第6章习题详解
高一物理课后习题精准解析(新教材人教版必修第二册)第6章__圆周运动复习与提高B组
第 6章圆周运动复习与提高 B组（解析版）—2019版新教科书物理必修第二册“复习与提高”习题详解1.如图 6-7所示，半径 R=0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圈环与水平地面相切于圆环的端点 A，一小球从 A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到 B点飞出，最后落在水平地面上的 C点〔图上未画)，g取 10 m/s .（1）能实现上述运动时，小球在 B点的最小速度是多少?2(2）能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少?【解析】（1）小球在B点受力等于向心力，当N=0时最小速度为（2）小球从B做平抛运动，解得0.8m，即为A、C间的最小距离。
2.如图 6-8所示，做匀速圆周运动的质点在时间 t内由 A点运动到 B点，AB弧所对的圆心角为。
(1）若 A8弧长为，求质点向心加速度的大小。
(2）若由 A点运动到 B点速度改变量的大小为，求质点做匀速圆周运动的向心加速度的大小。
【解析】（1）因为,所以，又，所以，代入得（2）3.如图 6-9所示，带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿颠时针方向匀速转动，转速 n=20 rls。
在暗室中用每秒闪光 21次的频闪光源照射圆盘，求观察到白点转动的方向和转动的周期。
【解析】每闪光1次所用时间，在此时间内，白点顺时针转过的角为，也就是逆时针转动了，用角度表示约为，所以观察到的白点转动方向为逆时针方向。
如图所示角速度，所以周期= 。
4.如图 6-10所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为 m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为 g。
(1)小球运动到最高点时，长杆对球的作用力。
( 2）小球运动到水平位置 A时，求杆对球的作用力。
【解析】（1）在最高点，设杆对球的作用力为F，方向向下为正，有，则①若②若③若，则，则，则，F=0，杆对球的作用力为0；，F>0，杆对球的作用力为, 方向向下，是拉力；，F<0，杆对球的作用力大小为,方向向上，是支持力。
第6章 二重积分习题详解
习 题 6-51. 略2．利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；(2) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.解 (1) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.Dx y σ≤≤⎰⎰(2) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.Dx y σ≤++≤⎰⎰3. 计算下列二重积分： (1) 22()d D xy σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域； (3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(4) cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．(5) Dσ⎰⎰，其中D是由两条抛物线y 2y x =所围成的闭区域； (6) 2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(7) ed x yD σ+⎰⎰，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤；(8)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．解 (1) 1311112222221111128()d d ()d d (2)d .333Dy x y x x y y x y x x x σ-----⎡⎤+=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是22222000220(32)d d (32)d [3]d 20(422)d .3xxDx y x x y y xy y xx x x σ--+=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y x σ++=++⎰⎰⎰⎰14113330001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是ππ00πcos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2xxDx x y x x x y y x x y x x x x x σ+=+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) D可用不等式表示为201x y x ≤≤≤≤，于是237111424000226d d (-)d .3355Dx x x y x y x x x x σ⎡====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(6) D可用不等式表示为022x y ≤≤-≤≤，于是22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x y y y σ--==-=⎰⎰⎰⎰ (7) 12D D D = ，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是120111110112112111ed e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .x yx y x y D D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(8) D 可用不等式表示为,022yx y y ≤≤≤≤，于是 2222223222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x x x x y x y y y y σ+-=+-⎡⎤⎛⎫=+-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 改变下列二次积分的积分次序：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ； (2)2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；(3) 1d (,)d y f x y x ⎰ ；(4)212d (,)d xx f x y y -⎰ ；(5)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y -⎰⎰．解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是原式11d (,)d .xx f x y y =⎰⎰(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D可改写为{(,)|04}2xx y y x ≤≤≤≤，原式402d (,)d .x x f x y y =⎰⎰(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|01}D x y x y =≤≤，D可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是原式110d (,)d .x f x y y -=⎰(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤，D可改写为{(,)|2101}x y y x y -≤≤≤≤，于是原式1102d (,)d .yy f x y x -=⎰⎰(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰，其中{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是原式1eed (,)d .y y f x y x =⎰⎰(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，将D 表示为12D D ，其中1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是原式1πarcsin 0πarcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x ---=+⎰⎰⎰⎰5. 利用极坐标计算下列各题： (1) 22e d xy Dσ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；(2) arctand Dyxσ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域.解 (1) 在极坐标中，{(,)|02,02π}D ρθρθ=≤≤≤≤，故原式22π240d e d π(e 1).ρθρρ=⋅=-⎰⎰(2) 在极坐标中，π{(,)|12,0}4D ρθρθ=≤≤≤≤，故原式π224013d d π.64θρρ==⎰⎰ 6. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) 22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；(2)Dσ，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴围成的在第一象限内的闭区域； (3) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>围成的闭区域；(4) Dσ，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤．解 (1) 选用直角坐标，1{(,)|,12}D x y y x x x=≤≤≤≤，故 22212219d .4x x D x x dx dy yy σ==⎰⎰⎰⎰ (2) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2D ρθρθ=≤≤≤≤，故π200d d d d ππd (π2).28DDσρρθθρρρρ===⋅=-⎰⎰⎰(3) 选用直角坐标，33322222240()d d ()d (2)d 14.3a y ay aDa xy y x y x ay a y y a σ-+=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰(4) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2D ρθρθ=≤≤≤≤，故2π23302d d d d π().3baDDb a σρρρθθρρ=⋅==-⎰⎰⎰⎰复 习 题 A一、填空题1. 设D 是正方形区域{(,)|01,01}x y x y ≤≤≤≤，则d d D xy x y =⎰⎰___________.1;42. 已知D 是长方形区域{(,)|,01}x y a x b y ≤≤≤≤，又已知()d d 1Dy f x x y =⎰⎰，则()d baf x x =⎰______________. 2;3. 若D 是由1x y +=和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分()d d Df x x y ⎰⎰可以表示为定积分1()d d ()d Df x x y x x ϕ=⎰⎰⎰，那么()x ϕ=_____________. (1)();x f x -4. 若2111()()d (,)d d (,)d x x y x y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰，那么区间12[(),()]x y x y =____________.[,1];y5. 若d (,)d d (cos ,sin )d aax f x y y rf r r r βαθθθ-=⎰⎰⎰，则区间(,)αβ=____________. π,π.2⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题1. 设D 是由(0),0y kx k y =>=和1x =所围成的三角形区域，且21d d 15Dxy x y =⎰⎰，则k =( ). A ；A. 1;B.C. D. 2. 设1D 是正方形区域， 2D 是1D 的内切圆区域， 3D 是1D 的外接圆区域， 1D 的中心点在(1,1)-点，记222222123222123e d d ,e d d ,e d d ,y xy y xy y xy D D D I x y I x y I x y ------===⎰⎰⎰⎰⎰⎰则123,,I I I 的大小顺序为( ) B ；A. 123;I I I ≤≤B. 213;I I I ≤≤C. 312;I I I ≤≤D.321.I I I ≤≤3. 将极坐标系下的二次积分:π2sin 00d (cos ,sin )d I rf r r r θθθθ=⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分，则I =( ) D ；A.1111d (,)d I y f x y x -=⎰⎰; B. 2d (,)d I x f x y y =⎰;C. 11d (,)d I y f x y x -=⎰;D. 1111d (,)d I x f x y y -=⎰⎰.4. 设D 是第二象限内的一个有界闭区域，而且01y <<.记122123d ,d ,d ,DDDI yx I y x I y x σσσ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰则123,,I I I 的大小顺序为( ) C ；A. 123;I I I ≤≤B. 213;I I I ≤≤C. 312;I I I ≤≤D. 321.I I I ≤≤5. 计算旋转抛物面2212x y z +=+在12z ≤≤那部分曲面的面积的公式是( ) C ．A. 221x y σ+≤⎰⎰;B. 224x y σ+≤⎰⎰;C.224x y σ+≤⎰⎰;D.221x y σ+≤⎰⎰.三、计算题1. 计算重积分e d d x Dx y ⎰⎰，其中D 是由0,e x x y ==和2y =所围成的区域.解 2ln 211e d d d e d 2)1d (1.yx x Dx y y x y y ==-=⎰⎰⎰⎰⎰2. 计算重积分22d d D x x y y⎰⎰，其中D 是由2,x y x =-=和1xy =所围成的区域.解 1211223222d d d d ()94d .x x D x x y x x y y x x x y------==-+=⎰⎰⎰⎰⎰3. 计算重积分()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由222x y +≤和222x y x +≥所围成的区域.解π3π22ππ2cos 0427π43π2cos 2()d d d (cos sin )d d cos sin )d d (cos s π.in )2d Dx y x y r r r r r r r rr r r r θθθθθθθθθθθ+=+⋅++⋅++⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰4. 将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种顺序的二次积分，积分区域D 给定如下:(1) D 是以(0,0),(1,0),(0,2)为顶点的三角形区域;(2) D 是区域2222{(,)|1,0}(0,0)x y x y y a b a b+≤≥>>;(3) D 是区域22{(,)|,1}x y y x y x ≥≤-; (4) D 是由y x =和3y x =所围成的区域;(5) D 是由0,1,y y y x ===和2y x =-所围成的区域. 解 (1)12(1)21200(,)d d (,)d d (,)d .y x Df x y x f x y y y f x y x σ--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)(,)d d (,)d d (,)d .abaDf x y x f x y y y f x y x σ-==⎰⎰⎰⎰(3) 221112102(,)d (,)d d (,)d d (,)d .x xDf x y x f x y y y f x y x y f x y x σ-==+⎰⎰⎰⎰⎰(4) 311(,)d d (,)d d (,)d .xxyDf x y x f x y y y f x y x σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)12131120122(,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d .x y x yDf x y x f x y y x f x y y x f x y y y f x y x σ+-=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5. 将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化成在直角坐标下两种顺序的二次积分，并进一步化成在极坐标下的二次积分，其中积分区域D 给定如下:(1) D 是区域22{(,)|2}x y x y y +≤; (2) D 是区域22{(,)|1,1}x y x y x y +≤+≥; (3) D 是区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤; (4) D 是由,0y x y ==和1x =所围成的区域. 解(1)112π2sin 110d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .x f x y y y f x y x rf r r r θθθθ-==⎰⎰⎰⎰⎰(2) π1112101010sin cos d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .xyx f x y y y f x y x rf r r r θθθθθ--+==⎰⎰⎰⎰(3)1112211111122111d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y--------+++=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π21d (cos ,sin )d .rf r r r θθθ⎰⎰ (4)π11114cos 000d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .xyx f x y y y f x y x rf r r r θθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 设D 是长方形区域{(,)|,}x y a x b c y d ≤≤≤≤，试证明:()d ()d ()()d bdacDf x xg x x f x g y σ=⎰⎰⎰⎰ (设(),()f x g x 连续).证明()()d d ()()d ()d ()d ()d ()d .bdbdbdacacacDf xg y x f x g y y f x x g y y f x x g x x σ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 将二重积分22()d Df xy σ+⎰⎰化为二次积分，其中D 是半圆区域{(,)|0x y y ≤.解 2222π()d π()d ()d .2R R Df x y rf r r f t t σ+==⎰⎰⎰⎰8. 交换下列积分的顺序:(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰; (2) eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰; (3) 220d (,)d xx x f x y y ⎰⎰;(4) 12201d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰;(5)212201d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰.解 (1) 21d (,)d ;x xx f x y y ⎰⎰(2) 1eed (,)d ;y y f x y x ⎰⎰(3) 2420222d (,)d d (,)d ;y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰(4) 120d (,)d ;y yy f x y x -⎰⎰(5)12d (,)d .y y f x y x -⎰9. 交换下列积分的顺序，并化为极坐标下的二次积分:(1)1d (,)d y f x y x ⎰;(2) 00d (,)d (0)ax f x y y a >⎰;(3) 1d (,)d x x f x y y ⎰;(4)120d (,)d y yy f x y x -⎰⎰.解 (1) 1π11d (,)d d (cos ,sin )d ;x f x y y rf r r r θθθ-=⎰⎰⎰(2)ππ2cos 4cos 2π0004d (,)d d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d ;a aaa a y f x y x rf r r r rf r r r θθθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)π12cos 2π0104d (,)d d (cos ,sin )d ;yy f x y x rf r r r θθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)π21224cos sin 01d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .xxx f x y y x f x y y rf r r r θθθ-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10. 用二重积分计算以下图形D 的面积: (1) D 由2e ,e ,1x x y y x ===所围成; 解 21e 20e 1d d d (e 1).2xx DS x y σ===-⎰⎰⎰⎰(2) D 由2,2y x x y =+=所围成; 解 21229d d d .2y yDS y x σ--===⎰⎰⎰⎰(3) D 由极坐标下不等式(1cos )r a θ≤+及r a ≤所确定. 解 1π(1cos )222π02115π2d π2d d π2.224a D S a a r r a θσθ+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰11. 用二重积分计算下列曲面所围立体的体积: (1) 221z x y =--及0z =;解 2π122200π(1)d d (1)d .2DV x y r r r σθ=--=-=⎰⎰⎰⎰(2) 22z x y ≥+及2222x y z z ++≤;解2π122207π1)d d 1)d .6DV x y r r r σθ=--=-=⎰⎰⎰⎰ (3) 22z x y =+，三坐标平面及平面1x y +=. 解 112222001()d d ()d .6xDV x y x x y y σ-=+=+=⎰⎰⎰⎰。
第06章 向量代数与空间解析几何习题详解
第六章 向量代数与空间解析几何习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+. 解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）1+=x y ；（2）422=+y x ；（3）122=-y x ；（4）22x y =. 解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+yx 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-yx 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面； （4）y x 22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成 （3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围. 解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x a y x 解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；（2）上半球面z =与平面0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x . 4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩； （2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x 解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x x y ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==t z t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cos y b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ； （3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线. 解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x （2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影22200y z y z x ⎧++-=⎨=⎩. 习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以 B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n 所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）,、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线；（2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；（4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程 .440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为：235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程. 解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为： ,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y t x 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=-- 43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ== 4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723z y x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ； （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直. 复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±． 3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解: (1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3)21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P P P． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-ij kc a b，01⎧==⎨⎩c cc ，故与a、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d 垂直于a 与b，故d 平行于b a ⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2：}1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C'=，则有0='+z C y ，由题设得22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ， 解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、 一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1： 直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．。
土力学课后答案详解 第6章
2m 2m 2m
ϕ 1= 30 ° ， γ 1= 18 κ Ν /m 3 ϕ 2= 26° ， γ 1= 17κ Ν /m 3
ϕ 3= 26° ， γ 3= 9κ Ν /m 3
6.21 题 6-1 图
解:
K a1
=
tan 2 (45o
−
ϕ1 2
)
=
tan 2 (45o
−
30o 2
)
压力。 6-3 朗肯土压力理论的基本假设是什么？
答：弹性半空间体内的应力状态，根据土的极限平衡条件而得出的土压力计算方法。在 弹性匀质的半空间体中，任一竖直面应都是对称面，其上的剪应力为零。 6-4 库仑土压力理论的基本假设是什么？
答：①墙后填土是理想的散粒体（粘聚力 c =0）；②滑动破裂面为通过墙踵的平面。
第六章 思考题与习题
思考题
6-1 什么是主动土压力、被动土压力和静止土压力？三者的关系是什么？ 答：（1）主动土压力：当挡土墙在外力作用下，向土体方向偏移至墙后土体达到极限平
衡状态时，作用在墙背上的土压力称为主动土压力，一般用 Ea 表示。
（2）被动土压力：当挡土墙在外力作用下，向土体方向偏移墙背土体达到极限平衡状
的状态。
当挡土墙离开土体向左移动时，墙后土体有伸张趋势。此时竖向应力σ z 不变，法向应 力σ x 减小，σ z 和σ x 仍为大、小主应力。当挡土墙位移使墙后土体达极限平衡状态时，σ x
达到最小值σ a ，其摩尔应力圆与抗剪强度包线相切。土体形成一系列滑裂面，面上各点都
处于极限平衡状态，称主动朗肯状态，此时墙背法向应力σ x 为最小主应力，即朗肯主动土
墙底：σ p1 = (q + γh)K p = (25 + 16 × 5) × 3.85 = 404.25kPa
微观经济学原理课后习题及答案-第六章完全竞争市场
微观经济学原理课后习题及答案 -第六章 完全竞争市场第一部分 教材配套习题本习题详解1．假定某完全竞争市场的需求函数和供给函数分别为D=22-4P 和S=4+2P 。
求： （1）该市场的均衡价格和均衡数量。
（2）单个完全竞争厂商的需求曲线。
（3）利用本题，区分完全竞争市场条件下市场的需求曲线、单 个消费者的需求曲线以及单 个厂商的需求曲线。
2. 请分析追求利润最大化的厂商会面临哪几种短期均衡的情况。
3. 完全竞争厂商的短期供给曲线与短期生产的要素合理投入区间之 间有什么联系 ?答：参考图 6-2，完全竞争厂商短期生产函数和短期成本函数之解为：在厂商短期生产合理区间中呈下降趋势的 MP 曲线， 对应着厂 商短期成本的 MC 曲线的上升段； 厂商短期生产合理区间的起点， 即 MP L 曲线交于 AP L 曲线的最高点，对应着短期 MC 曲线相交于 AVC 曲线的最低点。
完全竞争厂商的短期供给曲线是等于和大于 AVC 的 SMC 曲 线。
SMC无限大时，即 MP 接近零，厂商也不会生产。
所以完全竞 争厂商的短期供给曲线与短期生产中生产合理区间相对应。
起点对应 于由 AP 曲线和 MP 曲线相交于 AP 的最高点作为起点，且 MP L 曲线间的相互关系是 MC ＝W1 g MP LAVC= g A 1P 。
这两个公式可以分別理呈下降状的短明生产合理区间，终点对应于MP=0。
换言之，如果完全竞争厂商处于短期生产的合理区间，那么，这同时也意味着该厂商的生产定位于短期供给曲线上，当然，也可以反过来说，如果完全竞争厂商的生产位于短期供给曲线上那么，这同时也表示该厂商的生产一定处于短期生产的合理区间。
图6-2 成本与产量曲线关系图4. 已知某完全竞争行业中单个厂商的短期总成本函数为ＳＴＣ＝０.３２１Ｑ－２Ｑ＋１５Ｑ＋１０。
（１）求当市场上产品的价格为Ｐ＝５５时，厂商的短期均衡产量和利润；（２）当市场价格下降为多少时，厂商必须停产；（３）厂商的短期供给函数。
电子电路技术考研习题及其详解第6章功率放大电路
电子电路技术考研习题及其详解第6章功率放大电路(总28页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、选择题(05 分)1.选择正确答案填空：1．在甲类功率放大电路中，功放管的导通角为（）；A ．B ．C．02．在甲乙类功率放大电路中，功放管的导通角为（）；A ． B．>C．<3．在乙类功率放大电路中，功放管的导通角为（）；A ． B．=C．<(05 分)2.选择正确答案填空：1．功率放大电路的主要特点是（）；A．具有较高的电压放大倍数 B．具有较高的电流放大倍数C．具有较大的输出功率2．功率放大电路的最大输出功率是负载上获得的（）；A．最大交流功率 B．最大直流功率 C．最大平均功率3．功率放大电路的效率是（）；A．输出功率与输入功率之比 B．输出功率与功放管耗散功率之比C．输出功率与电源提供的功率之比(05 分)3.选择正确答案填空：2651．分析功率放大电路时，应着重研究电路的（）；A．电压放大倍数和电流放大倍数 B．输出功率与输入功率之比C．最大输出功率和效率2．功率放大电路的最大输出功率是（）；A．负载获得的最大交流功率 B．电源提供的最大功率C．功放管的最大耗散功率2663．当功率放大电路的输出功率增大时，效率将（）。
A．增大 B．减小 C．可能增大，也可能减小(05 分)4.选择正确答案填空：1．功率放大电路与电压放大电路的共同之处是（）；A．都放大电压 B．都放大电流 C．都放大功率2．分析功率放大电路时，应利用功放管的（）；A．特性曲线 B．h参数模型 C ．高频混合模型3．在选择功率放大电路的功放管时，应特别注意其参数（）；A ．、B ．、、C ．、(05 分)5.选择正确答案填空：1．功率放大电路与电流放大电路的共同之处是（）；A．都放大电压 B．都放大电流 C．都放大功率2．对于甲类功率放大电路，当输出功率增大时，功放管的管耗将（）；A．增大 B．不变 C．减小3．对于乙类功率放大电路，当输出功率增大时，功放管的管耗将（）；A．增大 B．可能增大，可能减小 C．减小(05 分)6.选择正确答案填空：1．功率放大电路的主要作用是使负载获得（）；A．尽可能大的电压 B．尽可能大的电流 C．尽可能大的交流功率2．对于甲类功率放大电路，当输出电压增大时，电源提供的功率将（）；A．增大 B．不变 C．减小2663．对于乙类功率放大电路，当输出电压增大时，功放管的管耗将（）；A．增大 B．减小 C．可能增大，也可能减小(05 分)7.有三种功率放大电路：A．甲类功率放大电路267B．甲乙类功率放大电路 C．乙类功率放大电路选择正确答案填空：1．静态时，功率损耗最大的电路是（）；2．能够消除交越失真的电路是（）；3．功放管的导通角最小的电路是（）。
指导书第六章角度调制系统习题详解
第六章 角度调制系统6-1设角度调制信号()()0cos 200cos m S t A t t ωω=+ ①若()S t 为FM 波，且4F K =，试求调制信号()f t ； ②若()S t 为PM 波，且4P K =，试求调制信号()f t ； ③ 试求最大频偏max |FM ω∆及最大相位移max ()|PM t ϕ。
解：①FM 已调信号瞬时相位为0()200cos m t t t θωω=+，对其取导数得到瞬时角频率为00()()(200)sin ()m m F d t t t K f t dtθωωωωω==+-=+ 因此调制信号为()50sin m m f t t ωω=-② PM 已调信号瞬时相位为00()200cos ()m P t t t t K f t θωωω=+=+因此调制信号为()50cos m f t t ω=③ 由FM 信号瞬时频率0()(200)sin m m t t ωωωω=+-，可得最大频偏为m FM ωω200|max =∆由PM 信号瞬时相位t t m ωϕcos 200)(=，可得最大相偏为200|)(max =PM t ϕ6-2用频率为10kHz ，振幅为1V 的正弦基带信号，对频率为100MHz 的载波进行频率调制，若已调信号的最大频偏为1MHz ，试确定此调频信号的近似带宽。
如果基带信号的振幅加倍，此时调频信号的带宽为多少？若基带信号的频率加倍，调频信号的带宽又为多少？ 解：①由题目可知6110f Hz ∆=⨯ ，4110m f Hz =⨯ 。
根据卡森带宽公式可以得到调频信号的带宽近似为Hz f f B m FM 61002.2)(2⨯=+∆≈② 以单音调制为例：m F A K =∆ω。
当A m 加倍时，ω∆加倍，故此时调频信号最大频偏为Hz f 6102'⨯=∆其带宽近似为Hz f f B m FM 61002.4)'(2⨯=+∆≈③m f 加倍，Hz f f m m 310202'⨯==，则调频信号带宽近似为Hz f f B m FM 61004.2)'(2⨯=+∆≈6-3将正弦信号m(t)=cos2πf m t 进行角度调制，若载频f c =100 Hz ，f m =f c /4。
原子物理学课后习题详解第6章(褚圣麟)
第六章 磁场中的原子6.1 已知钒原子的基态是2/34F 。
（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。
解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。
钒原子基态2/34F 之角动量量子数2/3=J ，角动量在磁场方向的分量的个数为4123212=+⨯=+J ，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。
（2）J J P meg2=μ h h J J P J 215)1(=+= 按LS 耦合：52156)1(2)1()1()1(1==++++-++=J J S S L L J J gB B J h m e μμμ7746.0515215252≈=⋅⋅⋅=∴ 6.2 已知He 原子0111S P →跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距厘米/467.0~=∆v，试计算所用磁场的感应强度。
解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为：mcBe g m g m v πλλ4)(1'1~1122-=-=∆ 氦原子的两个价电子之间是LS 型耦合。
对应11P 原子态，1,0,12-=M ；1,1,0===J L S ，对应01S 原子态，01=M ，211.0,0,0g g J L S =====。
mc Be vπ4/)1,0,1(~-=∆ 又因谱线间距相等：厘米/467.04/~==∆mc Be vπ。
特斯拉。
00.1467.04=⨯=∴emcB π 6.3 Li 漫线系的一条谱线)23(2/122/32P D →在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。
解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。
2/323D 能级：,23,21,2===j S l54)1(2)1()1()1(123,21,21,232=++++-++=--=j j s s l l j j g M2/122P 能级：,21,21,2===j S l 32,21,211=-=g ML v)3026,3022,302,302,3022,3026(~---=∆ 所以：在弱磁场中由2/122/3223P D →跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。
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第6章 触发器和定时器已知由与非门构成的基本RS 触发器的输入波形如图所示。
画出基本RS 触发器的Q 和Q 端波形。
解：与非门构成的基本RS 触发器输入信号R 和S 直接改变触发器的状态，且它的特性方程是：1n n Q S RQ +=+且1R S +=，则其波形如下：RS图P6.1QQ在图所示的输入波形下，由或非门构成的基本RS 触发器会出现状态不定吗如果有，请指出状态不定的区域。
RS 图P6.2解：或非门构成的基本RS 触发器输入信号R 和S 直接改变触发器的状态，且它的特性方程是：1n n Q S RQ +=+且0RS =，1R S ==时0Q Q ==，违反了互补关系所以如上图虚线部分就会出现不能确定的状态。
/同步RS 触发器的逻辑符号和输入波形如图所示。
设初始状态Q ＝0。
画出Q 和Q 端的波形。
解：同步RS 触发器的触发时刻时在CP 的上升沿，其它的特性方程是：1n n Q S RQ +=+且0RS =，则其波形如下：CP S RS 图P6.3Q Q由各种TTL 逻辑门组成的电路如图所示，分析图中各电路是否具有触发器的功能 。
解：a)的特性方程是：1n n Q R Q +=•, 1n n Q S Q +=•|b)的特性方程是：1n n Q R Q +=+, 1n n Q S Q +=+&&·≥1=1=1=1=1(a)(b)【(c)(d)图&&≥1=1'=1=1=1(a)(b)(c)(d)图c)的特性方程是：1n n Q R Q +=⊕, 1n n Q S Q +=⊕ d)的特性方程是：1n n Q R Q +=⊕, 1n n Q S Q +=⊕ 列出真值表如下：据真值表得以上四图都无两个稳定的状态，所以无触发功能。
—分析图电路的逻辑功能，对应于CP 、A 、B 的波形，画出Q 和Q 端波形。
1Q(a)(b)图P6.5CPAB1Q4Q3Q3Q4QQQQQQ1)2)3)4)QQQ解：根据CP、A、B的波形图画出'A、'B的波形图，再据'A、'B构成的与非门和或非门基本RS触发器画出波形如上：1）'',A CP AB CP B=•=•或非门基本RS触发器特性方程为：1''n nQ A BQ+=+且''0A B=，2)'',A CP AB CP B=•=•与非门基本RS触发器特性方程为：1''n nQ A BQ+=+且''1B A+=，3)'',A CP A B CP B =+=+ 或非门基本RS 触发器特性方程为：1''n nQ A BQ +=+且''0A B =，4)'',A CP A B CP B =+=+ 与非门基本RS 触发器特性方程为：1''n n Q A BQ +=+且''1B A +=，已知JK 触发器组成的电路及各输入端波形如图所示，画出Q 端的电压波形，假设初态Q=0。
{解：1）由传输延时型边沿JK 触发器的触发时刻是CP 的下降沿，输入J 、K 时CP 下降沿前瞬的逻辑值，即触发器状态的更新发生在CP 脉冲的下降沿2）又已知JK 触发器的特性方程为1n n n Q JQ KQ +=+及设触发器的初始状态为0Q = 3）由此，可用A 、B 的波形定出J 、K 的波形即：J A B =+且K A =根据已知的波形画出Q 的波形如下：BAABCP 图P6.6Q逻辑电路图及A ，B ，CP 的波形如图所示，试画出Q 的波形（设Q 的初始状态为0）。
解：1）由传输延时型边沿JK 触发器的触发时刻是CP 的下降沿，输入J 、K 时CP 下降沿前瞬的逻辑值，即触发器状态的更新发生在CP 脉冲的下降沿2）又已知JK 触发器的特性方程为1n n n Q JQ KQ +=+及设触发器的初始状态为0Q = 3）由此，可用A 、B 的波形定出J 、K 的波形即：J A B =+且K悬空（输入1），根据已知的波形画出Q 的波形如下：CP B A 图P6.7Q·JK 触发器的输入端波形如题图所示，试画出输出端的波形。
解：1）由传输延时型边沿JK 触发器的触发时刻是CP 的下降沿，输入J 、K 时CP 下降沿前瞬的逻辑值，即触发器状态的更新发生在CP 脉冲的下降沿2）又已知JK 触发器的特性方程为1n n n Q JQ KQ +=+。
且知当异步置位信号0d S =，可将触发器置为1，当异步复位信号0d R =，可将触发器置为0,且它们优于时钟信号。
3）由此，根据已知的波形画出Q 、Q的波形如下：CP d Rd S JK图P6.8CPd SJ K d RQ Q电路如图(a)所示，若已知CP 和J 的波形如图 (b)所示，试画出Q 端的波形图，设触发器的初始状态为Q =0。
解：1）由传输延时型边沿JK 触发器的触发时刻是CP 的下降沿，输入J 、K 时CP 下降沿前瞬的逻辑值，即触发器状态的更新发生在CP 脉冲的下降沿?2）又已知JK 触发器的特性方程为1n n n Q JQ KQ +=+及设触发器的初始状态为0Q =，当异步信号d R 为0时，可将触发器置为0,且它们优于时钟信号。
3）由此，根据已知的波形画出Q 的波形如下：图P6.9CP JJ (a)(b)QJK 触发器组成的电路如图所示，试画出Q 、Q 和Y 1、Y2的波形。
设触发器的初始状态为Q=0。
解：1）由传输延时型边沿JK 触发器的触发时刻是CP 的下降沿，输入J 、K 时CP 下降沿前瞬的逻辑值，即触发器状态的更新发生在CP 脉冲的下降沿2）又已知JK 触发器的特性方程为1n n n Q JQ KQ +=+及设触发器的初始状态为0Q = 3）由此，由Q 、Q 定出J 、K 的输入信号：J Q =、K Q =，据1Y CP Q =•、2Y CP Q =•，和已知的波形可画出12,,,Q Q Y Y 的波形：2图P 6.10CPQ Q Y1Y2逻辑电路如图所示，当A=“0”，B=“1”时，C 的正脉冲来到后D 触发器（ A ）。
"(A) 具有计数功能 (B) 保持原状态 (C) 置“0” (D) 置“1”解：()D B Q A BQ QB A=⊕+=++ 因为0,1A B ==所以D Q A Q =+=即1n n Q Q +=已知CMOS 边沿D 触发器输入端D 和时钟信号CP 的电压波形图如图所示，试画出Q 和Q 端波形。
触发器的初始状态为Q ＝0。
B图解：1）CMOS 边沿触发器的动作特点及图所示的D 触发器的图形符号可得触发器状态更新发生在CP 的上升沿2）又已知D 触发器的特性方程1n QD +=，及其初始状态为03）由此，在触发器各输入端CP 和D 的波形，可得,Q Q 的波形CP D图P6.12 QQ`已知维持阻塞D 触发器输入端CP 、A 、B 的波形如图所示，画出输出端Q 的波形(设触发器初态为0)。
解：1）CMOS 边沿触发器的动作特点及图所示的D 触发器的图形符号可得触发器状态更新发生在CP 的上升沿2）又已知D 触发器的特性方程1n QD +=，及其初始状态为03）由此，由A 、B 的输入波形定出D 的输入信号D AB =，根据已知的波形画出Q 的波形如下： A BCPA B图P6.13D Q图所示各边沿D 触发的初始状态都为0，试对应输入CP 波形画出Q 端的输出波形。
解：1）CMOS 边沿触发器的动作特点及图所示的D 触发器的图形符号可得触发器状态更新发生在CP 的上升沿 >2）又已知D 触发器的特性方程1n QD +=，及其初始状态为03）由于D 的输入端口为高电平及根据已知的波形画出Q 的波形如下：QQ ~ 1J1K FF C1 1 &X CP Y 图由于D 的输入端口接地（输入0）及根据已知的波形画出Q 的波形如下： 由于D 的输入端口为Q 及根据已知的波形画出Q 的波形如下： 由于D 的输入端口为Q 及根据已知的波形画出Q 的波形如下：V DD CPCPCP图P6.14Q1Q4Q3Q2电路如图所示，分析电路逻辑功能，画出状态转换图。
《解：该图是由JK 触发器和与非门构成的逻辑电路，其中X K X J ==、将其代入JK 触发器特性方程n n n Q K Q J Q +=+1可求得X Qn =+1从而可得Y=X 。
该电路可以看做用JK 触发器构成的D 触发器，其状态转换图如下图所示—QQ1TC1 && & CPA B ；用T 触发器组成图所示电路。
分析电路功能，写出电路的状态方程，并画出状态图。
解：该电路是有T 触发器和与非门组成的逻辑电路，其中T 触发器输入端nn Q B AQ •=T&并将其代入T 触发器的逻辑功能表达式n n n Q T Q T Q +=+1整理可得该电路状态方程为n n n Q A Q B Q +=+1；由该电路的状态方程可知该电路为由T 触发器构成的JK 触发器，其状态图如下图所示$在图电路中，A Q Q n n +=+1的电路为图（3）、图（4）。
用RS 触发器和与非门构成D 、T 和T′触发器。
解：用RS 触发器构成D 触发器：由RS 触发器特性方程01=+=+RS Q R SQn n且和D 触发A A A]A 图器特性方程D n =+1Q 可知令S R =且R 输入端作为D 触发器输入端即可，逻辑电路图如下图所示QQ1SC11R＆DCPQ用RS 触发器构成T 触发器：由RS 触发器特性方程01=+=+RS Q R S Qn n 且和T 触发器特性方程n n n Q T Q T Q +=+1可知令RS 触发器n Q R S =且将R 输入端作为T 触发器输入端即可，电路图如下图所示BCD CPQ＆＆QQ1SC11RT用RS 触发器构成T`触发器：由RS 触发器特性方程01=+=+RS Q R S Qn n 且和T`触发器特性方程n n Q Q =+1可知令n Q S =、nQ R =即可，电路图如下图所示}CPQQQ1SC11R1J C1 1K Q Q≥1DCPQ6 54543解：由T 触发器构成D 触发器：由T 触发器特性方程n n n Q T Q T Q +=+1和D 触发器特性方程D n =+1Q则可知令T 触发器输入端n n Q D DQ T +=则可构成D 触发器，电路图如下图所示1T C1QQ＆＆1≥1DCPQ由T 触发器构成JK 触发器：由T 触发器特性方程n n n Q T Q T Q +=+1和JK 触发器特性方程n n n Q K Q J Q +=+1可知令nn Q J KQ •=T 则可构成JK 触发器，电路图如下图所示|ＣＰQ1T C1QQ＆＆＆K Jt若使电路正常工作，触发信号必须将555定时器2脚电压（触发输入端）拉到V T-以下，而在触发信号到来之前2端电压应高于V T-，由于V T-=5Ｖ，而触发脉冲最高电平仅为３.４Ｖ所以需要在输入端加入分压电阻，使２端电压在没有触发脉冲时略高于５Ｖ，可取R 1＝２２ＫΩ，Ｒ２＝１８ＫΩ，分压后２端电压为６.７５Ｖ，触发脉冲经微分电容Ｃｄ加到２端（２）若ＴＷ在１～１０S 范围内变化，取C=100uF 则电阻R 的阻值变化范围为Ω=Ω⨯⨯==Ω=Ω⨯⨯==--K C T R K C T R W W 91101001.1101.11.9101001.111.16max max6min min可取100ＫΩ的电位器与另一电阻串联作为R ，即可满足在指定范围内调节脉冲宽度T W 的要求。