平面与圆锥表面相交
3立体的投影
3.1 投影实例 3.2 平面立体、曲面立 体的投影 3.3 平面截割立体 3.4 立体的相贯线
3.2.1 平面立体
平面立体简称平面体； 平面立体的特点：
各个表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成， 棱线又由其端点确定。 因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的 投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的投 影与回转轴的投影重合。
侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的投 影与回转轴的投影重合。
回转轴 母线
回转曲面的有关概念
O
素线：母线在曲面上
的任意位置都称为素
纬 圆 线。
纬圆：母线上任意点 的运动轨迹都是一个 垂直于回转轴且中心 在回转轴上的圆，这 轮廓素线 种圆就称为纬圆。 O1
3.2.3.1 圆柱及其表面点
OO’ AA’
圆柱的形成： 圆柱面是由两条相互平行的 直线，其中一条直线AA’ （称为直母线）绕另一条直 线OO’（称为轴线）旋转一 周而形成。圆柱体由两个相 互平行的底平面和圆柱面围 成。圆柱面上的与OO’平行 的直线，称为柱面上的素线， 每根素线都与轴线平行且等 距,而且任两根素线都互相平 行，当用一垂直于轴线的平 面截断圆柱面时，每个截断 面都是等直径的圆。
m'
纬圆法
m
§3-3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
• 切割体——基本体被平面截切后的部分 • 截平面——截切立体的平面 • 截断面——立体被截切后的断面 • 截交线——截平面与立体表面的交线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线和双曲线是数学中重要的概念和研究对象。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将对圆锥曲线和双曲线进行解读，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交所得到的曲线。
根据平面与圆锥的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆：当平面与圆锥的切线小于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为椭圆。
椭圆具有以下性质：a. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越接近于圆形；b. 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数；c. 椭圆的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。
2. 抛物线：当平面与圆锥的切线等于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为抛物线。
抛物线具有以下性质：a. 抛物线具有对称性，焦点是抛物线的特殊点，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；b. 抛物线的形状由焦点和准线的位置决定，焦点越靠近准线，抛物线越扁平。
3. 双曲线：当平面与圆锥的切线大于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为双曲线。
双曲线具有以下性质：a. 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线的形状越扁平；b. 双曲线的焦点是双曲线的特殊点，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是常数；c. 双曲线的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定双曲线的形状和大小。
二、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 光学：双曲线是抛物面镜和双曲面镜的截面曲线，这些曲线具有聚焦和发散光线的特性，被广泛应用于光学系统中，如望远镜、显微镜等。
2. 电磁场：在电磁学中，双曲线是电场和磁场的等势线，它们的分布和形状对电磁场的性质和行为有着重要的影响。
3. 天体力学：在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道形状，如彗星的轨道就是一个双曲线。
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
圆锥截交线
3
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
正垂线
3
Ⅰ
正平线
[例题2] 求圆锥截交线
解题步骤 1、分析 截平面为正平面，截平 面的水平投影为直线； 2、截交线为双曲线，截交线的 水平投影和侧面投影均为直线； 3、求出截交线上的特殊点#39; c"
a"
4、求出一般点C ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 6、整理轮廓线。
b"
b
c
a
[例题3]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
本章结束
圆锥的截交线
一、 二、 三、 四、 五、
截交线的性质 圆锥的截交线的类型及形状 求作截交线的方法 截交线上的特殊点 作图步骤与例题
一、 截交线的性质
圆锥的截交线是截平面与圆锥表面的共有线。
圆锥的截交线的形状取决于圆锥表面的形状 及截平面与圆锥轴线的相对位置。 圆锥截交线都是封闭的平面图形。
二、 圆锥截交线的类型与形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
α θ
α θ
α
θ
α
过锥顶 两相交直线
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
三、 求作截交线的方法
四、 截交线的特殊点
[例题1] 求圆锥截交线
3'
解题步骤 1、分析 截平面为正垂面，截平 面的正面投影为直线； 2、截交线为椭圆，截交线的水 平投影和侧面投影均为椭圆；由 于圆锥前后对称，故椭圆也前后 对称。椭圆的长轴为截平面与圆 锥前后对称面的交线——正平线 ，椭圆的短轴是垂直与长轴的正 垂线。 3、求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 4、求出一般点Ⅴ ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性即得 截交线的水平投影和侧面投影； 6、整理轮廓线。
第四讲 平面体、曲面体的表面交线
●
截交线的已知投影？
截交线的侧面投 影是什么形状？ ★找特殊点
●
●
★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
●
●
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下 投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45°时。
例3：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
2.作图方法
利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平面法。
确定交线 的范围
⒊ 作图过程
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线的 弯曲趋势
例 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
● ● ● ● ●
●
●
●
●
空间及投影分析： 求相贯线的投影： 小圆柱轴线垂直于 H面，水 利用积聚性，采用表面取点法。 平投影积聚为圆，根据相贯线的 ☆ 找特殊点 共有性，相贯线的水平投影即为 ☆ 补充中间点 该圆。大圆柱轴线垂直于 W面， 侧面投影积聚为圆，相贯线的侧 ☆ 光滑连接 面投影在该圆上。
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ =90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
㈢ 球体的截切
土木工程制图知到章节答案智慧树2023年甘肃工业职业技术学院
土木工程制图知到章节测试答案智慧树2023年最新甘肃工业职业技术学院第一章测试1.A0大小的图幅是A3大小的图幅的几倍大（）。
参考答案:82.A0大小的图幅的尺寸是（）。
参考答案:841*1189mm3.《营造法式》一书中总结了我国两千年以来的建筑技术成就，这本书收集整理了大量建筑图样，是由（）所著。
参考答案:宋·李诫4.以下有关于图线说法错误的是（）。
参考答案:细实线一般是图面中运用最多的线。
;粗实线只能表示主要建筑的轮廓线。
5.有一栋房屋在图上量得长度为80cm，用的是1：100的比比例，其实际长度是（）m。
参考答案:806.在建筑平面图中，横向定位轴线自下向上用（）依次编写，纵向定位轴线自左向右用阿拉伯数字依次编写。
参考答案:大写拉丁字母7.将三角板和丁字尺配合，可画出一系列不同角度的线条，除了30°、45°、60°、90°以外，还能画出（）的直线。
参考答案:75°;135°;15°;150°8.以下说法正确的是（）。
参考答案:相互平行的尺寸线，小尺寸线离轮廓线较近，大尺寸线离轮廓线较远。
;竖直方向尺寸数字应注写在尺寸线的左侧、字头朝左。
;尺寸数字标注在尺寸线中部的上方，字头朝上。
9.平面图形中的尺寸，按其在图中所起的作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。
（）参考答案:对10.会签栏一般在装订边内、图框线外，标题栏一般在图框的右下角。
（）参考答案:对第二章测试1.物体在水平投影面反映该物体的（）关系。
参考答案:前后、左右2.以下说法错误的一项是（）。
参考答案:透视投影图形象逼真，接近人的真实视觉感受。
3.当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形，这叫做平行投影的（）特性。
参考答案:显实型4.根据投射线之间的相互关系，可将投影法分为中心投影法和（）两种。
参考答案:平行投影法5.工程中常用的投影图有（）。
第3章 基本体的投影及表面交线
机械制图与AutoCAD基础课程配套课件
1
第3章 基本体的投影及表面交线
3.1基本体的投影
一、平面立体的投影及其表面取点
平面立体由若干个平面多边形所围成的。因此，绘制平面立体的 投影，就是绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制多边形各个 边和各个顶点的投 反映底面实形的投影，根据投影 规律画两底的其他投影，最后再 根据投影规律画侧棱的各个投影 （注意区分可见性）。如果某个 投影的图形对称，则应该画出对 称中心线 。
a' c'(d')
b'
a"
d"
c"
b"
d
b
a
c
（a）求特殊点
g'(h')
h"
g"
h g
（c）求一般点
e'(f')
f"
e"
f
e
（b）求最右点
a' e'(f')
c'(d') g'(h') b'
f"
d" h"
a" e"
c" g" b"
df h
b
a
g
ce
（d）光滑连接
四、相贯线的特殊情况 1.两轴线平行共底的圆柱相交，其相贯线是两条平行于轴线的直线，
2. 辅助平面法
辅助平面法就是利用三面共点的原理求相贯线上的一 系列的点，即假想用一个辅助平面截切两相贯回转体 ，得两条截交线，两截交线的交点，即为两相贯立体 表面共有的点，也是辅助平面上的点。为了能方便地 作出相贯线上的点，最好选用特殊位置平面（投影面 的平行面或垂直面）作为辅助平面，并使辅助平面与 两回转体交线的投影为最简单（为直线或圆）。
第四章 工程制图A 立体表面交线截交线
★完善圆柱轮廓
结果和立体图
3′(4′) 1′(2′)
●
4(2)
●
●
3(1)
4″ 2″
●
●
3″ 1″
●
●
4
●
2●
3
●
1 ●
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
多个平面截切立体时， 确定截交线形状为矩形和圆弧。
要分别对各截平面进行 截交线的分析和作图。
2)分析圆柱体轮廓素线的投影。 3)求截交线。
[例题4 ] 求圆柱截交线
1'2'
2"
3'4'
4"
24
1" 3"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为直 线和部分圆，侧面投影为矩形 ；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
再取局部。
测试题: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4（5）
2(3、6、7)
5 7
6 3
4 2
1(8)
8
7
5 6
3 4
1
2
8
1
7 8
54 63 2
1
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
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圆锥截交线例题1
圆锥截交线 例题2
四、平面与圆球相交 （一） 平面与圆球相交所得截交线形状
截交线为圆或圆弧。 截交线的投影可能为圆或椭圆或直线。
（二）求圆球截交线的方法—纬圆法
作图步骤 1.投影分析 2.求特殊位置点 3.求一般位置点 4.连接各点 5.判断可见性 6.整理轮廓线
求圆球截交线例题1
两回转体表面的相贯线
二、求相贯线的一般方法
求出两回转体表面的共有点，然后依次连线。
（一）表面取点法 （二）辅助平面法
（一）表面取点法
1’ 5’
（7’）
2’ （34’’）（68’’）
7
48
1
2
表面取点法原理
当相贯结构
（2”）1” 中有一个是圆柱
3”体时，先利用圆
4” （8”7）”（56””）
柱表面的积聚性， 得到相贯线的至
求圆球截交线例题2
§6-3 回转体表面相交
一、相贯线及其性质 二、求相贯线的一般方法 三、相贯线的特殊情况
一、相贯线及其性质
相贯线—两回转体表面相交时所产生的交线。 相贯线的性质： 1. 一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。 2.相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点 是两立体表面的共有点。
§6-1 概述
{ 截交线：平面与立体表面的交线。
交线
相贯线：两立体表面的交线。
§6-2 平面与回转体表面相交
一、截交线及其性质 二、平面与圆柱体表面相交 三、平面与圆锥体表面相交 四、平面与圆球表面相交 五、组合截交
一、截交线及其性质
平面与回转体表面相交时的交线亦称截交线。
截交线的性质： 1. 截交线是回转体表面和截平面的共有线。 2. 截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 3. 截交线一般情况下是一封闭的平面曲线。
1. 当两圆柱体轴线平行相贯,交线为两平行直线; 2. 当两圆锥体轴线相交相贯,交线为两相交直线。
本章结束
回本章开头
（一）平面与 圆锥相交所得截交线形状 （一）平面与圆锥相交所得截交线形状
1. 圆
2.一对相交直线
3. 椭圆
4. 双曲线
5. 抛物线
返回
（二）求圆锥截交线的作图方法
1. 素线法 2. 纬圆法
作图步骤 1) 投影分析 2)求特殊位置点 3) 求一般位置点 4) 光滑连接各点 5) 判断可见性 6) 整理轮廓线
求圆柱与圆锥的相贯线（辅助平面法）
y PV QV RV
三、相贯线的特殊情况 相贯线的特殊情况（一）
同轴回转体相交，其相贯线为垂直于轴线的圆。
相贯线的特殊情况（二）
当相交两回转体公切于一个球面时，其相贯 线为平面曲线（一般为椭圆）。在两回转体轴线 同时平行的投影面上，椭圆的投影为直线。
相贯线的特殊情况（三）
二、 平面与圆柱相交 （一）截交线的三种情况
两条互相平行
圆
的直线
椭圆
（二）求圆柱截交线的方法 1. 利用积聚性法 2. 素线法
1.积聚性法求圆柱截交线的作图步骤
1' 2'3'
1"
3"
2"
1)投影分析 2)求特殊位置点 3)求一般位置点 4)连接各点
4'5'
5"
4"
6'7
3
1"
'
7"
6"
8'
5
8"
5
2
3
2
8
1
7
4
7
6
4
8"5)判断6可见性 6)整理轮廓线
2. 素线法求圆柱截交线
圆柱截交线例题
圆柱截交线 (1)
返回
直线 圆曲线
1′
2′
圆柱截交线 (2)
1″
2″
1(2)
通孔
通孔返回
圆柱截交线 (3)
返回
圆柱截交线 (4)
返回
三、 平面与圆锥表面相交 (1).平面与圆锥相交所得截交线形状 (2). 圆锥截交线的求法 (3) 圆锥截交线例题
少一个投影；再
通过回转体表面
取点，作出相贯
线的未知投影。
5
36
（二）辅助平面法
辅助平面法原理 设置一辅助平面；求其与两回转体表面的截交
线；两组截交线的交点必为相贯线上点。
选辅助平面的原则
要使辅 助平面与两 立体表面交 线的投影为 直线或圆。
y PV
常用的辅助 平面为投影 面