人教新课标版数学高二人教A选修4-1试题 3.2平面与圆柱面的截线
人教版数学高二A版选修4-1 第三讲二平面与圆柱面的截线
主动成长夯基达标1.梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在α内的射影是（）A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形思路解析:当梯形所在的平面平行于投射线时,梯形在α上的射影是一条线段;当梯形所在的平面与投射线不平行时,梯形在α上的射影是一个梯形.答案:D2.如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形,则下列结论正确的是（）A.内心的平行投影还是内心B.重心的平行投影还是重心C.垂心的平行投影还是垂心D.外心的平行投影还是外心思路解析:如果三角形的平行投影仍是三角形,但三角形的形状通常将发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化,而内心则始终是原先角平分线的交点,所以仍是新三角形的内心.答案:A3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（）A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)思路解析:将所给方程转化为标准形式,根据焦点的位置即可获得实数k的取值范围.将所给方程x2+ky2=2转化为标准形式,即22x+122=ky,因为焦点在y轴上,所以有22>k,于是0 <k <1.答案:D走近高考4.如图3-2-5,设P为△ABC所在平面外一点,点O为P在平面ABC上的射影,若PA =PB =PC,则O为△ABC的心.图3-2-5思路解析:连结AO、BO、CO,则AO、BO、CO分别为PA、PB、PC在平面ABC内的射影.又∵PA =PB =PC,由射影长定理,则OA =OB =OC,∴O为△ABC的外心.答案:外5.在平面解析几何中,我们学过用方程表示直线、圆等图形,将椭圆上的点满足的条件用坐标表示出来,也可以得到椭圆的方程,试建立适当的坐标系,求长轴为2a,短轴为2b（a>b）,焦距为2c 的椭圆的方程.思路解析:以长轴所在直线为x 轴建立坐标系,也可以以长轴所在直线为y 轴建立坐标系.解:以长轴所在直线为x 轴建立坐标系,其方程为a x 2+12=by ;以长轴所在直线为y 轴建立坐标系,其方程为b x 2+12=ay .。
2016新课标创新人教A版数学选修4-1 3.2~3.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线
[核心必知]1．平面与圆柱面的截线(1)椭圆组成元素：F1，F2叫椭圆的焦点；F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴；CD叫椭圆的短轴．如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.①G 2F 1＋G 2F 2＝AD ；②G 1G 2＝AD ；③G 2F 1G 2E＝cos φ＝sin θ. (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形ABCD 看成是圆柱面的轴截面，将EB 、DF拓广为两个平面α、β，EF 拓广为平面γ，则平面γ与圆柱面的截线是椭圆．即得定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．平面与圆锥面的截线(1)如图，AD 是等腰三角形底边BC 上的高，∠BAD ＝α，直线l 与AD 相交于点P ，且与AD 的夹角为β⎝⎛⎭⎫0<β<π2，则：①β>α，l 与AB (或AB 的延长线)、AC 相交；②β＝α，l 与AB 不相交；③β<α，l 与BA 的延长线、AC 都相交．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．[问题思考]用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状？提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆．已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．[精讲详析]本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．过G1作G1H⊥BC于H.∵圆柱底面半径为3，∴AB＝2 3.∵四边形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2 3.在Rt△G1G2H中，G1G2＝G1Hsin∠G1G2H＝2332＝4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径23，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.——————————————————借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键．1．平面内两个定点的距离为8，动点M 到两个定点的距离的和为10，求动点M 的轨迹方程．解：以两点的连线段所在的直线为x 轴，线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵2a ＝10，2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4.则b 2＝9.故所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．[精讲详析] 本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．——————————————————由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决.2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛物线．证明：如图，设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥的交线为圆S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m.在平面π与圆锥的截线上任取一点P，连接PF1.过点P 作P A⊥m，交m于点A，过点P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB⊥m，∴∠P AB 是π与π′所成二面角的平面角．连接点P与圆锥的顶点，与S相交于点Q1，连接BQ1，则∠BPQ 1＝α，∠APB ＝β.在Rt △APB 中，PB ＝P A cos β.在Rt △PBQ 1中，PB ＝PQ 1cos α.∴PQ 1P A ＝cos βcos α.又∵PQ 1＝PF 1，α＝β，∴PF 1P A＝1， 即PF 1＝P A ，动点P 到定点F 1的距离等于它到定直线m 的距离，故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．本课时考点在高考中很少考查．本考题以选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是高考命题的一个新动向．[考题印证]已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )A ．22B ．2C ．4D ．4 2[命题立意] 本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，同时考查椭圆的相关性质．[解析]选C由题意知，椭圆的长半轴长a＝2sin 45°＝22，短半轴长b＝2，则半焦距c＝a2－b2＝8－4＝2.所以焦距2c＝4.一、选择题1．下列说法不．正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：选D显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．2．过球面上一点可以作球的()A．一条切线和一个切平面B．两条切线和一个切平面C．无数条切线和一个切平面D．无数条切线和无数个切平面解析：选C过球面上一点可以作球的无数条切线，并且这些切线在同一个平面内，过球面上一点可以作一个球的切平面．3．球的半径为3，球面外一点到球心的距离为6，则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．不确定解析：选C由平面内圆的切线垂直于过切点的半径，我们推广到空间中仍有球的切线垂直于过切点的球的半径，因为切线与过切点的半径仍相交，故可以转化为平面图形，因而可以利用平面图形的性质来解决．4．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条相交直线解析：选C如图可知应为抛物线．二、填空题5．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，则截面与圆柱面母线的夹角的余弦值为________．解析：因为两焦球的球心距即为椭圆的长轴长，所以2a＝10，即a＝5.又椭圆短轴长2b＝6，即b＝3，∴c＝4.故e＝cos φ＝ca＝45.答案：456．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面的半径为________．解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝22， 得b ＝c ＝ea ＝22×3＝322，即为圆柱面的半径． 答案：3227．设圆锥面V 是由直线l ′绕直线l 旋转而得，l ′与l 交点为V ，l ′与l 的夹角为α(0°<α<90°)，不经过圆锥顶点V 的平面π与圆锥面V 相交，设轴l 与平面π所成的角为β，则：当________时，平面π与圆锥面的交线为圆；当________时，平面π与圆锥面的交线为椭圆；当________时，平面π与圆锥面的交线为双曲线；当________时，平面π与圆锥面的交线为抛物线．答案：β＝90° α<β<90° β<α β＝α8．半径分别为1和2的两个球的球心距为12，则这两个球的外公切线的长为______，内公切线的长为______．解析：设两个球的球心为O1，O2，外公切线的切点为A、B，则有|AB|＝O1O22－（R1－R2）2＝122－（2－1）2＝143，设内公切线的切点分别为C、D，则|CD|＝O1O22－（R1＋R2）2＝122－（2＋1）2＝144－9＝135＝315.答案：143315三、解答题9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，求椭圆的离心率．解：如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，则∠SBA ＝π2，cos ∠ASB ＝35， cos ∠BSP ＝cos 12∠ASB ＝1＋cos ∠ASB 2＝255. ∴cos ∠SPB ＝sin ∠BSP ＝55，∴e ＝cos ∠SPB cos ∠BSP ＝12. 10．如图，上面一个Dandelin 球与圆锥面的交线为圆S ，记圆S 所在的平面为π′，设π与π′的交线为m .在椭圆上任取一点P ，连接PF 1，在π中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作π′的垂线，垂足为B ，连接AB 是P A 在平面π′上的射影．若Rt △ABP 中，∠APB ＝β.求平面π与π′所成二面角的大小．解：由已知PB ⊥π′，平面π′∩平面π＝m .∴m ⊥PB .又P A ⊥m ，∴m ⊥面P AB ，∴∠P AB 是π与π′所成二面角的平面角．又∠APB ＝β，∴∠P AB ＝π2－β.11．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上移动，设线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＝x 1＋14，BF ＝x 2＋14，若AB 过F ，则AF ＋BF ＝AB ， 此时点M 到y 轴距离为32－14＝54； 若AB 不过F ，则AF ＋BF >AB ，即x 1＋14＋x 2＋14>3，x 1＋x 2>52， 从而M 的横坐标x 1＋x 22>54， 显然弦AB 过焦点F 时，M 到y 轴距离最短．设过F 的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，则k 2x 2－⎝⎛⎭⎫k 22＋1x ＋k 216＝0. ∵x M ＝54，∴k ＝±22，即直线存在． ∴点M 到y 轴最短距离为54.。
高中数学人教A版选修4-1学案第3讲 1 2 3 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 Word版含解析
一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线．了解平行射影的含义，体会平行射影．．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)．会用双球证明定理、定理.(难点)[基础·初探]教材整理射影阅读教材～，完成下列问题．．正射影给定一个平面α，从一点作平面α的垂线，垂足为点′，称点′为点在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．．平行射影设直线与平面α相交(如图--)，称直线的方向为投影方向．过点作平行于的直线(称为投影线)必交α于一点′，称点′为沿的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图--下列说法正确的是( )．平行射影是正射影．正射影是平行射影．同一个图形的平行射影和正射影相同．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，不正确；只有正确．【答案】教材整理两个定理阅读教材～，完成下列问题．．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．．两个定理定理：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理：在空间中，取直线为轴，直线′与相交于点，夹角为α，′围绕旋转得到以为顶点，′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴的交角为β(当π与平行时，记β＝)，则()β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；()β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；()β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．下列说法不正确的是( )。
A选修4选修41第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线720
A 选修4选修41第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线 测试题 2019.91,下列命题中正确的是（ ）A ．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B ．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C ．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D ．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的2,由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是( )A ．πB ．4πC ．43πD ．23π3,设数列{}n a 的前n 项和S n ，且12+-=n a n ，则数列}{n S n 的前11项的和为（ ）A ．-45B ．-50C ．-55D ．-664,设则的值为（ ）A ．B ．C ．、中较小的数D ．、中较大的数5,某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品总共有（ ）⎩⎨⎧<>-=)0(1)0(1)(x x x f )(2)()()(b a b a f b a b a ≠-⋅--+a b a b a bA. 100件B. 200件C. 300件D. 400件6,某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品总共有（ ）A. 100件B. 200件C. 300件D. 400件7,已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω≤<>+=x x f ，且此函数的图象如图所示，则点),(ϕωP 的坐标是（ ） A.)2,2(π B.)4,2(π C.)2,4(π D.)4,4(π8,命题:p 不等式0]1)1(lg[>+-x x 的解集为{}10|<<x x ；命题:q 在ABC ∆中，B A >是B A sin sin >成立的必要不充分条件.则（ ）A.p 真q 假B.p 且q 为真C.p 或q 为假D.p 假q 真9,已知数列是等差数列，是等比数列，且,．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和．{}n a {}n b 112,a b ==454b =12323a a a b b ++=+{}n b {}n a 10S10,已知向量, 向量，且与的夹角为，其中A 、B 、C 是的内角．（1）求角B 的大小； （2）求 的取值范围．测试题答案1, C2, A3, D4, D5, B6, B7, B8, A9, 解（1）（2）10, 解：（1） m =，且与向量n = （2，0）所成角为，又()m sin B,1cos B =-()n 2,0=m n 3πABC ∆C A sin sin +132-⨯=n n b 29010=S ()B B cos 1,sin -3π∴3sin cos 1=-B B ∴cos 1B B +=∴21)6sin(=+πB π<<B 0∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B（2）由（1）知，，A+C= ===，，32π=B ∴3π∴C A sin sin +)3sin(sin A A -+πA A cos 23sin 21+)3sin(A +π 30π<<A ∴3233πππ<+<A ∴)3sin(A +π⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23∴C A sin sin +⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23。
高中数学人教A版选修4-1同步辅导与检测3.2平面与圆柱面的截线
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
8．已知圆柱面准线的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面 与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球， 并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离． 解析：设截割圆柱的平面为δ，与 δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分 别为C1、C2，切点分别为F1、F2.如图
已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成 的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线
椭圆的长轴、短轴和离心率e.
解析：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两
2r 焦球球心距离为 =8 3 . sin 60
截线椭圆的长轴长为 8 3 ，短轴长为 2r=12，离心率
1 e=cos 60= . 2
5 cm. 2
∴底面圆的周长为 l=2r=5 cm. 将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)， 则从点 A 到点 C 的最短距离即为(2)中 AC 的长． l 5π 由于 AB= = cm，BC=AD=5 cm， 2 2 25π 2 5 π 2 4 cm. 25 = ∴AC= 4 2 答案：B
3.2 平面与圆柱面的截线
1．理解圆柱面的概念． 2．了解圆柱的截线及其性质．
1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点； ______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭 圆的______． 如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.
答案：F1、F2 F1F2 长轴
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于 圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的 内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一 公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.2平面与圆柱面的截线练习(含解析)新人教A版选修4_1
二平面与圆柱面的截线课时过关·能力提升基础巩固1下列说法不正确的是()A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的某一轴截面垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关,只与母线和斜截面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中,短轴长即为圆柱面的半径A正确;由于任一轴截面过轴线,故轴截面与圆柱的直截面垂直,B正确;C显然正确;D中短轴长应为圆柱面的直径长,故不正确.2已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是()A. 0°B.60°C.45°D.90°β与母线夹角为φ,则cosφ=,故φ= 0°.3如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么,这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() A.9倍 B.4倍 C.12倍 D.18倍2a,2b,2c,由已知,得=2c,即a=3c,故两条准线间的距离为=18c.4一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有() A.相同的长轴 B.相同的焦点C.相同的准线D.相同的离心率,所以长轴不同.嵌入的Dandelin球不同,则焦点不同,准线也不同,而平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.5若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是()A.5B.4C. D.2a,2b,2c,由已知a=2c,得,即e=.6两个圆柱的底面半径分别为R,r(R>r),平面π与它们的母线的夹角分别为α,β(α<β<90°),斜截口椭圆的离心率分别为e1,e2,则()A.e1>e2B.e1<e2C.e1=e2D.无法确定e1=cosα,e2=cosβ,又α<β<90°时,cosα>cosβ,∴e1>e2.7已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱的斜截口椭圆的离心率为,则椭圆的长半轴是() A.2 B.4C. 6D.42a,2b,2c.由题意,知b=2,-,则-4,解得a=4.8已知平面π截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的角为45°,此曲线是,它的离心率为.9已知椭圆两条准线间的距离为8,离心率为,则Dandelin球的半径是.4,,解得 , ,∴b=-.∴Dandelin球的半径为.10如图,设两个焦点的距离F1F2=2c,两个端点的距离G1G2=2a,求证:l1与l2之间的距离为.,设椭圆上任意一点P,过点P作PQ1⊥l1于点Q1,过点P作PQ2⊥l2于点Q2.连接PF1,PF2.∵e=,∴PF1=PQ1,PF2=PQ2.由椭圆定义,知PF1+PF2=2a,∴PQ1+PQ2=2a.∴PQ1+PQ2=,即l1与l2之间的距离为.能力提升1如图,过点F1作F1Q⊥G1G2,若△QF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.B.-C.2-D.-12a,2b,2c.∵△QF1F2是等腰直角三角形,∴QF1=F1F2=2c,QF2=2 c.由椭圆的定义,得QF1+QF2=2a,∴e=-1.2已知圆柱的底面半径为r,平面α与圆柱母线的夹角为 0°,则它们截口椭圆的焦距是() A.2r B.4r C.r D.3r,过点G2作G2H⊥AD,H为垂足,则G2H=2r.在Rt△G1G2H中,=2r×2=4r,G1G2=60°∴长轴2a=G1G2=4r,短轴2b=2r.∴焦距2c=2-=2×r=2r.3一平面截圆柱(圆柱底面半径为1,高足够长)的侧面,得到一个离心率是的二次曲线,该曲线两焦点之间的距离为()A. B.2 C.3 D.e=<1,∴曲线是椭圆,且e=cosθ=,θ= 0°,φ=60°(φ是底面与截面的夹角).∴ 60°=,∴2a==4,∴a=2.又,∴c=.∴2c=2.★4如图,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,点P,Q在椭圆上,有PD⊥l于点D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是①;②;③;④;⑤.其中正确的是()A.①②B.①③④C.②③⑤D.①②③④⑤符合离心率定义;②过点Q作QC⊥l于C,∵QC=FB,∴符合离心率定义;③∵AO=a,BO=,∴,故也是离心率;④∵AF=a-c,AB=-a,∴-,∴是离心率;-⑤∵FO=c,AO=a,∴是离心率.∴①②③④⑤的表述均正确,故选D.5已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线的夹角为 0°,在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b,则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是.=4b,∴c=4- b.,椭圆短轴长为2b,长轴长2a=0°∴e=或e= 0°=.设点P到焦点F1的距离为d,则,∴d=b.又PF1+PF2=2a=4b,∴PF2=4b-PF1=4b-b=5b.6如图,已知PF1∶PF2=1∶3,AB=12,G1G2=20,求PQ的长.2a,短轴长为2b,焦距为2c,.由椭圆定义,知PF1+PF2=G1G2=20,由已知可得a=10,b=6,c=-=8,e=45又PF1∶PF2=1∶3,则PF1=5,PF2=15.,由离心率定义,得45.∴PQ= 54★7如图,在圆柱O1O2内嵌入双球,使它们与圆柱面相切,并且和圆柱的斜截面相切,切点分别为F1,F2.求证:斜截面与圆柱面的截线是以点F1,F2为焦点的椭圆.,设点P为曲线上任一点,连接PF1,PF2,则PF1,PF2分别是两个球面的切线,切点分别为F1,F2,过点P作母线,与两球面分别相交于点K1,K2,则PK1,PK2分别是两球面的切线,切点为K1,K2.根据切线长定理的空间推广,知PF1=PK1,PF2=PK2,所以PF1+PF2=PK1+PK2=K1K2.由于K1K2为定值,故点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.。
人教A版高中数学选修4-1-3.2 平面与圆柱面的截线-课件(共17张PPT)
图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下 面 我 们 探 究 椭 圆 的 性质 。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它 们的交线分别为l1、l2， 、与 所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、 都 是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一 、引入
给定一个平面,从一点A作平面 的垂 线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面 上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影 。
L
A
设直线l与平面 相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究 如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1
数学人教A版选修4-1课后训练第三讲二平面与圆柱面的截线 Word版含解析
平面与圆柱面的截线练习
如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )
．倍．倍
．倍．倍
一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截，截口椭圆具有( )
．相同的长轴．相同的焦点
．相同的准线．相同的离心率
如图所示，过作⊥，△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
．．
．．
已知圆柱的底面半径为，平面α与圆柱母线的夹角为°，则它们截口椭圆的焦距是( )
．．．．
(能力拔高题)如图所示，已知为左顶点，是左焦点，交的延长线于点，，在椭圆上，有⊥于，⊥，则椭圆的离心率是①；②；③；
④；⑤.
其中正确的是( )
．①② ．①③④
．②③⑤ ．①②③④⑤
已知平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为°，此曲线是，它的离心率为．
已知椭圆两条准线间的距离为，离心率为，则球的半径是．
已知圆柱底面半径为，平面π与圆柱母线的夹角为°，在圆柱与平面交线上有一点到一准线的距离是，则点到另一准线对应的焦点的距离是．
如图所示，已知∶＝∶，＝，＝，求.
参考答案
答案：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，，，由已知，得，即＝，故两条准线间的距离为＝.
答案：因为底面半径大小不等，所以长轴不同.
嵌入的球不同，则焦点不同，准线也不同，
而平面与圆柱的母线夹角相同，故离心率相同.
答案：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，，.
∵△是等腰直角三角形，
∴＝＝，＝.
由椭圆的定义，得＋＝，
∴.
答案：如图，过点作⊥，为垂足，则.
在△中，
×，。
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3.2 平面与圆柱面的截线
►一层练习
1．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( )
A.
3－12 B.12 C.5－12 D.22
答：D
2．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.33
C.32
D ．非上述结论 答：A
3．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )
A ．22
B ．2
C ．4
D ．4 2
答：C
4．一平面截球面产生的截面形状是________；它不垂直底面所截圆柱面产生的截面形状是________．
答：圆 圆或椭圆
►二层练习
5．下列说法不正确的是( )
A ．圆柱面的母线与轴线平行
B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
答:D
6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________.
答：45
7．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．
解析：由2r 6＝sin 45°得r ＝3sin 45°＝322
. 答案：322
8．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．
解析：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2，
∴短轴长为4.
设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12
. ∴2a ＝4b ＝8，c ＝
a 2－
b 2＝2 3. ∴e ＝
c a ＝234＝32
. ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为
32. ►三层练习
9．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．
解析：依题意知，短轴长为2b ，
长轴长为2a ＝
2b sin 30°＝4b ， ∴c ＝
a 2－
b 2＝3b . ∴e ＝3b 2b ＝32
. 设P 到F 1距离为d .则
d 3b ＝32， d ＝32
b . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ，
∴|PF2|＝
5
2b.
答案：
5
2b
10．已知圆柱底面的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离．
解析：设截割圆柱的平面为δ，与δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分别为点C1、C2，切点分别为点F1、F2，如图所示．
由题意可知，C1F1⊥δ，C2F2⊥δ，
∴C1F1∥C2F2，
∴C1、F1、C2、F2共面．
设C1C2与F1F2相交于点C.
∵C1F1⊥截面δ⇒∠C1CF1＝60°⇒C1C＝
C1F1
sin 60°
＝2
3
2
＝43
3(cm)，
同理：C2C＝43
3(cm)，
∴O1O2＝C1C＋C2C＝
83
3(cm)．
即两个内切球的球心间的距离为83
3cm.
11．已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．解析：易知长半轴长a＝
12
6
＝6，短半轴长b＝r＝3，
两焦点间的距离2c＝122－62＝6 3.
椭圆离心率e＝c
a
＝3
2.
设截面与母线的夹角为φ，则cos φ＝3
2.
∴φ＝
π
6.
12．如图，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
解析：设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
由已知可得a＝10，b＝6，c＝a2－b2＝8，e＝c
a
＝4
5.由椭圆定义PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20.
又∵PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.
由离心率定义，得PF1
PQ
＝4
5.∴PQ＝
25
4.
13．已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．解析：过G1作G1H⊥BC于H.
∵圆柱底面半径为3，
∴AB＝2 3.∵四边形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2 3.在Rt△G1G2H中，G1G2＝G1H
sin∠G1G2H
＝23
3
2
＝4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径23，
∴椭圆的标准方程为
x2
4
＋y2
3
＝1.。