证 券投资组合最优化模型
毕 业 论 文
题 目： 证券投资组合最优化模型
学 院： 数理学院
专 业： 数学与应用数学（金融方向）
姓 名： 申圣
学 号： 131412135
指导老师： 赵许培
完成时间： 2016.5.10
2 / 2 摘 要
随着改革开放的进一步加深，中国人民的生活水平进一步的提高，1984年中国发行第一只股票以来中国人民才开始逐步有了投资意识。中国股市用了不到30年的时间走完了西方国家的200年的历史，中国股市虽然发展如此迅速但是伴随着种种问题的出现。投资者理性分析投资市场的少，很多人盲目投资，单单依靠所谓内幕小道的消息等方法已经不能满足对投资的需要，人们渐渐意识到了组合化的投资是未来投资的方向。所以在和数学有关的金融学当中，建立数学模型是研究最优组合投资方法当中的一个很好的策略，数学模型应运而生。
数学模型可以通俗的说成是数学在其他领域当中的应用，所以说证券投资最优化的模型就是在进行股票基金债券进行商业投资过程中所建立的一个使投资收益最大化的数学模型，本文首先简单介绍马柯威茨（markowitz）模型，并且研究了此模型的不足之处，引入偏好系数建立了自己的投资组合最优化数学模型。运用自己所学的《最优化方法》上面的外点罚函数法对此模型进行求解。最后进行实证性分析，得出组合最优化数学模型具有解决实际问题的可行性。
关键词：马柯维茨模型；组合最优化数学模型；共轭梯度；外点惩罚函数；
2 / 2 Abstract
With the further deepening of reform and opening up, Chinese people's living
standards further improved, in 1984 China issued the first stock since the Chinese
people began to gradually have the consciousness of the investment. China's stock
market has taken less than 30 years covered 200 years of history in the west, China's
stock market although such rapid development with the advent of the problems.
Investors less rational analysis of the investment market, a lot of people blind
investment, only rely on methods such as the so-called insider gossip news already
cannot satisfy the need for investment, people gradually realized the combination of
the investment will be the future direction. So in finance related to mathematics,
mathematical model is to study the optimal portfolio investment methods of a good
strategy, mathematical model arises at the historic moment.Mathematical model
can be popular as the application of mathematics in other areas, so that securities
investment optimization model is in stock fund, bond business investment in the
process of the established a mathematical model to maximize return on investment,
this paper introduces the Ma Kewei, markowitz model, and the deficiency of this
model is studied, and the introduction of preference coefficient of his portfolio
optimization mathematical model is established. Used his knowledge of the
optimization method of above point penalty function method for solving of this
model. Through the empirical analysis, the final combination optimization
mathematical model with the feasibility of solving practical problems.
Key words:Markowitz model;Combinatorial optimization mathematical model;
Conjugate gradient method;Penalty function method;
2 / 2 目 录
引 言 ................................................................................................................................................. 1
1 马柯威茨模型简介 ........................................................................................................................ 3
1.1 数学描述马柯威茨模型 ................................................................................................... 3
1.2 组合最优化数学模型 ....................................................................................................... 4
2 求解组合最优化模型 .................................................................................................................... 6
2.1 惩罚函数简介.................................................................................................................... 6
2.2 运用外点罚函数求解 ........................................................................................................ 6
2.3 共轭梯度法简介及步骤 .................................................................................................... 7
2.4 参考共轭梯度求解模型 .................................................................................................. 11
3 实证分析 ...................................................................................................................................... 14
致 谢 ............................................................................................................................................... 18
参考文献......................................................................................................................................... 19
附 录 ............................................................................................................................................... 20
如何用Excel的规划求解功能实现一个投资组合在均值-方差法下的最优化？
如何⽤Excel的规划求解功能实现⼀个投资组合在均值-⽅差法下的最优化？
⽂中的计算⽅法参考了Samir Khan的“Mean-Variance Optimization with Transaction Costs”。
⼀般来讲，⼀个投资组合中各项资产的价格变动特征是不⼀样的，⽐如有的资产价格波动率很
⾼，但有可能带来更⾼的回报；⽽其他的资产会在⼤盘下跌之时反⽽上涨。在构建投资组合时
通过精⼼挑选具有不同价格波动特点的资产，就可以在确保收益最⼤化的同时实现投资组合的
风险最⼩化，⽽均值-⽅差法就可以实现这⼀点。
均值-⽅差法是⼀种⽐较传统的优化投资组合的做法，来源于美国经济学家、1990年诺贝尔经济
学奖获得者Harry Markowitz于1950年代创⽴的基于均值-⽅差模型现代组合投资理论。
均值-⽅差模型的理论是解决投资者如何从所有可能的证券组合中选择⼀个最优组合的问题。投
资者的决策⽬标通常有两个：尽可能⾼的收益率和尽可能低的不确定性风险。即先确⽴⼀个⽬
标收益率，然后确定各项资产在投资组合中的权重，使整个投资组合的风险值即整个组合的价
格波动的⽅差值最低，最终使这两个相互制约的⽬标达到最佳平衡。
本⽂的主题就是探讨如何⽤Excel的规划求解功能实现⼀个由四只股票构成的投资组合在均值-⽅
差法下的最优化，即价格波动风险最低，回报率最⾼。由于在对现有投资组合中各项资产的⽐
率进⾏调整时交易成本会成为⼀个很⼤的影响组合回报率的因素，因此为贴近实际操作，⽂中
的案例考虑到了交易成本，并将资产权重每变动1%的交易成本设定为0.1%；四只股票的初始权
重均为25%，投资组合的⽉度预期回报率为1%。
1、按以下格式设置Excel表格
2、通过雅虎财经⽹站下载美孚⽯油公司XOM、卡特彼勒公司CAT、可⼝可乐公司KO和波⾳公
司BA在2018年2⽉1⽇⾄2019年2⽉1⽇这1年间的⽉度收盘价。
3、⽤LN()函数计算4只股票的⽉度回报率，（）内为⽉度收盘价所在的单元格
投资组合优化与风险分析
投资组合优化与风险分析
一、投资组合优化
投资组合优化是指在风险可控的情况下，通过不同的投资组合策略来获得最大化的收益。在股票、债券、基金等投资领域，通过构建多样化的投资组合，可以有效地降低投资风险，提高预期收益。
1.1、投资组合构建
对于不同的投资者，其所能承受的风险和追求的收益水平是不同的。投资组合的构建需要根据投资者的风险偏好和收益要求来确定。当确定了投资者的风险偏好和收益要求后，可以选择不同的投资品种和比例进行投资组合构建。投资品种的选择需要根据投资者的风险承受能力、收益要求以及宏观经济环境、行业状况、公司财务状况等因素进行综合考虑。
1.2、有效边界理论
有效边界理论是现代投资组合理论的基础，认为投资者在不同的投资组合中可以获得预期的收益和风险。同时，有效边界理论认为通过有效的投资组合构建，可以获得最小的风险和最大的收益。因此，在构建投资组合时，需要确定有效边界投资组合的线性规划模型，以确定最优解。
1.3、投资组合重构 投资组合随着市场变化和投资者的风险偏好和收益要求的变化而变化。因此，在投资组合管理过程中，需要对投资组合进行定期的重构，以保持优秀的投资组合品质。对于重构的投资组合，需要对其风险和收益进行重新分析和评估，并进行相应的优化调整。
二、风险分析
投资组合优化的核心问题是如何控制风险。投资者面临的风险主要包括市场风险、信用风险、涨跌幅限制等。因此，需要对各种风险因素进行风险分析和风险控制，以保证投资组合的安全性和稳健性。
2.1、市场风险
市场风险是指由宏观经济、政治、社会等方面因素的变化所导致的投资收益波动风险。市场风险是投资组合中最为重要的风险之一，需要通过投资组合的多元化、资产配置以及复杂性控制等手段进行管控。
2.2、信用风险
信用风险是指在交易过程中，因为交易对手违约或者不能够按期偿付等原因导致的投资收益波动风险。对于不同的信用等级信贷债务，需要进行相应的风险控制和信用评估。同时，在投资组合的构建和重构过程中，需要对信贷债务的市场、行业、企业等方面进行多维度综合考虑。
证券投资组合研究
本科生实践教学活动周实践教学成果
成果形式： 论文
成果名称： 证券投资组合模型研究
学生姓名： 1
目录
一类证券投资组合模型研究 ................................ 2
序言 .................................................... 1
一、证券投资组合模型的发展现状 .......................... 1
二、证券投资组合理论概述 ................................ 3
三、CEVaR风险度量的理论建构 ............................. 3
（一）证券投资组合中熵风险度量的引入 ................... 3
（二）证券投资组合的 CVaR 风险度量的引入 ............... 4
（三）CEVaR 风险度量方法的提出 ......................... 5
四、CEVaR模型在证券投资组合中的实证研究 ................. 5
（一）证券投资组合的CEVaR模型 ......................... 5
（二）数据的选取与处理 ................................. 6
结论 ................................................... 10
参考文献 ............................................... 11
2
一类证券投资组合模型研究
研究背景：证券市场是一个高风险市场。为了分散风险并获得最大收益，许多投资者将多种证券组合在一起进行投资，使得证券投资组合的研究成为金融界面临的重要课题之一。Markowitz 以证券收益率的方差作为组合证券风险的度量，开辟了金融定量分析的时代，在度量风险的基础上建立了组合投资决策模型。
金融工具投资组合的分析与优化
金融工具投资组合的分析与优化
随着时代的变迁，以往的储蓄已经不能完全满足我们的财务需求，金融工具的投资逐渐成为很多人的理财选择。而在金融工具投资中，投资组合分析和优化变得越来越重要。本文将介绍金融工具投资组合的分析与优化，帮助读者更好地理解投资组合的构建和管理。
一、投资组合的概念和分类
投资组合是指通过合理的配置不同金融工具而形成的一种综合投资方式，以达到风险降低、收益最大化的目的。投资组合可分为单一资产组合和多种资产组合。单一资产组合主要是指只投资某一种金融工具，如股票或基金等。多种资产组合则是指将不同类别的金融工具进行组合，如股票、债券、国债、黄金等。
二、投资组合的风险和收益
在进行投资组合分析之前，必须了解风险和收益两个概念的定义。风险是指投资在某种金融工具中可能面临的损失，收益则是指投资所能获得的利润。
在进行投资组合分析时，需要综合考虑不同资产的风险和收益。投资组合的收益可以用权益收益率、平均收益率和组合收益率等指标来表示。在进行投资组合分析时，还需综合考虑组合整体风险。 三、投资组合分析方法
1.均值-方差法
均值-方差法是一种将风险和收益考虑在内的投资组合分析方法。该方法基于风险与收益的平衡，追求在同一风险水平下最大化组合的收益。均值-方差法将投资组合分析转化为一个线性规划问题，通过求解该问题，可以得到有效前沿，即在给定风险水平下所有可能的最大收益。
2.最小方差法
最小方差法是一种强调风险最小化的投资组合分析方法。该方法认为风险是投资者最主要的关注点，因此投资组合的构建应该以最小化风险为目标。最小方差法通过寻找最优权重，使得投资组合的样本方差达到最小，从而实现风险最小化。
四、投资组合优化
投资组合优化是指根据投资者的目标和风险承受能力，构建出最佳的投资组合。投资者的目标可能涉及到年化收益率、资产分配比例、预期风险水平等多方面因素。
投资组合优化可以通过多种方式实现，比如基于均值-方差模型的组合优化、基于蒙特卡罗模型的组合优化、基于神经网络的组合优化等。不同的优化方式有其各自的应用场景和优缺点。 五、投资组合的管理
马克维茨均值-方差模型
马克维茨均值-方差模型
马克维茨均值方差模型（Markowitz MeanVariance Model）是投资组合理论中的一种经典模型，旨在求解投资组合中各个资产的权重，以达到最优的风险收益平衡。本文将一步一步回答与该模型相关的问题，并详细探讨其应用和局限性。
第一步：理解均值方差模型的基本概念
马克维茨均值方差模型的核心思想是基于投资者根据期望收益和风险偏好，通过构建有效前沿，选择最优的投资组合。其中，均值是指资产的期望收益，方差是指资产收益的波动程度。该模型假设投资者的决策基于"均值方差效用函数"，并将投资者的目标简化为寻找最大化投资收益或最小化投资风险的点。
第二步：计算资产预期收益率和协方差矩阵
在马克维茨均值方差模型中，首先需要计算各个资产的预期收益率和协方差矩阵。预期收益率可以通过历史数据或专业分析师的预测得出。协方差矩阵则衡量不同资产之间的相关性和波动性，反映了资产收益的联动程度。通过计算预期收益率和协方差矩阵，可以为后续的建模提供基础数据。
第三步：优化模型求解最优投资组合
在构建投资组合时，需要设定投资者的目标和约束条件。目标可以是最大化预期收益或最小化投资风险，约束条件可以包括资产权重的上下限、风险承受能力等。利用数学优化方法，如线性规划或二次规划，可以求解出最优投资组合，即在给定约束条件下最大化预期收益或最小化投资风险。
第四步：有效前沿和资产配置
通过改变投资组合中不同资产的权重，可以构建不同的投资组合。根据马克维茨均值方差模型，我们可以绘制出一个被称为"有效前沿"的曲线，表示在给定风险水平下，能够达到的预期收益的最优组合。有效前沿帮助投资者了解可行的投资组合，从中选择最佳的配置方案。
第五步：风险敞口和资产多样化
马克维茨均值方差模型强调了通过资产多样化来降低投资风险。投资者可以通过在投资组合中加入不同类型、不同行业、不同地域等各类资产，从而分散和平衡风险。此外，模型还提供了一种通过计算风险敞口的方法，帮助投资者理解自身的风险承受能力，并据此进行资产配置。
证券投资组合理论在我国的应用及其模型拓展
２００８年第１４期 总第３３期 经济研究导刊
ＥＣＯＮＯＭＩＣ ＲＥＳＥＡＲＣＨ ＧＵＩＤＥ Ｎｏ．１４，２００８ Ｓｅｒｉａｌ ＮｏＩ３３
证券投资组合理论在我国的应用及其模型拓展
颜竹梅 ，刘亦文 ，黄静寅ｔ
（１．湖南工业大学经济管理学院，湖南株洲４１２００８；２．湖南大学统计学院，长沙４１００７９）
摘要：Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的证券投资组合理论引发了２０世纪后半期金融学的第一次革命，为现代金融经济学的崛起
奠定了坚实的基础。然而该理论应用在我国这样一个新兴的证券市场却面临着不少问题，有必要对当前我国证券市
场的实际情况进行必要的剖析，对Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型做一些拓展。为了提高资本资产定价模型在我国证券市场的适用
性，Ｉ必须建立一个行之有效的证券市场。
关键词：证券投资组合理论；Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型；模型拓展；应用
中图分类号：Ｆ８３２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３—２９１Ｘ（２００８）１４—０１０４—０４
美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者Ｈａｒｒｙ．Ｍ．Ｍ
ａｒｋｏｗｉｔｚ于１９５２年在《金融杂志》Ｌ发表了题为《证券组合选
择》的论文，把证券组合风险和收益之间的替代关系数量化，
提出了均衡分析的理论与方法，建立了现代证券组合理论的
基本框架。这一理论的重要意义在于其实际可操作性。
Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ曾在其诺贝尔经济学奖授奖演讲词中说道：“我寻
求投资者们——至少有充分计算资源的投资者们事实上能
遵循的一组规则。所以，我认为在计算【 可行的一个近似方
法优于一个不能计算的精确方法。我相信这是肯尼思・阿罗
的不确定经济学著作与我的著作的分歧之点。他寻求 一个精
确的一般解，我寻求一个能实施的好近似法。我相信两条研
究路线都有价值。”现代资产组合珊论丰耍研究如何度量不
同的投资风险，组合投资收益与风险之问的关系，以及如何
选择资产以最大化组合收益等？
一、Ｈａｒｒｙ．Ｍ．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的证券投资组合理论
投资组合优化模型的一个序列凸近似算法
投资组合优化模型的一个序列凸近似算法
李卫国;张宏伟;梁锡军
【摘 要】以CVaR为代表的凸优化投资组合模型近年来引起了广泛研究.为克服传统投资组合模型中凸近似的不足,提出了一个投资组合的DC规划模型.该模型用一个DC函数替代了CVaR模型中的凸近似函数,同时要求所有约束条件在概率意义下成立.进一步地,提出了一个序列凸近似(SCA)算法用于求解DC规划问题,并运用Monte-Carlo方法来实现SCA算法.初步的实验结果表明,因子收益服从"尖峰厚尾"分布时,模型的目标函数值优于采用CVaR近似的目标函数值.%CVaR has drawn
extensive attentions as a representative convex optimization portfolio
model in recent years.To overcome the limits of convex approximations in
traditional portfolio models,a DC programming model for portfolio is
proposed.In the proposed programming model,a DC function is used as a
surrogate for the convex approximation function in the CVaR model.All the
constraints are satisfied in the probabilistic sense in the DC programming
problem.Moreover,a sequential convex approximation (SCA)algorithm is
designed to solve the DC programming problem. The SCA algorithm is
基于线性规划在证券投资组合模型中的应用
龙源期刊网
基于线性规划在证券投资组合模型中的应用
作者：杨静 冯乐乐 张庆 樊灿
来源：《山东青年》2014年第12期
摘要：证券投资组合是指投资者根据风险程度和收益情况下，参照以前的证券投资规律，选择一种低风险的投资策略。由此马科维茨的“均值-方差组合模型”则显得备受欢迎。然而，事实并非如此，“均值-方差组合模型”在计算上并不被人们认可，所以不能大范围的推广，在实际生活中的应用少之又少。为了解决这个问题，本文在分析了马科维茨模型后，提出了一种新的证券投资组合模型，即“基于线性规划的投资组合模型”。该模型通过建立与求解证券投资组合中风险最小化线性规划模型及收益最大化线性规划模型，以求寻找一种更加优化的证券投资组合，做出正确的投资策略。
关键词：线性规划;证券投资;马科维茨;收益;风险
一、绪论
1、文献概述
马科维茨（Markowitz）于1952年提出投资组合理论，开创了金融数理分析的先河，是现代经济学的一个不可或缺的理论基础。在马科维茨的投资组合模型中，数学期望代表着预期收益，方差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系。投资组合的数学期望为投资组合中所有资产收益的加权平均数，而资产组合的方差为各资产方方差及其协方差的加权平均[1]。利用马科维茨模型确定最小方差投资组合，首先要得到构成投河组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算投资组合的收益和风险。基于此，方可根据投资者投资决策的基本准则确定来最小方差投资组合。
基于马科维茨投资组合的基本思想，我们不难知道在资产完全不相关的情况下，投资组合的风险会随着资产数量的增加而趋于无穷小，甚至可变为零。而在现实生活中，资产完全不相关或完全相关的情况并不多见，其中大部分都处于不完全相关状态，所以资产之间的协方差就成了投资组合方差的决定因素，而协方差是不能依靠投资组合的多元化来降低的。
几种投资组合模型的实证分析和对比_应用数学专业
几种投资组合模型的实证分析和对比_应用数学专业
投资组合模型是研究投资者如何选择不同资产类别构成资产组合，使得资产组合的收益最大化和风险最小化的数学模型。目前常见的投资组合模型包括马科维茨模型、资本资产定价模型（CAPM）、风险调整收益模型（ARIMA）等。
在实证研究中，学者们一般会采用历史数据对不同投资组合模型进行回测，并以风险度量、平均收益率等指标作为评估标准进行对比。以下是几种具有代表性的投资组合模型的实证分析和对比：
1. 马科维茨模型
马科维茨模型是最早的投资组合模型之一，它将资产组合的风险分为系统性风险和非系统性风险两部分，并以投资者对风险的厌恶程度来平衡两者。实证研究显示，该模型能够有效降低投资组合的风险，但在收益方面表现不尽如人意。
2. 资本资产定价模型（CAPM）
CAPM模型指出，资产预期收益率应该等于无风险资产收益率与市场风险溢价的加权平均值。该模型在考虑市场因素的情况下给出了资产收益率的定价理论，但其缺点也十分明显，如需要假设市场具有完全有效性等。
3. 风险调整收益模型（ARIMA）
ARIMA模型是时间序列模型的一种，以波动性预测和风险计量为基础，可用于预测资产组合未来的收益和风险。虽然该模型准确度较高，但其模型复杂度和数据需求量较大，限制了其在实际运用中的可行性。 总体来说，不同的投资组合模型各有优缺点，应视实际情况进行选择和运用。未来的研究方向可能是将不同的模型组合起来，形成更加准确、实用的投资组合模型。
基于Markowitz理论的股票组合投资模型
Financial View金融视线 |
MODERN BUSINESS现代商业137基于Markowitz理论的股票组合投资模型
李方圆
郑州大学国际学院 河南郑州 450052
摘要:本文基于Markowitz的均值-方差组合模型，在特定的期望收益下，以投资组合的风险最小化为目标建立
了单目标优化模型。然后通过选取沪深300指数股票的相关数据进行实证分析和灵敏度分析，检验了模型的合理
性与实用性。根据此模型进行投资，简化了投资策略，使得投资操作更加简便，适合于绝大多数投资者进行股票
的买卖，并可确保在风险非常小的情况下，取得预期的投资收益。
关键词:均值-方差组合模型；单目标优化模型；灵敏度分析
中图分类号:F224;F830.59 文献识别码:A 文章编号:1673-5889(2019)26-0137-02
一、引言
作为宏观经济的晴雨表，股票市场是中国经济发展的一个重要
组成部分。随着股票市场的逐步完善，越来越来的人参与到股票市
场中，进行股票的买卖。如今，中国的股票市场有3000多只股票，
股票的涨跌变化也是受到多种因素的影响。面对股市的纷繁复杂，
想要取得一定的收益确实是一件比较困难的事情。
所以，进行股票的投资组合分析，对于提高人们参与的积极性
以及股票市场 的完善将具有非常重要的现实意义。
美国经济学家Markowitz[1]在1952年首次提出投资组合理论
(Portfolio Theory)，该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方
法和投资组合有效边界模型。投资组合理论用均值和方差来刻画收
益和风险。该理论的思想主要是在一定的风险下尽可能使得收益最
大化，或者在一定的收益下尽可能使得风险最小化。
本文将在投资组合理论的基础上构建股票的投资组合模型，然
后进行实证分析和灵敏度分析来验证模型的合理性。
二、问题陈述
中国的股票市场尚不成熟，投机过度、政策驱动的负效应、
功能不健全等问题容易导致股市的动荡，这不仅对众多投资者造成
很大损失，也对国家的金融发展产生很多不利的影响。然而中国许