2017高考新课标数学理二轮复习配套检测：知识专题大突破 专题四 数列2-4-1 含解析 精品
2017高考新课标数学理二轮复习配套检测：知识专题大突
专题训练(五) 导数的简单应用及定积分一、选择题1．(2016·东北师大附中月考)曲线f (x )＝ax n (a ，n ∈R )在点(1,2)处的切线方程是y ＝4x －2，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数且有最大值B ．函数f (x )是奇函数且有最大值C ．函数f (x )是偶函数且有最小值D ．函数f (x )是奇函数且有最小值答案：C 解析：由题知f ′(x )＝nax n －1，k ＝f ′(1)＝na ＝4，f (1)＝a ＝2，∴n ＝2.所以f (x )＝2x 2.显然函数f (x )是偶函数且有最小值．2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案：D 解析：∵f (x )＝2x ＋ln x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x . 由f ′(x )＝0，解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数． ∴x ＝2为f (x )的极小值点．3．若曲线f (x )＝ln x ＋ke x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝f (1)，则k ＝( )A ．eB ．1eC ．－1D ．1答案：D 解析：∵f ′(x )＝e x x －(ln x ＋k )e x(e x )2＝1x －ln x －ke x ，由曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝f (1)得f ′(1)＝1－ke ＝0，则k ＝1，故选D.4．当a ＞0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是()答案：B 解析：∵f ′(x )＝e x (x 2＋2ax )＋(2x ＋2a )e x ＝e x x 2＋2x (a ＋1)＋2a ]，令f ′(x )＝0得x ＝±a 2＋1－(a ＋1)＜0， ∴f (x )的两个极值点均小于0.结合函数的图象，选项B 为f (x )的大致图象．5．(2016·安徽毫州一中月考)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且⎠⎜⎜⎛02π3f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π6答案：A 解析：∵函数f (x )＝sin(x －φ)， ∴⎠⎜⎜⎛02π3f (x )d x ＝－cos(x －φ) ⎪⎪⎪2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ－－cos(－φ)] ＝32cos φ－32sin φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝0，∴φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，故可取φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.令x －π3＝k π＋π2，求得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 则函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝5π6.6．定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )·tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3答案：D 解析：因为0＜x ＜π2，f (x )＜f ′(x )tan x ， 所以f ′(x )sin x －f (x )cos x ＞0.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )sin x ′＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x ＞0， 所以y ＝f (x )sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π332，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选D.二、填空题7．(2016·云南师大附中月考)设函数f (x )＝e x (ln x ＋1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1上的最小值为m ，则ln|m |的值是________．答案：1e 2 解析：∵f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ＋1，令g (x )＝ln x ＋1x ＋1，∴g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∴g (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴g (x )≥g (1)＝2＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1上为增函数，∴m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝－e 1e 2， ∴ln|m |＝1e 2.8．若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为________．答案：－13e 解析：因为(ax 3－6x 2＋12x )′＝3ax 2－12x ＋12，所以曲线C 1在x ＝1处的切线的斜率为3a .又曲线C 2在x ＝1处的切线的斜率为e ，故由题意得3a e ＝－1，解得a ＝－13e .9．(2016·陕西安康三模)若函数f (x )＝ax 2－1x 在(2,3)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－19，＋∞ 解析：由题意得f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝ a ＋1x 2，又f (x )在(2,3)上为增函数，故a ＋1x 2≥0对x ∈(2,3)恒成立，即a ≥－1x 2，x ∈(2,3)．当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2max ＝－19. ∴a ≥－19.10．曲线C ：y ＝x 22在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12处的切线为l ，则曲线C 、直线l 与x 轴所围成的几何图形的面积是________．答案：124 解析：由导数的几何意义，l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －12，作曲线C 与直线l (如图所示)，阴影部分的面积为所求几何图形的面积，且点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则S 阴＝S 曲边三角形OCB －S △ABC .又S 曲边三角形OCB ＝⎠⎛01x 22d x ＝x 3610＝16，S △ABC ＝12×12×12＝18.因此所求几何图形的面积S 阴＝16－18＝124. 三、解答题11．设函数f (x )＝1－a2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝3时，求函数f (x )的极值； (2)当a ＞1时，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝3时，f (x )＝－x 2＋3x －ln x ， f ′(x )＝－2x 2＋3x －1x ＝－(2x －1)(x －1)x . 当12＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当0＜x ＜12或x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )极大值＝f (1)＝2，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋ln 2.(2)∵f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝(1－a )x 2＋ax －1x＝(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1(x －1)x.当1a －1＝1，即a ＝2时， f ′(x )＝－(1－x )2x ≤0，f (x )在定义域上是减函数． 当0＜1a －1＜1，即a ＞2时，令f ′(x )＜0得0＜x ＜1a －1或x ＞1；令f ′(x )＞0得1a －1＜x ＜1.当1a －1＞1，即1＜a ＜2时，由f ′(x )＞0得1＜x ＜1a －1；由f ′(x )＜0得0＜x ＜1或x ＞1a －1.综上，当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －1上和(1，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，1上单调递增；当1＜a ＜2时，f (x )在(0,1)上和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增．12．(2016·华中师大附中模拟)已知函数f (x )＝x ＋a ln x ，在x ＝1处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，函数g (x )＝f (x )＋12x 2－bx .(1)求实数a 的值；(2)设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个极值点，记t ＝x 1x 2，若b ≥133：①求t 的取值范围； ②求g (x 1)－g (x 2)的最小值． 解：(1)由题可得f ′(x )＝1＋ax . 由题意知f ′(1)＝1＋a ＝2，即a ＝1. (2)由g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x ， g ′(x )＝x 2－(b －1)x ＋1x， 令g ′(x )＝0，x 2－(b －1)x ＋1＝0， 即x 1＋x 2＝b －1，x 1x 2＝1，而(x 1＋x 2)2x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝t ＋2＋1t ＝(b －1)2≥1009⎝⎛⎭⎪⎫b ≥133.由x 1＜x 2，即0＜t ＜1，解上不等式可得0＜t ≤19.而g (x 1)－g (x 2)＝ln x 1x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－x 2x 1＝ln t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (利用根与系数的关系化简整理得)，构造函数h (t )＝ln t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，由t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，19，h ′(t )＝－(t －1)22t 2＜0， 故h (t )在定义域内单调递减，h (t )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝409－2ln 3，所以g (x 1)－g (x 2)的最小值为409－2ln 3.。
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名校模拟1．(2016·湖南四校联考)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD ＝90°，BC＝2AD，△P AB与△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－B的余弦值．(1)证明：取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD.由△P AB和△P AD都是等边三角形可知P A＝PB＝PD，∴OA＝OB＝OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点，故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，∴OE⊥PB.∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD，因此PB⊥CD.(2)解：由(1)可知，OE，OB，OP两两垂直，以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP 方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设|AB |＝2，则A (－2，0,0)，D (0，－2，0)，P (0,0，2)， AD →＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)，设平面P AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP →＝2x ＋2z ＝0，取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，即n ＝(1,1，－1)．∵OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ，取m ＝(1,0,0)， 由图象可知二面角A －PD －B 的大小为锐角， ∴二面角A －PD －B 的余弦值为cos θ＝|n ·m ||n ||m |＝13＝33. 2．(2016·湖南师大附中模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到△PDE的位置，使平面PDE ⊥平面BCDE .(1)证明：CE ⊥PD ；(2)设F ，M 分别为PC ，DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角．(1)证明：因为AB ＝2AD ，E 为AB 的中点，则AE ＝AD . 又∠BAD ＝60°，则△ADE 为正三角形，所以∠AED ＝60°. 因为BE ＝BC ，∠CBE ＝120°，则∠CEB ＝30°. 从而∠CED ＝180°－∠AED －∠CEB ＝90°， 即CE ⊥DE .因为平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，CE ⊂平面BCDE .则CE ⊥平面PDE ，所以CE ⊥PD .(2)解：如图，以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知，△PDE 为正三角形，则PM ⊥ED . 又平面PDE ⊥平面BCDE ，则PM ⊥平面BCDE . 设AD ＝2，则EM ＝1，PM ＝3， CE ＝4＋4－2×2×2cos 120°＝2 3. 所以点M (0,1,0)，P (0,1，3)，C (23，0,0)．因为F 为PC 的中点，所以点F ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，32，所以MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，－12，32.由(1)知，CE ⊥平面PDE ，则n ＝(1,0,0)为平面PDE 的一个法向量． 设直线MF 与平面PDE 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈MF →，n 〉＝MF →·n |MF →||n |＝32，得θ＝60°.故直线MF 与平面PDE 所成的角为60°.3．(2016·江西南昌二中模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AE ⊥平面ABCD ，EF ∥CD ，BC ＝CD ＝AE ＝EF ＝12AD ＝1.(1)求证：CE ∥平面ABF ；(2)在直线BC 上是否存在点M ，使二面角E －MD －A 的大小为π6？若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，作FG ∥EA ，AG ∥EF ，连接EG 交AF于H ，连接BH ，∵EF ∥CD 且EF ＝CD ，∴AG ∥CD ，即点G 在平面ABCD 内，由AE ⊥平面ABCD ，知AE ⊥AG ， 又∠ADC ＝90°，∴四边形AEFG 为正方形，四边形CDAG 为矩形， ∴H 为EG 的中点，B 为CG 的中点，∴BH ∥CE .∵BH ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ， ∴CE ∥平面ABF .(2)解：如图，以A 为原点，AG 为x 轴，AD 为y 轴，AE 为z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz.则A (0,0,0)，E (0,0,1)，D (0,2,0)， 设M (1，y 0,0)，∴ED →＝(0,2，－1)，DM →＝(1，y 0－2,0)． 设平面EMD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·ED →＝2y －z ＝0，n ·DM →＝x ＋(y 0－2)y ＝0，令y ＝1，得z ＝2，x ＝2－y 0， ∴n ＝(2－y 0,1,2)． 又∵AE ⊥平面AMD ，∴AE →＝(0,0,1)为平面AMD 的一个法向量， ∴|cos 〈n ，AE →〉|＝|2|1×(2－y 0)2＋1＋4＝cos π6＝32，解得y 0＝2±33，∴在直线BC 上存在点M ，且|CM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－⎝⎛⎭⎪⎫2±33＝33，使二面角E－MD －A 的大小为π6.。
《高考调研》2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习作业20数列2Word版含解析
数列专练(二)·作业(二十)1．(2016·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n ＋1，(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和．解析 (1)当n ＝1时，由题设知a 1＝4；当n ≥2时，由题设a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n ＋1知a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝2n ， 两式相减得a n n ＝2n ＋1－2n ，即a n ＝n ×2n (n ≥2)，故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，n ×2n （n ≥2，n ∈N *）.(2)设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×22＋2×22＋…＋n ×2n ，2S n ＝1×23＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减得S n ＝n ×2n ＋1－(22＋23＋…＋2n ) ＝n ×2n ＋1－4×(2n －1－1)＝(n －1)×2n ＋1＋4.2．(2016·四川达州调研)已知等比数列{a n }的首项a 1＝13，前n 项和S n 满足S 1，2S 2，3S 3成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2－(11＋a n ＋11－a n ＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <13. 解析 (1)因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，当q ＝1时，不符合；当q ≠1时，得4a 1（1－q 2）1－q ＝a 1＋3a 1（1－q 3）1－q，故q ＝13或q ＝0(舍去)． 综上可知，a n ＝(13)n .(2)由(1)知a n ＝(13)n ，所以b n ＝2－[11＋（13）n ＋11－（13）n ＋1]＝2－11＋（13）n －11－（13）n ＋1＝1－11＋（13）n ＋1－11－（13）n ＋1＝(1－3n3n ＋1)＋(1－3n ＋13n ＋1－1)＝13n＋1－13n ＋1－1， 由13n ＋1<13n ，13n ＋1－1>13n ＋1得13n ＋1－13n ＋1－1<13n －13n ＋1，所以b n <13n －13n ＋1， 从而T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <(13－132)＋(132－133)＋…＋(13n －13n ＋1)＝13－13n ＋1<13，因此T n <13.3．(2016·湖南东部六校联考)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝43，B ＝60°，且a 2＋c 2＝2b 2；等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1. 解析 (1)∵S ＝12acsinB ＝43，∴ac ＝16，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴b 2＝ac ＝16，∴b ＝4，从而(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8，∴a ＝c ＝4.故可得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n. ∵T n －2b n ＋3＝0，∴当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0，两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝3·2n －1.(2)依题意，c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数. P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝[4＋4（2n ＋1）]·（n ＋1）2＋6（1－4n ）1－4＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2.4．(2016·保定调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝0.(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝9a n （a n ＋3）（a n ＋1＋3），记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解析 (1)当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S n 2＝0，∴S n 2＝S n －1S n ＋1(n ≥2)，又由S 1＝1≠0，S 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0，则数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×4n －2，又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，（n ＝1），3×4n －2，（n ≥2）. (2)当n ≥2时，b n ＝9a n （a n ＋3）（a n ＋1＋3）＝9×3×4n －2（3×4n －2＋3）（3×4n －1＋3）＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），又b 1＝38， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧38，（n ＝1），3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），（n ≥2），则T 1＝b 1＝38当n ≥2时，b n ＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1）＝14n －2＋1－14n －1＋1， 则T n ＝38＋(142－2＋1－142－1＋1)＋…＋(14n －2＋1－14n －1＋1)＝78－14n －1＋1. 综上：T n ＝78－14n －1＋1.5．(2016·河南联考)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的单调性；(3)当n ≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ，∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1. ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0. ∴数列{c n }是递减数列．(3)由(2)知，当n ≥2时，c 2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712log a (a －1)恒成立，即log a (a －1)<－1.由真数a －1>0，得a>1，∴a －1<1a .整理为a 2－a －1<0，解得1<a<5＋12. ∴a 的取值范围是(1，5＋12)．。
2017高考新课标数学(理)二轮复习配套检测：知识专题大突破专题一集合与常用逻辑2-1-2含解析
名校模拟1．（2016·天津一中模拟）设a>0，b〉0。
若3是3a与3b的等比中项，则错误!＋错误!的最小值为（）A．8 B．4C．1 D.错误!答案：B 解析：因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，错误!＋错误!＝（a＋b）错误!＝2＋错误!＋错误!≥2＋2错误!＝4，当且仅当错误!＝错误!，即a＝b＝错误!时，等号成立．2．(2016·河北衡水中学模拟）设变量x，y满足｜x｜＋|y｜≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为（）A．1,－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1答案:B 解析：由约束条件｜x|＋｜y｜≤1，作出可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，当经过点A （1，0)时,z 取得最大值2，当经过点B （－1,0)时，z 取得最小值－2。
3．(2016·江西宜春中学与新学一中联考）设x ，y 满足约束条件错误!则错误!的取值范围是（ ）A ．1，5]B ．2,6］C ．2，10]D ．3,11]答案：D 解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝错误!＝1＋2·错误!，设z ′＝错误!，则z ′的几何意义为动点P (x ，y ）到定点D （－1,－1）的斜率．画出可行域，如图阴影部分所示，则易得z ′∈k DA ，k DB ],易得z ′∈1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈3，11］．4．(2016·济宁微山一中模拟）若log (a ＋1）m ＝log 错误!n 〉0(0<a 〈1），则关于x 的不等式错误!≥0的解集为________．答案：（－∞，m ]∪（n ，＋∞） 解析：若log a ＋1m ＝log 错误!n >0 （0<a <1），则m 〉1，n >1，又a ＋1－错误!＝错误!＝错误!〈0，即有1<a ＋1<错误!，即有m 〈n 。
2017高考新课标数学理二轮复习配套检测：知识专题大突破 专题二 函数与导数 2-2-2 含解析 精品
名校模拟1．(2016·四川新津中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，3，x >0. 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B 解析：先由f (－4)＝f (0)可得，16－4b ＋c ＝c ，解得b ＝4.再由f (－2)＝－2可得，4－2b ＋c ＝－2，解得c ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，3，x >0. 令f (x )＝x 可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2＝x ，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧3＝x ，x >0， 解得x ＝3或x ＝－1或x ＝－2.2．(2016·江西南昌二中模拟)f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x ＋log 2 016x ，函数f (x )的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C 解析：作出函数y ＝2 016x ，y ＝－log 2 016x 的图象，可知函数f (x )＝2 016x ＋log 2 016x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点．又f (0)＝0，所以函数f (x )的零点的个数是3，故选C.3．(2016·湖南四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①∃a 0∈R ，使f (x )为偶函数；②若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间a ，＋∞)上是增函数；④若a 2－b －2>0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点．其中正确命题的序号为________．答案：①③ 解析：①当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，故①正确；②由f (0)＝f (2)，则|b |＝|4－4a ＋b |，而f (x ＋1)＝|(x ＋1)2－2a (x ＋1)＋b |＝|x 2＋(2－2a )x ＋1－2a ＋b |， f (1－x )＝|(1－x )2－2a (1－x )＋b |＝|1－2x ＋x 2－2a ＋2ax ＋b |＝|x 2＋(2a －2)x ＋1－2a ＋b |.∴f (x ＋1)≠f (1－x )，∴f (x )的图象不关于x ＝1对称，故②错误； ③f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间a ，＋∞)上是增函数，故③正确；④h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，故④错误．4．(2016·天津一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点有________个．答案：2 解析：∵g (x )＝3－f (2－x )，∴y ＝f (x )－g (x )＝f (x )－3＋f (2－x )，由f (x )－3＋f (2－x )＝0得f (x )＋f (2－x )＝3.设h (x )＝f (x )＋f (2－x )．若x ≤0，则－x ≥0,2－x ≥2，则h (x )＝f (x )＋f (2－x )＝2＋x ＋x 2；若0≤x ≤2，则－2≤－x ≤0,0≤2－x ≤2，则h (x )＝f (x )＋f (2－x )＝2－x ＋2－|2－x |＝2－x ＋2－2＋x ＝2； 若x >2，－x <0,2－x <0，则h (x )＝f (x )＋f (2－x )＝(x －2)2＋2－|2－x |＝x 2－5x ＋8.即h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x ≤0，2，0<x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，作出函数h (x )的图象，如图所示．当y ＝3时，两个函数有2个交点，故函数y ＝f (x )－g (x )的零点有2个．。
2017高考新课标数学(理)二轮复习配套检测：知识专题大突破专题二 函数与导数2-2-2含解析
名校模拟1．（2016·四川新津中学月考）设函数f(x）＝错误!若f（－4)＝f(0），f（－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为（)A．4 B．3 C．2 D．1答案:B 解析：先由f（－4）＝f(0)可得,16－4b＋c＝c，解得b ＝4。
再由f(－2）＝－2可得，4－2b＋c＝－2，解得c＝2。
故f（x)＝错误!令f（x)＝x可得错误!或错误!解得x＝3或x＝－1或x＝－2。
2．(2016·江西南昌二中模拟）f（x）是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,＋∞）时，f(x）＝2 016x＋log2 016x,函数f（x)的零点的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4答案：C 解析:作出函数y＝2 016x，y＝－log2 016x的图象，可知函数f（x）＝2 016x＋log2 016x在x∈(0，＋∞）上存在一个零点，又因为f（x)是定义在R上的奇函数，所以f(x）在x∈（－∞，0)上只有一个零点．又f（0)＝0，所以函数f(x)的零点的个数是3，故选C.3．(2016·湖南四校联考）已知函数f（x)＝｜x2－2ax＋b|(x∈R），给出下列命题：①∃a0∈R，使f(x)为偶函数;②若f(0)＝f(2），则f(x）的图象关于x＝1对称；③若a2－b≤0，则f(x）在区间a，＋∞）上是增函数；④若a2－b－2>0，则函数h（x)＝f(x)－2有2个零点．其中正确命题的序号为________．答案：①③解析：①当a＝0时，f（x）＝|x2＋b｜显然是偶函数，故①正确;②由f（0）＝f（2），则｜b|＝|4－4a＋b｜，而f(x＋1)＝|（x＋1)2－2a(x＋1)＋b｜＝｜x2＋(2－2a）x＋1－2a ＋b|,f（1－x）＝｜（1－x)2－2a（1－x)＋b|＝|1－2x＋x2－2a＋2ax ＋b｜＝｜x2＋（2a－2)x＋1－2a＋b|。
∴f（x＋1）≠f(1－x)，∴f(x）的图象不关于x＝1对称，故②错误;③f（x)＝｜(x－a）2＋b－a2｜＝(x－a）2＋b－a2在区间a,＋∞)上是增函数，故③正确;④h（x)＝｜（x－a）2＋b－a2｜－2有4个零点，故④错误．4．（2016·天津一中月考)已知函数f(x）＝错误!函数g（x）＝3－f（2－x）,则函数y＝f（x)－g(x)的零点有________个．答案：2 解析：∵g（x）＝3－f(2－x）,∴y＝f（x)－g(x)＝f(x)－3＋f（2－x），由f(x)－3＋f（2－x）＝0得f(x)＋f(2－x）＝3.设h(x）＝f(x)＋f(2－x)．若x≤0，则－x≥0,2－x≥2,则h（x)＝f(x)＋f（2－x）＝2＋x＋x2；若0≤x≤2，则－2≤－x≤0,0≤2－x≤2,则h（x)＝f（x）＋f（2－x）＝2－x＋2－|2－x|＝2－x＋2－2＋x＝2;若x〉2，－x<0,2－x<0，则h(x）＝f(x）＋f(2－x）＝(x－2)2＋2－｜2－x|＝x2－5x＋8.即h(x)＝错误!作出函数h(x)的图象，如图所示．当y＝3时,两个函数有2个交点，故函数y＝f(x）－g（x）的零点有2个．。
2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2数列突破点4等差数列、等比数列专题限时集训理
专题限时集训(四) 等差数列、等比数列[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·青岛模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2A [a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝8， 从而q 2＝2，所以a 1＝a 3q2＝1，故选A.]2．(2016·福州模拟)已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．8D ．16B [法一：由题意得a 3＝2，a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝6，解得d ＝4，故选B. 法二：在公差为d 的等差数列{a n }中，a m ＝a n ＋(m －n )d (m ，n ∈N *)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 7－2a 4＝a 1＋6d －a 1＋3d ＝6，a 3＝a 1＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6，d ＝4.]3．已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( ) 【导学号：67722021】A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12A [若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝2×9a 1， 得a 1＝0，矛盾，故q ≠1.所以a 1－q 31－q ＋a 1－q 61－q＝2a 1－q 91－q，解得q 3＝－12或1(舍)，故选A.]4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *.若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( )A ．92 015B ．272 015C ．92 016D ．272 016D [由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列．数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n.又c n ＝ba n ＝33n，∴c 2 016＝33×2 016＝272 016，故选D.]5．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n T n ＝n 2n ＋1(n ∈N *)，则a 5b 6＝( )A.513 B.919 C.1123D.923D [根据等差数列的前n 项和公式及S n T n ＝n2n ＋1(n ∈N *)，可设S n ＝kn 2，T n ＝kn (2n ＋1)，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k (2n －1)，b n ＝T n －T n －1＝k (4n －1)，所以a 5b 6＝923，故选D.] 二、填空题6．(2016·长沙模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2a 3，S 5＝15，则a 2 016＝__________.2 016 [在等差数列{a n }中，由S 3＝2a 3知，3a 2＝2a 3，而S 5＝15，则a 3＝3，于是a 2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此a n ＝n ，故a 2 016＝2 016.]7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．20 [由等差数列的性质可得a 3＝35，a 4＝33，故d ＝－2，a n ＝35＋(n －3)×(－2)＝41－2n ，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得S n 达到最大值的n 是20.]8. 设等比数列{a n }中，S n 是前n 项和，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝__________.28 [由题意可知，公比q 3＝a 6a 3＝27，∴S 6S 3＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝1＋27＝28.]三、解答题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(1－q )S n ＋qa n ＝1，且q (q －1)≠0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列． [解] (1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，得a 1＝1.1分当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1.5分 又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1.6分(2)证明：由(1)可知S n ＝1－a n q1－q ，7分又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q1－q＝－a 9q1－q，9分化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8.11分 故a 2，a 8，a 5成等差数列.12分10．(2016·广州五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式． [解] (1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *).5分(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0.6分 易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13.8分 当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·河北五个一联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )【导学号：67722022】A ．4B ．3C ．2D ．1A [设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝52(a 1＋a 5)＝5(a 1＋2d )＝55，所以d ＝4，所以k PQ ＝a n ＋2－a n n ＋2－n ＝2d2＝d ＝4，故选A.]2．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15A [根据已知得3a n ＝a n ＋1，∴数列{a n }是等比数列且其公比为3， ∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝9×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－5.]3．(2016·东北三省四市联考)如图41所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a41 a 42 a 43a 51 a 52 a 53a61a 62 a 63 图41 A ．2 B ．8 C ．7D ．4C [第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.]4．(2016·郑州二模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A.215B.225C.235D.245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }为首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]二、填空题5．(2016·湖北七校2月联考)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S k －2＝－4(k >2)，S k ＝0，S k ＋2＝8，则k ＝__________.6 [由题意，得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝8，S k －S k －2＝a k －1＋a k ＝4(k >2)，两式相减，得4d ＝4，即d ＝1.由S k ＝ka 1＋k k －2＝0，得a 1＝－k －12，将a 1＝－k －12代入a k －1＋a k ＝4，得－(k －1)＋(2k －3)＝k －2＝4，解得k ＝6.]6．(2016·河北第二次大联考)数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为__________. 【导学号：67722023】⎝⎛⎭⎪⎫0，63∪(1，＋∞) [由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k 2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝k n ＋＋2k 2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立．当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2min .∵n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∴当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2min ＝23，∴k 2<23，且0<k <1，∴0<k <63.综上，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，63∪(1，＋∞)．]三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，3分当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1，4分 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .6分(2)由点(b n ，a n )在函数y ＝log 2 x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，8分 所以b n ＝2a n ＝24n＝16n，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列，10分 所以T n ＝－16n1－16＝16n ＋1－1615.12分 8．已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和为S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求p 的值及a n ；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．[解] (1)由已知可得a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4，即a 1＋a 2＝4p ＋4，∴a 2＝3p ＋2.2分 由已知得a 2－a 1＝2p ＝2，∴p ＝1，∴a 1＝3，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *.4分(2)证明：在等比数列{b n }中，b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，则公比为b 4b 3＝3.由b 3＝b 1·32，得b 1＝13，∴数列{b n }是以13为首项，以3为公比的等比数列，7分∴T n ＝13－3n1－3＝16·(3n－1)，8分 即T n ＋16＝16×3n ＝12×3n －1.9分又∵T 1＋16＝12，T n ＋16T n －1＋16＝3，n ≥2，n ∈N *，10分∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，以3为公比的等比数列.12分。
2017届高三数学二轮复习高考小题专攻练4数列理
高考小题专攻练 4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A. B.- C.± D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n等于( )A.13B.10C.9D.6【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以n-1+==5+,所以n=6.7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选 C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009>0,得a1>-a2017,a2>-a2016,…,又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a2017),即f(a1)+f(a2017)>0,同理,f(a2)+f(a2016)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )A.-30B.-60C.90D.120【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=则a2016= ( )A.22016-2016B.21007-2016C.22016-2D.21009-2【解析】选D.a 2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a 2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以a2016=21009-2.12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log2016x,a i=(i=1,2,…,2016),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a2016)-f k(a2015)|,k=1,2,则( )A.I1<I2B.I1=I2C.I1>I2D.I1与I2的大小关系无法确定【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=,因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|=.因为f2(a i+1)-f2(a i)=log2016a i+1-log2016a i=log2016-log2016>0,所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|=+(log2016-log2016)+…+=log2016-log2016=1,因此I1<I2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知log2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前13项的和S13=________. 【解析】因为log2(a5+a9)=3,所以a5+a9=23=8.所以S13====52.答案:5214.已知等差数列{a n}中,a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________. 【解析】依题意a1+a99=10,所以a50=5.所以a50+a20+a80=a50+2a50=.答案:15.数列{a n}的通项公式a n=,若{a n}的前n项和为24,则n=________.【解析】a n==-.所以(-1)+(-)+…+(-)=24,所以=25,所以n=624.答案:62416.对正整数n，设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则的前n项和是________.【解析】曲线y=x n(1-x)=x n-x n+1，曲线导数为y′=nx n-1-(n+1)x n，所以切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1，切点为(2，-2n)，所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2)，令x=0得，y+2n=(n+2)2n，即y=(n+1)2n，所以a n=(n+1)2n，所以=2n，所以数列是以2为首项，q=2为公比的等比数列，所以S n==2n+1-2.答案：2n+1-2。
2017高考数学文科二轮复习对点练：第一部分 专题四 数
第一部分 专题四 第1讲1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4， a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( B )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析：由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0， 又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ， ∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝__10__. 解析：利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， 从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25， 故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于2n －1.解析：由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1.而数列{a n }是递增的等比数列，∴a 1<a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，则前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1.6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n . 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 又由a 1＝－1，知S n ≠0， ∴S n ＋1S n ＋1S n －S nS n ＋1S n ＝1， 即1S n ＋1－1S n ＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1， 而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .7．(2016·辽宁协作体一模)已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)·(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)∵1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13， ∴{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.8．已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解析：(1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)． 又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2， 由a 3＝a 1·q ，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n -12 ；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2n -12，n 为奇数，2n2 ，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 9．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值．(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解析：(1)令n ＝3，a 1＋2a 2＋3a 3＝114，令n ＝2，a 1＋2a 2＝2，解得a 3＝14. (2)当n ＝1，a 1＝1，当n ≥2，na n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n2n －1，∴a n ＝12n －1(n ≥2)，当n ＝1时代入a 1也满足，故a n ＝12n －1.所以数列{a n }为等比数列， 所以T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1. (3)当n ＝1时，显然命题成立． 当n ≥2时，∵b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n (T n －T n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n T n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1T n －1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12T 2－T 1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13T 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12T 2＋…＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n T n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ 1n －1T n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1 <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n .∵f (x )＝1－1x －ln x ，在(1，＋∞)为减函数，(可用导数证明) ∴f (x )<f (1)＝0，∴1－1x <ln x ，∴1－n －1n <ln nn －1＝ln n －ln(n －1)，故两边叠加得12＋13＋…＋1n <ln n ，所以S n <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n <2＋2ln n . 10．(2016·四川成都诊断)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n－1，n ≥2，n ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)q n ＝⎩⎨⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4， 所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列． 当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ， 此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．综上，当b ＝0时，{q n }是等差数列；当b ≠0时，{q n }不是等差数列． (3)p n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)， ∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4. 又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4.。
2017高考新课标数学理二轮复习配套检测：知识专题大突
名校模拟1．(2016·天津六校联考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1<0}，B ＝{x |x (x －2)≥0}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0≤x <1}D ．{x |－1<x <0}答案：B 解析：∵A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x ≥2或x ≤0}， ∁U B ＝{x |0<x <2}， ∴A ∩∁U B ＝{x |0<x <1}．2．(2016·四川新津中学模拟)已知p ：|x ＋1|≤4，q ：x 2<5x －6，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：由|x ＋1|≤4得－5≤x ≤3，由x 2<5x －6得2<x <3，故p ：－5,3]，q ：(2,3)，又－5,3](2,3)，故选A.3．(2016·湖南师大附中模拟)已知集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，Q ＝{x |(x －a )(x －a －1)<0}，则使得P ∩Q ≠∅的一个充分不必要条件是( )A ．－1<a <1B ．－1<a <0C ．－12<a <1D ．0<a <1答案：D 解析：由已知得Q ＝(a ，a ＋1)，又p ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 则P ∩Q ≠∅⇔⎩⎨⎧a <1，a ＋1>12，即－12<a <1，所以当0<a <1时，P ∩Q ≠∅，反之不然，故选D.4．(2016·云南昆明一中模拟)设命题p ：∀x ∈R,3x >2x ，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R,3 x 0<2 x 0 B ．∃x 0∈R,3 x 0≤2 x 0 C ．∃x 0∈R,3 x 0＝2 x 0D ．∀x ∈R,3x ≤2x答案：B 解析：綈p ：∃x 0∈R,3x 0≤2x 0，故选B.5．(2016·东北师大附中模拟)若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：(－8,0] 解析：当a ＝0时，原不等式变形为－2<0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝(－a )2－4a ×(－2)<0，解得－8<a <0. 综上，a 的取值范围为(－8,0]．。
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名校模拟
1．(2016·江西南昌十所省重点中学二模)已知数列{a n }满足：当p ＋q ＝11(p ，q ∈N *，p <q )时，a p ＋a q ＝2p ，则数列{a n }的前10项和S 10＝( )
A ．31
B ．62
C ．170
D ．1 023
答案：B 解析：∵数列{a n }满足：当p ＋q ＝11(p ，q ∈N *，p <q )时，a p ＋a q ＝2p ，
∴a 1＋a 10＝2，a 2＋a 9＝22，a 3＋a 8＝23，a 4＋a 7＝24，a 5＋a 6＝25， ∴数列{a n }的前10项的和S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝2＋22＋23＋24＋
25＝2×(25－1)2－1
＝26－2＝62. ∴数列{a n }的前10项和S 10＝62.
2．(2016·安徽亳州一中模拟)已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n
∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015
＝( )
A ．log 22 015
B ．2 015
C ．－2 015
D ．1 008
答案：C 解析：∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，
∴数列{a n }是等比数列，
由a 8a 2 008＝14可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，
∴a 1a 2 015＝a 2a 2 014＝…＝a 1 007a 1 009＝a 21 008＝14，
∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1a 2…a 2 015)＝log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫122 015＝－2 015. 3．(2016·河南中原名校联考)已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.
答案：13 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以
公比0<q <1.又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除以a n ，得3(1＋q 2)＝
10q ，即3q 2
－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q ＝13. 4．(2016·湖南四校联考)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)．
(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵b n ＝3n ＋5，
∴a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， ∴{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5.
(2)∵b n ＝2n ，∴a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，
当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，∴a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n ＋n ＋2λ得λ>2n ＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，当n ≥2时，n 2n ＋1－n －12n ＝2－n 2
n ＋1≤0， ∴当n ＝1,2时，2n ＋n 2
＋取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.。