平面与圆锥面的截线课堂
圆锥的投影、截交线及轴侧图
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圆锥轮廓 素线的投影
最左
圆锥体的投影图形
最后 最右
最前
圆锥轮 廓素线
属于圆锥表面的点
已知圆锥表面点M的正面投影m′，求m和m″。
方法：(1)辅助素线法
s'
Z
s"
s
m' m"
1'
e′
●
●
●
c′ d′
●
●
a′
b′
截交线的
空间形状
截？C交E线D的B 投影特性
A？
a●
●
c
e
●
●d
●
b
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例3 圆锥截交
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画圆台的正等轴测图
小结
重点掌握：
一、基本体的三视图画法及面上找点的方法。
⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
二、简单叠加体的画图和看图方法
⒈ 画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的 过渡关系，以避免多线或漏线。
⒉ 看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线 框分解形体和分析表面的相对位置关系。
素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线〔下列图由软件?立几画板?制作〕：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下列图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，假设它与轴l交角为β〔π与l平行，记作β＝0〕，那么：〔1〕β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；〔2〕β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；〔3〕β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球〔这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切〕证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下列图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在?几何图霸?中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1〔图中显示大圆，光照后显示为球〕，同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线〞.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器〞中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：?几何图霸?文章列表几何图霸网站：:// jihetu。
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
平面与圆锥面的截线 课件
证明：如图所示，当 β<α 时，平面 π 与圆锥的两部 分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是点 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分 别为 S1、S2.
在截口上任取一点 P，连接 PF1、PF2，过点 P 和圆 锥的顶点 O 作母线，分别与两个球相切于点 Q1、Q2，
则 PF1＝PQ1，PF2＝PQ2， 所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2. 由于 Q1Q2 为两圆 S1、S2 所在平行 平面之间的母线段长， 因此 Q1Q2 的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对 值为常数．
解：连接 O1F1、O2F2、O1O2 交 F1F2 于 O 点， 在 Rt△O1F1O 中，
OF1＝tanO∠O1F1O1 F1＝tanr
. β
在 Rt△O2F2O 中，
OF2＝tanO∠O2F2O2 F2＝tanR
. β
所以 F1F2＝OF1＋
R＋r
OF2＝ tan
. β
R＋r
同理，O1O2＝ sin
归纳升华 判断平面与圆锥面的截线形状的方法如下： 1．求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹 角 β； 2．判断 α 与 β 的大小关系； 3．根据定理 2 判断交线是什么曲线．
类型 2 圆锥曲线的几何性质
[典例 2] 如图所示，已知圆锥母线 与轴的夹角为 α，平面 π 与轴线夹角为 β， Dandelin 球的半径分别为 R、r，且 α<β， R>r，求平面 π 与圆锥面交线的焦距 F1F2， 轴长 G1G2.
2．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin 球与平面 π 的切点． (2)准线：截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的 交线．
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修21
截线的一般形式和几何意义
截线的一般形式：平面与圆柱面、圆锥面的交线
几何意义：截线是平面与圆柱面、圆锥面的公共部分 截线的性质：截线是平面与圆柱面、圆锥面的交线，具有平面和圆柱面、 圆锥面的共同性质 截线的应用：截线在工程、建筑、机械等领域有广泛应用
03
平面与圆锥面的截 线
截线的定义和性质
截线：平面与圆锥面相交形成的曲线 性质：截线是圆锥面的一部分，具有圆锥面的性质 截线的形状：取决于平面与圆锥面的相对位置 截线的长度：取决于平面与圆锥面的交角大小
截线的分类和特点
截线类型：平面与圆锥面的截线可以分为直线、曲线和点
直线截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线平行， 则截线为直线
课件特点：图文并茂，易于理 解，便于记忆，适合学生自学
课件内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线定义、性质、应 用等，以及相关例题和练习题
课件形式：PPT课件，便于教 师讲解和学生自学，支持多媒 体播放和互动操作
课件使用方法和技巧
课件内容： 包括平面与 圆柱面、圆 锥面的截线 定义、性质、 应用等
内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线、截线的性质、
截线的应用等
教学方法：采用直观教学法， 通过图形的直观展示来理解
截线的性质和应用
教材使用方法和技巧
阅读教材：认真阅读教材中的内容，理解平面与圆柱面、圆锥面的截线原理。 动手实践：通过动手实践，加深对平面与圆柱面、圆锥面的截线原理的理解。 思考问题：思考教材中的问题，尝试自己解答，提高解决问题的能力。 交流讨论：与同学、老师交流讨论，分享自己的理解和想法，互相学习，共同进步。
课件形式： PPT演示文 稿，包含文 字、图片、 动画等元素
课件操作： 使用演示文 稿软件，熟 悉基本操作 和功能
机械制图基本体的三视图和其截交线相贯线的画法专题培训课件
a (b)
点的可见性规定点：
b
若点所在的平面的投影可见， 点的投影也可见；若平面的投影 a
积聚成直线，点的投影也可见。
a
b
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
【例3－1】根据已知条件，补画第三视图，并求作形体 表面A、B、C三点的三面投影。
S
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
k(n) b′ d′
ns● b
k d
●(n) k b″
如何在圆锥面上作直线？
过锥顶作一条素线。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
【例3－4】已知圆锥的三视图， M、N是圆锥表面上的点，给定 其单面投影，求作两点的三面投影。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
圆球任何方向的投影都是等径的圆
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
轴线相对位置变化对两圆柱相贯线的影响
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
★ 相贯线一般为光滑封闭的空
间曲线，它是两回转体表面
的共有线。
★ 作图方法
• 表面取点法
• 辅助平面法 确定交线
★ 作图过程
的范围
• 先找特殊点 • 补充中间点
确定交线的 弯曲趋势
• 二、两圆柱正交的相贯线 例 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
平面与圆锥面的截线 课件
同理,另一分支上的点也具有同样的性质,
综上所述,双曲线的准线为 m,离心率 e=
cos
.
cos
反思讨论圆锥曲线的几何性质时,要注意结合图形进行.
题型二
圆锥曲线几何性质应用
【例2】 已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求两条准
线间的距离.
解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.
∵PB平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.
.
cos
Rt△BPQ2 中,PQ 2=
.
cos
在 Rt△BPA 中,PA=
在
由切线长定理,得 PF2=PQ2,
2
cos
∴PF2= cos.∴e= = cos.
π
∵0<β<α< 2 , ∴ cos β>cos α.∴e>1.
时的交线叫做双曲线
在空间中,取直线 l 为轴,直线 l'与 l 相交于 O 点,夹角为 α,l'
符号
语言
围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l'为母线的圆锥面.任取平面 π,
若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行时,记 β=0),则
(1)β>α,平面 π 与圆锥的交线为椭圆;
(2)β=α,平面 π 与圆锥的交线为抛物线;
由离心率定义知
1 1
1 1
= ,
∴A1H1= 11.
又 A1F1=OF1-OA1=c-a,
(-)
∴A1H1= . ∴ 1 = 1 − 11,
(-)
2
∴OH1=a− = .
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三 平面与圆锥面的截线
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1．理解圆锥面的概念． 2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．
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2
由面积关系，得 OH= OF ?OP = 2 6 .
PF
3
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已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
∴CD⊥平面 VAB， ∴平面 CDE⊥平面 VAB，即平面 VAB为截面 CDE 的轴 面，
∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为
π .
4
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面
CDE 与圆锥的截线为一抛物线． 金品质?高追求 我们让你更放心！
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5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是 ______、________.
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 金品质?高追求 我们让你更放心！
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研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面 π与圆锥的交线．
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1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°， 则截面所截得的截线是( A )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为 30°，则截线是( B )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
金品1?(配人教A版)◆
解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
在截口上任取一点P，连接PF 1、PF 2.过点P和圆锥的顶 点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2 ，则PF 1＝PQ1， PF2＝PQ2，所以|PF 1－PF 2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
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解析：设⊙O 的半径为 R，母线 VA=l，则侧面展开图的
中心角为 2πR = 2 ?，∴圆锥的半顶角 ? = π .
l
4
连接 OE.∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE=∠AVO= π . 4
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
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◆数学?选修4-1?(配人教A版)◆ 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB
(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交． (2)________，l与AB不相交． (3)________，l与BA的延长线、AC都相交． 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹 角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任 取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．
过点 O 作 OH⊥PF ，垂足为 H，则 OH⊥平面 PAC，故 OH 的长为点 O 到平面 PAC 的距离．
在 Rt△ACB中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF = 3 PA=2 3 ，
2
又 AD= 3 PA=2 3 ，DE= 1 PB=2，在△ADE 中，由余弦
2
2
定理，得 cos∠ADE=-
3 .
3
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(2)取 AC 的中点 F，连接 PF 、OF，则 AC⊥平面 POF ， 从而平面 PAC⊥平面 POF .
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1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α,
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β
???0
?
?
?
π 2
???，则：
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是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4. (1)求二面角A－PC－B的余弦值． (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．
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解析：(1)∵∠APC=60?，∴△APC 为等边三角形． 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE， 则 AD⊥PC，DE∥PB. 又 PB⊥PC，∴DE⊥PC. 故∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角． 连接 AE，在 Rt△ACE 中，求得 AE2=24.
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3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴
的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为
(C)
3
4
A.
B.
5
5
C. 1
D. 2
2
2
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4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通 过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、 ________和________．