第四章：z分数、正态分布和概率教材课程
新教材高中数学第四章概率与统计25正态分布课件新人教B版选择性
【补偿训练】 设随机变量 X～N(0，1)，
Φ(0.25) ＝0.598 7，Φ(0.51) ＝0.695 0，求：
(1)Φ－0.25 ；
(2)P(0.25<X≤0.51) .
【解析】(1)Φ－0.25 ＝1－Φ(0.25) ＝1－0.598 7＝0.401 3. (2)P(0.25<X≤0.51) ＝P(X<0.51) －P(X<0.25) ＝Φ(0.51) －Φ(0.25) ＝0.695 0－0.598 7
数学考试试卷满分是 150 分，设在一次考试中，某班学生的分数 X 近似服从正态 分布，且均值为 110，标准差为 20. (1)求这个班在这次数学考试中分数在 90 分以上的概率； (2)若这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中 130 分以上的人数．
【解析】(1)由题意可知，分数 X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20， P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)， 因为 P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ) ＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以 P(X≤μ－σ)＝0.158 5， 所以 P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5.
为什么 σ 决定正态曲线的“胖瘦”？ 提示：σ 越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ 越小，
说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
2．正态分布
(1)定义：一般地，如果随机变量 X 落在区间a，b 内的概率，总是等于 φμ，σ(x) 对
应的正态曲线与 x 轴在区间a，b 内围成的_面___积___，则称 X 服从参数为 μ 与 σ 的正 态分布，记作 X～N(μ，σ2)，此时_φ__μ_，__σ_(_x_)__称为 X 的概率密度函数，μ 是 X 的 __均__值___，σ 是 X 的__标__准__差___，σ2 是则D(X)等于( ) A．0.8 B．0.64 C．0.642 D．6.4 【解析】选B.因为X～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64.
正态分布示范教案
正态分布示范教案第一章：正态分布的定义与特征1.1 引入：通过现实生活中的例子（如考试分数、人的身高等）引导学生了解正态分布的概念。
1.2 讲解正态分布的定义：一个连续型随机变量X服从正态分布，如果其概率密度函数为f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是分布的标准差。
1.3 分析正态分布的特征：均值、标准差、对称性、拖尾现象等。
1.4 练习：让学生通过图表或计算器观察正态分布的特性。
第二章：正态分布的参数估计2.1 引入：讲解参数估计的概念，以及正态分布参数估计的重要性。
2.2 讲解均值和标准差的点估计：利用样本均值和样本标准差来估计总体均值和总体标准差。
2.3 讲解置信区间：以样本均值为例，讲解如何计算置信区间，并解释其含义。
2.4 练习：让学生运用给出的数据，计算正态分布的均值和标准差的点估计，以及置信区间。
第三章：正态分布的假设检验3.1 引入：讲解假设检验的概念，以及正态分布假设检验的应用。
3.2 讲解单样本Z检验：通过给出样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的单样本Z检验。
3.3 讲解两样本Z检验：通过给出两个样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的两样本Z检验。
3.4 练习：让学生运用给出的数据，进行正态分布的假设检验。
第四章：正态分布的应用4.1 引入：讲解正态分布在日常生活中的应用，如质量控制、医学等领域。
4.2 讲解正态分布的应用案例：如某产品的质量控制，如何利用正态分布进行控制限的确定。
4.3 讲解正态分布在其他领域的应用：如医学中正常值的判断、心理测量等。
4.4 练习：让学生通过实例，运用正态分布解决实际问题。
第五章：总结与拓展5.1 总结：回顾本章所讲内容，让学生掌握正态分布的定义、特征、参数估计和假设检验。
5.2 拓展：讲解其他连续型分布，如t分布、卡方分布等，以及它们与正态分布的关系。
5.3 练习：让学生运用所学的知识，解决更复杂的实际问题。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
卫生统计学七版 第四章常用概率分布剖析
二项分布的概率函数
n为总例数，X为得到其中一种结果的 次数，
为得到这种结果的概率 ， !为阶乘
n！ n （n 1 ） （n 2） 1 0! 1 例: 3! 3 2 1 6
例4 （ 1 P63） 用针灸治疗头痛，假定结果不是 有效就是无效，每一例有效的概率为。某医生用此 方法治疗头痛患者3例， 2例有效的概率是多少？ P( X )C X X (1 )n X n 2 2 3 2 P(2)C (1 ) 3
（ 1 ）估计身高在 130cm以上者所占比例 查附表1得： （ 1.46 ） 0.0721
Z分布
该地8岁男孩身高在130cm以上者约占该地8岁男孩总数 的7.21%。
(2)身高在120～128cm者占该地8岁男孩总数的百分比
120 123.02 z1 0.63 4.79 128 128 123.02 z2 1.04 4.79 120
二项分布的正态近似计算方法：
Poisson分布的正态近似计算方法：
例5-15（P76） 即例5-6，某地钩虫感染率为 13%，如果随机抽查当地150人，至少有20人感染钩虫的 概率有多大？
例4 （ 2 P64） 如果例4 -1中 0.6，随机治疗3例，有效 例数为0例、 1例、 2例和3例的概率各多大？ 1例及1例以上有 效的概率多大？ n 3 X 0
0 .6
P(0) C 0 0 (1 )30 3 P(0) 10.60 0.43 0.064
3! 321 0 C 1 3 0! (30) ! 1321 P( X 1) 1 P(0) 10.0640.936
第二节
Poisson分布
正态分布完整课件
正态分布完整课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学六年级下册第117页至119页，主要学习了正态分布的概念及其图形表示。
通过本节课的学习，让学生能够理解正态分布的特点，学会绘制正态分布图，并能够运用正态分布解决实际问题。
二、教学目标1. 理解正态分布的概念，掌握正态分布图的绘制方法。
2. 能够运用正态分布解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：正态分布的概念及其图形表示。
难点：正态分布图的绘制方法和在实际问题中的运用。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔、正态分布图模板。
学具：笔记本、尺子、圆规、剪刀、彩笔。
五、教学过程1. 情景引入：教师通过展示一组身高数据，引导学生观察数据的分布情况，引发学生对分布图的兴趣。
2. 自主学习：学生自主阅读教材，了解正态分布的概念，并尝试绘制正态分布图。
3. 课堂讲解：教师通过PPT讲解正态分布的特点，演示正态分布图的绘制方法，并解释正态分布在实际生活中的应用。
4. 动手操作：学生分组合作，根据给定的数据绘制正态分布图，并交流分享绘制心得。
5. 例题讲解：教师通过PPT展示典型例题，讲解解题思路，引导学生运用正态分布解决实际问题。
6. 随堂练习：学生独立完成随堂练习题，巩固所学知识。
8. 课后作业：学生完成课后作业，进一步巩固正态分布的知识。
六、板书设计板书内容：正态分布的特点、正态分布图的绘制方法、正态分布的应用。
七、作业设计数据：一组学生的身高（单位：cm）：140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180。
答案：略答案：略八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过引导学生观察实际数据，激发学生对正态分布的兴趣。
在课堂讲解过程中，注意运用PPT和黑板辅助教学，使学生更好地理解正态分布的概念和图形表示。
同时，通过分组合作和动手操作，培养学生的团队协作能力和观察能力。
医学统计学. 正态分布及其应用
表4.6 参考值范围的制定
45
例4.24 某地调查正常成年男子200人的红 细胞数，得均数 X =55.26×1012/L，标准 差S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年 男子红细胞数的95%参考值范围。
46
解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为
下限：
X－1.96S =55.26 － 1.96×0.38=54.52(×1012/L)
生不同位置、不同形状正态分布， （x1，x2）范围内的面积也不同， 计算起来很麻烦。
22
三、标准正态分布 为了计算方便，对于正态或近似正态 分布的资料，只要得出均数和标准 差，可通过标准转化，转化成求标 准正态曲线下横轴自-∞到z的面积。 为了便于应用，统计学家按Φ(z)编 制了标准正态分布曲线下的面积表， 由此表可查出曲线下某区间的面积， 这样就可对符合正态分布资料的频 数分布作出估计。
曲线下在区间(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)的面积为99%。
16
■μ士σ范围内的面积占正态曲线下面积的68.27％，也
就是说有68.27％的变量值分布在此范围内。
68.27%
-
+
17
μ士1.64σ范围内的面积占正态曲线下面积的90％，也就是 说有90％的变量值分布在此范围内。
90%
5%
线,近似于数学上的正态分布曲线。
7
一.正态分布的概念和特征
1.正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频 数分布是中间(靠近均数处)频数多，两边 频数少，且左右对称。如人体的许多生 理、生化指标等。这种变量的频数分布 规律可用概率论中的一种重要的随机变 量分布—正态分布(Normal distribution)加 以描述。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布大数定律与中心极限定理
0
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理பைடு நூலகம்
0
1 （ 2 ）(0) ； 由（ 1 ）容易得到（ 2 ）。 2 （3） x 1 x
1 e 2
x2 2
dx
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x
f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
2 2
和标准正态密度
1 ( x) e 首先都具有一般密度函 数的非负规范性，另外 ， 2 标准正态密度由于是偶 函数，还具有对称区间 积分的特殊性
f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数
1 e 2
x2 2
2 dx 2
( x )2 2 2
dx
t x
k k t e dt 2
t2 2
则： k 0
z
t2 2
k 1, 3, 5,
k
2 k
k 2
2
k
2
0 t e dt
k
2
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➢心理学的抽样 ➢概率是指从某个总体中得到特定样本的可能性
概率
概率
应该怎么抽才是随机取样？
随机取样
➢总体中的每个个体有同样的机会被选择 ➢抽样时所选择的样本中的个体不止一个
每次抽取的概率都一样
抽到圣诞老人的概率
5 9
抽到圣诞老人的概率
4
回置取样
8
回置取样
➢Sampling with replacement ➢一种取样方法，在选择下一个个体（下次取样
Z分数、正态分布 和概率
By 甘廷婷
无忧PPT整理发布
开心一刻
影响心理学的40项研究： 人类依恋
➢ 基本实验
➢ 铁丝妈妈 vs 绒布妈妈
– “一个是柔软、温暖的母亲， – 一个是有着无限耐心、可以24小时提供
奶水的母亲”
➢ 刚出生小猴 ➢ “证明了爱存在三个变量：
– 触摸、运动、玩耍
➢ 将新生婴儿要直接放在母亲的肚子上；抚摸 ➢ 仅仅向婴儿提供奶瓶是不够的，还必须抱着婴儿来回摇动，并且要对其
Z1 X-1* Z1
Z分数与原始分数
➢如果一名男性在IQ测试得分为130，Z分数？ ➢如果一名男性在IQ测试得分为90，Z分数？
一名学生在某测验中所得的z分数为-0.5，该测验的均值为20， 标准差为8，那么该学生所对应的原始分数是多少呢？
Z分数与原始分数
Z分数与原始分数
➢Z分数可以将整个分布标准化
微笑道
的积极刺激，让孩子能够感到父母的存在，并能从他们那里得到安全感
影响心理学的40项研究： 人类依恋
➢“绝望之井”实验
– 黑屋子；头朝下 – 那只猴子后来出现了严重的、持久的、抑郁性的精神病理学
行为 – 即使在放出来9个月之后，还是抱着胳膊呆呆坐着，而不像
➢若将一个分布中的所有原始分数转化为z分数 ，所得的新分布就被称为z分数分布，也叫标 准分布（standardized distribution）
➢总体：
Z X -
➢样本
_ Z X -X
s
标准分布的转化
概率
➢推论统计所必需的概念 ➢根据样本的信息推断总体信息实际是一个概率 ➢日常生活中的概率
一般的猴子东张西望探索周遭
➢早期严重而持久的孤立——恐惧 ➢长期剥夺幼童的母爱——儿童沮丧、绝望、焦
虑
➢父母尽量避免与孩子的长期分离。
➢ 第一次的离差是15，第二次是20，第二次好吗？ ➢ 标准差反映的是个体和平均值的距离的平均值 ➢ 考虑相对于标准差的距离 ➢ 第一次：
– （85-70）/5=3 – 与均值的距离是3个标准差 ➢ 第二次：
– (90-70)/7=2.86 – 与均值的距离是2.86个标准差
你如何解释76分数？
你如何解释76分数？
变化了平均 值的结果
你如何解释76分数？
变化了标准 差的结果
Z分数与原始分数
Z X -
➢原始分数大于平均数：z符号为“+” ➢原始分数小于平均数：z符号为“-” ➢Z分数的含义：
原始分数与均值之间相差几个标准差
之前），将每个已选择个体放回总体
正态分布
正态分布的特征
标准差不同的正态分布
标准正态分布
➢正态分布通过标准化过程得到标准正态分布
➢整个曲线下面积为1，介于横轴上任意两点a、 b之间的曲线下的面等于a<X<b的概率
正态分布与概率
正态分布与概率
正态分布的特征
➢形状与原始分布完全相同
– 对称、偏态 – 每个分数的相对位置
➢均值为=0 ➢标准差=1
例题1
附表1： z对应的 概率是右侧
例题2
例题3
➢插值法 ➢标准IQ测验的平均分是100，标准差是15，如
果你想在考试中位于前15%，则你必须考多少 分？
例题4
谢谢大家