初一数学平行线的判定
人教版初一数学下册平行线的性质与判定
平行线的性质与判定复习课学习目标1、掌握平行线的性质与判定,会灵活应用平行线的性质与判定2、从实际问题入手研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法3、在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求学习重点掌握平行线的性质与判定方法学习难点灵活应用平行线的性质与判定教具学具PPT本节课预习作业题1、同一平面内两条直线的位置关系有:2、平行公理3、平行公里的推论4、平行线的性质：平行线的判定：（1）两直线平行，；（4），两直线平行；（2）两直线平行，；（5），两直线平行；（3）两直线平行，；（6），两直线平行。
5、在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是 ( )A．∠A+∠2=180° B. ∠A=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=∠A6、AD∥B C，∠A=130°，DB平分∠ABC，则∠ADB=________（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：教学环节教学活动过程思考与调整活动内容师生行为4321FED CBADCBA预习交流学生展示预习题的完成情况1、教师课前检查了解学生完成预习作业情况。
2、教师布置学生自学，明确内容和要求，进行方法指导。
4、对第5、6题中进行解题方法指导。
展例1、AB∥CD，BC∥DE，则∠B+∠D=____________例2、如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行,第一次拐的∠B=142 °, 第二次拐的∠C是多少度,为什么?例3、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个的3倍小20°，则这两个角的度数分别是＿＿＿＿＿＿＿1、教师布置学生先自己独立完成例1、例2两道题，再小组间交流讨论，全班展示，同学纠错，教师总结。
例3分析：首先，我们应分析如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有怎样的关系呢？结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
七上数学平行线的判定
有关数学“平行线”的判定
有关数学“平行线”的判定方法如下：
1.同位角相等：如果两直线的同位角相等，那么这两直线平行。
2.内错角相等：如果两直线的内错角相等，那么这两直线平行。
3.同旁内角互补：如果两直线的同旁内角互补，即两个同旁内角的和为180度，那么这
两直线平行。
4.平行公理：在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
5.垂直于同一直线的两条直线平行：如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线
平行。
6.平行于同一直线的两条直线平行：如果两条直线都平行于同一直线，那么这两条直线
也平行。
7.如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，则
这两条直线平行。
初一数学平行线知识点
教案初一数学平行线知识点教学目标：1. 让学生理解平行线的定义及性质。
2. 培养学生运用平行线性质解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。
教学重点：1. 平行线的定义及性质。
2. 平行线的判定方法。
教学难点：1. 平行线性质的推导。
2. 平行线在实际生活中的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾已学的直线、射线、线段等基本概念。
2. 提问：在同一平面内，不相交的两条直线有什么关系？二、新课讲解1. 讲解平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 讲解平行线的性质：a. 同位角相等。
b. 内错角相等。
c. 同旁内角互补。
3. 讲解平行线的判定方法：a. 同位角相等。
b. 内错角相等。
c. 同旁内角互补。
三、课堂练习1. 让学生完成教材上的练习题，巩固平行线的性质及判定方法。
2. 老师巡回指导，解答学生疑问。
四、动手操作1. 分组合作，每组学生用直尺、圆规等绘图工具绘制一组平行线。
2. 学生互相交流，讨论如何判定两条直线是否平行。
3. 老师挑选几组学生的作品进行展示，并给予评价和指导。
五、课堂小结2. 提问：如何在实际生活中应用平行线？六、课后作业1. 完成教材上的课后习题。
2. 观察生活中的平行线现象，并尝试用所学知识解释。
教学反思：本节课通过讲解、练习、动手操作等多种教学方法，使学生掌握了平行线的定义、性质及判定方法。
在动手操作环节，学生积极参与，合作交流，提高了动手能力和团队协作能力。
在课后作业环节，学生将所学知识应用于实际生活，提高了学以致用的能力。
总体来说，本节课教学效果良好，达到了预期目标。
在今后的教学中，可适当增加课堂互动，提高学生的学习兴趣。
教案小学五年级科学光与影子教学目标：1. 让学生理解光与影子的基本概念。
2. 培养学生观察、描述和解释光与影子现象的能力。
3. 培养学生进行科学实验和探究的兴趣。
【七年级寒假班讲义】第6讲三线八角及平行线的判定(教师版)
初一数学寒假班（教师版）同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 若直线3被直线，所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角.（如N1和N5）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角.（如N3和N5）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.（如N3和N6 ） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系.模块一：三线八角的意义知识精讲【例1】如图，N2与N3是 角.Z2与N4是 角. N2与N5是 角. Z1与N5是 角. Z3与N5是 角. Z3与N7是 角. N3与N8是 角. N2与N8是 角.【难度】★ 【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错用、同位角、同旁内角、内错角. 【解析】考查线八角的角的概念. 【总结】考查三线八角的本概念.【例2】填空(1)/3和N1是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (2)44c3与N7是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (3)/3与N5是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (4)/3与NB 是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (5)Z2与N7是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角.【难度】★【答案】(1)BC 、DE 、AB 、同位角：(2) BC 、DE 、AC,同位角:(3) BA 、CA. DC 、内错角: (5) DC. AC. DE 、内错角.【解析】考查线八角的角的概念. 【总结】考查三线八角的本概念.例题解析(4) DC. BC 、BA 、同旁内角:【例3】如图，同旁内角有( )对.A. 4对B. 3对C. 2对【难度】★【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角,共3对.【总结】考查同旁内角的概念.【例4】如图，同位角共有（）对.A. 1对B. 2对C. 3对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F形，由F形找同位角.【总结】考查同位角的概念.【例5】如图，是同位角关系的是（）.N2 和N4A. N3 和N4B. N1 和/4C.【难度】★【答案】B【解析】A是内错角：B内错角：C同旁内角.【总结】考查同位角的概念.【例6】如图，内错角共有（）对.A. 1对B. 2对C. 3对【难度】★★【答案】D【解析】NEDB 与/DBC、/EDB 与NDB.4、/FDB 与/DBC、/FDB 与NDBA,共4 对【总结】考查内错角的概念.【例7】如图，同旁内角共有（）对.A. 10 对B. 8 对C. 6 对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组, 共6组.【总结】考查同旁内角的判定.【例8】如图，N1与N2是两条直线—和—被第三条直线所截构成的角.Z3与N4是两条直线和被第三条直线所截构成的角.【难度】★★【答案】AD. BC、AC、内错角：AB. CD、AC、内错角.【解析】内错角像字母Z.【总结】考查内错角的特点及判定.［例9］如图，NC 的同位角有，同旁内角是Z1与N2是 角.直线,空和8被疝）所截，Nd 的内错角是 ZJ 与ZADC 是 角.【难度】★★【答案】Z/WE. NBDE ： ZABC. /DBC 、ZADC. /BDC ； 内错角：NAOE ：同旁内角.【解析】同位角像字母F,内错角像字母Z,同旁内角像字母U. 【总结】考查基本角的特点.【例10］如图，N1的同位角是/， N1的内错角是N , N1的同旁内角是Z, N1的对顶角是N , N1的邻补角是/【难度】★★★【答案】NDEB 、NEBH ： ZAEF. NIBF ； /BEF 、NEBF ；NCFG ； /CFD 、4GFH.【解析】同位角像字母F,内错角像字母Z,同旁内角像字母U, 找的时候要注意找全.【总结】考查基本角的特点及概念.【例11］如图，。
初一数学：平行线(含解析)
平行线知识互联网板块一 平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________． 图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（ ）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（ ）⑵ 下列说法中，不正确的是（ ）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】 证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°． 证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°， 所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】 如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】 （成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥， 又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°， 经典例题板块二 平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程 【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】 在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ， 若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，， 相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】 如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1． 如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（ ）∴______∥______（ ）． ∴C CBE ∠= ∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ）∴A ∠=________（ ） ∴______∥______（ ）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠； 等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． 习题2． 如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） 又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3． 如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4． 如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5． （十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行） 因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等） 又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）． 由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）， 又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）． 习题6． 如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7． 如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1． （2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2． 如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3． 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知） 又∵∠________=∠________（ ）∴∠________=∠________（ ）∴AB CE ∥（ ）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行． 练习4． 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5． 已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6． 如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
公开课平行线的判定
o
o
A1BC2 NhomakorabeaD
验证：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行” 如图：已知ABCD，ABEF，那么CD//EF吗？
C A D
E
B F
１．找出下图互相平行的直线，并说明理由。
130º
50º
m n
50º
a
b
2
B
C 解： AB∥CD ，理由是： ∵ ∠1=120° （已知） ∴ ∠2= （邻补角定义） 又∵ ∠ECD=60°（已知） ∴ ∠ = ∠ （等量代换） ∴AB∥CD（ ）
D
练习2：如图，∠1=∠2=55°， 直线AB，CD平行吗？说明你 的理由．
A
1
B
3
C
2
练习3：如图，已知 ∠1=75 , ∠2 =105
平行线的判定方法一
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠ 1 =∠ 2 ∴ AB ∥ CD （ 同位角相等，两直线平行 ） C D 1
A
2
B
练习1：如图，已知∠1=120°， ∠ECD=60°直 线AB与CD平行吗？为什么？
E
A
1
5.2.2 平行线的判定 及简单运用
左正梅
一、知识回顾 1、找出图中的同位角、内错角、同旁内角。
c
2 1 4 3 5 8 6 7
a
b
2、平行公理：
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线的画法
一放
二靠
三推
C 1
P D A
2
四画
B
2、平行公理：
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年级七年级学科数学版本通用版课程标题平行线的判定一、三线八角图析（同位角、内错角、同旁内角）1. 同位角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角，叫做同位角。
上图中，同位角有4对：∠1和∠2,∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠82. 内错角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做内错角。
上图中，内错角有2对：∠4和∠5，∠2和∠73. 同旁内角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,且在第三直线的同旁的两个角,叫做同旁内角。
上图中，同旁内角有2对：∠4和∠7，∠2和∠5技巧归纳：同位角是F形状；内错角是Z形状;同旁内角是U形状。
二、平行线的判定方法如（1）如图，下列条件不能判定直线a∥b的是（）A. ∠1=∠2B. ∠1=∠3C. ∠1+∠4=180°D. ∠2+∠4=180°解：A. ∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；B. ∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；C. ∠1+∠4=180°与a、b的位置无关；D. ∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。
故选C。
（2）图中有直线L截两直线L1、L2后所形成的八个角。
由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（）A. ∠2+∠4=180°B. ∠3+∠8=180°C. ∠5+∠6=180°D. ∠7+∠8=180°解：∵∠3+∠8=180°，而∠4+∠8=180°，∴∠3=∠4，∴L1∥L2。
（内错角相等，两直线平行）。
故选B。
（3）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）A. ∠1=∠2B. ∠1=∠5C. ∠1+∠3=180°D. ∠3=∠5解：A. 根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；B. ∵∠5=∠3，∠1=∠5，∴∠1=∠3，即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；C. ∵∠1+∠3=180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故本选项正确；D. 根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；故选C。
例题1 如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（）A. ∠1=∠2B. ∠2=∠AFDC. ∠1=∠AFDD. ∠1=∠DFE解析：要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF、BC的内错角相等，则DF∥BC。
解：∵EF∥AB，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。
∵∠1=∠DFE，∴∠2=∠DFE（等量代换），∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行），所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE，故选D。
答案：D点拨：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。
本题是一道探索性条件开放性题目，其中牵涉“等量代换”这一解题思想，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力。
例题2 如图所示，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，那么MQ∥NP。
为什么？解析：由已知结合等式的性质，可得∠PNF=∠QMN，根据同位角相等，两直线平行可得MQ∥NP。
答案：证明：∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2（已知），∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2，即∠QMN=∠PNF ∴MQ∥NP（同位角相等，两直线平行）。
点拨：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。
例题3 如图所示，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2。
（1）AB与CD平行吗？为什么？（2）DF与AE平行吗？为什么？解析：（1）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，推出∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可。
答案：解：（1）AB∥CD。
理由是：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=∠BAD=90°，∴CD∥AB；（2）DF∥AE，理由是：由（1）知，∠2+∠3=90゜，∠1+∠4=90゜，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴DF∥AE。
点拨：灵活选用平行线的判定的应用，以及等式的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的首要条件。
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。
找准第三条直线，如果两个角不是被同一条直线所截得到的，那一定不是同位角、内错角或同旁内角。
满分训练如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠D=∠C，∠1=∠3 求证：∠A=∠F（要求：写出证明过程中的主要依据）错解:证明：∵∠C=∠D，∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
错解分析：错解的错误在于没正确识别“三线八角”中的内错角，以致误用平行线的判定定理。
正解：证明：∵∠1=∠3，∴DB∥CE（同位角相等，两直线平行），∴∠C=∠DBA（两直线平行，同位角相等），∵∠C=∠D，∴∠D=∠DBA（等量代换），∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
（答题时间：45分钟）一、选择题1.如图，能判定EB∥AC的条件是（）A. ∠C=∠ABEB. ∠A=∠EBDC. ∠C=∠ABCD. ∠A=∠ABE2. 如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有（）A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组*3. 如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行C. 同旁内角互补，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等**4. 学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④**5.如图，给出下列四个条件：①AC=BD；②∠DAC=∠BCA；③∠ABD=∠CDB；④∠ADB=∠CBD，其中能使AD∥BC的条件是（）A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③④二、填空题.6. 如图，请填写一个你认为恰当的条件________，使AB∥CD。
*7.如图所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件_________。
*8. 设a、b、l为平面内三条不同直线。
①若a∥b，l⊥a，则l与b的位置关系是_______；②若l⊥a，l⊥b，则a与b的位置关系是_______ ；③若a∥b，l∥a，则l与b的位置关系是_______。
**9. 如图所示，用直尺和三角尺作直线AB、CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________。
三、解答题10. 如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD 对吗？为什么？11.你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢。
潜水艇下潜后，艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①。
其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4。
你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？*12. 如图所示，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF。
请你将这样相关的角写出几组，并说明理由。
**13. 如图，直线AB与CE交于D，且∠1+∠E=180°。
求证：AB∥EF。
**14.当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，即水中的光线与原来空气中的光线不在一条直线上，这是光线在水中的折射现象。
同样，水中的光线射入空气中也会发生这种现象。
如图所示，是光线从空气射入水中，再从水中射入空气中的示意图。
由物理学知识知，∠1=∠4，∠2=∠3。
请你用学过的知识来说明光线c与光线d是否平行。
1. D 解析：A和B中的角不是三线八角中的角；C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行。
D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC。
故选D。
2. B 解析：∠B=∠DCE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）；∠BCA=∠CAE，则AE∥DB（内错角相等，两直线平行）；∠ACE=∠DEC，则AC∥DE（内错角相等，两直线平行）。
互相平行的线有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥DE，共三组。
故选B。
3. A 解析：∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。
故选A。
4. C 解析：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
故选C。
5. C 解析：①AC=BD，不能判断两直线平行，故错误；②∠DAC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确；③∠ABD和∠CDB是直线AB、CD被BD所截形成的内错角，故可得AB∥CD，故错误；④∠ADB=∠CBD，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确。
故选C。
6. ∠FCD=∠FAB（或∠CDA=∠DAB或∠BAC+∠ACD=180°）解析：根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠FCD=∠FAB；根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CDA=∠DAB；根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAC+∠ACD=180°。
7. ∠DCE=∠A（或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°）解析：能判定CE∥AB的一个条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°8. l⊥b；a∥b；l∥b 解析：①根据如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条平行线也垂直，知l⊥b；②根据垂直于同一条直线的两直线平行，知a∥b；③根据平行于同一条直线的两直线平行，知l∥b。
9. 平行解析：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，所以∠1=∠2，所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。