【免费下载】中考数学压轴题解题策略2相似三角形的存在性问题
（2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MN⊥x 轴于点 N，使以
A、M、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明
理由．
图 3-1 【解析】△AMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下， 根据直角边对应成比例分两种情况列方程． （1）抛物线的解析式为 y＝－x2＋4x－3． （2）由 y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得 D(0,－3)，C(2, 1)． 如图 3-2，由 B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°． 所以∠CBD＝90°，且 BC 2 1 ．
7
图 1-3
3
3
3
《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社
（3）由 A (1, 3) 、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．
因此当点 C 在点 B 右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． 所以△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：
①当 BA OA 3 ห้องสมุดไป่ตู้， BC BA 2 3 2 ．此时 C(4,0)（如图 2-3）．
BC BF 4 5 5(4 t)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
BD 3 2 3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
例❶ 如图 1-1，抛物线 y 1 x2 3 x 4 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧）， 82
与 y 轴交于点 C．动直线 EF（EF//x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方 向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点，动点 P 同时从点 B 出发，在线段 OB 上以 每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动．是否存在 t，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试 求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
NM BC
x 1
(x 1)(x 3)
判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方 程，解方程并检验，如例题 1、2、3、4．
应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如 例题 6．
应用判定定理 3 解题不多见，如例题 5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
例题解析
3
《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社
②当 BA BF 时， 4 5(4 t) ．解得 t 20 （如图 1-3）．
BC BP
45
图 1-2
2t
例❷ 如图 2-1，在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线 y＝ax2＋bx（a＞0）经过点
A 和 x 轴正半轴上的点
B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
图 1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条 边． △ABC 是确定的．由 y 1 x2 3 x 4 ，可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)．
82 于是得到 BA＝4，BC＝ 4 5 ．还可得到 CE CO 1 ．
《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社
中考数学压轴题解题策略（2）
相似三角形的存在性问题解题策略
《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌
专题攻略
相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件， 因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连结 OM，求∠AOM 的大小；
（3）如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，
求点 C 的坐标．
图 2-1 【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢？ 本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点 M 的坐标，为 第（2）题求∠AOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小，第（3）题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角．
BC OM
33
②当 BC OA 3 时， BC 3BA 3 2 3 6 ．此时 C(8,0)（如图 2-4）． BA OM
图 2-3
例❸ 如图 3-1，抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点
D，顶点为 C．
（1）求此抛物线的解析式；
图 2-4
图 3-2
《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社
图 3-3
设点 M、N 的横坐标为 x，那么 NM＝－yM，而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种 情况，因此列方程要“两次分类”：
当 N 在 A 右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程：
①当 NA BD 3 时，
所以 tan BOM
3
3
3
3
3
3 ．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
图 2-2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
上海中考压轴专题复习2(相似三角形的存在性问题)
相似三角形的存在性问题函数中的相似三角形存在性问题解题思路：1、确定相应点的坐标2、确定相似三角形中的相等角，从而确定对应顶点3、分两类情况讨论相似，写出相应的比例关系4、借助两点间距离公式确定线段的表示方法，并带入比例式中例题分析：1.（16普陀一模）已知，在平面直角坐标系xoy中，二次函数的图像经过点A（0，8）、B（6,2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．⑴求这个二次函数的解析式及的m值；⑵求∠ADO的余切值；⑶过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与相似，求此时点P的坐标．2.（16浦东新区一模）如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与x轴交于A（-3,0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），抛物线的顶点为M.（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP.问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.123. （12深圳中考）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C ，已知B （8，0），21tan =∠ABC ，△ABC 的面积为8. （1）求抛物线的解析式；（2）若动直线EF （EF ∥x 轴）从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动。
连结FP ，设运动时间t 秒。
当t 为何值时，OPEF OP EF +⨯的值最大，并求出最大值； （3）在满足（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似。
若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由。
2相似三角形的存在性问题解题策略
宝山24嘉定24金山24苏州29临沂26卢湾24南汇25闸北25上海25杭州24济南24绍兴24几何法三部曲：先分类；再画图；后计算．代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．几何法与代数法相结合几何法代数法几何法与代数法相结合——又好又快先找分类标准；上海25再画示意图；后计算．AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD//BCM是DE的中点，BE＝x连结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．第一步寻找分类标准——画阴影三角形△AND 与△BME 中，唯一确定的角是∠ADN ．∠ADN ＝∠DBE ＞∠MBE分两种情况：①∠ADN ＝∠BME②∠ADN ＝∠BEM先找分类标准；再画示意图；后计算．第二步比比画画——不求准确，但求思路②∠ADN ＝∠BEM①∠ADN ＝∠BME先找分类标准；再画示意图；后计算．第三步计算——具体问题具体分析①当∠ADN ＝∠BME又∠ADN ＝∠DBE所以∠BME ＝∠DBE因此△BME ∽△DBE2221EDED EM EB =⋅=于是先找分类标准；再画示意图；后计算．第三步计算——具体问题具体分析①当∠ADN ＝∠BME 2221ED ED EM EB =⋅=用x 表示ED 2？222)4(2x ED -+=[]222)4(221x x -+=122,10x x ==-第三步计算——具体问题具体分析②当∠ADN ＝∠BEM又∠ADN ＝∠DBE所以∠BEM ＝∠DBE因此△DBE 是等腰三角形于是BE ＝2AD =8三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．小结——步步有障碍先找分类标准；再画示意图；后计算．标准不容易确定示意图不容易画准确；两种情况的计算各有特点．先找分类标准；再画示意图；后计算．卢湾24点P 在抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．22(2)1y x =-+(3,3)直线x =3与抛物线交于B ，与直线OA 相交于C ．第一步寻找分类标准——画阴影三角形△ABC 与△ABP 中，保持不变的是∠ABC= ∠BAP ．分两种情况：先找分类标准；再画示意图；后计算．=BC BA ①APAB=BC BA ②ABAP第二步无须画图——罗列线段的长先找分类标准；再画示意图；后计算．22(2)1y x =-+(3,3))23,3(),3,3(),1,2(C B A 23,5==BC AB第三步计算——具体问题具体分析23==BC AP 先找分类标准；再画示意图；后计算．=BC BA ①当AP AB 3,5==BC AB )25,2(1P )23,3(),3,3(),1,2(C B A第三步计算——具体问题具体分析3102==BC AB AP 先找分类标准；再画示意图；后计算．=BC BA ②当AB AP 3,5==BC AB )313,2(2P )23,3(),3,3(),1,2(C B A小结夹角相等，两边对应成比例先找分类标准；再画示意图；后计算．=BC BA ①当AP AB=BC BA ②当ABAP三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．闸北25AB=BC=5，AC=3，DE //BC．当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．第一步寻找分类标准△ABC 是等腰三角形，那么在△DEF 中，DE 是腰还是底边？先找分类标准；再画示意图；后计算．AB =BC =5，AC =3，DE //BC ．分两种情况：①DE 为等腰△DEF 的腰②DE 为等腰△DEF 的底边第二步画图——讲究一点技巧先找分类标准；再画示意图；后计算．已知等腰△ABC与等腰△ADE相似探求等腰△ABC与等腰△DEF相似那么△DEF与△ABC、△ADE相似①DE为等腰△DEF的腰因此△DEF与△ADE相似，且有公共的腰所以△DEF与△ADE全等第二步画图——讲究一点技巧先找分类标准；再画示意图；后计算．②DE为等腰△DEF的底边先画等腰△DEF的顶点F 再过点F画BC第三步计算——具体问题具体分析先找分类标准；再画示意图；后计算．①如果DE为等腰△DEF的腰那么DE为△ABC的中位线，DE=2.55.15,3===kECkFC9.03,3.0===kFCk1.49.05=-=BF5.2'==DEBF先找分类标准；再画示意图；后计算．第三步计算——具体问题具体分析:3:5FC EC =:3:5EC BF =::9:15:25FC EC BF =341253425==BC BF ②如果DE 为等腰△DEF 的底边那么四边形DECF 为平行四边形小结——二级（二次）分类先找分类标准；再画示意图；后计算．画图重要还是计算重要？想的多还是算的多？⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧为底边为顶角的顶点为顶角的顶点为腰DEEDDE先找分类标准；再画示意图；后计算．嘉定24点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．第一步寻找分类标准先找分类标准；再画示意图；后计算．△ABC是固定不动的，点D在点C的左边还是右边？第一步寻找分类标准先找分类标准；再画示意图；后计算．分两种情况：=BOBA①CDCB=BOBA②CBCD第二步无须画图——罗列线段的长先找分类标准；再画示意图；后计算．2=BA24=CB4=BO?=CD第三步计算——上下对应，书写整齐先找分类标准；再画示意图；后计算．=BO BA ①当CDCB =BO BA ②当CB CD 24,4,2===BC BO BA CD 2442=2442CD =16=CD 2=CD )0,20(1D )0,6(2D先找分类标准；再画示意图；后计算．分类标准：夹角相等，两边对应成比例小结——分类讨论，数形结合数形结合：求线段CD 的长，写点D 的坐标分两种情况：=BO BA ①CDCB =BO BA ②CBCD先找分类标准；再画示意图；后计算．若△ABC 与△ACD 相似，求m 的值．金山24AB //DC //x 轴，AC //y 轴x y 2-=x y 8-=点A 的横坐标为m第一步寻找分类标准先找分类标准；再画示意图；后计算．△ABC与△ACD保持直角三角形的性质不变分两种情况：=ACAB①CDCA=ACAB②CACD第二步无须画图——罗列线段的长先找分类标准；再画示意图；后计算．⎢⎣⎡→→DC B A −−−→−-=x y 2代入m y y A B 8-==m y y m x xD C A C 2,-====mx D 4=4m x B =−−−→−-=x y 8代入第二步无须画图——罗列线段的长先找分类标准；再画示意图；后计算．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m D m m C m m B m m A 2,4,2,,8,4,8,43m AB -=m AC 6-=m CD 3-=数形结合当心负号第三步计算、检验——具体问题具体分析先找分类标准；再画示意图；后计算．=AC AB ①当CD CA =AC AB ②当CA CD CD AB AC ⋅=2CD AB =2-=m m CD mAC m AB 3,6,43-=-=-=这是不可能的()m m m 34362-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-164=m 2±=m先找分类标准；再画示意图；后计算．分类标准：夹直角相等，两直角边对应成比例小结——分类讨论，数形结合数形结合：先求点的坐标，再求线段的长，分两种情况：=AC AB ①CDCA =AC AB ②CACD 思路清晰运算易错Q 是直线OB 上的动点，如果以O 、C 、E 为顶点的三角形与△OPQ 相似，试确定Q 点的位置．宝山253,24,45==︒=∠P r OP AOB 三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．第一步寻找分类标准——画阴影三角形一组公共角∠O=∠O先找分类标准；再画示意图；后计算．∠OPQ=2∠C因此只存在∠OPQ=∠OEC 的情况△OPQ ∽△OEC第二步比比画画——不求准确，但求思路②Q 在OB 的反向延长线上①Q 在OB 上先找分类标准；再画示意图；后计算．按照对应角∠C=∠Q 比画第三步计算——几何法、代数法同时①Q 在OB 上先找分类标准；再画示意图；后计算．3,24,45==︒=∠P r OP AOB 45180453==+n n 82==OP OQ第三步计算——几何法、代数法同时②Q 在OB 的反向延长线上先找分类标准；再画示意图；后计算．3,24,45==︒=∠P r OP AOB 15,453==n n 怎样求OQ ?第三步计算——几何法、代数法同时②Q在OB的反向延长线上先找分类标准；再画示意图；后计算．就好办了！如果知道3215cot+=︒怎样求OQ?348)32(415cot+=+=︒=PHQH344+=-=OHQHOQ第三步计算——几何法、代数法同时②Q 在OB 的反向延长线上先找分类标准；再画示意图；后计算．就难办了！如果不知道3215cot +=︒怎样求OQ ?434-=-=OH FH OF 344+=+=QF OF OQ 8==PF QF小结先找分类标准；再画示意图；这是一道非常规的后计算．相似三角形的存在性问题建议放弃如果你前面不能确保145分的话小结先找分类标准；再画示意图；非常规的相似三角形的存在性问题后计算．第一次讨论：只存在△OPQ ∽△OEC一种情况第二次讨论：点Q的位置存在两种情况三角形相似→特殊角度→→解直角三角形。
中考数学解法探究专题：相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题考题研究：相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．解题攻略：相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．解题思路：相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为，则对应线段已经确定。
2、若题目中为与相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①,②、③、3、若题目中为与,并且有、（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、，②、需要分类讨论上述的各种情况。
例题解析（2017年真题和2017年模拟）1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为点D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．2017年07月30日045的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC 的面积；②由对称性可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC 的解析式，将x=1代入得：y=，则点H的坐标为（1，）；（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM 时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．【解答】解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：2=﹣（2+2）（2﹣m），m=4；（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），当x=0时，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，∴C（0，2），∴OC=2，当y=0时，﹣（x+2）（x﹣4）=0，x=﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AB=2+4=6，=AB•OC=×6×2=6；∴S△ABC则△ABC的面积是6；②∵A（﹣2，0），B（4，0），由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1，∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH为最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）；（3）存在符合条件的点M，由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时，则有，即AB2=AC•AM，∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2 •2（m+1），解得：m=2±2，∵m＞0，∴m=2+2；②当△ACB∽△MBA时，则，即AB2=CB•MA，∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴，∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=•，整理得：=0，显然不成立，综上，在第四象限内，当m=2 +2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明=，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE 的外接圆的切线；（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″O均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：﹣3a=3，∴a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴B（1，4）．（2）如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．∵A（3，0），E（0，3），∴OE=OA=3．∴∠OEA=45°．∵E（0，3），B（1，4），∴EF=BF．∴∠FEB=45°．∴∠BEA=90°．∴AB为△ABE的外接圆的直径．∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，∴△BFE∽△AOE．∴tan∠EAB==．∵tan∠CBE=，∴∠CBE=∠EAB．∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．∴CB是△ABE的外接圆的切线．（3）如图2所示：∵且∠DOE=∠BEA=90°，∴△EOD∽△AEB．∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．∴点P的坐标为（0，0）．过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，∴△EDP′∽△EOD．又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP′∽△AEB．∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，∴∠ODP′=∠DEP′．∴=，即．∴OP′=．∴点P′的坐标为（0，﹣）．过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．∵∠EDP″=∠EDO，∠EOD=∠DEP″，∴△EDO∽△P″DE．∵又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP″∽△AEB．∴∠EP″O=∠BAE．∴tan∠EP″O==，即=．∴OP″=9．∴P″（9，0）．综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，﹣）或（9，0）．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D 的坐标；（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=OB=3，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH=CE=，所以BH=2，然后利用正切的定义求解；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定义得到tan∠AD=，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE；当=时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，∵点C与E点为抛物线上的对称点，∴E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，∵OC=OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，BC=OB=3，∴∠ECB=45°，∴△CHE为等腰直角三角形，∴CH=EH=CE=，∴BH=BC﹣CH=2，在Rt△BEH中，tan∠EBH===，即tan∠CBE的值为；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AF=2，DF=4，∴tan∠ADF==，而tan∠CBE=，∴∠CBE=∠ADF，AD==2，BE==，BC=3，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE，即=，解得m=，此时M点的坐标为（1，）；当=时，△DAM∽△BEC，即=，解得m=﹣2，此时M点的坐标为（1，﹣2）；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，综上所述，满足条件的点M坐标为（1，），（1，﹣2）．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，进而∠MEB=∠AEC=60°．即可得出结论；（3）分在x轴上方和x轴上方两种情况，利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA•tan60°=1×=，OB=OC•cot30°=×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；故答案为：3，0，0，；学科网（2）四边形AEMC是菱形．∵△OCE∽△OBC，∴，即，解得OE=1，∴E（1，0）在抛物线对称轴上，∴△CAE为等边三角形，∴∠AEC=∠A=60°．又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=∠AEC=60°．∴点C与点M关于抛物线的对称轴（x=1）对称．C（0，），∴M（2，）．∴MC=AE=2，MC∥AE∴四边形AEMC是平行四边形．∵AC=CM=2∴四边形AEMC是菱形．（3）由⊙P与直线AC和x轴同时相切，易知点P在两线夹角的平分线上，①当在x轴上方时，如图，∠PAO=30°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+），过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ，得m+1=（﹣m2+m+）解得，m1=2，m2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（2，）②当在x轴下方时，∠PAO=60°，设点P坐标为（n，﹣n2+n+），过P'作P'Q'⊥x轴，交点为Q'，则AQ'=P'Q'，得（n+1）=﹣（﹣n2+n+）解得，n1=6，n2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（6，﹣7）综上所述，存在点P满足条件，点P坐标为（2，）或（6，﹣7）．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．∴C（8，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t的或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）存在符合条件的M、N点，EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4，），N（4，﹣）．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线C1的解析式；（2）根据抛物线C1的解析式求出B（1，0），C（0，4）．根据关于y轴对称的两点坐标特征以及抛物线的对称性得出M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′=∠CA′A，那么AB′=2．利用待定系数法求出直线A′C的解析式，求出D（，2）．由勾股定理得出AC==5，DA′==．设P（m，0）．分m＜3与m＞3两种情况讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4得，，解得，所以抛物线C1的解析式为y=﹣x2﹣x+4；学科网（2）令y=0，则﹣x2﹣x+4=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴B（1，0），令x=0，则y=4，∴C（0，4）．由题意，知M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′=∠CA′A，∴AB′=2．设直线A′C的解析式为y=px+q．把A′（3，0），C（0，4）代入，得，解得，∴y=﹣x+4，当x=时，y=﹣×+4=2，∴D（，2）．由勾股定理得，AC==5，DA′==．设P（m，0）．当m＜3时，此时点P在点A′的左边，若=，即有△DA′P∽△CAB′，∴=（3﹣m），解得m=2，∴P（2，0）．若=，即有△DA′P∽△B′AC，∴=（3﹣m），解得m=﹣，∴P（﹣，0）．当m＞3时，此时点P在点A′的右边，∵∠CB′O≠∠DA′E，∴∠AB′C≠∠DA′P，∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似．综上所述，存在点P（2，0）或（﹣，0）满足条件．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得=，可证得结论；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），从而可表示出OM和PM的长，分=和=两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴A（1，1），联立直线与抛物线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）证明：∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C（﹣1，﹣3），∴OD=1，CD=3，∴==，∴△ODC∽△ABC；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有=或=两种情况，①当=时，则=，解得x=或x=，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；②当=时，则=，解得x=5或x=﹣1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，﹣15）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（5，﹣15）．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，点C在C处时，∵BE=BC=10，∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，∴t=6．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+或﹣8﹣（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）∴=，∴=，∴IC=﹣．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得抛物线表达式，则可求得B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，可求得E点坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC 为斜边的直角三角形，利用三角形的定义可求得答案；（3）设M（x，0），当∠GCM=∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求得M点的坐标；当∠CMG=∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性质可求得x的值，可求得M点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x=1，∴﹣=1，解得a=，把A点坐标代入可得+1+c=0，解得c=﹣，∴抛物线表达式为y=x2﹣x﹣，∵y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣2，∴B（1，﹣2），把C（5，m）代入抛物线解析式可得m=﹣5﹣=6，∴C（5，6），设直线BC解析式为y=kx+b，把B、C坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=2x﹣4，令y=2可得2x﹣4=0，解得x=2，∴E（2，0）；（2）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（5，6），∴AB=2，AC==6，BC==4，∴AB2+AC2=8+72=80=BC2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴tan∠B===3；（3）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），∴∠CAE=∠BAE=45°，∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠GCB=∠GCB+∠ABC=90°，∴∠CGM=∠ABC，∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，设M（x，0），则C（x，2x﹣4），①当∠GCM=∠BAE=45°时，则∠AMC=90°，∴MC=AM，即2x﹣4=x+1，解得x=5，∴M（5，0）；②当∠GMC=∠BAE=∠MAC=45°时，∵∠MEC=∠AEB=∠MCG，∴△MEC∽△MCA，∴=，即=，∴MC2=（x﹣2）（x+1），∵C（5，6），∴MC2=（x﹣5）2+62=x2﹣10x+61，∴（x﹣2）（x+1）=x2﹣10x+61，解得x=7，∴M（7，0）；综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积即可求出内切圆的半径；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；∵A（1，1），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，∴r===2﹣；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有或，①当时，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当，时，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=﹣x+3．设P点坐标为（t，t2﹣4t+3），则Q坐标为（t，﹣t+3），那么PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，再利用配方法化为顶点式，即可求出PQ的最大值；（3）由PQ∥y轴，得出∠PQB=∠OCB，那么以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：①当△PMQ∽△OBC时，PM⊥PQ，y P=y M=1，易求P（2﹣，1）；②当△MPQ∽△OBC时，先求直线PM的解析式，再联立PM与抛物线的解析式，求出P（1，0）．【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y=ax2+bx+c，得，解得，则抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，将点B，C坐标代入y=mx+n，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+3．设P点坐标为（t，t2﹣4t+3），则Q坐标为（t，﹣t+3），∴PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，PQ的值最大，最大值为；（3）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵点M是对称轴与直线BC的交点，∴将x=2代入y=﹣x+3，得y=﹣2+3=1，即M（2，1）．∵PQ∥y轴，∴∠PQB=∠OCB，∴以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC．①当△PMQ∽△OBC时，∠QPM=∠COB=90°，即PM⊥PQ，∴y P=y M=1，将y P=1代入y=x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+（舍去），∴此时P（2﹣，1）；②当△MPQ∽△OBC时，∠QMP=∠COB=90°，即PM⊥BC，∴k PM==1，∴可设直线PM的解析式为y=x+d，将M（2，1）代入y=x+d，得2+d=1，解得d=﹣1，∴y=x﹣1，解方程组，得，（舍去），∴此时P（1，0）．综上所述，存在点P，使以点M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似，P点坐标为（2﹣，1）或（1，0）．。
专题二 相似三角形的存在性问题解题策略
授课题目专题相似三角形的存在性问题解题策略授课日期2０19年3月教师授课学时学生课型师生活动一、要点归纳相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题、解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,能够使得解的个数不重复不遗漏,也能够使得列方程和解方程又好又快。
二、课前热身△ABC中,点D、E分别在AB、ＡC边上,假如△ＡＤＥ与△ABＣ相似,请确定点E的位置、三、例题讲解1、如图１,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BＤ⊥DＣ,BC=10cm,CD＝６cm、在线段ＢC、CD 上有动点Ｆ、E,点Ｆ以每秒2cｍ的速度,在线段BC上从点B向点C匀速运动;同时点Ｅ以每秒1cm的速度,在线段CＤ上从点Ｃ向点D匀速运动、当点F到达点C时,点E同时停止运动、设点F运动的时间为ｔ(秒)、(1)求ＡD的长;(2)点F、E在运动过程中,假如△CEＦ与△BＤC相似,求线段BF的长、图1 备用图２、如图1,抛物线y=ax2+ｂx+ｃ(a>0)交x轴于Ａ、B两点(A点在B点左侧),交y轴于点C、已知B(8,0),tan ∠AＢC＝0。
5,△AＢC的面积为8、(1)求抛物线的解析式;(２)若动直线ＥF(EF//x轴)从点C开始,以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段ＯB上以每秒2个单位的速度向原点Ｏ运动、联结FP,设运动时间t秒。
是否存在ｔ的值,使以P、Ｂ、F为顶点的三角形与△AＢC相似、若存在,试求出t 的值;若不存在,请说明理由、图13、如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线,经过点A(1,3),Ｂ(0,1)、(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C、①求△AＢC的面积;②在y轴上取一点P,使△ＡBP与△ＡBC相似,求满足条件的所有P点坐标、图1４、如图,抛物线经过点Ａ(４,０)、B(1,0)、C(0,－2)三点、(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥ｘ轴,垂足为M,是否存在点P,使得以Ａ、P、M为顶点的三角形与△OAＣ相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;5、如图,已知抛物线ｙ＝aｘ2＋ｂx+ｃ与ｘ轴交于A、B两点,与ｙ轴交于点C, D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(２,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2、(１)求直线ＡD和抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点F,点Q为直线ＡD上一点,且△ＡBQ与△ADＦ相似,直截了当写出．．．．．．点Ｑ点的坐标、图１6、如图１,△ABＣ中,AB=5,AC＝3,cos A＝。
中考压轴题相似三角形存在性问题2
中考压轴题相似三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，线面动形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm/s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm2），求y 与x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）920=t ；（2）236105y t t =-+（0＜t ＜4）；（3）t=2；（4）23=t ． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出AC ，根据PQ ∥AB ，得出CB CQ CA CP =，544t t =-，求解即可；（2）过点P 作PD ⊥BC 于D ，根据△CPD ∽△CBA ，得出453t PD -=，求出PD=1235t -，再根据S △QMC=S △QPC ，得出y=S △QMC=12QC•PD ，再代入计算即可； （3）根据S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4，得出S △QPC ：S △ABC=1：5，代入得出（236105t t -+）：6=1：5，再计算即可； （4）根据PQ ⊥MQ 得出△PDQ ∽△MQP ，得出2PQ =MP•DQ ，根据勾股定理得出22PD DQ +=MP•DQ ，再分别代入得出59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，求出t 即可．（4）若PQ ⊥MQ ，则∠PQM=∠PDQ ，∵∠MPQ=∠PQD ，∴△PDQ ∽△MQP ，∴DQ PQ PQ PM =，∴2PQ =MP•DQ ，∴22PD DQ +=MP•DQ ，∵CD=1645t -，∴DQ=CD ﹣CQ=1645t t --=1695t -，∴59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，∴整理得0322=-t t ，解得10t =（舍去），232t =，∴23=t 时，PQ ⊥MQ ．考点：相似形综合题；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题2．如图1，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，且CD ＞DA ，DA=2，点P ，Q 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿射线DC 、射线DA 运动，过点Q 作AC 的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中087x<≤，87x m<≤时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【答案】（1）3249；（2）228(0)7256328(4)412545457xx x xxS<≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．【解析】试题分析：（1）当x=78时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=78，QR=PQ，求出n的值是多少即可．（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：①当87x<≤时，求出S关于x的函数关系式，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；②当847x<≤时，S关于x的函数关系式即可．试题解析：（1）如图1，当x=78时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，∵PQ=78，QR=PQ，∴QR=78，∴n=S=21(287)⨯=3249；综上，可得：228 (0)7256328(4)412545457xx x xxS<≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论；分段函数；综合题；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx=++x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D 的坐标；（2）如图1，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B 匀速运动，到达点B 时停止运动．以AP 为边作等边△APQ （点Q 在x 轴上方），设点P 在运动过程中，△APQ 与四边形AOCD 重叠部分的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC ，在第二象限内存在点M ，使得以M 、O 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M 坐标．【答案】（1）2323333y x x =--+ D （﹣2，3）；（2）223 (02)3 3 (23)3113 3 (34)2t t t t t ≤≤-<≤⎪+<≤⎪⎩；（3）M （﹣3，3或（﹣3，33或（94-，33）或（34-，33）． 【解析】试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求得函数解析式即可，由点D 与C 对称求得点D 坐标即可；（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q 一直在直线AD 上运动，分别探讨当点P 在线段AO 上；点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上以及点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；（3）由于3OA=3，OA ⊥OC ，则△OAC 是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO 以∠AMO 为直角的直角三角形时；当△AMO 以∠OAM 为直角的直角三角形时；得出答案即可．试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =++经过A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴933030a b a b ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，解得：33233a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为2323333y x x =--+则D 点坐标为（﹣2，3）；②当2＜t≤3时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在OA 上，设QP 与DC 交于点H ，∵DC ∥AP ，∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，∴△QDH 是等边三角形，∴S=S △QAP ﹣S △QDH ，∵QA=t ，∴S △QAP=234t ，∵QD=t ﹣2，∴S △QDH=232)4t -，∴S=2233(2)44t --33t③当3＜t≤4时，如图：此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，∴OF=OP•tan60°=3（t﹣3），∴S△FOP=132⨯t﹣3）（t﹣3）=23(3)t-，∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=33t-．∴2333(3)2t t---=23114332t t-+-．综上所述，S与t之间的函数关系式为S=223(02)3 3 (23)31143 3 (34)2t tt tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（3）∵OC=3，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：过点M2作AO的垂线，垂足为N，∵∠M2AO=30°，AO=3，∴M2O=32，又∵∠OM2N=M2AO=30°，∴ON=12OM2=34，M2N=3ON=33，∴M2的坐标为（34-，33），同理可得M1的坐标为（94-，33）；②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，∴OAAM3AMOA3OA=3，∴3或AM=33AM⊥OA，且点M在第二象限，∴点M的坐标为（﹣33）或（﹣3，33．综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，3），（﹣3，33，（94-，33），（34-，33）．考点：二次函数综合题；相似三角形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；相似三角形的判定；综合题；压轴题．。
初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)
相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H ，当55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A、B两点的坐标；（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ．①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线y=12x+3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积； (3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
中考数学复习之二次函数背景下的相似三角形的存在性问题,含参考答案
中考数学复习之相似三角形的存在性问题（学案）知识与方法梳理：相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解． 注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为 C (4，，且与x 轴的两个交点间的距离为6． （1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形 【思路分析】△由顶点坐标C (4，)可知对称轴为直线x =4，利用与x 轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A （1，0)，B (7，0)．△设交点式y =a (x -1)(x -7)，再代入坐标C (4，可求解出解析式2y x =-+．【过程示范】△顶点坐标为C (4，)， △抛物线对称轴为直线x =4，又△抛物线与x 轴的两个交点间的距离为6， △由抛物线的对称性可知：A (1，0)，B (7，0)． 设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -7)，将C (4，)代入可得，a = △所求解析式为2y x x =． 第二问：相似三角形的存在性 【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：△分析特征：先研究定点、动点，其中A 、B 、C 为定点，点Q 为抛物线上的动点；进一步研究此△ABC ，发现其中AC=BC ；构造辅助线：CD 垂直于x 轴，能够计算出△BAC =30°，△ACB =30°；再考虑研究△QAB ，固定线段为AB ，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为钝角（填“钝角”或“直角”）三角形．△画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时△ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要△ABQ =120°，且AB=BQ ．求解时，可根据△ABQ =120°，AB =BQ =6来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况．△结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证． 【过程示范】存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似．由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD △x 轴于D ， 则AD =3，CD在Rt△ACD 中，tan△DAC，△△BAC =△ABC =30°，△ACB =120°． △当△ACB △△ABQ 1时， △ABQ 1=120°且BQ 1=AB =6． 过点Q 1作Q 1E △x 轴，垂足为E ， 则在Rt△BQ 1E 中，BQ 1=6，△Q 1BE =60°， △Q 1E =BQ 1·sin60°=62⨯=BE =3， △E (10，0)，Q 1(10，． 当x =10时，y= △点Q 1在抛物线上．△由抛物线的对称性可知，还存在AQ 2=AB ， 此时△Q 2AB △△ACB ，点Q 2的坐标为(-2，． 综上，Q 1(10，，Q 2(-2，．练习题1. 如图，抛物线2110833y x x =-+-经过A ，B ，C 三点，BC △OB ，AB =BC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．点M是直线AB 上方的抛物线上一动点，作MN ⊥x 轴于点N ，若△AMN 与△ACD 相似，则点M 的坐标为_____________________________．OB CDAxy2. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(1，0)，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH △OB 于点H ．若PB 5t ，且0＜t ＜1．（1）点C 的坐标是____________，b _______，c ______． （2）求线段QH 的长（用含t 的代数式表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．A BCOHP QxyyxO CB A3. 如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D (1，m )在抛物线上，直线y =-x -1与抛物线交于A ，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为__________________________________．4. 如图，已知抛物线过点A (0，6)，B (2，0)，C (7，52)．（1）求抛物线的解析式．（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称．求证：△CFE =△AFE ． （3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC△x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为_____________________________________．6.如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D．是否存在以P，O，D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP△CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG△x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD△CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，抛物线经过A (4，0)，B (1，0)，C (0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过点P 作PM △x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. 2. （1）(0，-3)，，-3；（2）；（3）存在，或． 3. 4. （1）；（3）． 5. N 1(3，4)，N 2(4，3)，N 3(-2，-1)，N 4(-1，-2)6.存在，1P ，2(12P --+．7.（1）A (-1，0)，B (1，0)，C (0，-1)；（2）存在，M 1(-2，3)，M 2(4，15)，347()39M ，． 1257111()()2424M M -，，，94-148 0218 4 12t t QH t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（）（）73225321121322(0)(0)75P P -，，，21462y x x =-+1241(0)(02)2P P --，，，8.（1）y =-x 2+1，B (-1，0)；（2）存在，11(0)3P ，，P 2(-2，0)． 9.（1）215222y x x =-+-；（2）存在，P 1(0，-2)，P 2(-3，-14)，P 3(2，1)，P 4(5，-2)．。
中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题
中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题几何图形的存在性问题是中考常见的问题。
本文内容选自2020年广东省中考数学压轴题，考查相似三角形的存在性问题，难度不小。
一个三角形形状大小确定，另外一个三角形有两个动点。
具体请看下面内容。
【中考真题】（2020·广东）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【分析】题（1）利用待定系数法求解析式，根据BO=3AO=3，得出点，点坐标，代入求抛物线解析式。
题（2）求BD的解析式，需要确定点D的坐标。
由于题目已知BC与CD的比例关系，可以考虑过点D作x轴的垂线，得到一个A字型的相似，求出点D的横坐标，代入二次函数的解析式，然后即可得到结论。
当然，如果先设直线BD的解析式为y=kx－3k，联立二次函数的解析式，得到一元二次方程的两根x1与x2的关系即可求出k的值。
题（3）中需要确定与△ABD相似的△BPQ。
由于A、B、D三点的位置的固定的，坐标也是确定的。
那么形状与大小就确定了。
先求出3边长度，且易得∠BAD为钝角。
而∠PBQ不可能为钝角，所以只需要分两种情况讨论即可：①点B与点B对应；②点B与点D对应。
两种情况中边的比例又有两种情况，因此分为4种情况讨论。
设PQ的坐标，然后根据比例关系得出结论。
【答案】解：（1），点，点，抛物线解析式为：，，；（2）如图1，过点作于，，，，，，，点横坐标为，点坐标为，，设直线的函数解析式为：，由题意可得：，解得：，直线的函数解析式为；（3）点，点，点，，，，，对称轴为直线，直线与轴交于点，点，，，，如图2，过点作于，，，，，如图，设对称轴与轴的交点为，即点，若，，，，，当，，，点，；当，，，点，；若，，，当，，，点，；当，，，点，；综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，．。
相似三角形存在性问题的常见题型与解题策略
㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀相似三角形存在性问题的常见题型与解题策略相似三角形存在性问题的常见题型与解题策略Һ龚㊀辉㊀（江苏省太仓市沙溪第一中学，江苏㊀太仓㊀２１５４２１）㊀㊀ʌ摘要ɔ相似三角形的存在性问题在初三模拟测试或中考中常以压轴题的形式出现．这类问题的综合性强，考查的知识点多，对学生的能力要求较高，涉及方程与函数㊁数形结合㊁分类讨论等重要的数学思想方法，尤其与动点问题㊁二次函数相结合，在提高学生思维能力的同时兼顾了对学生运算能力的培养．ʌ关键词ɔ相似三角形；存在性问题相似三角形存在性问题在初三模拟测试或中考中常以压轴题的形式出现．这类问题的综合性强，考查的知识点多，对学生的能力要求较高，在中考中占有十分重要的地位．由于这类问题通常在二次函数或动点问题㊁动图问题的背景下展开，因此，题目会涉及方程与函数㊁数形结合㊁分类讨论等重要的数学思想方法，对学生的思维能力㊁运算能力有较高的要求．本文拟对相似三角形存在性问题的题型做一个梳理，以期帮助学生形成解题策略，形成基本的解题范式．一㊁已知一组对应角相等相似三角形存在性问题的最常见题型是：两个目标三角形或显然㊁或隐含有一组对应角相等（如公共角㊁对顶角㊁直角㊁平行条件下的同位角㊁内错角等）．根据两个三角形相似的判定方法，在已知一组对应角相等的前提下，只需再判定这两个角的夹边对应成比例，或另外再寻找一组角对应相等，因此会出现如下几种分类讨论的情况．（一）隐角相等之对应边成比例㊀图１例１㊀如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别从Ａ，Ｂ，Ｃ三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点Ｅ的运动速度为１ｃｍ／ｓ，点Ｆ的运动速度为３ｃｍ／ｓ，点Ｇ的运动速度为１．５ｃｍ／ｓ，当点Ｆ到达点Ｃ（即点Ｆ与点Ｃ重合）时，三个点随之停止运动．设点Ｅ，Ｆ，Ｇ运动的时间为ｔ（单位：ｓ）．若以点Ｅ，Ｂ，Ｆ为顶点的三角形与以点Ｆ，Ｃ，Ｇ为顶点的三角形相似，求ｔ的值．分析㊀由于题目没有以әＥＢＦʐәＦＣＧ的形式出现，因此两个三角形顶点的对应关系不明确，如果没有任何隐含条件的话，将会出现６种对应关系．通过考察两个三角形在变化中的不变量可知，本题有一个隐含条件：øＢ＝øＣ＝９０ʎ，即一组对应角隐含相等．因此，对两个三角形的相似进行分类讨论时，由 两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似 的判定方法可知，只需对øＢ，øＣ的夹边ＢＥ，ＢＦ和ＣＦ，ＣＧ对应成比例进行讨论，可以分为ＢＥＢＦ＝ＣＦＣＧ和ＢＥＢＦ＝ＣＧＣＦ两种情形．简解㊀由题意得ＢＥ＝１０－ｔ，ＢＦ＝３ｔ，ＣＦ＝１２－３ｔ，ＣＧ＝１．５ｔ．①当әＥＢＦʐәＦＣＧ时，ȵøＢ＝øＣ＝９０ʎ，ʑＢＥＢＦ＝ＣＦＣＧ，ʑ１０－ｔ３ｔ＝１２－３ｔ１．５ｔ，ʑｔ＝１４５．②当әＥＢＦʐәＧＣＦ时，ȵøＢ＝øＣ＝９０ʎ，ʑＢＥＢＦ＝ＣＧＣＦ，ʑ１０－ｔ３ｔ＝１．５ｔ１２－３ｔ，ʑｔ＝－１４ʃ２６９．ȵ点Ｆ在ＢＣ上运动，ʑ０＜ｔ＜４，ʑｔ＝－１４＋２６９．综上可得，经过１４５ｓ或（－１４＋２６９）ｓ，两个三角形相似．说明㊀（１）在处理此类三角形相似的分类讨论问题时，首先应该挖掘题目中是否隐含一对确定的对应元素（对应角相等的情况较多），然后可以分为两种情况进行分类讨论．（２）在对边进行分类讨论时，应先罗列出四条夹边的值或代数式，然后根据对应边的两种不同对应情况进行轮换，列出比例式．（二）隐角相等之对应角相等㊀图２例２㊀如图２，已知边长为２的正方形ＯＡＢＣ，点Ｄ是边ＯＡ的中点，连接ＣＤ，点Ｅ在第一象限，且ＤＥʅＤＣ，ＤＥ＝ＤＣ．以直线ＡＢ为对称轴的抛物线过Ｃ，Ｅ两点．点Ｐ从点Ｃ出发，沿射线ＣＢ以每秒１个单位长度的速度运动，运动时间为ｔ秒．过点Ｐ作ＰＦʅＣＤ于点Ｆ，当ｔ为何值时，以点Ｐ，Ｆ，Ｄ为顶点的三角形与әＣＯＤ相似？分析㊀由题意可知，әＰＤＦ与әＣＯＤ的对应关系不明确，需要进行分类讨论．通过考察两个三角形的特点，发现隐含条件：øＣＯＤ＝øＤＦＰ＝９０ʎ．因此，在确定一组对应角相等的前提下，由三角形相似的判定方法，可以分两种情况探索该角的两条夹边对应成比例，也可以对第二组角对应相等进行分类讨论．本题中，әＣＯＤ中øＣＯＤ的两条夹边长是已知的，但是әＤＰＦ中øＤＦＰ的两条夹边长是变化的，且较难用含ｔ的代数式表示．因此，本题可以运用讨论另外一组角对应相等的办法来解决：①øＰＤＦ＝øＯＣＤ，此时转化为两直线平行的解题策略；②øＰＤＦ＝øＯＤＣ，此时转化为角平分线的解题策略．简解㊀①若әＤＦＰʐәＣＯＤ，则øＰＤＦ＝øＤＣＯ，㊀㊀㊀１２７㊀㊀ʑＰＤʊＯＣ，ʑＰＤ^ｘ轴，ʑＰＣ＝ＯＤ＝１，ʑｔ＝１．②若әＰＦＤʐәＣＯＤ，则øＰＤＦ＝øＯＤＣ，即ＤＣ为øＯＤＰ的平分线．ȵＢＣʊＯＤ，ʑøＯＤＣ＝øＰＣＤ，ʑøＰＣＤ＝øＰＤＦ，ʑＰＤ＝ＰＣ＝ｔ．过点Ｐ作ＰＨ^ｘ轴于点Ｈ．在ＲｔәＰＤＨ中，ＰＤ２＝ＰＨ２＋ＤＨ２，即ｔ２＝４＋（ｔ－１）２，解之得ｔ＝５２．综上所述，当ｔ＝１或ｔ＝５２时，以点Ｐ，Ｆ，Ｄ为顶点的三角形与әＣＯＤ相似．说明㊀（１）在三角形相似的判定方法中，已知一角对应相等，可以补充两条夹边对应成比例，或另一组对应角相等．当夹边的长度不容易计算时，可以通过对角的对应情况进行讨论来解决．（２）由于讨论后得到两角相等，因此相似的问题通常会转化为平行线㊁等腰三角形或角平分线等问题处理．二㊁没有一组对应角相等因相似三角形存在性问题通常与动点㊁动图等问题结合，因此常常涉及图形变换．在有些变换过程中，动三角形的三个内角中有一个角是固定不变的，但是也有运动过程中三个角都在改变的情况，此时无法直接运用相似三角形的判定方法进行分类讨论，需要首先对第一组角对应相等的情况进行讨论，大抵会出现如下两种情形．（一）邻角必为９０°㊀图３例３㊀如图３，已知ＡＢ是☉Ｏ的弦，ＯＢ＝２，øＢ＝３０ʎ，Ｃ是弦ＡＢ上的任意一点（不与点Ａ，Ｂ重合），连接ＣＯ并延长，交☉Ｏ于点Ｄ，连接ＡＤ．当ＡＣ的长度为多少时，以Ａ，Ｃ，Ｄ为顶点的三角形与以Ｂ，Ｃ，Ｏ为顶点的三角形相似？分析㊀әＡＣＤ和әＢＯＣ没有隐含的对应角相等，但是不难发现这两个三角形有一条边在同一直线ＡＢ上，则有øＡＣＤ＝øＢ＋øＣＯＢ，即øＡＣＤ比øＢ，øＣＯＢ都大，不可能是对应角，因此必有øＡＣＤ与øＯＣＢ是对应角，两角必均为９０ʎ．至此，将隐含条件挖掘出来，问题可得到解决．简解㊀ȵøＡＣＤ＝øＢ＋øＣＯＢ，ʑøＡＣＤ＞øＢ，øＡＣＤ＞øＣＯＢ，ʑ要使әＡＣＤ与әＢＯＣ相似，只能øＡＣＤ＝øＯＣＢ＝９０ʎ．此时øＢＯＣ＝６０ʎ，øＢＯＤ＝１２０ʎ，ʑøＤＡＣ＝６０ʎ．ʑәＤＡＣʐәＢＯＣ．ȵøＯＣＢ＝９０ʎ，即ＯＣ^ＡＢ，ʑＡＣ＝１２ＡＢ＝３．说明㊀本题虽然是相似三角形存在性问题的分类讨论，但是由于两个三角形位置的特殊性，只能是两个邻补角相等，即均为直角时，两个三角形才能相似，因此本质上本题型的相似三角形存在性问题只有一种情况．（二）讨论第一组角相等例４㊀如图４，已知抛物线ｙ＝－１ｍ（ｘ＋２）（ｘ－ｍ）（ｍ＞０）与ｘ轴交于点Ｂ，Ｃ，与ｙ轴交于点Ｅ，且点Ｂ在点Ｃ的左侧．问：在第四象限内的抛物线上是否存在点Ｆ，使得以点Ｂ，Ｃ，㊀图４Ｆ为顶点的三角形与әＢＣＥ相似？若存在，求出ｍ的值；若不存在，请说明理由．分析㊀考察әＢＥＣ和әＢＣＦ的特点，发现不存在隐含的角相等，因此，要对一组对应角相等的情况进行分类讨论，即øＣＢＦ＝øＣＢＥ，或øＣＢＦ＝øＢＣＥ，然后转化为角平分线和平行线的特殊情况进行处理．在求得点Ｆ的坐标后，根据相似的判定方法，最后要检验夹边是否成比例．㊀图５简解㊀如图５．①当әＢＥＣʐәＢＣＦ时，可得øＥＢＣ＝øＣＢＦ＝４５ʎ，且ＢＣ２＝ＢＥ∙ＢＦ．作ＦＴ^ｘ轴于点Ｔ，易得Ｆ（２ｍ，－２ｍ－２），ʑＢＦ＝２２（ｍ＋１）．ȵＢＥ＝２２，ＢＣ＝ｍ＋２，ʑ（ｍ＋２）２＝２２∙２２（ｍ＋１），解得ｍ＝２ʃ２２．ȵｍ＞０，ʑｍ＝２＋２２．②当әＣＥＢʐәＢＣＦ时，ＢＣ２＝ＥＣ∙ＢＦ，øＥＣＢ＝øＣＢＦ，ʑＴＦＢＴ＝ＯＥＯＣ＝２ｍ．设Ｆｘ，－２ｍ（ｘ＋２）()（ｘ＞０），ʑ－２ｍ（ｘ＋２）＝－１ｍ（ｘ＋２）（ｘ－ｍ），ʑｘ＝ｍ＋２，又ＥＣ＝ｍ２＋４，ＢＣ＝ｍ＋２，ʑ（ｍ＋２）２＝ｍ２＋４∙（ｍ＋２＋２）２＋４（ｍ＋４）２ｍ２，整理得０＝１６，不成立．综上可得，ｍ＝２＋２２满足题意．说明㊀本题无法找到隐含的对应角相等，因此首先对一对角的相等情况进行分类讨论：①若øＥＢＣ＝øＣＢＦ，则ｘ轴为øＥＢＦ的角平分线所在直线，可得直线ＥＢ与ＢＦ的斜率满足ｋＥＢ＝－ｋＢＦ，因此可得直线ＢＦ的解析式为ｙ＝－ｘ－２．这里运用了坐标系内处理角平分线的一种策略：直线的斜率互为相反数．②若øＥＣＢ＝øＣＢＦ，则ＥＣʊＢＦ，可得直线ＥＣ与ＢＦ的斜率满足ｋＥＣ＝ｋＢＦ，则直线ＢＦ的解析式为ｙ＝－２ｍ（ｘ＋２）．这里运用了坐标系内处理平行线的一种策略：直线的斜率相等．两种情况的后续方法基本相同，用含ｍ的代数式表示点Ｆ的坐标后，运用夹边对应成比例列方程求解和检验．对相似三角形的存在性问题进行系统学习的时机，一般是在初三中考之前的专题复习，目的是通过３至４课时的专题学习，对本专题所涉及的不同题型进行全面的归纳和分类，将之前所学的与本专题相关的零碎的知识和方法进行串联，并利用思维导图等信息技术手段，形成本专题的题型特点和解题策略的知识网络，避免在应用分类讨论思想时出现考虑不周而遗漏的情况．。
中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析解此类问题，一般分为三个步骤：第一步寻找分类标准；第二步列方程；第三步解方程并验根 .难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快 .一般情况下，寻找一组相等的角或边，分情况列方程 .本节主要来讨论下全等三角形和相似三角形的存在性问题 .类型一：全等三角形存在性问题【例题1】如图，抛物线y = ax^2 + c （a ≠0）与y 轴交于点A，与x 轴交于B , C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x 轴的交点为H .（1）求a , c 的值；（2）连接OF，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E，另一直角边与y 轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .【解题策略】（1）关键是利用等腰直角三角形的性质及面积，求出关键点坐标，用待定系数法求解；（2）关键是求得平移后的函数抛物线，证明两边相等即可；（3）关键是分类讨论分两种情形，而情形一又分两种情形，依据全等三角形性质，寻找边角相等求解 .类型二：相似三角形存在性问题【例题2】如图，已知抛物线y = ax^2 + 8/5 x + c 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C，且A（2,0），C（0，-4），直线l : y = -1/2 x - 4 与x 轴交于点D，点P 是抛物线y = ax^2 + 8/5 x + c 上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E , 交直线l 于点F .（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH⊥y 轴, 垂足为H，连接AC .①求证：△ACD 是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点P , C , H 为顶点的三角形与△ACD 相似？【解题策略】解析本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质 .依据平行四边形的对边相等列出关于m 的方程是解析问题（2）的关键；利用相似三角形的性质列出关于n 的方程是解析问题（3）的关键 .。