自动控制原理第三章线性系统的时域分析

G(s)
s
c(t) 1(t)
c(t )
L1[C(s)]
L1[G(s)
1 ]
t
s
0
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（3）单位斜坡响应
1
C(s) G(s)R(s)
1 R(s) s2
G(s) s2
c(t )
L1[C(s)]
L1[G(s)
1 s2
]
三种响应之间的关系
第3章 线性系统的时域分析法
c(t) t
n (
1 T1T2 1 T1)(s 1
1
2 1)
T2 )
j s 平面
s1 s2 0
>1
C(s) Gc (s) R(s)
时间响应
1 T1T2
1
(s 1 T1)(s 1 T2 ) s
ab
c
s s 1 T1 s 1 T2
c(t) 1(t)
c(t) L1[C(s)]
1
1
1 t
e T1
0
n 2 s2 n2
=0
输出
C(s)
n 2 s2 n2
1 s
时间响应 c(t) 1 cosnt
c(t)
1(t) 0
t
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四种响应比较
第3章 线性系统的时域分析法
c(t)
=0.5
=0
1(t)
t
0
=1 =1.3
>1， 过阻尼,系统调节时间最长，进入稳态很慢。
=1， 临界阻尼，无超调量，响应速度比过阻尼快。
主要分为：动态性能和稳态性能
c(t) 1(t)
%
±D%
t
0 tr tp
ts
系统阶跃响应的一般响应曲线
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第3章 线性系统的时域分析法
（1）上升时间 tr
C(t)上升至稳态值所需要的时间，考虑到不敏感区
或者允许误差， 取10 % ~ 90 %的时间。
（2）峰值时间 tp C(t)从运动开始到达第一峰值的时间
（1）K = 200，计算动态性能。
R(s)
（2）K = 1500 和 K = 13.5时， + -
K
5
C(s)
s(s 34.5)
分别讨论系统的动态性能。
解：（1）K = 200
开环传递函数
5K Go (s) s(s 34.5)
1
2
sin d t)
1
1
1
2
e nt
sin(d t
)
c(t) 1(t)
t 0
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第3章 线性系统的时域分析法
2、过阻尼运动
阻尼比： >1特征根：s1,2 n n 2 1
闭环传递函数 输出
T1
n (
GC (s)
1 2 1)
s2
n 2 2ns n2
T2
(s
tr d
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第3章 线性系统的时域分析法
（2）峰值时间 tp
d dt [c(t)] ttp 0
d [1
dt
1
1
2
e nt
sin(d t
)] ttp
0
1
1
2
entp n
sind t p
0
sind t p 0
d t p k
取第一周期 k = 1
dtp
t p d
j s 平面
s1
s1 s2 0 s2
>1
=1
s1
s1
s2
0< <1
s2
=0 南通大学电气工程学院
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第3章 线性系统的时域分析法
二阶系统的单位阶跃响应
1、欠阻尼运动
阻尼比：0 < < 1
特征根： s1,2 n jn 1 2 参量说明
j
s1
jd
n
s 平面
-n
0
——阻尼比
s2
n——无阻尼振荡频率 [弧度]/秒
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第3章 线性系统的时域分析法
第三章 控制系统的时域分析
•本章讨论控制系统的运动分析 •数学上为微分方程的时间解，为直接分 析。称系统的时域分析。 •使用传递函数，或参数模型，因此为间 接分析（不求解）
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第3章 线性系统的时域分析法
3.1 系统的时域性能指标
一般系统：
ess
第三项指数衰减项，过渡误差。2T
结论是： 可以跟踪斜坡信号， 有差跟踪。
T
t 0
T 2T 3T -T
减小T来减小差值，但是不能消除跟踪误差。
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第3章 线性系统的时域分析法
3.3 二阶系统的时域分析
结构图
开环传递函数
Go (s)
n2 s(s 2n )
闭环传递函数
闭环特征方程
包络线
cb (t) 1
1
e nt
1 2
第3章 线性系统的时域分析法
c(t)
1 1
1 2
1(t)
1 1 0 1 2
D%
t ts
ts
3 n
,
4 ts n ,
5% 2%
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第3章 线性系统的时域分析法
例3-2 随动系统如图3－30所示，输入信号为r(t)=1(t)
0
实验信号作用讨论。
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第3章 线性系统的时域分析法
二、系统的一般响应及其相互关系
（1）单位脉冲响应
c(t)
(t)
C(s) G(s)R(s) R(s)1 G(s)
t
c(t) L1[C(s)] L1[G(s)]
0
（2）单位阶跃响应
1
C(s)
G( s) R( s)
1 R(s) s
c(t
p
)
c()
100%
c(t
p
)
1 100%
c()
1
% e 1 2 100%
40 20
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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（4）调节时间 ts
由指数函数包络线求得。
c(t) 1
1 1
2
e nt
sin(d t
)
由于
max sin(d t ) 1
（3）单位斜坡信号
t, t 0 f (t) {
0, t 0
1 L[t 1(t)] s2
t t
0
（4）单位匀加速信号
f
(t
)
1 t
2 0
2
, ,
t0 t0
（5）单位正弦信号
1 L[
2
t2
1(t)]
1 s3
f (t) sin t
L[sin t] s2 2
1 t2 2
t 0
sin t
1 t
=0， 无阻尼，曲线等幅振荡。 0<<1，欠阻尼，上升时间比较快，调节时间较短，
但是有一定的超调量。
系统要求： （1）超调量 的大小在给定的要求范围之内， （2）调节时间 ts 比较短。
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第3章 线性系统的时域分析法
三、性能指标计算 c(t) Mp
D%
二阶欠阻尼系统的阶 1(t)
d——阻尼振荡频率
d n 1 2
——阻尼角
1 2
arctan
arccos
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第3章 线性系统的时域分析法
输出
C(s) Gc (s) R(s)
s2
n 2 2ns n2
1 s
时间响应
1 s
(s
s n n )2 d 2
(s
n n )2
d 2
c(t) L1[C(s)] 1 ent (cosd t
c(t) L1[G(s)] L1[
1
]
1
1
eT
t
Ts 1 T
一阶系统对于脉冲扰动信号， 具有自动调节能力。经过有 c(t)
限时间之后， 可以使得脉冲 1
T
式扰动信号对于系统的影响
衰减到允许误差之内。
t
冷却过程。加快方法。
0 T 2T 3T 4T
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二、一阶系统的斜坡响应
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第3章 线性系统的时域分析法
（3）超调量
c(t p ) 1
1
1
2
ent p
sin(d t p
)
tp
d
1
1
e 1 2 sin( )
1 2
因为 sin( ) sin 1 2
Mp %
c(t p ) 1 e 1 2
100
80
由超调量的定义
60
%
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第3章 线性系统的时域分析法
一阶系统的性能指标以及定量描述
c(t) 斜率 1/T 1(t)
0.865 0.632
0.95 0.982 D%
t 0 T 2T 3T 4T
1t
c(t) 1 e T
1t
c(t) 1 e T tT 0.632
c(3T)=0.95
c(4T)=0.982
1
1 t
e T2
t
T2 T1 1
T1 T2 1
0
ts
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第3章 线性系统的时域分析法
3、临界阻尼运动
s1
阻尼比： =1 特征根：s1,2 n
闭环传递函数
GC (s)
s2
n 2 2ns n2
1
n 2 (s n )2
s2 =1
输出
C(s)
Gc (s) R(s)
2 n
跃响应可能兼顾快速
性与平稳性。
t
0 tr tp
ts
（1）上升时间 tr
c(t) 1 ent (cosd t entr 0
1 2 sind t) ttr 1
cosd tr 1 2 sind tr 0
1 2 tand tr
1 2 d tr arctan( )
二阶系统的特征根
R(s) +-
2 n
C(s)
s(s 2 n )
GC (s)
s2
n 2 2ns n2
s2 2ns n2 0
s1,2 n n 2 1
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第3章 线性系统的时域分析法
二阶系统两个特征参数： s1,2 n n 2 1
二阶系统的阻尼比，无量纲单位； n 二阶系统的无阻尼振荡频率，单位为[弧]/[秒]
单位斜坡信号： r(t)=t，
第3章 线性系统的时域分析法
1 R(s) s2
C(s) G(s) R(s) T 1 1 T T Ts 1 s2 s2 s s 1 T
c(t)
L1[C(s)]
L1[
1 s2
T s
s
T 1
T
]
t
T
1t
Te T
第一项信号跟踪项；
第二项为常数值T，稳态误差。 c(t)
R(s) +-
1 C(s) Ts
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第3章 线性系统的时域分析法
一、一阶系统的阶跃响应
阶跃信号：
1 R(s)
s
阶跃响应： C(s) G(s)R(s) 1 1 1 1
Ts 1 s s s 1/T
1
c(t )
L1[C(s)]
1
t
eT
c(t) 斜率 1/T
1(t)
t 0T
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第3章 线性系统的时域分析法
例3－1 一阶系统如图所示，K=1，计算调节时间ts 。
如果要实现ts ≤1秒，确定前置放大器增益K。
解 闭环传递函数
1
K G(s) s 1
1 K
1
1
1 s 1 Ts 1
1 T
K
R(s)
1
C(s)
K
+-
s
sK
调节时间ts
ts
3T
3
1 K
(s n )2
1 s
1 s
n (s n )2
1
s n
时间响应
c(t) L1[C(s)] 1 ntent ent
c(t) 1(t)
t
0
ts
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4、无阻尼运动
s1
阻尼比： =0 特征根：s1,2 jn
闭环传递函数
s2
GC (s)
s2
n 2 2ns n2
ess
定性与定量的关系
lim
t
e(t )
快速性：上升时间 tr，峰值时间 tp，调节时间 ts 平稳性：超调量
准确性：稳态误差 ess
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§3.2 一阶系统的时域分析
一阶系统： 传递函数：
d[c(t)]
T
c(t) r(t)
dt
C(s) 1 G(s) R(s) Ts 1
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)输入信号，C(s)输出信号
一、基本实验信号
（1）单位脉冲信号
, t 0
(t)
0,
t0
L[ (t)] 1
(t) t
0
（2）单位阶跃信号
1, t 0
f (t) { 0,
t0
1 L[1(t)]
s
1(t) 1
t
0
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•
c(t)
1 T
1t
eT
t 0
1 T
c&(t) 0.368
t T
T
c&(t) 0 t
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第3章 线性系统的时域分析法
一阶系统的性能指标以及定量描述
c(t) 1(t)
0.865 0.632
斜率 1/T 0.95 0.982
D%
t 0 T 2T 3T 4T
动态性能： td 0.69T , tr 2.20T , ts 3T (4T ) 准确性：可以满足 。
（3）超调量 %
第一峰值超出稳态值的部分，取百分比
% c(tp ) c() 100%
c()
（4）调节时间 ts C(t) 到达稳态值的时间。理论上是无穷大，一般
给定误差带宽度D %， 5 % 或者 2 %等。
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（5）稳态误差 ess
e(t) r(t) c(t)
K 1 3
s
±5%时
如果要求
ts
ts 4T
≤1秒，有
4
1 K
K 1 4
s
±2%时
c(t) K=4
ts =4T=1
11 T
4K
1(t) K=1
K=4，解毕。
t
K增大，一阶系统响应加快。
012 34
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第3章 线性系统的时域分析法
二、一阶系统的脉冲响应
单位脉冲信号： R(s)=1
误差
t 0
C pulse (t) 脉冲响应
积分 微分
Cstep (t) 阶跃响应
积分 微分
Cslop (t) 斜坡响应
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第3章 线性系统的时域分析法
三、控制系统的性能指标 (Performance Index)
性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价系
统性能好坏标准的定量指标。