平面与圆锥面的截线29301
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)本文介绍了平面与圆锥面的截线问题。
首先观察到平面截圆锥面的图形，可以得到三种圆锥曲线：椭圆、抛物线和双曲线。
然后讨论了一条直线与等腰三角形的位置关系，将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，通过定理得出了平面与圆锥的交线类型与夹角的关系。
接着利用Dandelin双球证明了椭圆的情况，并讨论了抛物线和双曲线的情况。
最后通过制作三维图形，展示了三种曲线的丹迪林Dandelin双球图。
6.在图中选取点O1和F1，以点O1为圆心作圆O1（在光照后会显示为球），以同样的方法作出圆O2.然后在线段EF上选取点G和H，以线段GDO的垂线上的伸缩点I为基准点，作出点I关于点G的对称点I’。
通过向量GH将点I和点I’平分，得到点I2和点I"。
将这些点连接起来，形成一个截面，其长和宽可以由点G、H和I控制，而点F则控制其旋转。
8.添加点J在下底圆上，然后将点OJ与截面相交于点K。
选取点J和K，形成一个轨迹，即截线，它在图中呈现为一个椭圆。
9.将点E按照向量OD'的方向平移，得到点E'。
将线段EE'与圆相交于点G1，使得线段EG1与母线OD'平行。
添加一个名为“抛物线”的动画，它将点F移动到点G1上。
10.参照前面的图形，添加其他的图形元素。
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平面与圆锥面的截线 课件
证明：如图所示，当 β<α 时，平面 π 与圆锥的两部 分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是点 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分 别为 S1、S2.
在截口上任取一点 P，连接 PF1、PF2，过点 P 和圆 锥的顶点 O 作母线，分别与两个球相切于点 Q1、Q2，
则 PF1＝PQ1，PF2＝PQ2， 所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2. 由于 Q1Q2 为两圆 S1、S2 所在平行 平面之间的母线段长， 因此 Q1Q2 的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对 值为常数．
解：连接 O1F1、O2F2、O1O2 交 F1F2 于 O 点， 在 Rt△O1F1O 中，
OF1＝tanO∠O1F1O1 F1＝tanr
. β
在 Rt△O2F2O 中，
OF2＝tanO∠O2F2O2 F2＝tanR
. β
所以 F1F2＝OF1＋
R＋r
OF2＝ tan
. β
R＋r
同理，O1O2＝ sin
归纳升华 判断平面与圆锥面的截线形状的方法如下： 1．求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹 角 β； 2．判断 α 与 β 的大小关系； 3．根据定理 2 判断交线是什么曲线．
类型 2 圆锥曲线的几何性质
[典例 2] 如图所示，已知圆锥母线 与轴的夹角为 α，平面 π 与轴线夹角为 β， Dandelin 球的半径分别为 R、r，且 α<β， R>r，求平面 π 与圆锥面交线的焦距 F1F2， 轴长 G1G2.
2．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin 球与平面 π 的切点． (2)准线：截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的 交线．
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修21
截线的一般形式和几何意义
截线的一般形式：平面与圆柱面、圆锥面的交线
几何意义：截线是平面与圆柱面、圆锥面的公共部分 截线的性质：截线是平面与圆柱面、圆锥面的交线，具有平面和圆柱面、 圆锥面的共同性质 截线的应用：截线在工程、建筑、机械等领域有广泛应用
03
平面与圆锥面的截 线
截线的定义和性质
截线：平面与圆锥面相交形成的曲线 性质：截线是圆锥面的一部分，具有圆锥面的性质 截线的形状：取决于平面与圆锥面的相对位置 截线的长度：取决于平面与圆锥面的交角大小
截线的分类和特点
截线类型：平面与圆锥面的截线可以分为直线、曲线和点
直线截线：当平面与圆锥面相交时，如果平面与圆锥面的轴线平行， 则截线为直线
课件特点：图文并茂，易于理 解，便于记忆，适合学生自学
课件内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线定义、性质、应 用等，以及相关例题和练习题
课件形式：PPT课件，便于教 师讲解和学生自学，支持多媒 体播放和互动操作
课件使用方法和技巧
课件内容： 包括平面与 圆柱面、圆 锥面的截线 定义、性质、 应用等
内容：包括平面与圆柱面、 圆锥面的截线、截线的性质、
截线的应用等
教学方法：采用直观教学法， 通过图形的直观展示来理解
截线的性质和应用
教材使用方法和技巧
阅读教材：认真阅读教材中的内容，理解平面与圆柱面、圆锥面的截线原理。 动手实践：通过动手实践，加深对平面与圆柱面、圆锥面的截线原理的理解。 思考问题：思考教材中的问题，尝试自己解答，提高解决问题的能力。 交流讨论：与同学、老师交流讨论，分享自己的理解和想法，互相学习，共同进步。
课件形式： PPT演示文 稿，包含文 字、图片、 动画等元素
课件操作： 使用演示文 稿软件，熟 悉基本操作 和功能
平面与圆锥面的截线 课件
同理,另一分支上的点也具有同样的性质,
综上所述,双曲线的准线为 m,离心率 e=
cos
.
cos
反思讨论圆锥曲线的几何性质时,要注意结合图形进行.
题型二
圆锥曲线几何性质应用
【例2】 已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求两条准
线间的距离.
解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.
∵PB平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.
.
cos
Rt△BPQ2 中,PQ 2=
.
cos
在 Rt△BPA 中,PA=
在
由切线长定理,得 PF2=PQ2,
2
cos
∴PF2= cos.∴e= = cos.
π
∵0<β<α< 2 , ∴ cos β>cos α.∴e>1.
时的交线叫做双曲线
在空间中,取直线 l 为轴,直线 l'与 l 相交于 O 点,夹角为 α,l'
符号
语言
围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l'为母线的圆锥面.任取平面 π,
若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行时,记 β=0),则
(1)β>α,平面 π 与圆锥的交线为椭圆;
(2)β=α,平面 π 与圆锥的交线为抛物线;
由离心率定义知
1 1
1 1
= ,
∴A1H1= 11.
又 A1F1=OF1-OA1=c-a,
(-)
∴A1H1= . ∴ 1 = 1 − 11,
(-)
2
∴OH1=a− = .
人教版高中数学选修3.3平面与圆锥面的截线ppt课件
由上所述可知, 椭圆的 准线为m, 椭圆上任一 点到焦点的距离与到 准线的距离之比为常
A
m
S Q1 B
F1
`
cos P 数 ,因此椭圆的 cos 图3 12 cos 离心率为e , cos 即椭圆的离心率等于截 面和圆锥的轴的交角 的余弦与圆锥的母线和 轴所成角的余弦之比 .
D
G A
P
E
B
F
l
C
(1)
(2) (3)
,
D , 与AB( l 或AB的延长线)、AC都相交。 与AB l 不相交。
, 与BA l 的延长线、AC都相交。
是(
1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线 ) A A．圆 C．双曲线 B．椭圆 D．抛物线 )
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( A．圆 C．双曲线 B B．椭圆 D．抛物线
3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴 的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为 ( C )
在RtABP中, APB , 所以PB PAcos . 1
设过 P的母线与圆 S交于 点 Q1 , 则在 RtPQ1 B 中 , Q1 PB , 所以 2 PB PQ1 cos .
A
m
S Q1 B
F1
`
P
图3 12
PF1 cos 由 1 2 得 . 因为 PA cos PF1 cos 0 , 故 cos cos , 则 1. 2 PA cos
S1
Q1 F1 F2
S2
平面与圆锥面的截线 课件
考虑，否则极易出错．
考点二 圆锥曲线的性质 例2 如图所示，AB、CD 是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面) 上互相垂直的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一截
面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，求截面与圆锥 的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．
这个图形的平行射影．
3．椭圆的定义 平面上到两个定点的_距__离__之__和____等于_定__长___的点的轨迹叫做
椭圆．
4．两个定理 定理 1：圆柱形物体的斜截口是_椭__圆__． 定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，
夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线的圆锥
面，任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行时，记
β＝0)，则 (1)β＞α，平面 π 与圆锥的交线为椭__圆___； (2)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为抛__物__线___； (3)β＜α，平面 π 与圆锥的交线为_双__曲__线__．
考点突破
考点一 正射影的应用 例1 P 为△ABC 外一点且 PA＝PB＝PC. 求证：P 在面 ABC 内的射影为△ABC 的外心．
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面 CDE 与圆 锥面的截线为一抛物线．
【名师点评】 平面与圆锥面的截线的形状判断： (1)求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹角 β； (2)判断 α 与 β 的大小关系；
(3)根据定理 2 判断截线是什么曲线．
平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线
Hale Waihona Puke 1．正射影的概念 给定一个平面 α，从一点 A 作平面 α 的_垂__线___，垂足为点 A′， 称点 A′为点 A 在平面 α 上的_正__射__影__． 一个图形上各点在平面 α 上的正__射__影___所组成的图形，称为这
平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修13
02 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
a. 截线类型：平行、垂直、倾斜 b. 截线性质：长度、角度、面积
内容二：平面与圆锥面的截线 a. 截线类型：平行、垂
03 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
截线的性质
截线是平面与圆柱面、圆锥面的 交线
截线的形状取决于平面与圆柱面、 圆锥面的相对位置
添加标题
添加标题
截线可以是直线、曲线或点
添加标题
添加标题
截线的长度、方向和位置可以通 过几何关系计算得出
截线与圆柱面的关系
截线与圆柱面的切线：截线 与圆柱面相切时，会产生一 条切线。
截线与圆柱面的交点：截线 与圆柱面相交时，会产生一 个交点。
05
人教A选修(22)介绍
人教A选修(22)简介
教材名称：人教A选修(22) 教材内容：平面与圆柱面、圆锥面的截线 教材特点：理论与实践相结合，注重培养学生的动手能力和创新能力 教材适用范围：高中数学选修课程，适用于对数学有兴趣的学生
人教A选修(22)内容概述
平面与圆柱面、圆锥面的截线：介绍平面与圆柱面、圆锥面的截线及其性质 截线方程：介绍截线的方程及其求解方法 截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系及其应用 截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点及其性质
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平面与圆柱面、圆锥面的截线
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 与 圆 柱 面 的 截 线
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1
观察平面截圆锥面的图形，截 线是什么图形？
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2
改变平面的 位置，可得 到三种曲线， 它们统称为 圆锥曲线.
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3
从平面图形入手，开始讨论一 条直线与等腰三角形的位置关 系：
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4
将等腰三角形拓 广为圆锥，直线 拓广为平面。如 果用一平面去截 一个正圆锥，而 且这个平面不通 过圆锥的顶点， 会出现哪些情况 呢？
图片的制作可以使用软件《几何图霸》.
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知识运用
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图形制作(《几何图霸》）
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归纳提升：
定理 在空间中，取直线l为轴，直线l'
与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋
转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，
任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平
行，记作β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭
圆；
（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛
物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双
曲线。
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证明结论：
利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上 方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞ α，平面与圆锥的交+PF2=PQ1整+理PQpp2t ＝Q1Q2=定值.
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证明：β＝α时，平面与圆锥面 的交线为抛物线.
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当平面 与圆锥 面的交 线为双 曲线时 准线的 及离心 率：
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换个角度 看图：
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结论：
截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆 锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余 弦之比.
三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以 在《几何图霸》中统一到一幅图中;