人教版高二数学上册期末试卷
2020-2021学年人教版高二上册数学期末数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合A={x|(x−7)(x+12)<0}，B={x|x+6>0}，则A∩B=( )A.{x|−6<x<12}B.{x|−6<x<7}C.{x|x>−12}D.{x|6<x<7}2. “四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 双曲线x2−4y2=−8的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12x C.y=±√2x D.y=±√22x4. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则a1+a2a5=()A.18B.20C.22D.245. 已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为()A.y2=4xB.y2=−3xC.x2=6yD.y=−8x26. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）A.√3015B.√3030C.815D.2√3015|PQ|=|PF2|，则动点Q的轨迹方程为( )A.(x+2)2+y2=34B.(x+2)2+y2=68C.(x−2)2+y2=34D.(x−2)2+y2=688. 如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30∘，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45∘．已知小车的速度是20km/ℎ，且cos∠AOB=−3√38，则此山的高PO=()A.1kmB.√22km C.√3km D.√2km二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9. 设命题p:∀n∈N，6n+7为质数，则()A.¬p为假命题B.¬p:∃n∈N，6n+7不是质数C.¬p为真命题D.¬p:∀n∈N，6n+7不是质数10. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1=2，a3=8，则()A.a5=12B.公差d=3C.S2n=n(6n+1)D.数列{1a n a n+1}的前n项和为n6n+411. 已知a>b>0，且a+3b=1，则()A.ab的最大值为112B.ab的最小值为112C.1 a +3b的最小值为16 D.a2+15b2的最小值为58轴上，直线AP 与直线y =−3交于点C ，直线BP 与直线y =−3交于点D ．设直线AP 的斜率为k ，则满足|CD|=36的k 的值可能为( )A.1B.−17C.110D.−7+2√109三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．)13. 设向量AB →=(1,2,4)，CD →=(m,1,1)，AB →⊥CD →，则实数m =________．14. 若双曲线x 26−y 2m =1的虚轴长为6√2，则该双曲线的离心率为________．15. 在△ABC 中，若B =π3，tan C =2√3，AC =2，则AB =________．16. 已知点P (m,n )是抛物线x 2=−8y 上一动点，则√m 2+n 2+4n +4+√m 2+n 2−4m +2n +5的最小值为________.四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．)17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2−a 2=58bc ，sin C =2sin B ．(1)求cos A ；(2)若△ABC 的周长为6+√15，求△ABC 的面积．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =AA 1=2BC ，E ，F 分别为侧棱BB 1，CC 1的中点．(1)证明：BF//平面A 1C 1E ；(2)求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．19. 已知数列{a n}的首项为4．(1)若数列{a n−2n}是等差数列，且公差为2，求{a n}的通项公式；(2)在①a3−a2=48且a2>0，②a3=64且a4>0，③a2021=16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：若{a n}是等比数列，________，求数列{(3n−1)a n}的前n项和S n．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20. 如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB=BC=√5，AC=4.(1)证明：AD⊥CF；(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．−y2=1有相同的焦点F．21. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与双曲线x23(1)求C的方程，并求其准线l的方程；(2)如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线OA与准线l交于点N，过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．22. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，且焦距为8．(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为π3，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．2.【答案】A【解析】利用充分条件和必要条件的定义，结合平面几何知识进行判断，即可得到答案．3.【答案】B【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．4.【答案】D【解析】设这根木棰的长度为1尺，分别计算每一次截取的量可得剩余的量，可得答案．5.【答案】C【解析】利用已知条件推出p>2，然后判断选项的正误即可．6.【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角计算公式即可得出．7.【答案】B【解析】由椭圆的方程求出a，b，c的值，由此可得|PF1|+|PF2|=2a=2√17，再由已知可|QF1|=2√17，进而可以求解．8.【答案】设OP＝x，由题意可得：Rt△OBP中，∠PBO＝45∘；在Rt△OAP中，∠PAO＝30∘，即可得出OB，OA．AB＝×20＝2.5．在△OAB中，利用余弦定理即可得出．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.【答案】B,C【解析】先判断命题p为真命题，然后利用含有一个量词的命题的否得到￢p，利用命题的否定与原命题的真假相反得到答案．10.【答案】B,C,D【解析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，根据已知条件即可计算出d的值，判断选项B，然后根据通项公式计算出a5的值，判断选项A，再根据等差数列的求和公式计算出S2n的表达式，判断选项C，最后计算出等差数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{}的通项公式，运用裂项相消法计算出数列{}的前n项和，判断选项D．11.【答案】A,C,D【解析】根据基本不等式的性质分别判断A，B，C，根据二次函数的性质判断D即可．12.【答案】A,D【解析】设出点P的坐标，求出直线PA，PB的斜率的乘积，然后再设出直线PA，PB的方程，进而可以求出点C，D的横坐标，进而可以求出|CD|，即可求解．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.【答案】−6【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．14.【答案】215.【答案】8√1313【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而根据正弦定理即可求解AB的值．16.【答案】3【解析】抛物线的准线为y＝2，焦点F坐标为(0, −2)，表示点P(m, n)与点F(0, −2)的距离与点P(m, n)与点A(2, −1)的距离之和，由抛物线的定义和两点之间线段最短可得最小值，进而可得结论．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17.【答案】解：(1)∵b2+c2−a2=58bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =58bc2bc=516．(2)∵sin C=2sin B，∴c=2b.由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=154b2，∴a=√152b.∵△ABC的周长为6+√15，∴3b+√152b=6+√15，解得b=2，∴S△ABC=12bc sin A=12×b×2b√1−(516)2=12×2×4×√23116=√2314．【解析】（1）由已知利用余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用正弦定理化简可得c=2b，由余弦定理得a＝√152b，根据△ABC的周长，可求b的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．18.(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∵ BB 1=CC 1，BB 1//CC 1，E ，F 分别为侧棱BB 1，CC 1的中点， ∴ BE//FC 1，BE =FC 1，∴ 四边形BEC 1F 是平行四边形，∴ BF//EC 1 .∵ C 1E ⊂平面A 1C 1E ，BF ⊄平面A 1C 1E ， ∴ BF//平面A 1C 1E ．(2)解：以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，设BC =1，则A 1(2,0,2)，C 1(0,0,2)，E(0,1,1)，B 1(0,1,2)，C(0,0,0)， C 1A 1→=(2,0,0)，EC 1→=(0,−1,1) ，CB 1→=(0,1,2) ． 设平面A 1C 1E 的法向量为n →=(x,y,z )，则{n →⋅C 1A 1→=2x =0,n →⋅EC 1→=−y +z =0,令y =1，得n →=(0,1,1)，则sin <CB 1→⋅n →>=|cos <CB 1→⋅n →>|=3√5⋅√2=3√1010， 故B 1C 与平面A 1C 1E 所成角的正弦值为3√1010. 【解析】（1）推导出BE C 1F ，从而四边形BEC 1F 是平行四边形，进而BF // EC 1，由此能证明BF // 平面A 1C 1E ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 1C 与平面A 1C 1E 所成角的正弦值． 19.【答案】解：(1)因为a 1=4，所以a n−2n=2+2(n−1)=2n，所以a n=2n+2n．(2)选①：a3−a2=48且a2>0；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a3−a2=48，得4q2−4q=48，解得q=4或q=−3，又a2>0，所以q=4．所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n，所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4．所以S n=(3n−2)4n+1+83选②：a3=64且a4>0；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a3=64，得4q2=64，解得q=±4，又a2>0，所以q=4．所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n．所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4所以S n=(3n−2)4n+1+8．3选③：a2021=16a2a2017；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a2021=16a2a2017，得a2021=16a1a2018=64a2018，则q3=64，解得q=4，所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n．所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4．所以S n=(3n−2)4n+1+83（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式，再得到{a n }的通项公式；（2）根据条件分别求出数列的通项公式，然后利用错位相减法，求出数列{(3n −1)a n }的前n 项和．20.【答案】(1)证明：∵ 四边形ACDE 为正方形，∴ AD ⊥CE .∵ 平面ABCDE ⊥平面CEFG ，平面ABCDE ∩平面CEFG =CE ，∴ AD ⊥平面FECG ．又CF ⊂平面FECG ，∴ AD ⊥CF .(2)解：以C 为坐标原点，CD →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ．∵ AB =BC =√5，AC =4， ∴ 点B 到AC 的距离为1，∴ G(0,0,4√2)，F(4,4,4√2)，B (−1,2,0)，GF →=(4,4,0)，BG →=(1,−2,4√2)．设平面BFG 的一个法向量为n →=(x,y,z )，则n →⋅GF →=n →⋅BG →=0，即4x +4y =x −2y +4√2z =0，令y =4√2，得n →=(−4√2,4√2,3)．取m →=(0,0,1)为平面ABCDE 的一个法向量，∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n →|m →||n →|=3√73=3√7373， ∴ 平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值为3√7373．【解析】（1）由四边形ACDE 为正方形，可得AD ⊥CE ，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面FECG ，从而得到AD ⊥CF ；（2）以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．21.【答案】(1)解：∵ 双曲线x 23−y 2=1的右焦点为F (2,0)，∴ p 2=2， 解得p =4，∴ C 的方程为y 2=8x ，其准线l 的方程为x =−2．(2)证明：由题意可知，直线AB 过点F 且斜率存在，设直线AB 的方程为y =k (x −2)(k ≠0)，联立{y =k (x −2),y 2=8x,整理，得ky 2−8y −16k =0，则Δ=64+64k 2>0恒成立，y 1y 2=−16k k =−16，故y 1y 2为定值．由题意，得点N 在准线l 上，设点N (−2,m )，由k OA =k ON ，得y 1x 1=m −2， 又∵ y 2=−16y 1，∴ m =−2y 1x 1=−2y 1y 128=−16y 1=y 2，∴ BN//x 轴//AM .又∵ x 1≠x 2，|AM|≠|BN|，∴ 四边形AMNB 为梯形．【解析】（1）根据题意可得双曲线的右焦点为(2, 0)，则，解得p ，进而可得C 的方程和准线l 的方程；（2）设直线AB 方程为y ＝k(x −2)(k ≠0)，联立直线AB 与抛物线的方程得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1∗y 2为定值；设点N 为(−2, m)，由k OA ＝k ON ，推出可得m ＝y 2，进而可得BN // x 轴 // AM ，|AM|≠|BN ，即可得证．22.【答案】解：(1)依题意可知{e =c a =2√55,2c =8,a 2=b 2+c 2,解得a =2√5,c =4，故C 的方程为x 220+y 24=1.(2)依题意可设直线l 的方程为y =√3x +m .联立{y =√3x +m,x 220+y 24=1,整理得16x 2+10√3mx +5m 2−20=0，则Δ=300m2−64(5m2−20)>0，解得−8<m<8．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−5√3m8,x1x2=5m2−2016，|AB|=√1+3√(x1+x2)2−4x1x2=√−5m2+3204，原点到直线l的距离d=√1+3=|m|2，则△AOB的面积S=12d⋅|AB|=12×|m|2×√−5m2+3204=√−5(m2−32)2+512016，当且仅当m2=32，即m=±4√2时，△AOB的面积有最大值2√5.【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距列方程组，解得a，b，c，进而可得椭圆的方程．（2）依题意可设直线l的方程为，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，可得△>0，解得−8<m<8．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d，再计算三角形AOB的面积最大值，即可．。
2022-2023学年人教A版高二上数学期末试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期末试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知数列满足，且，则 A.B.C.D.2. 当时，式子的值是（ ）A.B.C.D.3. 在空间有三个向量、、，则 A.B.C.D.4. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )A.B.{}a n =1a 1=a n a n+12n +=a 12a 21()1086108812801536m =−12m +3−1012AB −→−BC −→−CD −→−++=(AB −→−BC −→−CD −→−)AC −→−AD −→−BD −→−0→+−4x −4y −10=0x 2y 2x +y −14=036186–√C.D.5. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（ ）A.B.C.D.6. 已知过点且与两坐标轴都有交点的直线与圆相切，则直线的方程为A.B.C.或D.或7. 已知椭圆的左、右焦点分别为过 的直线与椭圆交于，两点．若，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.8. 已知数列，欲使它的前项的乘积大于，则的最小值为（ ）A.62–√52–√121323131656P (2,2)l 1+=1(x −1)2y 2l 1( )3x −4y +2=04x −3y −2=03x −4y +2=0x =24x −3y −2=0x =2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F 1F 2F 2C A B |AB|=||,|A|=|B|F 1F 2F 112F 1C 1+145−−−√20−1145−−−√20−1145−−−√181+145−−−√18{}n +2n n 36n 7B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是( )A.的焦点在轴上B.C.的实轴长为D.的离心率为10. 以下结论不正确的是（ ）A.对立事件一定互斥B.事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率C.事件与事件互斥，则有D.事件，满足，则，是对立事件11. 在正方体中，过作一垂直于直线的平面交平面于直线，动点在直线上，则下列选项正确的是（ ）A.B.．C.点到平面的距离等于线段的长度D.直线与直线所成角的余弦值的最大值是12. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，的斜率为，且，，两点在轴上方. 则下列结论中一定成立的是 A.B.四边形面积最小值为C.8910E :−=1(m >0)x 2m y 24x +3y =0E x m =49E 6E 10−−√3A B A A B P (A)=1−P (B)A B P (A)+P (B)=1A B ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C B 1ADD 1A 1l M l C//l B 1C ⊥l B 1M BCC 1B 1AB M B 1CD 5–√3F =2px (p >0)y 2AB CD F AB ⊥CD AB k k >0C A x ()⋅=−OC −→−OD −→−34p 2ACBD 16p 2+=1|AB|1|CD|12p |AF|⋅|BF|=42−–√D.若，则直线的斜率为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为________．14. 圆与圆的位置关系为________.15. 设数列满足，则________.16. 设平面向量则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和，是递增等比数列，且，．求数列和的通项公式；若，求数列的前项和 18.某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组分别求出,，，，的值；根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；|AF|⋅|BF|=4p 2CD −3–√1312：++2x +8y −8=0C 1x 2y 2：+−4x +4y −8=0C 2x 2y 2{}a n +3+⋯+(2n −1)=2n a 1a 2a n =a n {}a n n =(n ∈)S n n 2N ∗{}b n =b 1a 1=b 3a 5(1){}a n {}b n (2)=⋅(n ∈)c n a n b n N ∗{}c n n .T n 15∼65n 1[15,25)a 0.52[25,35)18x 3[35,45)b 0.94[45,55)90.365[55,65)3y(1)n a b x y (2)(3)若第组回答正确的人员中，有名女性，其余为男性，现从中随机抽取人，求至少抽中名女性的概率.19. 已知圆经过 ，并且圆心在直线 上.求圆的标准方程；过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程.20. 在四棱锥中， 平面，底面是边长为的菱形， ，是的中点．求证：平面平面；若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，且的面积为， . 求的方程；过点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点，轴上存在点满足，求点纵坐标的取值范围 .22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(3)1221C A (2,1),B (−2,−3)C 2x +y =0(1)C (2)D(3,−1)l C M,N |MN|=26–√l P −ABCD PD ⊥ABCD ABCD 2∠DAB =60∘E AD (1)PBE ⊥PAD (2)PB PAD 30∘C −PE −D C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2,A 1A 2B F △B A 1A 242–√⋅=−4B A 1−→−B A 2−→−(1)C (2)F l x C M N y P |PM|=|PN|P F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】数列递推式【解析】利用递推式逐步求解即可．【解答】解：因为 所以令时， ,所以, .故选．2.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.=,a n a n+12n ⋅=,a n+1a n+22n+1=2,a n+2a nn =1=2,a 1a 2=2a 2=2×==64a 122526=1×=1024,a 21210+=64+1024=1088a 12a 21B【答案】B【考点】空间向量的加减法【解析】首先根据题意作图，然后由三角形法则，即可求得向量 、、的和向量．【解答】解：如图：．故选．4.【答案】C【考点】直线与圆相交的性质点到直线的距离公式【解析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆心到到直线的距离为，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.故选．5.【答案】A【考点】互斥事件的概率加法公式AB −→−BC −→−CD −→−++=+=AB −→−BC −→−CD −→−AC −→−CD −→−AD −→−B +−4x −4y −10=0x 2y 2(2,2)32–√x +y −14=0=5>3|2+2−14|2–√2–√2–√2R =62–√C相互独立事件的概率乘法公式【解析】对立事件的概率之和为，相互独立事件的概率用乘法法则．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为．故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，代入直线方程即可.【解答】解：由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即.因为直线与圆相切，则，解得，故直线方程为，即.故选.7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理1(1−)×(1−)=1213131−=1323A l 1l 1y −2=k(x −2)kx −y +2−2k =0l 1+=1(x −1)2y 2=1|k +2−2k|+(−1k 2)2−−−−−−−−−√k =34x −y +2−=034323x −4y +2=0A根据题意利用椭圆的定义及余弦定理即可求得结果.【解答】设，则，，由于，所以，①由图可得，又由于所以，整理可得：，②将①代入②化简得等式左右两边同除可得，又结合椭圆的离心率的取值范围光解得.故选． 8.【答案】B【考点】数列的应用【解析】根据题设条件可知，数列的前项的乘积．由此能够导出的最小值．【解答】解：由题意可知，数列的前项的乘积．当时，或（舍去）．∵，∴的最小值为．|A|=x F 1|B|=2x F 1|A|=2a −x,|B|=2a −2x F 2F 2|AB|=||F 1F 22a −x +2a −2x =4a −3x =2c cos ∠A =,cos ∠B =F 2F 1+4−(2a −x)2c 2x 24a (2a −2)F 2F 1+4(2a −2x)2c 24(2a −2x)∠A +∠B =πF 2F 1F 1F 2F 1cos ∠A +cos ∠B =0F 2F 1F 2F 2+=04−4ax +4a 2c 22a −x 2−4ax +2ca 2a −x9−ac −4=0c 3a 2a 29−e −4=0e 3(0,1)e =1+145−−−√18D {}n +2nn =×××…×××=T n 314253n n −2n +1n −1n +2n (n +1)(n +2)2n {}n +2nn =×××…×××=T n 314253n n −2n +1n −1n +2n (n +1)(n +2)2=>36T n (n +1)(n +2)2n >7n <−10n ∈N ∗n 8二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故确；根据题意得，所以，故错误；双曲线的实轴长为，故错误；双曲线的离心率 ，故正确．故选．【解答】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故正确；双曲线的一条渐近线方程为，即，根据题意得，所以，故错误；双曲线的实轴长为，故错误；双曲线的离心率，故正确．故选．10.【答案】B,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】由互斥事件及对立事件的概念及性质对选项逐一判断即可.【解答】m ＞0E x A ==b a 2m −−√13m =36B E 2=12m−−√C E e ====e a m +4−−−−−√m −−√10−−√3D AD m >0E x A E :−=1(m >0)x 2m y 24x +3y =0y =−x 13==b a 2m −−√13m =36B E 2=12m−−√C E e ===c a m +4−−−−−√m −−√10−−√3D AD A A解：，对立事件一定互斥，故正确，不符合题意；，当事件包含事件时，事件与的和事件的概率等于事件的概率，故错误，符合题意；，当事件与对立时，有，故错误，符合题意；，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，所以“”是“与是对立事件”的必要不充分条件，故错误，符合题意.故选.11.【答案】B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：12.【答案】A,C,D【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的性质圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题可知，直线的方程为，联立消去可得，，A A B A B A B A B C A B P(A)=1−P(B)C D P(A)+P(B)=1A B D BCD A(,),B(,),C(,),D(,)x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4CD y =−(x −)1k p 2{y =−(x −)，1k p 2=2px ，y 2y −(+2p)x +=01k 2x 2p k 2p 24k 22，，，故正确；直线，联立得，，，由抛物线的定义得，，同理，， 四边形的面积，故错误；由上可知，，故正确；，，当时，，又，解得，直线的斜率为，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】∴+=p(1+2)x 3x 4k 2=x 3x 4p 24∴⋅=+OC −→−OD −→−x 3x 4y 3y 4=+(−)(−)x 3x 41k 2x 3p 2x 4p 2=(1+)−(+)+1k 2x 3x 4p 2k 2x 3x 4p 24k 2=−34p 2A AB :y =k(x −)p 2{y =k(x −)，p 2=2px ，y 2−p(+2)x +=0k 2x 2k 214k 2p 2∴+=p x 1x 2+2k 2k 2=x 1x 2p 24|AB|=|AF|+|BF|=++p =2p x 1x 2+1k 2k 2|CD|=(+1)2p k 2∴ACBD =|AB|⋅|CD|=212p 2(+1k 2)2k 2=2(++2)p 2k 21k 2≥8p 2B+=1|AB|1|CD|12p C |AF|⋅|BF|=(+)(+)x 1p 2x 2p 2=+(+)+x 1x 2p 2x 1x 2p 24=+⋅p 22+2k 2k 2p 22=+1k 2k 2p 2|AF|⋅|BF|=4p 2=4+1k 2k 2p 2p2k >0k =3–√3∴CD −3–√D ACD 23(A)=1(B)=1设表示“甲胜”，表示“和棋”，表示“乙胜”，则，，，由此能求出乙不输的概率．【解答】解：设表示“甲胜”，表示“和棋”，表示“乙胜”，则，，，∴乙不输的概率为：．故答案为：．14.【答案】相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】本题主要考查两圆的位置关系，先转化为标准方程，求出圆心和半径即可解得．【解答】解：圆:圆：两圆相交．故答案为：相交．15.【答案】【考点】数列递推式【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．A B C P(A)=13P(B)=12P(C)=1−−=131216A B C P(A)=13P(B)=12P(C)=1−−=131216P =P(B ∪C)=P(B)+P(C)=+=12162323C 1(x +1+(y +4=25)2)2∴(−1,4),=5C 1Y 1C 2(x −2+(y +2=16)2)2∴(2,−2),=4C 2r 2∴||==C 1C 29+4−−−−√13−−√∴−<||<+r 1r 2C 1C 2r 1r 2∴22n −1解：数列满足，∴，∴两式相减得，∴.当时，，上式也成立，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】相等向量与相反向量空间向量的夹角与距离求解公式平行向量的性质【解析】此题暂无解析【解答】由题意得，四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：当时，；当时， ；∴，∴，，∴数列的公比，∴．由可得，∴，①，②①②，整理得．【考点】{}a n +3+5+…+(2n −1)=2n a 1a 2a 3a n +3+5+…+(2n −3)=2n −2a 1a 2a 3a n−1(n ≥2)(2n −1)=2a n =a n 22n −1(n ≥2)n =1=2a 1=a n 22n −122n −1−62a −b =(3,−4)∴(2a −b)⋅c =3×2−4×3=−6(1)n =1==1a 1S 1n >1=−a n S n S n−1=−n 2(n −1)2=2n −1=2n −1(n ∈)a n N ∗==1b 1a 1==9b 3a 5{}b n q =3=(n ∈)b n 3n−1N ∗(2)(1)=⋅=(2n −1)⋅(n ∈)c n a n b n 3n−1N ∗=+++⋯++T n c 1c 2c 3c n−1c n =1×1+3×3+5×+⋯32+(2n −3)×3n−2+(2n −1)×3n−13=1×3+3×T n 32+5×+⋯33+(2n −3)×3n−1+(2n −1)×3n −=(n −1)×+1T n 3n (n ∈)N ∗数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，；当时， ；∴，∴，，∴数列的公比，∴．由可得，∴，①，②①②，整理得．18.【答案】解：由频率表中第组数据可知，第组总人数为，结合频率分布直方图可知，∴，，第组人数为，第组人数为,∴，．设中位数为，由频率分布直方图可知且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：由知，则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性.男性分别记为女性分别记为先从人中随机抽取人，共有：个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个基本事件，至少抽中一名女性的概率.【考点】(1)n =1==1a 1S 1n >1=−a n S n S n−1=−n 2(n −1)2=2n −1=2n −1(n ∈)a n N ∗==1b 1a 1==9b 3a 5{}b n q =3=(n ∈)b n 3n−1N ∗(2)(1)=⋅=(2n −1)⋅(n ∈)c n a n b n 3n−1N ∗=+++⋯++T n c 1c 2c 3c n−1c n =1×1+3×3+5×+⋯32+(2n −3)×3n−2+(2n −1)×3n−13=1×3+3×T n 32+5×+⋯33+(2n −3)×3n−1+(2n −1)×3n −=(n −1)×+1T n 3n (n ∈)N ∗(1)44=2590.36n ==100250.025×10a =100×(0.010×10)×0.5=5b =100×(0.030×10)×0.9=2720.020×10×100=2050.015×10×100=15x ==0.91820y ==0.2315(2)x x ∈[35,45)0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=0.5x ≈41.67∴41.67=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×x ¯¯¯10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5，(3)(1)a =532a,b,c ，1,2,52(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)，(c,1),(c,2),(1,2),(b,c)10A (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)7∴p =710列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图【解析】（1）根据频率表中数据求出的值，再分别计算、、与的值；（2）利用分层抽样法求出第、、组分别抽取的人数；（3）利用列举法求出从人中抽人的基本事件数以及所抽取的人中恰好没有第组人基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：由频率表中第组数据可知，第组总人数为，结合频率分布直方图可知，∴，，第组人数为，第组人数为,∴，．设中位数为，由频率分布直方图可知且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：由知，则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性.男性分别记为女性分别记为先从人中随机抽取人，共有：个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个基本事件，至少抽中一名女性的概率.19.【答案】解：中点为，斜率，∴的垂直平分线所在直线方程为,即，又∵圆心在直线上，则有解得n a b x y 234623(1)44=2590.36n ==100250.025×10a =100×(0.010×10)×0.5=5b =100×(0.030×10)×0.9=2720.020×10×100=2050.015×10×100=15x ==0.91820y ==0.2315(2)x x ∈[35,45)0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=0.5x ≈41.67∴41.67=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×x ¯¯¯10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5，(3)(1)a =532a,b,c ，1,2,52(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)，(c,1),(c,2),(1,2),(b,c)10A (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)7∴p =710(1)AB (0,−1)AB ==1k AB 1−(−3)2−(−2)AB y −(−1)=−1⋅(x −0)y =−x −1C 2x +y =0{y =−x −1,y =−2x,{x =1,y =−2,C(1,−2)∴圆心,，∴圆的标准方程为.∵，∴圆心到的距离，①当直线斜率存在时，设，即,，解得，此时,②当直线斜率不存在时，，此时，也符合要求.综上，可得直线的方程为或.【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：中点为，斜率，∴的垂直平分线所在直线方程为,即，又∵圆心在直线上，则有解得∴圆心,，∴圆的标准方程为.∵，∴圆心到的距离，①当直线斜率存在时，设，即,，解得，此时,②当直线斜率不存在时，C(1,−2)=|CA =10r 2|2C (x −1+(y +2=10)2)2(2)|MN|=2，=106–√r 2C l d ==2−(r 2|MN|2)2−−−−−−−−−−−√l l :y +1=k(x −3)kx −y −3k −1=0d ==2|−2k+1|+1k 2−−−−−√k =−34l :3x +4y −5=0l l :x =3d =2l 3x +4y −5=0x =3(1)AB (0,−1)AB ==1k AB 1−(−3)2−(−2)AB y −(−1)=−1⋅(x −0)y =−x −1C 2x +y =0{y =−x −1,y =−2x,{x =1,y =−2,C(1,−2)=|CA =10r 2|2C (x −1+(y +2=10)2)2(2)|MN|=2，=106–√r 2C l d ==2−(r 2|MN|2)2−−−−−−−−−−−√l l :y +1=k(x −3)kx −y −3k −1=0d ==2|−2k+1|+1k 2−−−−−√k =−34l :3x +4y −5=0l l :x =3d =2，此时，也符合要求.综上，可得直线的方程为或.20.【答案】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，易得，所以，所以在中，，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．l :x =3d =2l 3x +4y −5=0x =3(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =30∘Rt △BPE BE =3–√PE =3Rt △DPE DP =22–√E EA −→−x EB −→−y E −xyz P(−1,0,2)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,2)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +2z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(2,4,)m →6–√2–√3–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →4118−−−√59C −PE −D 4118−−−√59【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】【解答】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，易得，所以，所以在中，，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =30∘Rt △BPE BE =3–√PE =3Rt △DPE DP =22–√E EA −→−x EB −→−y E −xyz P(−1,0,2)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,2)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +2z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(2,4,)m →6–√2–√3–√(0,,0)−→−由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．21.【答案】解：依题知，，所以，且，解得 ，所以椭圆的方程为 . 设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立消得，有 . 取的中点为，则，那么 ，所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】（1）依题知，所以，(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →4118−−−√59C −PE −D 4118−−−√59(1)A (−a,0),(a,0)A 2B (0,b)=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2,C +=1x 28y 24(2)P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1,x 28y 24y =k(x −2),y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y P 2–√22–√2P [−,]2–√22–√2A (−a,0),(a,0),B (0,b)A 2=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4−→−−→−且，解得 . 所以椭圆的方程为 . （2）设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立，消得，有 . 取的中点为，则，那么 . 所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 【解答】解：依题知，，所以，且，解得 ，所以椭圆的方程为 . 设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立消得，有 . 取的中点为，则，那么 ，⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2C +=1x 28y 24P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1x 28y 248+=1y 24y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y 02–√22–√2P [−,]2–√22–√2(1)A (−a,0),(a,0)A 2B (0,b)=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2,C +=1x 28y 24(2)P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1,x 28y 24y =k(x −2),y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2+=−(x −)42所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y P 2–√22–√2P [−,]2–√22–√2(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
人教版高二上册期末数学试卷(有答案)【真题】
浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A．B．C． D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y．故选A．2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离d==，故选C．3．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，∴V=S•AA1，△ABC∵E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，∴S=，，△AFG∴三棱锥E﹣AFG体积：V E﹣AFG===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A．B．C． D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ， 可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ， 则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ，且CH ＜CB=a ， sinβ=＜=；由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ，设P 到平面ABC 的距离为d ，由BC ⊥平面PAC ，且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ， 即有BC•S △ACP =d•S △ABC ， 即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ， 则sinα==≤， 即有α≤． 另解：由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为z 轴，建立直角坐标系O ﹣xyz ， 可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2， 可得P （cosθ，sinθ，0），过P 作PM ⊥AC ，可得PM ⊥平面ABC ，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤； 过C 作CN 垂直于平面PAB ，垂足为N ，则∠CPN=β， sinβ==＜=．故选：B．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±x，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：x2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±x；离心率e==．故答案为：y=±x；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，∴，∴x=﹣m（mx+1）+1，解得x=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：S max==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值S max==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则x2=⇒2x2=x1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x1+2x2=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y ﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y1﹣y2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB为直径的圆与x轴相切，设AB中点为M|AB|=|y1+y2|又y1+y2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M（，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（x﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤x0≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．设d1=|F1M=，d2=|F2M|=，d1d2=•===3，|F1M|+|F2M|=d1+d2≥=2．（Ⅱ）当k≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d1+d2）====，∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．。
完整word版,人教版高二数学上学期期末测试卷(理)
高二数学第一学期期末测试卷（理）（满分：120分，考试时间：100分钟）校区： _____________________ 学生姓名：___________________________、选择题（本大题共10小题, 每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线x2 8y的准线方程为（A. y 2B. xC.D. x 42.若命题"p q"和" p"都为假命题，则q为假命题 B. q为假命题 C. q为真命题 D.不能判断q的真假3.已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题:①若a b,b c,则a//c ；②若a // b, b c,则 a c ；③若a// ,b ,则a//b ；④若a与b异面，且a//,则b与相交;其中真命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.在正方体ABCD 中, 异面直线B"与CB i所成的角为（A. 30°B. 450C. 60°D.90°5.已知1,0,2 ),b (6,2 1,2）,若a//b,则与的值分别为（A. B. 5,2 D. 5,6.过点(2,2x-2）且与双曲线一21有相同渐近线的双曲线的方程是2A.1 42y- 122X- 122c.022 27.若过点（3,1）总可以作两条直线和圆（x 2k）（y k）范围是（k(k A(0, 2) B. (1, 2)8.已知双曲线2x_2aD.20）相切，则k的取值D. (0, 1) U (2 , +8石1（a °,b 0）的右焦点为F,若过F且倾斜角为-的直线始终保持MN //面DCC 1D 1,设BN x,MN y ,则函数y f x 的图象大致是（）一个交点，则cos RPF2 _______A. (1,2)B. [2,)C. （1,'迈）D. )9.直线1与椭圆2x2y 2 1交于不同的两点 P 1、 F 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线1的斜率为k 1（k 1 0), 直线OP 的斜率为k 2（O 点为坐标原点） ，则k 1 k 2的值为（）A.-2B. 1C. 2D.不能确定与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围( )10.正四棱柱 ABCD AiB i C i D i 中,AA 、 2, AB 1, M , N 分别在AD 1,BC 上移动，且 A.C.o'XB. LX上a r仁、填空题（本大题共 7小题，每小题4分，共28分） 11.经过原点且与直线 3x 4y 20平行的直线方程为 _________UJU r UULT 12. 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AB=a, AD r r r 贝 U a b c ____ .13. 已知某个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是 ________ .214. 已知动点P 在曲线2x y 0上移动，则点A （0, 1）与点P 连线的中点M 的轨迹方程是 ___________ . r uur rb,AA c ,15.若直线2ax by 20 (a 0,b 0)始终平分圆x 21 1则的最小值为 ___________a b2 216.椭圆—二25 91和双曲线2y 2x 4y 1 0的圆周,1有相同的焦点F 1 ,F 2 , P 是两条曲线的17.如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=3,E为DC边的中点，沿AE将ADE折起,使二面角D-AE-B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为_______________三、(本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)218.(本题8分)已知命题p: 4x 3 1,命题q:(x a)(x a 1) 0,若p是q的充分不必要条件。
人教版高二数学上册期末试卷
18.盒子中有 5 个大小形状完全相同的小球，其中黑色小球有 3 个，标号分别为 1， 2，3，白色小球有 2 个，标号分别为 1，2.
(Ⅰ)若从盒中任取两个小球，求取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4 的概 率;
﹣2)x+1>0 对任意 x∈R 恒成立.若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数 m 的取值 范围为()A.(1，4)B.[﹣2，4]C.(﹣∞，1]∪(2，4)D.(﹣∞，1)∪(2，4)12.如图，在 棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，给出以下结论：
①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°;
A.B.2C.D.
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)11.若双曲线﹣=1 的焦距为 6，则 m 的值为.
12.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售 点，公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中，抽取一个容量为 100 的样 本，则应从丙地区中抽取个销售点.
A.4B.﹣4C.2D.﹣2
7.执行如图程序框图，若输出的 S 值为 62，则判断框内为 ()A.i≤4?B.i≤5?C.i≤6?D.i≤7?
8.下列说法中，正确的是()A.命题“若 x≠2 或 y≠7，则 x+y≠9”的逆命题为真命 题
B.命题“若 x2=4，则 x=2”的否命题是“若 x2=4，则 x≠2”C.命题“若 x2<1，则 ﹣1<x<1”的逆否命题是“若 x1，则 x2>1”D.若命题 p：?x∈R，x2﹣x+1>0， q：?x0∈(0，+∞)，sinx0>1，则(￢p)∨q 为真命题
人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)
黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。
2022-2023学年人教A版高二上数学期末考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期末考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1. 已知直线，：，若，则的值为（ ）A.B.C.D.或2. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于（ ）A.B.C.D.4. 已知椭圆，若长轴长为，离心率为，则此椭圆的标准方程为( )A.B.C.:3x +2ay −5=0l 1l 2(3a −1)x −ay −2=0//l 1l 2a −1660−16{}a n d n S n d >0+>2S 4S 6S 5ABCD 2E F G AB AD DC ⋅GE −→−GF −→−1−14−4C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2812+=1x 264y248+=1x 264y 216+=1x 216y 24=122D.5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为 A.B.C.D.6. 若直线与曲线有交点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 在同一直角坐标系中，反映直线与位置关系正确的是（ ）A.B.C.D.8. 从一个边长为的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程．若按照上述规律，则第四个图形的周长是（ ）+=1x 216y 212=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →()−3–√3–√−11y =kx +=1(x −)3–√2(|y|−1)2k [−,]3–√3–√[−1,1][−,]2–√22–√2[−,]3–√33–√3y =ax y =x +a 3143A.B.C.D.9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，10. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，若，则A.B.C.D.11. 下列说法正确的是（ ）A.椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线焦点的弦中最短弦长为C.抛物线 上两点 则弦经过抛物线焦点的充要条件为D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12. （5分） 如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴长，下列式子正确的是（ ）143320492569643{}a n n S n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016=−2019S 2019>a 2016a 4=2019S 2019>a 2016a 4=−2019S 2019<a 2016a 4=2019S 2019<a 2016a 4ABCD AB =2AD =5–√F CD ⋅=0AF −→−DF −→−⋅=BF −→−AC −→−( )4321+=1x 2a 2y 2b 2−b 2a2−=1x 2a 2y 2b22b 2a =2px y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24P F I P F II 2c 12c 2I II 2a 12a 2I IIA.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛物线上一个点（在轴上方）到焦点的距离是，此时点的坐标是________．14. 已知双曲线＝，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接．若＝，＝，则该双曲线的渐近线方程为________．15. 已知圆，直线与圆相交于，两点，当钝角三角形的面积为时，则实数________．16. 如图，是边长为的等边三角形，是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和 .求数列的通项公式；在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若________，求数列的前项和 .18. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四种说法：① 是等边三角形；② ；③+=+a 1c 1a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2<c 1a 1c 2a 2>c 1a 2a 1c 2=8x y 2P P x 8P 1(a >0,b >0)x P M N M MO Q O QN ∠MPO 120∘∠MNQ 150∘C :+−4x −2y −20=0x 2y 23x +4y −a =0C A B ABC 12a =△ABC 23–√P C 1⋅AP −→−BP −→−{}a n n =S n n 2(1){}a n (2)=b n 8n (⋅)a n a n+12=⋅b n a n 2n =⋅b n (−1)n S n {}b n n T n 1ABCD AC ADC ⊥ABC D −ABC △DBC AC ⊥BD AB ⊥CD AD BC C60∘；④直线和所成的角的大小为．其中所有正确的序号是( )A. ①③B.②④C.①②③D.①②④19. 在平面直角坐标系中动圆与圆外切，与圆内切.求动圆圆心的轨迹方程；直线过点且与动圆圆心的轨迹交于，两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由．20. 如图，已知抛物线的焦点为，过的两条动直线，与抛物线交出，，，四点，直线，的斜率存在且分别是，．若直线过点，求直线与轴的交点坐标；若，求四边形面积的最小值．21. 在直四棱柱中，底面为正方形，，，，分别是，，的中点．证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．AB ⊥CD AD BC C 60∘xOy P M ：(x +1+=1)2y 2N ：(x −1+=9)2y 2(1)P (2)l E(−1，0)P A B △AOB △AOB x 2=2py(p >0)F(0,1)F AB CD A B C D AB CD (>0)k 1k 1k 2(1)BD (0,3)AC y (2)−k 1k 2=2ACBD ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =2AB =4A 1M N P AD DD 1CC 1(1)MNC//A P D 1(2)DP MNC F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末考试一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据两直线平行的条件可知，．从而可求出的值．【解答】解：∵，∴．即．解得或．故选．2.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】由要，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，选．3.【答案】A【考点】空间向量的数量积运算向量在几何中的应用【解析】3(−a)−2a(3a −1)=0a //l 1l 23(−a)−2a(3a −1)=06+a =0a 2a =0a =−16D +−2=10+21d −2(5+10d)=d S 4S 6S 5a 1a 1d >0+−2>0S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5d >0d >0+>2S 4S 6S 5C此题暂无解析【解答】解：取的中点，连接，，如图所示，四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，且，所以平面，又平面，所以，又 所以，又，所以所以.故选.4.【答案】D【考点】椭圆的标准方程【解析】由椭圆的离心率为，长轴长为及联立方程组求解，，则椭圆的方程可求.【解答】解：椭圆，长轴长为，离心率为，所以，，，因为，所以，，所以椭圆的标准方程为.故选．5.【答案】A【考点】向量的投影BD M AM CM ABCD 2E F G AB AD DC GF =AC =112AM ⊥BD CM ⊥BD AM ∩CM =M BM ⊥AMC AC ⊂ACM BD ⊥AC EF//BD,EF ⊥AC AC//FG FG ⊥EF;⋅=(+)GE −→−GF −→−GF −→−FE −→−⋅=+GF −→−GF −→−2⋅=+0=1FE −→−GF −→−12A 128−=a 2b 2c 2a b C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 28122a =8a =4=c a 12−=a 2b 2c 2c =2b =23–√C +=1x 216y 212D根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．【解答】解：向量，则向量在方向上的投影为：.故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：时，曲线方程为 ，时，曲线方程为．当直线与曲线相切时，，则的取值范围是，故选．7.【答案】C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上；故选．8.b →a →a →=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →||==−a →−23–√1+3−−−−√3–√A y ≥0+=1(x −)3–√2(y −1)2y <0+=1(x −)3–√2(y +1)2y =kx k =±3–√k [−,]3–√3–√A y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y CD【考点】数列的应用【解析】设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，选．【解答】解：设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，.故选．9.【答案】D【考点】数列的函数特性等差数列的性质等差数列的前n 项和【解析】由，，设，．即，化为，可得．即．再利用等差数列的性质与前项和公式即可得出．【解答】解：∵，，∴，设，，则，化为.∵，∴，∴，∴．∵，又，∴，即.∵，,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==,=3,=3×4,=3×4,=3×4×4a 2a 113a 313a 213a 413a 319b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D ,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==a 2a 113a 313a 213a 413a 319=3,=3×4,=3×4×4,=3×4×4×4b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D y −1+2016(−1)=1a 4)3a 4(−1+2016(−1)=−1a 2013)3a 2013−1=m a 4−1=n a 2013+2016m ++2016n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2016)=0m 2n 2m +n =0+=2a 4a 2013n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016(−1+2019(−1)+(−1+2019(−1)=0a 4)3a 4a 2016)3a 2016−1=m a 4−1=n a 2016+2019m ++2019n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2019)=0m 2n 2+−mn +2019>0m 2n 2m +n =−1+−1=0a 4a 2016+=2a 4a 2016===2019S 20192019(+)a 1a 201922019(+)a 4a 20162(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=1a 4)3a 4a 4a 4)2(−1+2019>0a 4)2−1>0a 4>1a 4(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=−1a 2016)3a 2016a 2016a 2016)2(−1+2019>0)2又，∴，即，∴.故选.10.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知得到，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，即可得到，，再利用向量的数量积运算即可得解.【解答】解：因为，所以.因为，所以.因为为的中点，所以.因为，所以.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.则，，，，所以，，所以.故选.11.【答案】A,C【考点】椭圆的标准方程双曲线的特性【解析】(−1+2019>0a 2016)2−1<0a 2016<1a 2016>1>a 4a 2016D AB ⊥DF A AF y AB x A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=0AF −→−DF −→−AF ⊥DF AB//DC AF ⊥DF F CD DF =FC =AB =112AD =5–√AF ===2A −DF D 22−−−−−−−−−−√5−1−−−−√A AB x AF y A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=−2×1+2×2=2BF −→−AC −→−C数形结合；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理． 直线和圆锥曲线相交带来的问题，只要联立方程，恰当利用韦达定理就可对四个选项做出判断．【解答】解：．正确；设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，①，又点在椭圆上， ，代入①，得，；．错误；设双曲线右焦点直线与双曲线右支相交于，，当直线斜率不存在时，则直线方程为，则．当直线斜率存在时，则直线方程为，联立，得，，得或，由焦半径公式可得,所以当直线与轴垂直时，的长为最小，即最小值为．特别的当直线斜率存在且为时，，所以最小值为或．．正确；充分性：当直线斜率存在时，设直线的方程为：,由，得，，又 ，，，或，直线方程为（舍）或，当时，．当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，又因为，所以，弦经过焦点；必要性：当直线经过抛物线的焦点时，设过焦点的直线方程为，代入，可得，A A(−a,0)B(a,0)P(m,n)∴⋅=⋅=k PA k PB nm +a nm −a n 2−m 2a 2∵P(m,n)∴+=1m 2a 2n 2b 2∴=(1−)n 2m 2b 2b 2∴⋅=−k PA k PB b 2a 2B −=1x 2a 2y 2b 2F(c,0)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB AB x =c |AB|=2b 2a AB AB y =k(x −c) −=1x 2a 2y 2b 2y =k(x −c)(−)+2c x −−=0b 2a 2k 2x 2a 2k 2a 2k 2c 2a 2b 2 Δ>0+>0x 1x 2>0x 1x 2k >b a k <−b a |AB|=|AF|+|BF|=e (+)−2a x 1x 2=⋅−2a =−2a =−2a >−2a =c a 2c a 2k 2−a 2k 2b 22ac 2k 2−a 2k 2b 22ac 2−a 2b 2k 22c 2a 2b2aAB x |AB|2b 2a AB 0|AB|=2a |AB|2b 2a 2a C AB AB y =kx +b {y =kx +b=2px y 2+(2bk −2p)x +=0k 2x 2b 2∴⋅=x 1x 2b 2k 2∵=2px(p >0)y 2⋅=x 1x 2p 24∴=b 2k 2p 24∴k =2b p k =−2b p ∴AB y =x +b 2b p y =−x +b 2b p y =0x =p 2AB AB x =x 1=x 1x2=x 1x 2p 24==x 1x 2p 2∴= x 1x 2p 24AB AB F (,0)p 2AB x =my +p 2=2px y 2−2pmy −=0y 2p 2==2222由韦达定理得，，， 弦经过焦点． 抛物线上两点，，则弦经过抛物线焦点的充要条件为；．错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系．故选．二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】根据图象可知，，进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．可知；，进而判断①④不正确．③正确；根据，可知；【解答】解：由图可知，，∴，∴不正确，∵，，∴，∴正确．，可得，，即，∵，∴，∴正确；此时，∴不正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线可知，准线方程为，进而根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，求得点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．【解答】=−y 1y 2p 2===x 1x 2y 21y 224p 2()y 1y 224p 2p 24∴AB x =x 1x 2p 24∴=2px y 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24D AC >a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2>c 1a 1c 2a 2−=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2>a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2A −=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2B +=+a 1c 2a 2c 1(+=(+a 1c 2)2a 2c 1)2−+2=−+2a 21c 21a 1c 2a 22c 22a 2c 1+2=+2b 21a 1c 2b 22a 2c 1>b 1b 2>c 1a 2a 1c 2D >c 1a 1c 2a 2C BD (6,4)3–√=8x y 2p =4x =−2P P x =−2P =8x2解：根据抛物线，得，根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，则可得点的横坐标为，把代入抛物线方程，解得．因为在轴上方，所以点的坐标是．故答案为：．14.【答案】＝【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】或【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用圆心到直线距离与弦长、半径之间的关系表示出弦长和距离，三角形的面积用距离和弦长表示，最后用点到直线的距离公式求解未知数．【解答】解：设圆心到直线的距离为，直线被圆所截的弦长为，则；由圆的方程得知圆心为，半径，所以；所以，联立解出，或，；因为三角形为钝角三角形，所以，则．因为，所以或 ．故答案为：或．16.【答案】=8x y 2p =4P P x =−2P x =6x =6y =±43–√P x P (6,4)3–√(6,4)3–√y ±x−525d d l =dl S △ABC 12(2,1)r =5=25−()l 22d 2⋅=d 2()l 22122=9d 2(=16l 2)2=16d 2(=9l 2)2ABC <d 2()l 22=9d 2d ==3|3×2+4×1−a|+3242−−−−−−√a =−5a =25−5251【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的运算相等向量与相反向量【解析】根据是边长为的等边三角形，算出，分别将和分解为以、和为基向量的式子，将数量积展开，化简整理得，最后研究的大小与方向，可得的最大、最小值，最终得到的取值范围．【解答】解：∵，，∴.∵，，∴.∵，∴.∵是边长为的等边三角形，∴向量是与垂直且方向向上，长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,△ABC 23–√⋅=6AC −→−BC −→−AP −→−BP −→−AC −→−BC −→−CP −→−⋅AP −→−BP −→−⋅=7+(+)AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−⋅AP −→−BP −→−==2|AC |−→−−−|BC |−→−−−3–√∠ACB =60∘⋅=2⋅2cos =6AC −→−BC −→−3–√3–√60∘=+AP −→−AC −→−CP −→−=+BP −→−BC −→−CP −→−⋅=(+)(+)AP −→−BP −→−AC −→−CP −→−BC −→−CP −→−=⋅+(+)+AC −→−BC −→−CP −→−AC −→−BC −→−CP −→−2=1|CP |−→−−−⋅=6+(+)+1AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−=7+(+)CP −→−AC −→−BC −→−△ABC 23–√+AC −→−BC −→−AB 6P C CP −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−−6⋅AP −→−BP −→−7−6=11(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+234n+1,两式相减，可得： ，∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和【解析】【解答】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,,两式相减，可得：，2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅n+1∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.18.【答案】D【考点】两条直线垂直的判定异面直线及其所成的角【解析】①因为 取中点，连接，，则，因为平面 平面，平面平面 ，所以 平面，所以 所以 ，故①正确；对于②，取的中点，连接，则，因为 又因为 ，所以 平面，又因为平面，所以 ；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以为坐标圆的建立空间坐标系，转化成向量的夹角处理．【解答】解：过作于，连接，由题意知：，∵平面平面，∴平面，∴，∴，即为等边三角形，①正确；∵为的中点，，∴，∴平面，平面，∴，②正确；假设.又因为，，所以平面，因为平面，所以，又知道，，所以 平面，这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错．建立空间直角坐标系如图：=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2CD =BC AC E BE DE DE ⊥AC,BE ⊥AC,DE =BE =2–√2ACD ⊥ABC ADC∩ABC =AC DE ABC DE ⊥BE BD ==1D +B E 2E 2−−−−−−−−−−√AC E BE DE BE ⊥AC,DE ⊥AC DE ∩BE =E AC ⊥BDE BDC BDE AC ⊥BD E D DO ⊥AC O BO DO =BO =2–√2ADC ⊥ABC DO ⊥ABC DO ⊥BO BD =1△BCD O AC AB =BC BO ⊥AC AC ⊥BOD BD ⊂BOD AC ⊥BD AB ⊥CD AB ⊥BC BC ∩CD =C AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB ⊥BD AC ⊥BD AB ∩AC =A BD ⊥ABC (−,,0)−→−–√–√(,0,)−→−–√–√则，，∴，，∴异面直线与所成的角是，∴④正确．综上，正确的序号为：①②④．故选19.【答案】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，=(−,,0)AB −→−2–√22–√2=(,0,)CD −→−2–√22–√2cos <AB −→−>=−CD −→−12AB CD 60∘D.(1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t3(−1)+4t 26t3+1t 2=63t +1tg(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 323因此，面积的最大值为.【考点】轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆圆，半径为）．利用已知条件转化判断动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，求出，然后求解椭圆的方程；（2）设直线！的方程为或（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果．【解答】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，2△AOB 32加P (x,y)P M N a b x =my −1y =01AOB (1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t 3(−1)+4t 26t 3+1t 2=63t +1tt)=3−12设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，因此，面积的最大值为.20.【答案】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．【考点】抛物线的标准方程抛物线的应用g(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 32△AOB 32(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min直线与抛物线结合的最值问题【解析】（1）平辱析】（2）抛物线方程为，设（五乃），（元小），（丏），；，石，直线代入抛物线、________方程，当时，得乃：，巧﹦，当时，得巧兀，进而可得互巧值为一- ，写出直线方程，令得________，进而得出结论；【解答】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．21.【答案】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．∼=4y 4B C μD(x y)>πy =lcc +t 4t =1X t =3AC x =031y =−43(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min (1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【考点】平面与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → =−x +2z =0，−→−则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴． ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
2022-2023学年人教A版数学高二上期末考试(含解析)012759
2022-2023学年人教A 版数学高二上期末考试学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合，集合，则 A.B.C.D.2. 若，两点的横坐标相等，则直线的倾斜角和斜率分别是( )A.，B.，C.，不存在D.，不存在3. 设函数的定义域为，且满足任意恒有的函数是（ ）A.B.C.D.4. “”是“直线与圆相切”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知等差数列的前项和为，，，则( )A.B.C.D.A ={x |−2x −3>0}x 2B ={x |y =lg(x +3)}A ∩B =(){x |−3<x <−1}{x |x >3}{x |−3<x <−1或x >3}{x |−1<x <3}A B AB 45∘1135∘−190∘180∘f(x)A x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)=xlog 2f(x)=2xf(x)=xx −1f(x)=x 2k =1y =kx −2+=2x 2y 2{}a n n S n +=20a 2a 7=21a 10=S 8+a 1a 1921404021122ABCD −A B C D A C6. 如图所示在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则 A.B.C.D.7. 已知是函数的所有零点之和，则的值为( )A.B.C.D.8. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，延长，交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.9. 已知复数的共轭复数为，且，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在复平面内对应的点在第一象限10. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1=+x +y BE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−()x =−，y =1212x =，y =−1212x =−，y =−1212x =，y =1212M f(x)=|2x −3|−8sin πx(x ∈R)M 36912C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F l C A B ∠AFB =120∘AF C M |MF|=2|AF|C 21−−√3733–√3z z ¯¯¯−2=z ¯¯¯3+4i zz =1−2i=1+2i z¯¯¯|z|=5–√z C :=2px (p >0)y 2F F 3–√l C A B A |AF|=8( )(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是A.B.C.D.11. 在中，角，，所对的边分别为，，，那么下列给出的各组条件能确定三角形有唯一解的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，12. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值13. 已知数列中，＝，＝．若为等差数列，则＝________． 14. 如图，三棱锥中，是的中点，是的中点，若实数，，满足，则________．15. 已知在三棱锥中，，，两两成，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.16. 已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为________. 17. 已知等差数列满足.求数列的通项公式；求数列的前项和为．A D |AF|=8( )p =4=DF −→−FA −→−|BD|=2|BF||BF|=4△ABC A B C a b c B =30∘b =2–√c =2B =30∘b =2c =4B =30∘b =2c =5A =75∘B =30∘b =2l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C {}a n a 32a 71a 5P −ABC M AC Q BM x y z =x +y +z PQ −→−PA −→−PB −→−PC −→−x −y +z =P −ABC PA PB PC 90∘PA =1，PB =PC =2C (−1,0)F 1(1,0)F 2F 2C A B |A |F 2=2|B |F 2|AB |=|B |F 1C {}a n +2=3n +5a n a n+1(1){}a n (2){}1a n a n+1n S n C :=2px (p >0)2M (2,m)18. 已知抛物线上的点到焦点的距离求的值；过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线的方程． 19. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率． 20. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面相互垂直，，，，．求证：平面；求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．21. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的点到点的最大距离为，为坐标原点．求椭圆的标准方程；过右焦点倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求的面积．22. 已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．求双曲线的方程；设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过点及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．C :=2px (p >0)y 2M (2,m)F 3.(1)p,m (2)P (1,1)1C A B P AB 160[40,50)[50,60)[90,100](1)[70,80)(2)(3)[60,80)621[70,80)ABEF △ABC AB =4BC =6–√BC ⊥BE ∠ABE =π3(1)BC ⊥ABEF (2)ACF BCE C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F(1,0)F 3O (1)C (2)F 60∘C M N △OMN x C A (0,)2–√1C A y=x (1)C (2)y =mx +1C A B l M (−2,0)AB l y b参考答案与试题解析2022-2023学年人教A 版数学高二上期末考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据题意，由集合的表示方法分析、，求出的补集，由集合的交集定义计算可得答案．【解答】解：，，.故选.2.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】由,两点的横坐标相等，则直线与轴垂直，则倾斜角为，斜率不存在.【解答】解：，两点的横坐标相等，则直线与轴垂直，则倾斜角为，斜率不存在.故选.3.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】A B B A =x |−2x −3>0}x 2={x |x >3或x <−1}B ={x |y =lg(x +3)}={x |x >−3}∴A ∩B ={x |−3<x <−1或x >3}C A B x 90∘A B x 90∘C x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)(1,1)满足任意恒有，则函数关于中心对称，由此可得结论．【解答】解：∵满足任意恒有，∴函数关于中心对称，∵的对称中心为故选．4.【答案】A【考点】点到直线的距离公式直线与圆的位置关系必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】无【解答】解：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，∴，即，∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．故选．5.【答案】B【考点】等差数列的前n 项和等差中项等差数列的性质【解析】直接由等差数列的性质求和即可.【解答】解：∵数列为等差数列，∴.故选.x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)(1,1)x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)(1,1)f(x)=1+=1x −1x x −1(1,1)C y =kx −2+=2x 2y 2(0,0)kx −y −2=0d ==|−2|+1k 2−−−−−√2–√+1=2k 2=1k 2k =±1k =1y =kx −2+=2x 2y 2A {}a n ==S 8+a 1a 198(+)a 1a 82+a 1a 194(+)a 1a 8+a 1a 19===4(+)a 2a 72a 104×202×214021B6.【答案】A【考点】共线向量与共面向量空间向量的加减法【解析】根据空间向量的线性表示，用、、表示即可．【解答】解：根据题意，得；，又∵，∴，，故选．7.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系函数的零点函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：设，.则函数的零点是与的图象交点的横坐标.∵图象与轴的交点为且关于对称，周期为，振幅为.∴作与图象如下：AA 1−→−AB −→−AD −→−BE −→−=+(+)BE −→−BB 1−→−12BA −→−BC −→−=++AA 1−→−12BA −→−12BC −→−=−+AA 1−→−12AB −→−12AD −→−=+x +y BE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =−12y =12A g(x)=|2x −3|(x ∈R)h(x)=8sin πx(x ∈R)f(x)=|2x −3|−8sin πx(x ∈R)g(x)h(x)g(x)x (,0)32x =32h(x)==22πω2ππ8g(x)h(x)∴与图象交点有个，即零点有个，分别记为：，，，，，，，.对称轴为（是奇数），由题知：，关于对称轴对称，即，同理可得：，，，即零点之和.故选.8.【答案】B【考点】双曲线的离心率余弦定理【解析】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力．【解答】解：根据题意，作图如下：设双曲线的左焦点为，连接，，设，则，，．由双曲线的对称性可知四边形是平行四边形，且，则g(x)h(x)8f(x)8x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8h(x)x =k 2k x 1x 8x =32+=3x 1x 8+=3x 3x 6+=3x 5x 4+=3x 7x 2M =3×4=12D C F ′AF ′BF ′|AF|=m |MF|=2m |A |=2a +m F ′|M |=2a +2m F ′AFBF ′∠AF =F ′60∘{=|AF +|A −2|AF||A |cos ∠AF,|F |F ′2|2F ′|2F ′F ′=|AM +|A −2|AM||A |cos ∠AF,|M |F ′2|2F ′|2F ′F ′4=+(2a +m −m(2a +m),22)2即解得：故．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数的模复数的基本概念复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由可得．设，则，整理得，所以 得则，，，在复平面内对应的点在第四象限．故选．10.【答案】A,B,C【考点】抛物线的应用抛物线的性质抛物线的定义【解析】此题暂无解析{4=+(2a +m −m(2a +m),c 2m 2)2(2a +2m =(3m +(2a +m −3m(2a +m),)2)2)2 a =m,310c =m,710e ==c a 73B −2=z ¯¯¯3+4i z z(−2)=3+4iz ¯¯¯z =x +yi(x,y ∈R)(x +yi)(x −yi −2)=3+4i +−2x −2yi =3+4i x 2y 2{+−2x =3,x 2y 2−2y =4,{x =1,y =−2,z =1−2i =1+2i z ¯¯¯|z|=5–√z ABC【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，.抛物线的准线交轴于点，则.由于直线的斜率为，故其倾斜角为.∵ 轴，∴.由抛物线的定义可知，，∴为等边三角形，∴，∴，∴，得，选项正确；∵ ，，∴为的中点，则，选项正确；由题意知，∴ ，∴（抛物线定义），选项正确；∵，∴，选项错误.故选.11.【答案】B,D【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理逐项求解即可.【解答】解：．由正弦定理得，，即，解得，∵，∴，∴或 ，∴有两解，不满足条件；．由正弦定理得， ，即，解得，∵，∴ ，A B C m E M C m x P |PF|=p l 3–√60∘AE//x ∠EAF =60∘|AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=2p =8p =4A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE F AD =DF −→−FA −→−B ∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BD|=2|BF||BF|=|DF|=|AF|=131383D ABC A =b sin B c sin C =2–√sin 30∘2sin C sin C =2–√2b <c C >B =30∘C =45∘C =135∘△ABC B =b sin B c sin C =2sin 30∘4sin C sin C =1b <c C =90∘△ABC∴有唯一解，符合题意；．由正弦定理得， ，即，解得，无解，不符合题意；．由题意， ，且，∴有唯一解，符合题意．故选．12.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.【解答】解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答△ABC C =b sin B c sin C =2sin 30∘5sin C sin C =54△ABC D C =−−=180∘75∘30∘75∘b =2△ABC BD AB C l C CP D l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD14.【答案】【考点】空间向量的数乘运算【解析】利用空间向量基本定理，将．求出系数．进而得到结果．【解答】解：．∴，，．∴．故答案为．15.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长： ，所以球的直径，，半径，球的表面积： ，故答案为： .16.【答案】【考点】椭圆的定义椭圆的标准方程余弦定理0，化成，，的和的形式PQ −→−PA −→−PB −→−PC −→−=+=+=+(−=+[(+−=++PQ −→−PB −→−BQ −→−PB −→−12BM −→−PB −→−12PM −→−PB)−→−PB −→−1212PA −→−PC)−→−PB]−→−14PA −→−12PB −→−14PC−→−x =14y =12z =14x −y +z =009πP −ABC PA PB PC =3++122222−−−−−−−−−−√2R =3R =32S =4π×=9πR 29π+=1x 23y 22根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程．【解答】解：∵，∴.又，∴.又，∴，∴，.∵，∴，∴，∴在轴上．在中，.在中，由余弦定理可得.根据，可得，解得，∴，，所以椭圆的方程为：．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设等差数列的公差为，因为，所以即解得，，所以.由得，，所以.【考点】等差数列的通项公式数列的求和【解析】a =3–√b =2–√|A |F 2=2|B |F 2|AB |=3|B |F 2|AB |=|B |F 1|B |F 1=3|B |F 2|B |+|B |F 1F 2=2a |B |=F 2a 2|A |F 2=a |B |=a F 132|A |+|A |F 1F 2=2a |A |F 1=a |A |F 1=|A |F 2A y Rt △A O F 2cos ∠A O =F 21a △BF 1F 2cos ∠B =F 2F 14+(−(a a 2)232)22×2×a 2cos ∠A O +cos ∠B F 2F 2F 1=0+=01a 4−2a 22a a 2=3a =3–√b 2=−a 2c 2=3−1=2C +=1x 23y 22+=1x 23y 22(1){}a n d +2=3n +5a n a n+1{+2=8,a 1a 2+2=11,a 2a 3{3+2d =8,a 13+5d =11,a 1=2a 1d =1=2+(n −1)=n +1a n (2)(1)==−1a n a n+11(n +1)(n +2)1n +11n +2=(−)+(−)+⋯+(−)S n 121313141n +11n +2=−121n +2解：设等差数列的公差为，因为，所以即解得，，所以.由得，，所以.18.【答案】【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的标准方程【解析】【解答】19.【答案】解：分数在内的频率为：，故，如图所示：平均分为：(1){}a n d +2=3n +5a n a n+1{+2=8,a 1a 2+2=11,a 2a 3{3+2d =8,a 13+5d =11,a 1=2a 1d =1=2+(n −1)=n +1a n (2)(1)==−1a n a n+11(n +1)(n +2)1n +11n +2=(−)+(−)+⋯+(−)S n 121313141n +11n +2=−121n +2(1)[70,80)1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3=0.030.310(2)x ¯¯¯=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05．由题意，分数段的人数为：人；分数段的人数为：人；∵在的学生中抽取一个容量为的样本，∴分数段抽取人，分别记为，；分数段抽取人，分别记为，，，；设从样本中任取人，至多有人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，共种，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共种，∴．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数分层抽样方法列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(1)频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；(2)同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；(3)先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取人，至多有人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可．【解答】解：分数在内的频率为：，故，如图所示：平均分为：．由题意，分数段的人数为：人；=71(3)[60,70)0.15×60=9[70,80)0.3×60=18[60,80)6[60,70)2m n [70,80)4a b c d 21[70,80)A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)15A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)(n,b)(n,c)(n,d)9P(A)==915351[70,80)[60,70)[70,80)21[70,80)A A (1)[70,80)1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3=0.030.310(2)x ¯¯¯=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(3)[60,70)0.15×60=9[70,80)分数段的人数为：人；∵在的学生中抽取一个容量为的样本，∴分数段抽取人，分别记为，；分数段抽取人，分别记为，，，；设从样本中任取人，至多有人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，共种，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共种，∴．20.【答案】证明：如图，取中点，连结,由已知易得是正三角形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面∴平面，则.又∵，且，∴平面．解：如图建立空间直角坐标系则，，，．，，取中点,易得平面的法向量设平面的法向量为，由得则令,得∴.∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．[70,80)0.3×60=18[60,80)6[60,70)2m n [70,80)4a b c d 21[70,80)A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)15A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)(n,b)(n,c)(n,d)9P(A)==91535(1)AB O OE,AE △ABE EO ⊥AB ABEF ⊥ABC ABEF∩ABC =AB EO ⊂ABEFEO ⊥ABC EO ⊥BC BC ⊥BE BE ∩EO =E BC ⊥ABEF (2)A(0,−2,0)B(0,2,0)C(,2,0)6–√E(0,0,2)3–√=(,4,0)AC −→−6–√==(0,−2,2)AF −→−BE −→−3–√EB N BCE AN −→−=(0,3,).3–√ACF =(x,y,z)n → ⋅=0，n →AC −→−⋅=0，n →AF −→−{x +4y =0，6–√−2y +2z =0，3–√z =1=(−2,,1)n →2–√3–√cos <，>AN −→−n →=⋅AN −→−n →||⋅||AN −→−n →=3–√3ACF BCE 3–√3用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】如图，在菱形中，取中点，可得面，，平面．由得面，平面．以为原点，，所在直线为、轴建立如图直角坐标系．则，，，，．求出平面的法向量为，平面的法向量为，利用向量法夹角公式即可求解．【解答】证明：如图，取中点，连结,由已知易得是正三角形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面∴平面，则.又∵，且，∴平面．解：如图建立空间直角坐标系则，，，．，，取中点,易得平面的法向量设平面的法向量为，由得则令,得∴.∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．21.(1)ABEF AB O EO ⊥ABC EO ⊥BC BC ⊥ABEF (2)(1)EO ⊥ABC BC ⊥ABEF O OB OE y z O −xyz A(0,−2,0)B(0,2,0)C(,2,0)6–√F(0,−4,2)3–√E(0,0,2)3–√ACF =(x,y,z)m →BCE =(a,b,c)n →(1)AB O OE,AE △ABE EO ⊥AB ABEF ⊥ABC ABEF∩ABC =AB EO ⊂ABEFEO ⊥ABC EO ⊥BC BC ⊥BE BE ∩EO =E BC ⊥ABEF (2)A(0,−2,0)B(0,2,0)C(,2,0)6–√E(0,0,2)3–√=(,4,0)AC −→−6–√==(0,−2,2)AF −→−BE −→−3–√EB N BCE AN −→−=(0,3,).3–√ACF =(x,y,z)n → ⋅=0，n →AC −→−⋅=0，n →AF −→−{x +4y =0，6–√−2y +2z =0，3–√z =1=(−2,,1)n →2–√3–√cos <，>AN −→−n →=⋅AN −→−n →||⋅||AN −→−n →=3–√3ACF BCE 3–√3解：由题意得所以，所以椭圆的标准方程是.由题意得，直线的方程为．联立得到，解得，，原点到直线的距离，.【考点】椭圆的标准方程与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】（1）由点是椭圆的焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为，列出方程组求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线的方程为，联立方程，利用韦达定理表示面积即可．【解答】解：由题意得所以，所以椭圆的标准方程是.由题意得，直线的方程为．联立得到，解得，，原点到直线的距离，.22.【答案】设双曲线的渐近线方程为，则，该直线与圆相切，双曲线的两条渐近线方程为．(1) c =1,a +c =3,=+，a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√+=1x 24y 23(2)MN y =(x −1)3–√ y =(x −1),3–√+=1x 24y 235−8x =0x 2=0,=x 1x 285|MN|=|−|=1+k 2−−−−−√x 1x 2165MN d =3–√2=d ×|MN|=××=S △OMN 12123–√216543–√5F (1,0)C F 3a b C MN y =(x −1)3–√(1) c =1,a +c =3,=+，a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√+=1x 24y 23(2)MN y =(x −1)3–√ y =(x −1),3–√+=1x 24y 235−8x =0x 2=0,=x 1x 285|MN|=|−|=1+k 2−−−−−√x 1x 2165MN d =3–√2=d ×|MN|=××=S △OMN 12123–√216543–√5(1)C y =kx kx −y =0∵+=1x 2(y −)2–√2∴C y =±x =122故设双曲线的方程为，又双曲线的一个焦点为，，，双曲线的方程为：．由得，令，∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．因此 解得．又中点为，直线的方程为：．令，得．，，．【考点】双曲线的标准方程直线与双曲线结合的最值问题【解析】根据两条渐近线与圆相切，可得双曲线的两条渐近线方程为．利用双曲线的一个焦点为，可得，从而可求双曲线的方程．直线与双曲线方程联立消去，设，，进而根据直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根求得的范围，表示出中点的坐标，进而表示出直线的方程，令求得关于的表达式，根据的范围求得的范围．【解答】设双曲线的渐近线方程为，则，该直线与圆相切，双曲线的两条渐近线方程为．故设双曲线的方程为，又双曲线的一个焦点为，，，双曲线的方程为：．由得，令，∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．因此 解得．又中点为，C −=1x 2a 2y 2a 2C (,0)2–√∴2=2a 2=1a 2∴C −=1x 2y 2(2){y =mx +1,−=1,x 2y 2(1−)−2mx −2=0m 2x 2f(x)=(1−)−2mx −2m 2x 2f (x)=0(−∞,0) Δ>0,<0且>0,2m 1−m 2−21−m 21<m <2–√AB (,)m 1−m 211−m 2∴l y =(x +2)1−2+m +2m 2x =0b ==2−2+m +2m 22−2+(m −)142178∵m ∈(1,)2–√∴−2+∈(−2+,1)(m −)1421782–√∴b ∈(−∞,−2−)∪(2,+∞)2–√(1)+=1x 2(y −)2–√2C y =±x C (,0)2–√=1a 2C (2)y A(,)x 1y 1B (,)x 2y 2f (x)=0(−∞,0)m AB l x =0b k m b (1)C y =kx kx −y =0∵+=1x 2(y −)2–√2∴C y =±x C −=1x 2a 2y 2a 2C (,0)2–√∴2=2a 2=1a 2∴C −=1x 2y 2(2){y =mx +1,−=1,x 2y 2(1−)−2mx −2=0m 2x 2f(x)=(1−)−2mx −2m 2x 2f (x)=0(−∞,0) Δ>0,<0且>0,2m 1−m 2−21−m 21<m <2–√AB (,)m 1−m 211−m 2=(x +2)1直线的方程为：．令，得．，，．∴l y =(x +2)1−2+m +2m 2x =0b ==2−2+m +2m 22−2+(m −)142178∵m ∈(1,)2–√∴−2+∈(−2+,1)(m −)1421782–√∴b ∈(−∞,−2−)∪(2,+∞)2–√。
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人教版高二数学上册期末试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）
A．（2，1），4B．（2，﹣1），2C．（﹣2，1），2D．（﹣2，
﹣1），2
2．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆
否命题是（）
A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0
3．已知命题p：x＞0，x3＞0，那么￢p是（）
A．x＞0，x3≤0B．
C．x＜0，x3≤0D．
4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8πB．4πC．2πD．π
5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，
=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4
6．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为（）
A．B．C．D．
7．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为6，4，则输出a的值为（）
A．0B．2C．4D．6
8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如
图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断准确的是（）
A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定
C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定
9．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不准确的是（）
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当mα时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当mα时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件
D．当mα时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
10．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，
N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx2+2（m﹣2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）
A．（1，4）B．[﹣2，4]C．（﹣∞，1]∪（2，4）D．（﹣∞，1）∪（2，4）
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：
①直线A1B与B1C所成的角为60°；
②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；
③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为．
其中，准确结论的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y 的值为．
14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．
15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．
16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。