北师大版数学高二-选修4试题 平面与圆柱面的截线
北师大版数学高二-选修4-1测评 1.2.4切割线定理
学业分层测评(七)2.4 切割线定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1-2-91所示，线段AB和⊙O交于C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于E，F.那么AE与BF的关系为()图1-2-91A.AE＝2BFB.AE＝13BFC.AE>BFD.AE＝BF【解析】∵AE2＝AC(AC＋CD)，BF2＝BD(BD＋CD).又∵AC＝BD，CD＝CD，∴AE2＝BF2，∴AE＝BF.【答案】 D2.如图1-2-92，P AB，PCD是⊙O的两条割线，PC＝AB，P A＝20，CD＝11，则AB的长为()图1-2-92A.30B.25C.20D.15【解析】设PC＝AB＝x，则x(x＋11)＝20×(20＋x)，所以x＝25.所以AB的长为25.【答案】 B3.如图1-2-93所示，已知P A是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B，C两点，PB＝2 cm，BC＝8 cm，则P A的长等于()图1-2-93A.4 cmB.16 cmC.20 cmD.2 5 cm【解析】∵PB＝2，BC＝8，∴PC＝10.∵P A是⊙O的切线，PC是⊙O的割线，∴P A2＝PB·PC＝2×10，∴P A＝25(cm).【答案】 D4.如图1-2-94，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到直线AC的距离为22，AB＝3，则AD的长为()图1-2-94A.7B.213C.15D.5 6【解析】∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2 2.∴BC＝232－(22)2＝2.又∵AB＝3，∴AC＝5.又∵AD为⊙O的切线，由切割线定理得AD2＝AB·AC＝3×5＝15，∴AD＝15.【答案】 C5.如图1-2-95，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()图1-2-95A.CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC.AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-96，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为P A中点，过M 引割线交圆于B，C两点.求证：∠MCP＝∠MPB.图1-2-96【证明】∵P A与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC.∵M为P A中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴PMMC＝MBPM.∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.7.如图1-2-97，PT是⊙O的切线，切点为T，直线P A与⊙O交于A，B两点，∠TP A的平分线分别交直线TA，TB于D，E两点，已知PT＝2，PB＝3，则P A＝__________，TEAD＝__________.图1-2-97 【解析】由切割线定理得PT2＝PB·P A，∴P A＝43＝43 3.由弦切角定理得∠PTB＝∠TAB，又DP平分∠TP A，∴∠TPE＝∠DP A.∵∠TED＝∠PTB＋∠TPE，∠TDE＝∠TAB＋∠DP A，∴∠TED＝∠TDE.∴TD＝TE.由角平分线性质得TD AD ＝PT P A ＝2433＝32.∴TE AD ＝32.【答案】 433 328.如图1-2-98，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠P AB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是________.【导学号：96990032】图1-2-98【解析】 ∵PQ 为切线， ∴∠P AC ＝∠ABC . ∵AC 是∠P AB 的平分线， ∴∠BAC ＝∠P AC . ∴∠ABC ＝∠BAC ， ∴AC ＝BC ＝5， 由切割线定理， 可得AQ 2＝QB ·QC ， ∴62＝QB ·(QB ＋5)， 解得QB ＝4. ∵∠QAB ＝∠QCA ， ∴△QAB ∽△QCA ，∴ABAC＝QAQC，∴AB5＝64＋5，解得AB＝103.【答案】10 3三、解答题9.已知如图1-2-99所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN 交AD的延长线于点C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，求：图1-2-99(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【解】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x).解得x＝2，∴BC＝3x＝3 2.(2)在Rt△ABC中，AC＝BC2－AB2＝14，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，∴CD＝CN·CMAC＝2147，∴r＝12(AC－CD)＝12(14－2147)＝51414.10.如图1-2-100，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.图1-2-100(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长.【解】(1)证明∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上.连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线.(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.能力提升]1.如图1-2-101所示，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD 的延长线交于点C，且AD＝DC，则sin∠ACO＝()图1-2-101A.1010 B.210C.55 D.24【解析】如图所示，连接BD、DO，过点O作OE⊥AC于点E.∵AB是直径，∴BD⊥AC.又∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.又∵AD＝CD，∴△ACB是等腰直角三角形.设AE＝x，∵OE⊥AC，BD⊥AC，O是AB的中点，∴E是AD的中点，∴AD＝2x.又∵CD＝AD，∴CE＝3x.又OE＝AE＝x，∴CO＝10x，∴sin∠ACO＝sin∠ECO＝x10x＝1010.【答案】 A2.如图1-2-102，已知圆O的割线P AB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心，若P A＝72，AB＝52，PO＝5，则圆O的半径为()图1-2-102 A.2 B.3C.7D.6【解析】设圆的半径为r，则PC＝5－r，PD＝5＋r.PB＝P A＋AB＝72＋52＝6，由切割线定理得：PC·PD＝P A·PB.所以，(5－r)(5＋r)＝72·6，解得：r＝2.【答案】 A3.如图1-2-103，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝43，则圆O的半径长为__________，∠EFD 的度数为__________.图1-2-103【解析】由切割线定理得，PD2＝PE·PF，∴PE＝PD2PF＝(43)212＝4，EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝12PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠EFD＝30°.【答案】430°4.A点在圆周上，BC与圆切于M，AB，AC分别与圆相交于D，E，且M为︵DE的中点.求证：DB∶BM＝EC∶CM.【证明】如图，连接AM.∵BC与圆切于点M，∴CM2＝CE·CA，BM2＝BD·BA.即CE∶CM＝CM∶CA，BD∶BM＝BM∶BA.又∵M为︵DE的中点，∴∠1＝∠2，∴BM∶BA＝CM∶CA，∴BD∶BM＝EC∶MC.。
北师大版高中数学选修4-1课件2.3 柱面与平面的截面课件
课前自主学习
课堂讲练互动
(1)
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(2) G2B 考察轴线面 ABCD, ∠AG2B＝φ，cos φ＝G E， 2 PK1 G2B ∴ PQ ＝G E. 2
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将图(1)的轴截面取出来得图(2)， 则 F1F2＝2c，G1G2＝2a，且 G2B＝G2F1＝a＋c， G2E＝G1G2＋G1E＝2a＋G1E. ∵△EAG1∽△EBG2， EG1 G1A ∴EG ＝G B. 2 2 G1A· EG2 G1F1EG1＋G1G2 ∴EG1＝ G B ＝ . GF
由于l⊥α(垂足为O)，l⊥⊙O1所在的平面， 所以平面α∥⊙O1所在的平面． 设P为平面α与柱面交线上的任意一点， 过点P作圆柱的母线AB，则AB∥l，
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AB与 l 确定一平面 O1ABO2 ，它与平面 α 的交线为 OP，与⊙ O1 所在 的平面的交线为O1A， 因此O1A∥OP.
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由于 AD 为定值，故点 P 的轨迹是椭圆． 由此可以得到定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆． 并且注意研究相应椭圆的长轴长为ห้องสมุดไป่ตู้AD，短轴长为圆的直径，焦点 为切点 F1，F2，焦距 2c＝2 a2－b2＝F1F2.
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典例剖析
类型一
两个结论的应用
【例1】 已知，如图所示，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
切点F1，F2，长轴为G1G2，由前面可知G1G2＝BC＝AD，短轴 为球的直径．为了说明假设的正确性，可以对其进行证明，即 截口上任意一点P，PF1＋PF2＝定值． 若 P 与 G1 或 G2 重合时有 PF1 ＋ PF2 ＝ G1F1 ＋ G1F2 ＝ AD ＝ G2F1 ＋
柱面与平面的截面-北师大版选修4-1几何证明选讲教案
柱面与平面的截面-北师大版选修4-1 几何证明选讲教案教学目的1.通过学习柱面与平面的截面知识，加深学生对截面的理解，提高几何证明能力。
2.培养学生的三维空间想象能力和逻辑推理能力。
3.提高学生的几何思维和解决问题的能力。
教学内容柱面与平面的截面教学方法1.讲解法：讲解柱面与平面的截面的基本概念和性质。
2.探究法：通过对实际物体的观察和探究，引导学生研究柱面与平面的截面的性质。
3.练习法：通过练习题，引导学生掌握柱面与平面的截面的基本证明方法和技巧。
教学步骤第一步：引入本节课学习的内容是柱面与平面的截面知识。
首先请同学们回想一下在前面的几节课中我们学习了哪些与截面有关的内容，例如截线、截点等。
第二步：讲解1.柱面：从某个曲线（称为母线）出发，沿着与母线平行的一条直线（称为生成线）作为运动轨迹，不断滑动生成线，得到由无数平行于母线的生成线所连成的曲面，称为柱面。
2.平面截柱面：一个平面与某个柱面相交所得的截线，会有不同的形状，比如圆、椭圆、矩形等。
3.椭圆的特性：椭圆有两个焦点，任何一条线段焦点距离之和等于该椭圆的长轴长。
4.证明椭圆的特性：我们可以用割圆法证明椭圆的特性。
割圆法是将椭圆看成圆柱面的割截线，然后验证图形中两个焦点到任意一点的距离之和是否与短轴长相等。
具体证明过程可以参考下面的练习题。
第三步：探究让学生自己探究柱面与平面的截面的性质，可以通过下面的探究题来引导学生：1.用平面分别截一个立方体、长方体和圆柱，在纸上画出它们的截面图形，并比较截面的异同处。
2.用平面截一个圆锥，这个截面是什么形状？如何证明其形状？3.用平面截一段直线，为什么截出来的截面是点？4.用平面截一个球体，这个截面是什么形状？如何证明其形状？第四步：练习下面是几道练习题，供学生练习柱面与平面的截面证明方法和技巧：1.如图，ABCD是一个矩形，PQ交BC、CD于E、F两点。
若PE=PF，PF=FD，则证明AB=AD。
柱面与平面的截面 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P 50～P 51]1．用一个平面去截一个圆柱面，其交线是( )A ．圆B ．椭圆C ．两条平行线D ．以上均可能答案：D2．用一个平面去截圆锥面可能得到的截线为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．以上三类均可以答案：D3．在空间，直线l ′与l 相交于点O ，其夹角为α，l ′绕l 旋转一周得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面，任取平面β，若它与轴l 的交角为θ，则当θ＝α时，平面β与圆锥面的交线为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．以上皆错答案：C4．已知圆柱面的半径r ＝6，截圆柱面的平面β与母线所成的角为60°，求此截面的Dandelin 双球的球心距离，并指出截线椭圆的长轴长，短轴长和离心率e .解：∵Dandelin 双球的球心距离等于截线椭圆的长轴长，∴Dandelin 双球的球心距离为2r sin60°＝2×632＝8 3. ∴截线椭圆的长轴长为83，短轴长为2r ＝12，离心率e ＝cos60°＝12.5．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线解析：选C.如图所示，可知应为抛物线．6．用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线解析：选D.作出图形可知应为两条相交直线．7．已知F 1、F 2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于F 1F 2的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A. 2B.2＋1C.2－1D.22＋1解析：选B.如图，由对称性知△F 1F 2P 是等腰直角三角形，∴F 1F 2＝PF 1.设双曲线的焦距为2c ，实轴长为2a ，则PF 1＝2c ，∴PF 2＝22c .由双曲线结构特点，PF 2－PF 1＝2a ，即22c －2c ＝2a .∴c a＝2＋1.∴e ＝2＋1. 8．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B.由已知α＝50°2＝25°，β＝30°， ∴β＞α.故截线是椭圆，故选B.9．一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60°角，截线上最长的弦长为43，则该圆柱底面的半径为( )A. 3 B ．2 3C ．3D ．6解析：选C.圆柱底半径r ＝23sin60°＝3.10．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为________．解析：∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角α＝45°；又截面与轴线的夹角β＝30°，即β＜α，∴截线是双曲线，其离心率e ＝cos βcos α＝cos30°cos45°＝32＝62. 答案：6211．一平面截半径为3的圆柱面得椭圆，若椭圆的Dandelin 双球的球心距离为10，则截面与圆柱面母线夹角的余弦值为________．解析：Dandelin 双球球心距离即为椭圆的长轴长，∴2a ＝10，即a ＝5，又椭圆短轴长2b ＝6，∴b ＝3.∴c ＝4.故离心率e ＝c a ＝45，∴cos φ＝45， 故截面与母线所成角的余弦值为45. 答案：4512．已知F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线交椭圆于两点P 、Q ，且PF 1PF 2＝e ，其中e 是椭圆的离心率，求e 的值． 解：如图，设l 是椭圆的准线，由离心率定义得PF 1PM＝e . 由条件PF 1PF 2＝e ，∴PF 1PM ＝PF 1PF 2.∴PM ＝PF 2. 而点P 在抛物线上，F 2为抛物线焦点，根据抛物线定义，∴l 又是抛物线的准线．∴F 1H ＝F 1F 2＝2c .∴OH ＝3c .又∵椭圆两准线间距离为2a 2c， ∴OH ＝a 2c .∴a 2c ＝3c ，∴e ＝c a ＝33. 13．在空间中，取直线l 为轴，直线l ′与l 相交于O 点，夹角为α，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l 的交角为β，试证明：β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．证明：如图，在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥都相切．当β＞α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F 1、F 2，与圆锥相切于圆S 1、S 2.在截口的曲线上任取一点P ，连接PF 1、PF 2，过P 作母线交S 1于Q 1点，交S 2于Q 2点，于是PF 1和PQ 1是从P 到上方球的两条切线，因此PF 1＝PQ 1.同理PF 2＝PQ 2.所以PF 1＋PF 2＝PQ 2＋PQ 1＝Q 1Q 2.由圆锥的对称性知，Q 1Q 2的长度等于两圆S 1、S 2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在β＞α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．。
北师大版高中数学选修4-1 2.3柱面与平面的截面_教案设计
柱面与平面的截面【教学目标】1．亲历认识柱面、旋转面、垂直截面、一般截面的探索过程，体验分析归纳得出平面截圆柱面得出的结论，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握柱面、旋转面、垂直截面与一般截面。
3．熟练运用平面截圆柱面得出的结论。
【教学重难点】重点：掌握柱面、旋转面、垂直截面、一般截面。
难点：熟练运用平面截圆柱面得出的结论。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习柱面与平面的截面，这节课的主要内容有柱面、旋转面、垂直截面、一般截面，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解柱面、旋转面的概念，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习柱面、旋转面，它的具体内容是如图，圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴，旋转一周后AB形成的曲面；平面上一条曲线绕着一条直线旋转一周后形成的曲面称为旋转面。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：以矩形一边为轴旋转得到的是怎样的一个面？答案：圆柱面。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：平面上一条曲线绕着一条直线旋转一周后形成的曲面称为_____。
答案：旋转面。
（3）接着，我们再来看下垂直截面内容，它的具体内容是 如图，设l 为圆柱的轴，用垂直于l 的平面α截圆柱，所得的交线是圆。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：什么是圆柱的垂直截面？答案：用垂直于圆柱的轴的平面截圆柱，所得的截面即为垂直截面。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：圆柱的垂直截面有什么特点？答案：圆柱的垂直截面所得的交线是圆。
（4）接着，我们再来看下一般截面及其推论，它的具体内容是用一个平面截一个圆柱面，当截面β与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：如图，动点P 到两定点12F F ，的距离之和为_____。
A选修4选修41第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线720
A 选修4选修41第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线 测试题 2019.91,下列命题中正确的是（ ）A ．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B ．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C ．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D ．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的2,由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是( )A ．πB ．4πC ．43πD ．23π3,设数列{}n a 的前n 项和S n ，且12+-=n a n ，则数列}{n S n 的前11项的和为（ ）A ．-45B ．-50C ．-55D ．-664,设则的值为（ ）A ．B ．C ．、中较小的数D ．、中较大的数5,某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品总共有（ ）⎩⎨⎧<>-=)0(1)0(1)(x x x f )(2)()()(b a b a f b a b a ≠-⋅--+a b a b a bA. 100件B. 200件C. 300件D. 400件6,某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品总共有（ ）A. 100件B. 200件C. 300件D. 400件7,已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω≤<>+=x x f ，且此函数的图象如图所示，则点),(ϕωP 的坐标是（ ） A.)2,2(π B.)4,2(π C.)2,4(π D.)4,4(π8,命题:p 不等式0]1)1(lg[>+-x x 的解集为{}10|<<x x ；命题:q 在ABC ∆中，B A >是B A sin sin >成立的必要不充分条件.则（ ）A.p 真q 假B.p 且q 为真C.p 或q 为假D.p 假q 真9,已知数列是等差数列，是等比数列，且,．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和．{}n a {}n b 112,a b ==454b =12323a a a b b ++=+{}n b {}n a 10S10,已知向量, 向量，且与的夹角为，其中A 、B 、C 是的内角．（1）求角B 的大小； （2）求 的取值范围．测试题答案1, C2, A3, D4, D5, B6, B7, B8, A9, 解（1）（2）10, 解：（1） m =，且与向量n = （2，0）所成角为，又()m sin B,1cos B =-()n 2,0=m n 3πABC ∆C A sin sin +132-⨯=n n b 29010=S ()B B cos 1,sin -3π∴3sin cos 1=-B B ∴cos 1B B +=∴21)6sin(=+πB π<<B 0∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B（2）由（1）知，，A+C= ===，，32π=B ∴3π∴C A sin sin +)3sin(sin A A -+πA A cos 23sin 21+)3sin(A +π 30π<<A ∴3233πππ<+<A ∴)3sin(A +π⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23∴C A sin sin +⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23。
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.2平面与圆柱面的截线练习(含解析)新人教A版选修4_1
二平面与圆柱面的截线课时过关·能力提升基础巩固1下列说法不正确的是()A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的某一轴截面垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关,只与母线和斜截面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中,短轴长即为圆柱面的半径A正确;由于任一轴截面过轴线,故轴截面与圆柱的直截面垂直,B正确;C显然正确;D中短轴长应为圆柱面的直径长,故不正确.2已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是()A. 0°B.60°C.45°D.90°β与母线夹角为φ,则cosφ=,故φ= 0°.3如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么,这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() A.9倍 B.4倍 C.12倍 D.18倍2a,2b,2c,由已知,得=2c,即a=3c,故两条准线间的距离为=18c.4一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有() A.相同的长轴 B.相同的焦点C.相同的准线D.相同的离心率,所以长轴不同.嵌入的Dandelin球不同,则焦点不同,准线也不同,而平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.5若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是()A.5B.4C. D.2a,2b,2c,由已知a=2c,得,即e=.6两个圆柱的底面半径分别为R,r(R>r),平面π与它们的母线的夹角分别为α,β(α<β<90°),斜截口椭圆的离心率分别为e1,e2,则()A.e1>e2B.e1<e2C.e1=e2D.无法确定e1=cosα,e2=cosβ,又α<β<90°时,cosα>cosβ,∴e1>e2.7已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱的斜截口椭圆的离心率为,则椭圆的长半轴是() A.2 B.4C. 6D.42a,2b,2c.由题意,知b=2,-,则-4,解得a=4.8已知平面π截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的角为45°,此曲线是,它的离心率为.9已知椭圆两条准线间的距离为8,离心率为,则Dandelin球的半径是.4,,解得 , ,∴b=-.∴Dandelin球的半径为.10如图,设两个焦点的距离F1F2=2c,两个端点的距离G1G2=2a,求证:l1与l2之间的距离为.,设椭圆上任意一点P,过点P作PQ1⊥l1于点Q1,过点P作PQ2⊥l2于点Q2.连接PF1,PF2.∵e=,∴PF1=PQ1,PF2=PQ2.由椭圆定义,知PF1+PF2=2a,∴PQ1+PQ2=2a.∴PQ1+PQ2=,即l1与l2之间的距离为.能力提升1如图,过点F1作F1Q⊥G1G2,若△QF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.B.-C.2-D.-12a,2b,2c.∵△QF1F2是等腰直角三角形,∴QF1=F1F2=2c,QF2=2 c.由椭圆的定义,得QF1+QF2=2a,∴e=-1.2已知圆柱的底面半径为r,平面α与圆柱母线的夹角为 0°,则它们截口椭圆的焦距是() A.2r B.4r C.r D.3r,过点G2作G2H⊥AD,H为垂足,则G2H=2r.在Rt△G1G2H中,=2r×2=4r,G1G2=60°∴长轴2a=G1G2=4r,短轴2b=2r.∴焦距2c=2-=2×r=2r.3一平面截圆柱(圆柱底面半径为1,高足够长)的侧面,得到一个离心率是的二次曲线,该曲线两焦点之间的距离为()A. B.2 C.3 D.e=<1,∴曲线是椭圆,且e=cosθ=,θ= 0°,φ=60°(φ是底面与截面的夹角).∴ 60°=,∴2a==4,∴a=2.又,∴c=.∴2c=2.★4如图,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,点P,Q在椭圆上,有PD⊥l于点D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是①;②;③;④;⑤.其中正确的是()A.①②B.①③④C.②③⑤D.①②③④⑤符合离心率定义;②过点Q作QC⊥l于C,∵QC=FB,∴符合离心率定义;③∵AO=a,BO=,∴,故也是离心率;④∵AF=a-c,AB=-a,∴-,∴是离心率;-⑤∵FO=c,AO=a,∴是离心率.∴①②③④⑤的表述均正确,故选D.5已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线的夹角为 0°,在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b,则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是.=4b,∴c=4- b.,椭圆短轴长为2b,长轴长2a=0°∴e=或e= 0°=.设点P到焦点F1的距离为d,则,∴d=b.又PF1+PF2=2a=4b,∴PF2=4b-PF1=4b-b=5b.6如图,已知PF1∶PF2=1∶3,AB=12,G1G2=20,求PQ的长.2a,短轴长为2b,焦距为2c,.由椭圆定义,知PF1+PF2=G1G2=20,由已知可得a=10,b=6,c=-=8,e=45又PF1∶PF2=1∶3,则PF1=5,PF2=15.,由离心率定义,得45.∴PQ= 54★7如图,在圆柱O1O2内嵌入双球,使它们与圆柱面相切,并且和圆柱的斜截面相切,切点分别为F1,F2.求证:斜截面与圆柱面的截线是以点F1,F2为焦点的椭圆.,设点P为曲线上任一点,连接PF1,PF2,则PF1,PF2分别是两个球面的切线,切点分别为F1,F2,过点P作母线,与两球面分别相交于点K1,K2,则PK1,PK2分别是两球面的切线,切点为K1,K2.根据切线长定理的空间推广,知PF1=PK1,PF2=PK2,所以PF1+PF2=PK1+PK2=K1K2.由于K1K2为定值,故点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.。
最新人教版高中数学选修4-1《平面与圆柱面的截线》温故知新
二平面与圆柱面的截线
1.圆柱形物体的斜截口是.
2.如图3-2-1.
图3-2-1
椭圆中,F1、F2是焦点,B1B2是F1F2的中垂线,则叫椭圆的长轴, 叫椭圆的短轴,叫椭圆的焦距.若长轴为2a,短轴为2b,则焦距2c = .
3.椭圆上任一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cosφ,则直线l1叫做椭圆的一条.
4.若e =cosφ,则e叫做椭圆的.
知识回顾
1.切线长定理.
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
2.三角函数.
3.椭圆.
平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.。
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平面与圆柱面的截线
►一层练习
1．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P
是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( )
A.3－12
B.12
C.5－12
D.22
答：D
2．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.33
C.3
2 D ．非上述结论 答：A
3．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )
A ．22
B ．2
C ．4
D ．4 2 答：C
4．一平面截球面产生的截面形状是________；它不垂直底面所
截圆柱面产生的截面形状是________．
答：圆 圆或椭圆 ►二层练习
5．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱面的母线与轴线平行
B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 答:D
6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________.
答：45
7．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．
解析：由2r 6＝sin 45°得r ＝3sin 45°＝322.
答案：32
2
8．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．
解析：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2， ∴短轴长为4. 设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12
. ∴2a ＝4b ＝8，c ＝a 2－b 2＝2 3.
∴e ＝c a ＝234＝32
.
∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为3
2
.
►三层练习
9．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．
解析：依题意知，短轴长为2b ，
长轴长为2a ＝2b
sin 30°＝4b ，
∴c ＝a 2－b 2＝3b . ∴e ＝3b 2b ＝3
2.
设P 到F 1距离为d .则d
3b ＝32
， d ＝32
b . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ， ∴|PF 2|＝5
2b .
答案：5
2b
10．已知圆柱底面的半径等于2 cm ，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离．
解析：设截割圆柱的平面为δ，与δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分别为点C 1、C 2，切点分别为点F 1、F 2，如图所示．
由题意可知，C 1F 1⊥δ，C 2F 2⊥δ， ∴C 1F 1∥C 2F 2，
∴C 1、F 1、C 2、F 2共面． 设C 1C 2与F 1F 2相交于点C .
∵C 1F 1⊥截面δ⇒∠C 1CF 1＝60°⇒C 1C ＝C 1F 1sin 60°＝232＝43
3
(cm)，
同理：C 2C ＝43
3(cm)，
∴O 1O 2＝C 1C ＋C 2C ＝
83
3
(cm)． 即两个内切球的球心间的距离为83
3cm.
11．已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．
解析：易知长半轴长a ＝12
6＝6，短半轴长b ＝r ＝3，
两焦点间的距离2c ＝
122－62＝6 3.
椭圆离心率e ＝c
a ＝32
.
设截面与母线的夹角为φ，则cos φ＝32
. ∴φ＝π6.
12．如图，已知PF 1∶PF 2＝1∶3，AB ＝12，G 1G 2＝20，求PQ .
解析：设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c .
由已知可得a ＝10，b ＝6，c ＝a 2－b 2＝8，e ＝c a ＝4
5.由椭圆定义
PF 1＋PF 2＝K 1K 2＝G 1G 2＝20.
又∵PF 1∶PF 2＝1∶3，∴PF 1＝5， PF 2＝15. 由离心率定义，得PF 1PQ ＝45.∴PQ ＝25
4.
13．已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在
平面β上以
G 1G 2所在直线为横轴，以G 1G 2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．
解析：过G 1作G 1H ⊥BC 于H . ∵圆柱底面半径为3，
∴AB ＝2 3.∵四边形ABHG 1是矩形，∴AB ＝G 1H ＝2 3.在Rt △G 1G 2H 中，G 1G 2＝G 1H sin ∠G 1G 2H ＝233
2＝4.又椭圆短轴长等于底面
圆的直径23，
∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.。