能分布来代表；（2）、投资者都利用预期收益的波动来估计风险；（3）、投资者仅以预期收益和风险为依据决策，在同一风险水平上，投资者偏好收益较高的资产或资产组合，在同一收益水平上，投资者偏好风险较小的资产或资产组合；（4）、投资者在一定时期内总是追求收益最大化。
2.2 理性投资者的行为特征和决策方法从理论上说，具有独立经济利益的投资者的理性经济行为有两个规律特征，其一为追求收益最大化，其二为厌恶风险，二者的综合反映为追求效用最大化。
“效用”在微观经济学中指人们从消费商品和服务中得到满足。
在金融市场上，交易主体追求的是利益最大化。
无奈，高收益总是伴随着高风险，对风险的承受力直接制约着人们对收益预期的定位。
通常，人们只能在可接受的风险范围内寻求相对高的收益，或者只有当收益足够高时，才会去冒较大的风险。
所以，投资活动的效用就是投资者权衡选择风险与收益后获得的满足。
（1）、追求收益最大化的规律特征这一特征表现在，当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。
在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产投资；但另一方面，与之相对立的市场资金需求者为了自身利益最大化的要求选择成本最低的融资方式，资金供求上方对立的经济利益、一致的利益冲动制约着市场均衡价格的形成。
（2）、厌恶风险的规律特征这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。
人们对风险的厌恶程度是不同的，有的强，有的弱，有的对风险持中立态度，有的甚至偏好风险，这一特征直接决定着价格的结构。
对于厌恶风险的人，要使之接受交易中的风险，就必须在价格上给予足够的补偿，有风险交易的收益从结构上看应该是无风险交易的收益加上一个风险补偿额。
风险越大，风险补偿额也就越高。
（3）、追求效用最大化追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。
效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益的组合的集合由有效边界表示，效用曲线与有效边界的切点就是提供最大效用的资产组合。
基于混合遗传算法的投资组合优化改进模型研究
基 于混合 遗传 算 法 的投 资组 合 优 化 改进 模 型 研 究
李 云 飞 ，李 鹏雁
（ ． 尔滨工业大学 管理学院，黑龙江 哈 尔滨 １ ００ ； ． 尔滨工业大学 人文学院，黑龙江 哈 尔滨 １０ ０ ） １哈 ５０ １２ 哈 ５０１
摘 要 ： 证券 投 资 组 合优 化 问题 的 实质 就 是 有 限 的 资产 在 具 有不 同风 险 收 益特 性 的证 券 之 间 的优 化 配 置 问题 。
维普资讯
第３ ２卷 第 ｌ期
燕 山大 学 学报
Ｊ ｕ ｎａ ｆＹａ ｈａ ｎｖｅ ｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｎｓ ｎＵ ｉ ｒｉｙ
ＶＯ１ ３ ｏ． １ ． ２Ｎ Ｊ ｎ． ２０ ａ ０８
２０ 年 １ ０８ 月
文 章 编 号 ： １ ０ —９ Ｘ （０ ８ １０ ６ —５ ０ ７７ １ ２ ０ ）０ —０ ５０
立 了证 券投 资组 合决策 系统 的期 望值 模型及 机会 约束规划模 型 ， 最后设计 了基 于随机模 拟的遗传算
法， 该方法有 效地解决 了证券投 资组 合模型的优化
问题 。 上述研 究的缺 陷在于仅 在风 险度量方法上 作 了改进 ，如采用方差 、绝对 离差、半离差 、Ｖ Ｒ Ａ 等度量风 险， 然而 未能提 出一个恰 当的风 险与收益 相 匹配 的 目标优 化 函数 ，而且 在模 型 的求 解算 法
晓虹和 曹军梅 （ ９ ９年 ）设计 出 了一个 比较理想 １９
的有效证券组合选取策 略， 并把遗传算法 （ ｎ ｔ Ｇｅｅｉ ｃ Ａ ｇ ｒｈ ｌｏｉ ｍ） 引入证券 组合理论 ，有效解决 了 Ｍａ ｔ — ｒｏ ｔ 模型 中协方差 矩阵不可逆时 的求解 问题 ０。 ｋ ｗｉ ｚ 庄新路 、庄新 田和黄 小原 （０ ３年 ）在二 目标有 ２０ 价证券选择基础 上，引入风险指标 Ｖ Ｒ，以收益 Ａ 率与风 险损 失为 目标 ，提 出新 的投 资组 合优化 模
证券投资组合优化问题的强健性的锥优化方法
Ｂ ｉ ａ ｑｎ ａ ｎ ｉ Ｙ
Ｓ ｕＸｕ ｎ ｕ ｈ ａｙ
Ｚ ａ ｇＨ ｎ ｊ ｈ ｎ ｏ ｇｉ ｅ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｄ ａ ｓ ｗｉｈ ｔ ｅ ｒ ｂ ｓ ｏ ｔ ｏ ｉ ｐ ｉ ｉａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｒ ｃ ｉ ａ ｅ ｅ ｌ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｐ ｒ ｆ ｌ ｏ ｔｍ ｚ ｔｏ ｒ ｂｌｍｓ Ｗｉｈ ｏ ｌ ｅ ｒ ｔ ａ ｓ ｃ ｉ ｎ ｃ ｓ ｓ Ｔｈ ｏ ｅ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｒ ｔ ｃ ｅ Ｃｏ ｄ ｔｏ ａ ｌ ｅ ａ ． ｉ ａ ｒ ｎ ａ ｔｏ ｏ ｔ ． ｎ ｅ ｍ ｄ ｌ ｉ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｗｏ ｓ ． ａ ｎ ｉｉ ｎ ｔ Ｖａ ｕ － ｔ ｓ
Ｒｉ ｆ ｓ ＣＶａ ｒｓ ａ ｕ ｅ ａ ｄ ｕｎ ｅｔ ｉｔ ｏ ｈ ｒｆｌ ｅｕ ｎ ｄ ｓｒｂｕ ｉｎ Ｗ ｌ ｋ Ｒ１ ｉｋ ｍｅ ｒ ｎ ｃ ｒａｎ ｙ ｆｒ ｔ ｅ ｐｏ ｔｏ ｉ ｒ ｔ ｒ ｉｔｉ ｔｏ ． ｓ ｏ ｅ
ｓ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｒ ｂ ｓ ｒ ｆ ｌ ｐｔｍ ｉａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓｗｉｈ ｂｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｎ ｌ ｐ ｏ ｄ ｌ ｈｏ ｔ ａ ｈ ｏ ｕ ｔｐｏ ｔｏ ｉ ｏ ｉ ｚ ｔｏ ｒ ｂｌｍ ｔ ｘ ｕ ｃ ｒ ａ ｎ ｙ ａ ｄ ｅｌ ｓ ｉ ａ ｏ ｉ ｕ ｃ ｒ ａ ｎ ｙ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ａ ｅｏ ｍ ｕ ａ ｅ ｓ ｌ ｅ ｒ ｐ ｏ ｒ ｍ ｍｉ ｇ ａ ｄ ｓ ｃ ｎ ｏ ｄ ｒｃ ｎ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｔ ｕ ｔ ｒ ｓ ｃ ｎ ｂｅ ｒ ｆ ｒ ｌ ｔ ｄ ａ ｎ ａ ｒ ｇ ａ ｉ ｎ ｎ ｅ ｏ ｄ． ｒ ｅ ｏ ｅ
Ｋｅ ｙｗ ｏ ｄｓ Ｏｐ ｒ ｔｏ ｓ ｒ ｓ ａ ｃ ｒ ｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ，ｗｏ ｓ － ａ ｅ ＣＶａ ｒｔｃ ｓ Ｒ，ｒ ｂ ｓ ｏ ｔｏ ｉ ｐ ｉ ｉａ ｉ ｎ， ｏ ｕ ｔ ｐ ｒ ｆ ｌ ｏ ｔｍ ｚ ｔ ｏ ｏ
证券投资组合计算模型研究
ｆｎｐ ｘＥ ｍ ＝ Ｘ ｉ２
。
ｘ为第 ｆ 证券 的投 资 比例 （ ｉ 种 即权重 ） 。 则按 照证券 投资 组合原 理 ，组合证 券投 资 舄 ●● ●● ， ● ●● ● ● ＼， 的总期望 收益和总， ●● ● ，●为 ： 风险分别 ●
、 、
上述 问题是 一个 二次规 划问题 。运 用非 线 性最优 化方法 （ ａ ｒｎ ｅ乘 数法 ）可求得其最 Ｌ ｇａｇ 优解 为 ：
维普资讯
重 庆 石油 高等 专科 学 校学 报 第 ４ 第 ３ 卷 期
（０ ２ ９月 出版 ） ２０ 年
２１
●－ 一
证 券 投 资 组 合 计 算 模 型 研 究
黎 彬
重 庆 ４ ０ ４ ００２
重庆 石油 高 等专 科 学校 基 础部
摘
要 ： 以证券 组合 的收 益 率及 其 方 差作 为证 券组 合 投资 收益 和风 险 的两 个 度量 指标 ，建 立 了证 券投 资 以只源自一 手股 的证券 。 且
Ｆ ＝（， Ａ ） １， １ １
ＲＰ
Ｒ＝（ ， ， 蜀 Ａ ）
＝
∑
Ｒ
Ａ Ａ ＝
１ Ａ
Ｂ
２ 证 券组合基 本模 型 ． ２
假定 投资者 已选定 ， １ 种有价证 券进行投 资 ， 设 ｆ １ ： ，… ，，为第 ｉ ＝ １ ） 种有 价证券 在持有期 内 的收益率 ，它是一个 随机变量 。令 Ｒ － （ｉ （ ， ￣ － ｒ 期望 收益率 ） Ｅ ） ＝Ｖ ｒｒ 方差） ａ（）（ ｉ 则 模型 １ 可用矩 阵形式表示 为 ：
证券 投 资 中最重 要 的两个 因素就 是投 资收
益 和投资 风险这两个 度量 指标 。投 资收益 可 以 用投 资收益 率来 描述 ，它反 映某一种 证券 的资 产变化 情况 。
均值—方差证券资产组合理论
均值—方差证券资产组合理论1. 简介均值—方差证券资产组合理论，也被称为马科维茨模型，是现代投资组合理论的基础。
该理论由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，并在1959年获得了诺贝尔经济学奖。
这一理论通过权衡资产组合的预期收益率和风险来寻找最佳的投资组合。
2. 理论原理均值—方差证券资产组合理论的核心原理在于风险与收益之间的平衡。
根据该理论，投资者可以通过有效的资产配置，实现在给定风险水平下最大化投资组合的预期收益率。
具体来说，均值—方差模型在计算资产组合时，考虑了以下两个重要指标：2.1 均值均值指的是资产组合的预期收益率。
通过对各个资产的历史数据进行分析和估计，可以计算出每个资产的预期收益率，并据此求得资产组合的整体预期收益率。
2.2 方差方差表示资产组合的风险程度。
在均值—方差模型中，方差用于衡量资产之间的波动性和相关性。
如果两个资产的收益变动具有较高的相关度，那么它们之间的方差较小；反之，如果两个资产的收益变动独立或者相关度较低，那么它们之间的方差较大。
3. 资产组合优化基于均值—方差证券资产组合理论，投资者可以通过优化资产组合来实现风险与收益之间的最佳平衡。
具体的资产组合优化包括以下几个步骤：3.1 数据准备在优化资产组合之前，首先需要收集并整理相关的数据。
这些数据包括各个资产的历史收益率、期望收益率以及方差。
通常，投资者可以通过金融数据提供商或者证券公司获取这些数据。
3.2 风险-收益曲线通过对各个资产的历史数据进行分析和计算，可以得到不同投资组合的风险和收益指标。
在优化资产组合之前，投资者可以绘制出风险-收益曲线，以便直观地了解不同投资组合之间的收益和风险的关系。
3.3 最优组合根据风险-收益曲线，可以找到在给定风险水平下具有最高预期收益率的投资组合。
这个投资组合被称为最优组合，也是均值—方差模型的核心输出。
3.4 边际效益在确定最优组合后，投资者可以通过计算边际效益来衡量每个资产对投资组合的贡献。
几类投资组合优化模型及其算法
几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化是金融领域研究的热点之一，它旨在通过合理的资产配置，最大化投资回报并控制风险。
在过去的几十年里，学者们提出了许多不同的模型和算法来解决这个问题。
本文将介绍几类常见的投资组合优化模型及其算法，并讨论它们在实际应用中的优缺点。
一、均值-方差模型及其算法均值-方差模型是最早也是最常见的投资组合优化模型之一。
它假设市场上所有证券的收益率服从正态分布，并通过计算每个证券预期收益率和方差来构建一个有效前沿。
然后，通过调整不同证券之间的权重来选择最佳投资组合。
常用于求解均值-方差模型问题的算法包括马尔科夫蒙特卡洛方法、梯度下降法和遗传算法等。
马尔科夫蒙特卡洛方法通过随机生成大量投资组合并计算它们对应收益和风险来找到有效前沿上最佳点。
梯度下降法则通过迭代调整权重，使得投资组合的风险最小化，同时收益最大化。
遗传算法则通过模拟生物进化的过程，不断迭代生成新的投资组合，直到找到最优解。
然而，均值-方差模型存在一些缺点。
首先，它假设收益率服从正态分布，在实际市场中往往不成立。
其次，它忽略了投资者的风险偏好和预期收益率的不确定性。
因此，在实际应用中需要对模型进行改进。
二、风险价值模型及其算法风险价值模型是一种基于风险度量和损失分布函数的投资组合优化模型。
它通过将损失分布函数与预期收益率进行权衡来选择最佳投资组合。
常用于求解风险价值模型问题的算法包括蒙特卡洛模拟、条件值-at- risk方法和极大似然估计等。
蒙特卡洛方法通过随机生成大量损失分布并计算对应的条件值-at- risk来找到最佳点。
条件值-at-risk方法则是直接计算给定置信水平下对应的损失阈值，并选择使得风险最小化的投资组合。
极大似然估计则是通过对损失分布的参数进行估计，找到最符合实际数据的投资组合。
风险价值模型相比均值-方差模型具有更好的鲁棒性，能够更好地应对极端事件。
然而，它也存在一些问题。
首先，它需要对损失分布进行假设，而实际中往往很难准确估计。
投资组合优化模型及其实证研究
投资组合优化模型及其实证研究投资组合是指从多种投资品种中选择一定的比例进行投资的过程。
投资组合优化模型是指通过某种方式计算出最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目的。
本文将就投资组合优化模型及其实证研究展开阐述。
一、投资组合优化模型1.1 基本概念投资组合优化模型是利用数学方法，以最大化收益或最小化风险为目标，通过计算股票、债券、黄金等不同资产的相关性、预期收益率、风险、流动性等指标，制定最佳投资组合方案。
其目的是在各种不确定性因素中，在最小风险的前提下获得最大收益。
1.2 常见方法目前常用的投资组合优化方法有均值方差分析法、Markowitz模型、Black-Litterman模型、最大化效用函数模型等。
其中，Markowitz模型最具代表性和广泛使用。
1.3 Markowitz模型Markowitz模型，也称为均值方差分析模型，是现代投资组合理论的基础。
该模型主要考虑投资组合的预期收益和风险，通过计算不同证券之间的相关性确定最理想的投资权重。
具体计算方法如下：首先计算各个证券的预期收益率和方差，然后计算该证券与其他证券之间的协方差，进而计算出不同组合的预期收益率和方差。
最后通过对不同组合的收益方差关系进行优化，确定最优投资组合。
二、实证研究2.1 数据来源本文采用的数据来自国内外的股票、债券、黄金等资产市场数据，以及相应的基金、指数等投资产品数据。
2.2 研究方法本文采用Markowitz模型，通过计算各种投资产品的预期收益率、方差、协方差等风险指标，确定最优投资组合。
2.3 结果分析实证研究结果显示，在所有标的物中，黄金是一个比较安全的资产，但收益率不高且波动性较大。
债券的收益率相对稳定，但波动性低于股票。
股票收益率高，但波动性也相对较大。
在多元组合分析中，投资者可以通过调整不同资产的比重来降低整个投资组合的风险，提高收益率。
例如，当股票市场不稳定时，可以增加债券和黄金的比例，以稳定投资组合。
带交易费用的证券组合投资的模糊多目标优化模型
期望 益和 分 收 风险 别为Ｅｒ ＝Ｌ Ｅ ， ＝２２ （） Ｏ＋ （ 』 Ｊ ） ； ＋∑ ２ ， ＝∑ Ｏ． ＝∑ 卢 为 其中 ｔ ｉ， ０ ） 证
券组合的 系数． 在现实的证券市场中 ， 由于诸多因素影响 ， 某证券 的预期收益与风险损失率难以精确得 到， 故采用模糊 数 来刻 画某证券 的 预期 收益 与风 险损 失率 ， 显得更 为合理 与实 际． 则 文献 ［ ］ 论 了系 数 为 常系 数 的带 交 易 １讨 费用的多目标规划问题． 献 ［ ］ ： 史 ２ 提出了一种 目 函数系数为模糊数 的多 目标模糊规划 ， 给出了求其模糊 标 并 最优解的方法． 文献 ［ ］ ３ 讨论了 目标函数中的 系数和约束 系数为模糊数的多 目标模糊规划 问题 ， 并给出了
ｗｉ ｒ ｎ ｔ ｎ Ｃ ｓｓ ｔ ｆａ ｓ ｃｉ ｏ ｔ ｈ ａ ｏ
ＨｅＳ ｕ ｏ ｇ Ｌ ｉｏ ｉ Ｍａ ｕ ｎａ ｇ ｈ ｈ ｎ ｅ Ｘ ａ ｍｅ ｏＪ ａ ｆｎ
（ ｃ ｏｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓａ ｄＳａ ｓｃ ， ｕ ｎ ｎＵ ｉ ｒｉ ， ｕ ｍｉｇ６ ０ ９ ， ｈｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ ｈｍａ ｃ ｎ ｔ ｉ ｉ Ｙ ｎ ａ ｎｖ ｓｙ Ｋ ｎ ｎ ５ ０ Ｃ ｉａ Ｍａ ｉ ｔｔｓ ｅ ｔ １
风险的模糊多 目标规划模型 ． 在此模型 中， 考虑到证 券投 资的预期 收益和风 险的模糊性 ， 目标 函数 和约束 系数均 作 为模 糊 把 数处理 ， 并给出了模型的求解方法和 问题 的一 个算例 ． 关键词 证券组合投资 ； 交易 费用 ； 糊数 ； 模 模糊 多 目标规划
【 中图分类号】 ８０ Ｆ３
ｒ ＝ ｃ ＋ ｒ ＋ 占 Ｙ
式中 为证券 ｉ 的 系数； ｍ ｒ 为市场证券组合 的收益率 ； 占 为随机变量 ， 它表示随机 因素对单个证券收益 的影响 ， 。 Ｅ（ｍ． ０ 且不 同的证 券随机 误差 不相关 ， ＣＶ占， ０ ≠ ） 在 此情 形 下 ， 券 组合 的 如 ＝ ｒｅ）＝ ， 即 Ｏ（ 占）＝ （ ． 证
基于遗传算法的证券投资组合模型的优化及最优解的测定
能小 的风 险， 而随着收益的增加 ， 证券 的风 险也随之增加 。如何在一定 的风 险水平下 ， 使 证券投 资者获取尽可能高的收益 ， 或者在一定 的收益 水平下 ， 使证 券投 资的风险尽可能小 ， 最明智 的方法 就是把 资金分散投 资在若干 种证券上 ， 构成 投资组合 。如何 确定一种 最适合 的投资组 合， 这便是现代投资组合理论研究的内容。 近年 来， 我国投 资企 业各项 工作取得 了显著 成绩 。但是 ， 由于我 国 投 资业起 步较晚 ， 投资发展较慢 ， 投资技术的落后 制约了我国投 资业 的 发展 ， 严重影响了我 国投资公司的竞争力。在 目前的市场经 济条件下 ， 在投 资业 １ ３益对外开放的环境中 ， 如何 进一步发展我国投资业 务， 提高 投 资效益 ， 是一个迫切需要研究 的课题。
科技信启
基于遗传算法的证券投姿组合旗型硇优化及最优髓晌测定
东华 欠学电工 电子 中心 赵 曙光 东华 大 学信 息 学院 刘 音
［ 摘 要］ 本文基 于遗传算 法， 建 立多 目 标算法的基金投资组合模型 ， 首先要对投 资的 资产进行分析 ， 分析资产产生风险的因素 ， 通过 因素分析 来提取指标 ， 利 用聚类分析的方法对指标进行 筛选 ， 建立股票资产风险指标体 系， 建立指 标的权 重集， 客观地分析各指标对 资产产 生风险的影响程度 ， 建立隶属度 矩阵， 通过隶属度的值 来判断 资产的类别。在 遗传 算法求解投资组合模型的过程 中， 首 先是 建立目 标 函数模 型， 将目 标 函数模 型作 为遗传操作的评估准 则． ． 和现有的 目 标函数模型相比有很 多改进 ， 现 有的投 资模型 中采用了 统计 学中的二次规划模型 ， 只将风 险最小， 或者收益最大作 为评价的 目标 函数 ， 基 于遗 传算法的投资组合模型用风系 数 的 最 优 解Ｉ
VaR约束下的投资组合优化模型
因 为 线 性 方 程 组 （Ｏ 的秩 是 ｎ ２ 所 以 它 的 基 础 解 系 的 个 数 是 １ 用 ｘ １） 一， ， 。
分别表示 Ｘ， ， ｘ 代ｆ （１ ， ２ ３ Ａ， Ｘ ｌ １） 就求 出 ｘ 就可得 到相应 ｘ ， ｘ 的 ￣ 式 。 ２ Ａ， ｎ
值。 因为 Ｘ 有两个根 ， 因此有 两组 解 ， 它们分别是点 Ａ和点 Ｂ处的权重 。 这
段 Ｏ Ａ。
策 大都是在 马柯维茨证券 组合理论 的框架或 基本思想下展 开的 ，不同的 只是收益和风险 的描 述不同。由于当前 Ｖ Ｒ在风 险测量 、 ａ 风险限额设定和
绩 效评估 中的广泛应用 ，因此在 马柯 维茨证券 组合理论 的框架下 ，基 于 Ｖａ Ｒ的投资决策 具有重要 的实用价值 。 由于约 束条件 的复杂性 ，传 统的
三 、 型 的几 何 求 解 方 法 模
Ｌ ｇｎｒ 乘子法无 法求解该模 型。为此 ， ａａｅ ｅ ｇ 我们给 出了一 种几何求解 方法 ，
研 究了在引入 Ｖ Ｒ的约束 条件下的最优投资组合 的确定问题 。 ａ
由图 １ 可知 ， Ｒ约束 的最优投资组合确 定时 ， Ｖａ 只需 求 出点 Ａ和 Ｏ处 的权重 即可 。在 这里我们用几何方 法来解决此 问题 。
可分别求 出 ０点的投资权重及投 资回报率 。 于是可 以得 到 Ｖ Ｒ约束 下投资组合 的选择 范围 ： ａ
≤ Ｒ Ｒ＾ ≤ ６ ≤ ６ Ａｏ ≤ ，６ ２
其 中， ・是标准正态分 布的分布函数 。 中（ ）
。
联 立（Ｏ式和（） ， １） ７式 就可在 临界线上求得投资组合最 优权 重 ， 该权重下
在正态分布 下 ，４ 式可化 为 ： （）
投资组合优化模型的一个序列凸近似算法
投资组合优化模型的一个序列凸近似算法李卫国;张宏伟;梁锡军【摘要】以CVaR为代表的凸优化投资组合模型近年来引起了广泛研究.为克服传统投资组合模型中凸近似的不足,提出了一个投资组合的DC规划模型.该模型用一个DC函数替代了CVaR模型中的凸近似函数,同时要求所有约束条件在概率意义下成立.进一步地,提出了一个序列凸近似(SCA)算法用于求解DC规划问题,并运用Monte-Carlo方法来实现SCA算法.初步的实验结果表明,因子收益服从"尖峰厚尾"分布时,模型的目标函数值优于采用CVaR近似的目标函数值.%CVaR has drawn extensive attentions as a representative convex optimization portfolio model in recent years.To overcome the limits of convex approximations in traditional portfolio models,a DC programming model for portfolio is proposed.In the proposed programming model,a DC function is used as a surrogate for the convex approximation function in the CVaR model.All the constraints are satisfied in the probabilistic sense in the DC programming problem.Moreover,a sequential convex approximation (SCA)algorithm is designed to solve the DC programming problem. The SCA algorithm is implemented by employing Monte-Carlo method.Preliminary experimental results have shown that the obj ective function values of the DC programming are better than those with CVaR approximation when the income factors sati sfy″high peak and fat tail″distributions.【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2017(057)003【总页数】6页(P321-326)【关键词】投资组合;序列凸近似;凸优化;Monte-Carlo方法【作者】李卫国;张宏伟;梁锡军【作者单位】大连理工大学数学科学学院,辽宁大连 116024;辽宁地质工程职业学院,辽宁丹东 118303;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连 116024;中国石油大学(华东)理学院,山东青岛 266580【正文语种】中文【中图分类】O224投资组合是指投资者根据其风险喜好在众多的有价证券中对风险投入进行最优投资分配．投资组合选择问题最早由Markowitz[1]作为一个最优化问题提出．他用随机收益率的均值来衡量预期收益的好坏，用随机收益率的方差衡量风险的大小．Markowitz的均值-方差模型在现代投资理论中堪称经典，并且始终在改进．例如文献[2]对这些模型作了一个系统的总结．只有当证券收益率服从正态分布或者投资者是风险厌恶型时，均值-方差模型才是有效的．但由于计算的复杂性，在投资数额较大的优化问题中模型的使用率并不高．本文试图改进这一模型，研究不同的预期收益或风险衡量标准，使得模型更符合实际，更好地为投资者决策提供参考．投资者经常会遇到投资项目的组合决策问题，要考虑的因素有收益率、风险、增长潜力等条件，希望该资产投资波动越小越好，并进行权衡考虑获得一个最佳的投资方案．在投资组合的优化研究过程中，本文试图在传统的保守近似优化模型的基础上，克服指示函数I(0，+∞)(z)在近似估计中的不足．通过引入风险度量的DC(difference of two convex functions)近似，给出一个投资组合的DC规划模型，并提出一个序列凸近似(sequential convex approximation，SCA)算法来进行求解，用一个严格凸二次函数来近似目标函数中的光滑函数，用线性函数近似所有DC函数的第二个凸函数，得到搜索方向的一系列的凸优化问题．考虑如下问题：对n个资产投资以获取最大收益．记x=(x1 x2 … xn)T为n个资产的投资比例令x∈X∶=Rn．各资产的收益r=(r1 r2 … rn)T为随机向量，假定其满足如下关系：式中：μ为资产收益的均值，；V为因子荷载矩阵，VT=(V1 V2 … Vn)；ξ为因子收益，ξ=(ξ1 ξ2 … ξn)T服从F分布(尖峰厚尾)；ε～N(0，D)，D为对称半正定矩阵，ε为白噪声．极大化所研究资产的平均收益：其约束条件被称为决策风险[3]，用来描述，其中1=(1 1 … 1)T∈Rn，β∈(0，1)是一个较小的数，a>0是保守收益的一个估计．同时希望该资产的投资波动越小越好．采用var(rTx)=xTDx，作为投资波动的度量．考虑如下模型：max E[rTx]=μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs. t. Prob{-(μTx+xTVTξ)≤-a}≥1-β1Tx=1，x≥0其中γ>0是参数．考虑模型(1)中的概率约束，令p(x)=1-Prob{-(μTx+xTVTξ)+a≤0}= Prob{-(μTx+xTVTξ)+a≥0}则约束条件其中这里IA(·)表示集合A上的指示函数：在Rockafellar等[4]提出的CVaR近似中，用近似I(0，+∞)(z)，其中z>0，[z]+=max{z，0}．Nemirovski等[5]曾经指出在所有的凸的保守近似中，CVaR被公认为是最出色的．但是，ψ(z，t) 对于指示函数I(0，+∞)(z)不是一个好的近似，因为在z>0且z较大时，两个函数差异较大．为寻求一个更好的近似，令由于ψ(z，t)和φ(z，t)都是z的凸函数，π(z，t)是一个关于z的DC函数．函数π(z，t)仅在区间(-t，0)与指示函数有差异，在其余的区间与指示函数完全吻合．可见，DC函数π(z，t)是指示函数的一个更好的近似，如图1所示．令g1(x，t)=E[μTx+xTVTξ-a+t]+ g2(x)=g1(x，0) p＾(x，t)=当t>0时，p＾(x，t)是p(x)的一个保守DC近似．令，则p＾(x，t)≤β ⟹因此，是p＾(x，t)所有近似中最好的保守近似．maxμTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t.1Tx=1，x≥0称模型(2)为模型(1)的DC近似[6]．约束条件可近似为≤β，即用下面的模型(3)近似模型(2)．max μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t. g1(x，t)-g2(x)≤βt 1Tx=1，x≥0记Ω(t)为模型(3)的可行域：Ω(t)∶={x∈X：g1(x，t)-g2(x)≤βt， 1Tx=1，x≥0}算法1是求解模型(3)的序列凸近似算法．算法1 序列凸近似(sequential convex approximation，SCA)算法SCA算法具体步骤如下：Step 1 选取x0∈Ω(t)，k=0．Step 2 若xk是最优解，算法终止．Step 3 用Monte-Carlo方法[6]求解下列凸规划问题：max μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t. g1(x，t)-[g2(xk)+〈g2(xk)，x-xk〉]≤βt 1Tx=1，x≥0得最优解xk+1．Step 4 k∶=k+1，转Step 2．2.1 凸规划问题(4)的求解依照前面的记号c(x，ξ)=μTx+xTVTξ-a g1(x，t)=E[c(x，ξ)+t]+= E[I[0，+∞)(c(x，ξ)+t)]g2(x，t)=g1(x，0)另外，记h(x)为问题(4)的目标函数：则有令则记ξ1，ξ2，…，ξn为随机变量ξ的独立同分布的样本点．对g(x)的一个自然的估计是对E(ξ)的估计是．建议求解s.t. 1Tx=1，x≥02.2 g(x)的近似为了在n较大时有效地求解问题(4)，给出下面的方法：由式(5)、(6)及文献[7]引理2知，则g(x)可以近似为当n较大时，用g(x)作为g(x)的近似，并直接用基于梯度[8]的方法求解问题(4)．该方法可以视为用近似的g(x)、g(x)及E(ξ)直接求解问题(4)．当采用基于梯度的方法求解问题(4)时，样本点仅用于计算(x)和g(x)的值．所需的计算量是O(n)．这是求解问题(4)的一种较快的方法．2.3 初始点的选取为执行SCA算法，需要选取初始点x0∈Ω(t)，给出两种选取办法．第一种，记注意到，g2(x)=E[μTx+xTVTξ-a]+≥0，∀x∈X．故Ω0(t)⊆Ω(t)．另外，由于g1(x，t)是关于x的凸函数，故Ω0(t)是凸集合．于是，是凸规划．令xε=arg min{h(x)：x∈Ω0(t)}，则xε∈Ω(t)．第二种，令ΩCVaR={x∈X：CVaR1-βc(x，ξ)≤0}．依据前面的讨论，令xCVaR∈arg min{h(x)：x∈ΩCVaR，1Tx=1，x≥0}，即Rockafellar和Uryasev 给出的CVaR近似的最优解．令t*=q1-β(c(xCVaR，ξ))，即c(xCVaR，ξ)的1-β分位数．由文献[9]，t*>0且于是，xCVaR∈{x∈X：g1(x，t*)≤t*β}．由于g2(x)≥0，故xCVaR∈{x∈X：g1(x，t*)-g2(x)≤t*β}=Ω(t*)．对于任意t∈(0，t*]，Ω(t*)⊆Ω(t)．因此，xCVaR∈Ω(t)，0<t≤t*．可以首先求解CVaR近似问题得到xCVaR，然后选取t∈(0，t*]，则xCVaR可以用作SCA算法的初始点．若使用x0=xCVaR，则SCA 算法产生的迭代点列{xk}将改进或至少等价于CVaR近似解．(1)CVaR近似解的计算xCVaR=arg min{h(x)：CVaR1-βc(x，ξ)≤0，1Tx=1，x≥0}(2)CVaR分位数的计算记L是一随机损失，FL(y)=Prob{L≤y}是L的累积分布函数．对于任意α∈(0，1)，则损失L的α-VaR定义为定义为由文献[10]知道令L1，L2，…，Ln是损失L的n个独立同分布的观测，则L的α-VaR可以估计为其中是排序后的n个观测中的第i个观测．L的α-CVaR可以估计为(3)CVaR分位数的梯度估计假设随机损失L是参数θ的函数，记为L(θ)．L(θ)关于θ可微．对任意的θ，设vα(θ)、cα(θ) 是L(θ)的α-VaR和α-CVaR，0<α<1，它们都是θ的函数．依据文献[10]定理3.1，在适当的条件下，对于任意的θ，记(L1，D1)，(L2，D2)，…，(Ln，Dn)为(L(θ)，L′(θ))的n个独立同分布的观测．提出c′α(θ)的估计：采用下面的数据进行测试：各资产的平均收益μ=(1.0 1.2 1.4 1.6 1.8)T，期望收益a=1.5，因子荷载矩阵方差-协方差矩阵实验测试ξ=(ξ1 ξ2 … ξp)T服从如下两种分布的情形．(1)ξ服从F分布：ξi～F(i+2，i+4)，i=1，2,…，p；(2)ξ服从正态分布：ξi～N(πi，ρi2)，i=1，2,…，p，为了比对两种情形，取均值πi、方差ρi2与情形(1)中相应的F分布的均值和方差相同．序列凸近似算法的参数设为γ=1.0，β=0.05，t=0.01．算法在Matlab 2012a平台下编程实现，在Intel Core i7-4770 CPU 3.40 GHz，8 GB RAM计算机上执行．实验分别测试了-近似解和CVaR近似得到的解作为SCA算法的初始点．随机变量ξ的抽样次数为1.0×105．图2中给出了目标函数值f随迭代次数k的变化，ξ分别服从F分布和正态分布．可以看出，无论ξ服从F分布还是正态分布，CVaR初始点处的目标函数值大于-近似解处的目标函数值，并且在两种不同的初始点下，目标函数值随迭代次数的增加而增加，最终近乎收敛于共同的函数值．ξ服从F分布时(图2(a))，算法改进了-近似的目标函数值(1.605 6)和CVaR近似的目标函数值(1.608 0)：算法收敛时的目标函数值为1.621 2．两种初始点计算出的最优解皆为x*=(0 0 0.171 2 0 0.828 8)T．可见模型选择了第3个和第5个资产进行资产配置．ξ服从正态分布时(图2(b))，算法改进了-近似的目标函数值(1.618 2)和CVaR近似的目标函数值(1.618 3)：算法收敛时的目标函数值为1.618 7．两种初始点计算出的最优解皆为x*=(0 0 0.203 8 0 0.796 2)T．可见模型仍选择了第3个和第5个资产进行资产配置，但资产配置比例与ξ服从F分布时的情形有差别．为测试抽样规模的影响，实验比较了不同抽样规模下的目标函数值以及计算时间(单位：s)，如图3所示(ξ服从F分布)．在每个抽样规模下，进行了100次重复实验，目标函数值和计算时间取其平均值，图中画出了其标准差(每个柱线段的长度是相应标准差的2倍)．由图3(a)可以看出，目标函数值的标准差在抽样规模N大于0.5×105时趋于稳定(标准差小于1.0×10-3)；图3(b)显示，计算时间随抽样规模的增长而增加．ξ服从正态分布时有类似的规律，见图4．本文考虑因子收益ξ服从“尖峰厚尾”分布的情形，例如F分布，用DC函数来近似概率约束中的指示函数，将资产投资组合问题建模为一个DC规划，并提出了求解该DC规划的序列凸近似(SCA)算法．该算法通过迭代求解一系列凸二次规划问题，来计算原问题最优解．通过所提出的梯度近似计算方法，减少了算法的计算量．初步的数值实验结果表明，所提出的模型及SCA算法是有效的．因子收益ξ服从F分布时，目标函数值优于采用CVaR近似的目标函数值．【相关文献】[1] MARKOWITZ H M. Portfolio selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7(1):77-91.[2] MITRA G, KYRIAKIS T, LUCAS C, et al. A review of portfolio planning:models and systems [J]. Advances in Portfolio Construction and Implementation, 2003, 26(1):1-39. [3] GOLDFARB D, IYENGAR G. Robust portfolio selection problems [J]. Mathematics of Operations Research, 2003, 28(1):1-38.[4] ROCKAFELLAR R T, URYASEV S. Optimization of conditional value-at-risk [J]. Journalof Risk, 2000, 2(3):21-40.[5] NEMIROVSKI A, SHAPIRO A. Convex approximations of chance constrained programms [J]. SIAM Journal on Optimization, 2006, 17(4):969-996.[6] HONG L J, YANG Yi, ZHANG Liwei. Sequential convex approximations to joint chance constrained programms: a Monte Carlo approach [J]. Operations Research, 2011,59(3):617-630.[7] GLASSERMAN P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering [M]. New York:Springer, 2004.[8] FREUND R M. Subgradient optimization, generalized programming, and nonconvex duality [R]. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 2004.[9] PFLUG G C. Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk [M] // Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications. New York: Springer US, 2000:272-281.[10] HONG L J, LIU Guangwu. Simulating sensitivities of conditional value-at-risk [J]. Management Science, 2009, 55(2):281-293.。