第六章层次分析法

Max
( BW )i . . . . . . . j nWi
n
6.4 层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型 2、构造判断矩阵 3、层次单排序及其一致性检验 1）特征向量w经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要 性的排序权值。 2）利用判断矩阵的最大特征根，可求CI和CR值，当 CR<0.1时，认为层次单排序的结果有满意的一致性。 4、层次总排序 计算某一层次各因素相对上一层次所有因素 的相对重要性的排序权值称为层次总排序。 设上一层次A包含m个因素A1，A2，…，Am，其层次总排 序的权值分别为a1，a2，…，am，下一层次B包含n个因素 B1，B2，…，Bn，它们对于因素Aj(j=1,2,…,m)的层次单排 序权值分别为b1 j，b2 j，…，bn j(当Bk与Aj无联系时，bk j=0)，则B层次总排序权值可按表6.3计算。
第六章 层次分析法
6.1问题提出 6.2层次分析法的基本原理 6.3 层次分析法的计算 6.4 层次分析法的基本步骤 6.5 层次分析法的应用实例
6.1问题提出
• 合理使用一笔留成利润
目标层 A 合理使用企 业留成利润
准则 层C
C1 调动职工劳 动生产积极性
C2 提高企业 技术水平
C3改善职工物质 文化生活状况
这表明w为A的特征向量，并且特征根为n。即对于一致 性的判断矩阵，排序向量w就是矩阵A的特征向量。
6.2层次分析法的基本原理（续）
一致的正互反矩阵具有以下性质： 1）ai i = 1, ai j = aj i-1 , ai j aj k =ai k 2）A的转置也是一致的； 3）A的每一行（列）均为任意指定一行（列）的正数倍数 4）A有特征根1=n，其余特征根全为0； 5）若A的特征根1所对应的特征向量为w=(w1，w2，…， wn)T，则ai j =wiwj-1。 由以上性质可知，当A是一致矩阵时，1=n，1所对应 的特征向量为排序向量。若将该排序向量归一化后仍记 w=(w1，w2，…，wn)，则满足w1+w2+…+wn=1。 定理：n阶正互反矩阵A=（ai j）nn是一致矩阵的充要条件 是其最大特征根1=n。
6.5 层次分析法应用实例（续）
解、1、求各层Байду номын сангаас单排序 1）判断矩阵A-C
. Max . CI . W . RI . CR . . .
2）判断矩阵C1-P
. . W . . .
6.2层次分析法的基本原理（续）
ak B1 B2 . . . Bn B1 b11 b11 … … … b11 B2 b12 b12 … … … Bn b1 n b1 n
b12
…
b1 n
其中， bi j表示相对于上一层次因素 ak而言，因素 Bi 对 Bj 的相对重要性。其值可用数字 1—9 及其倒数表示， 这些数字称为判断矩阵的标度。判断矩阵标度首先由 Saaty给出，其含义如表6.1所示。
6.5 层次分析法应用实例（续）
3、判断矩阵C2- P
C2 P2 P3 P4 P5 P2 1 7 3 5 P3 1/7 1 1/5 1/2 P4 1/3 5 1 3 P5 1/5 3 1/3 1
4、判断矩阵C3- P
C3 P1 P2 P3 P4 P1 1 1 1/3 1/3 P2 1 1 1/3 1/3 P3 3 3 1 1 P4 3 3 1 1
选择标度为1—9是基于如下一些事实和科学依据： 1）人们在估计事物质的区别性时，常常用五种判断来表 示。即相等，较强，强，很强，绝对强。当需要更高 精度时，还可以在相邻判断之间作出比较。这样总共 有9个数字，它们有连贯性，可在实践中应用。
6.2层次分析法的基本原理（续）
2）心理学家认为，人们在同时比较若干个对象时，能够区 别差异的极限为 72 个对象，这样它们之间的差异正好 可用9个数字表示。 3） Saaty还将 1—9的标度方法同另外的 26种标度方法进行 比较，结果表明1—9标度方法能较好地将思维判断数量 化。因此，1—9标度是可行的。 三、判断矩阵的一致性 1、一致性的判断矩阵：如果判断矩阵A满足 ai j aj k=ai k i,j,k=1,2,…,n 则称A为一致性的判断矩阵。 2、一致判断矩阵的特点 考虑把一块单位重量的大石头Z分成n块小石头y1， y2，…，yn，各块小石头的重量为w1，w2，…，wn。这 n个小石头之间相对重量的判断矩阵A为
6.2层次分析法的基本原理（续）
目标层 合理选择科研课题 更好为社会建设服务 A 人才培养 B2 课题可行性 B3
准则层
成果贡献 B1
指 标 层 经济 价值 C11 课 题 层
实用 价值 C1 社会 价值 C12
科学 意义 C2
优势 发挥 C3
难以 程度 C4
研究 周期 C5
财政 支持 C6
课题1 D1
6.2层次分析法的基本原理（续）
一致性指标
CI
平均随机一致性指标
n
n
RI
' n
n
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 令CR=CI/RI，称CR为一致性比率。当CR<0.1时，可认 为判断矩阵具有满意的一致性。
6.4 层次分析法的基本步骤（续）
表6.3 层次总排序权值计算表
层次 A 层次 B B1 B2 . . . Bn A1 a1 b11 b21 . . . bn1 A2 a2 b12 b22 . . . bn2 … … … … Am am b1m b2m B 层次总 排序权值 ajb1 j ajb2 j . . . ajbn j
课题2 D2
课题3 D3
......
课题N DN
图6.2 科研课题遴选层次分析模型
6.2层次分析法的基本原理（续）
二、层次分析结构模型主要层次： 1）最高层 表示解决问题的目的，即层次分析要达到的 目标 2）中间层 表示为实现目标所涉及的因素、准则和策略 等。中间层可分为若干子层，如准则层，约束层和策 略层等。 3）最低层 表示为实现目标而供选择的各种措施、方案 和政策等。 三、判断矩阵及其标度 判断矩阵表示相对上一层次某一因素而言，本层次各 因素之间的两两相对重要性程度。设A层因素ak与下一 层次B中的因素B1，B2，…，Bn有联系，则我们构造 如下判断矩阵
6.2层次分析法的基本原理（续）
w w w A w wn w
w w w w ... wn w
... ... ... ...
wn wn w wn w wn
显然A是满足一致性条件的正互反矩阵，且有：
Max .
RI .
CI . CR . .
6.2层次分析法的基本原理（续）
表6.1 判断矩阵标度及其含义
标度 1 3 5 7 9 2，4 6，8 倒数 含义 表示两个因素相比，具有同样的重要性。 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要。 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要。 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要。 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要。 上述两相邻判断的中间值。 上述两相邻判断的中间值。 相应两因素交换次序比较的重要性。
…
bnm
5、层次总排序的一致性检验 这一步也是从高到低逐层 进行的。如果B层次若干因素对于上一层次某一因素Aj 的单排序一致性检验指标为CIj，相应的平均随机一致 性指标为RIj，则B层次总排序随机一致性比率为
CR
a
j
m
j
CI
j
/ a j RI j
j
m
6.5 层次分析法应用实例
Max
( BW ) i . . . . . . . j nW i
n
6.3 层次分析法的计算（续）
二、和积法 设判断矩阵为B=(bi j)nn 1、将判断矩阵每一列规范化
b ij
bij
Max
( BW )i j nW i
n
6.3 层次分析法的计算（例）
例、仍以前面的矩阵为例，有
1 / / . . . B , 得 B . . . / . . . 0.317 . . W 1.9 W 0.781 .
W
j
n
j
则W=[W1,W2,…,Wn]即为所求的特征向量。 n ( BW )i 4、计算判断矩阵的最大特征根Max Max j nWi
6.3 层次分析法的计算（例）
例、由
1 / / / / , 得 M B / / 0.405 . . W 2.466 W 1 .
6.2层次分析法的基本原理（续） w w A ... ... w w wn wn
记w ( w , w ,...,wn )T , 则有 Aw w w w ... w wn nw wn
6.3 层次分析法的计算
一、方根法 设判断矩阵为B=(bi j)nn 1、计算判断矩阵每一行元素的乘积
Mi
b
j
n
ij
i ,,...,n
W i n Mi i ,,...,n
2、计算Mi的n次方根 3、对向量
W [ W , W ,...,W ]T 进行规范化，即 Wi Wi
措施 P1 层P 发奖金
P2 扩建集体 福利设施
P3 办职工 业余学校