自动控制原理第三章线性系统的时域分析
第三章线性系统的时域分析典型输入信号
T
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n 2 c(t )
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t
T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2
2
将t s
1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1
自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
自动控制原理-线性系统的时域分析----典型环节的时域响应
四、线路示图
模拟电路构成：如图2. 1-2 所示。
系统的开环增益为K=500KΩ/R，开环传递函数为：
五、内容步骤
1．绘制根轨迹图：实验前根据对象传函画出对象的根轨迹图，对其稳定性及暂态性能做出理论上的判断。并确定各种状态下系统开环增益K 的取值及相应的电阻值R 。
六、数据处理
1、根轨迹图，如图2.1-3所示：
2、按模拟电路图2.1-2 接线并对每个
环节整定后，用示波器观察输入端与输出端
的时域响应曲线：
（1）调节R值，当系统等幅振荡时（如图
2.1-4所示），测得R的值为157.6kΩ，此时系统达临界稳定。
（2）调节R值，当R小于157.6kΩ时，系统发散的振荡，不稳定（如图2.1-5所示，R=135kΩ）。
3 ．按模拟电路图2.1-2 接线，并且要求对系统每个环节进行整定；将2中的方波信号加至输入端。
4 ．改变对象的开环增益，即改变电阻R 的值，用示波器的“CH1”和“CH2”表笔分别测量输入端和输出端，观察对象的时域响应曲线，应该和理论分析吻合。
注意：此次实验中对象须严格整定，否则可能会导致和理论值相差较大。
实 验 报 告
实验名称线性系统的时域分析----典型环节的时域响应
系
专业
班
姓名
学号
授课老师
预定时间
实验时间
实验台号
一、目的要求
1、根据对象的开环传函，做出根轨迹图。
2、掌握用根轨迹法分析系统的稳定性。
3、通过实际实验，来验证根轨迹方法。
二、原理简述
实验对象的结构框图：如图2. 1-1 所示。
三、仪器设备
第3章 线性系统的时域分析与校正
第3章线性系统的时域分析与校正3.1 概述系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。
分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。
系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。
系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。
系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。
3.1.1 时域法的作用和特点时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法，具有直观，准确的优点，它可以提供系统时间响应的全部信息，但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题，以及对系统进行校正设计时，时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3．1．2 时域法常用的典型输入信号要确定系统性能的优劣，就要在同样的输入条件激励下比较系统的行为。
为了在符合实际情况的基础上便于实现和分析计算，时域分析法中一般采用如表3-1中的典型输入信号。
3．1．3 系统的时域性能指标如第一章所述，对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。
工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
稳定是控制系统正常运行的基本条件。
系统稳定，其响应过程才能收敛，研究系统的性能（包括动态性能和稳态性能）才有意义。
实际物理系统都存在惯性，输出量的改变是与系统所储有的能量有关的。
系统所储有的能量的改变需要有一个过程。
在外作用激励下系统从一种稳定状态转换到另一种稳定状态需要一定的时间。
一个稳定系统的典型阶跃响应如图3-1所示。
响应过程分为动态过程（也称为过渡过程）和稳态过程，系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段定义的。
表3-1 时域分析法中的典型输入信号名称)(tr时域关系时域图形)(sR复域关系例单位脉冲函数⎩⎨⎧≠=∞=)(tttδ⎰=1)(dttδdtd1s⨯撞击作用后坐力电脉冲单位阶跃函数⎩⎨⎧<≥=1)(1ttts1开关输入单位斜坡函数⎩⎨⎧<≤=)(ttttf21s等速跟踪信号单位加速度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=21)(2ttttf31s1 动态性能系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
夏德钤《自动控制原理》(第4版)-名校考研真题-第3章 线性系统的时域分析【圣才出品】
名校考研真题第3章 线性系统的时域分析一、选择题1．线性定常系统对某输入信号的响应已知，则求该系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对该输入信号响应的（）来求取；而求系统对该输入信号的积分的响应，可通过系统对该信号响应的（）来求取。
[北京理工大学研]A．导数，导数B．积分，积分C．导数，积分D．积分，导数【答案】C2．某系统的开环传递函数，该系统是（）。
[南京理工大学研]A．Ⅰ型三阶系统B．Ⅲ型三阶系统C．Ⅲ型两阶系统D．Ⅰ型两阶系统【答案】A【解析】由于积分环节个数为1，所以选A 。
3．单位反馈控制系统的开环传递函数为，其开环增益和时间常数分别为（ ）。
[南京理工大学研]A ．20，5B ．50，0.2C ．10，5D ．10，0.2【答案】D 【解析】将传递函数改写成如下形式，开环增益和时间常数分别为10，0.2。
4．二阶振荡环节中，三个有定义的频率为：为无阻尼自然频率为有阻尼自然频率为谐振频率，它们之间的大小关系为( )。
[清华大学研]A．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，显然。
5．闭环传递函数为的单位脉冲响应曲线，在处的值为( )。
[南京理工大学研]A．B．C．D．0【答案】B【解析】，所以当时，。
6．系统校正中引入“偶极子”的作用是改善系统的（）。
[东南大学研]A．稳态特性B．动态特性C．稳定性D．以上说法均不对【答案】A【解析】偶极子可以产生很大的开环增益而对系统的动态性能影响不大。
7．对高阶系统常常用主导极点的概念和偶极子对的方法进行简化，进而简化计算过程。
下面是几个简化式子，正确的是（）。
[南京理工大学]A．B．C．D．【答案】B【解析】利用闭环主导极点和偶极子对对系统进行化简时应该保证系统的开环增益不变。
二、填空题1．在反馈控制系统中，设置______或______可以消除或减小稳态误差。
[南京邮电大学研]【答案】开环增益；题型系统型次2．当系统的输入信号为单位斜坡函数时，______型以上的系统，才能使系统的稳态误差为零。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
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包络线
cb (t) 1
1
e nt
1 2
第3章 线性系统的时域分析法
c(t)
1 1
1 2
1(t)
1 1 0 1 2
D%
t ts
ts
3 n
,
4 ts n ,
5% 2%
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第3章 线性系统的时域分析法
例3-2 随动系统如图3－30所示，输入信号为r(t)=1(t)
1
2
sin d t)
1
1
1
2
e nt
sin(d t
)
c(t) 1(t)
t 0
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第3章 线性系统的时域分析法
2、过阻尼运动
阻尼比： >1特征根：s1,2 n n 2 1
闭环传递函数 输出
T1
n (
GC (s)
1 2 1)
s2
n 2 2ns n2
T2
(s
j s 平面
s1
s1 s2 0 s2
>1
=1
s1
s1
s2
0< <1
s2
=0 南通大学电气工程学院
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第3章 线性系统的时域分析法
二阶系统的单位阶跃响应
1、欠阻尼运动
阻尼比：0 < < 1
特征根： s1,2 n jn 1 2 参量说明
j
s1
jd
n
s 平面
-n
0
——阻尼比
s2
n——无阻尼振荡频率 [弧度]/秒
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第3章 线性系统的时域分析法
第三章 控制系统的时域分析
•本章讨论控制系统的运动分析 •数学上为微分方程的时间解，为直接分 析。称系统的时域分析。 •使用传递函数，或参数模型，因此为间 接分析（不求解）
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第3章 线性系统的时域分析法
3.1 系统的时域性能指标
一般系统：
=0， 无阻尼，曲线等幅振荡。 0<<1，欠阻尼，上升时间比较快，调节时间较短，
但是有一定的超调量。
系统要求： （1）超调量 的大小在给定的要求范围之内， （2）调节时间 ts 比较短。
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第3章 线性系统的时域分析法
三、性能指标计算 c(t) Mp
D%
二阶欠阻尼系统的阶 1(t)
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第3章 线性系统的时域分析法
（3）超调量
c(t p ) 1
1
1
2
ent p
sin(d t p
)
tp
d
1
1
e 1 2 sin( )
1 2
因为 sin( ) sin 1 2
Mp %
c(t p ) 1 e 1 2
100
80
由超调量的定义
60
%
二阶系统的特征根
R(s) +-
2 n
C(s)
s(s 2 n )
GC (s)
s2
n 2 2ns n2
s2 2ns n2 0
s1,2 n n 2 1
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第3章 线性系统的时域分析法
二阶系统两个特征参数： s1,2 n n 2 1
二阶系统的阻尼比，无量纲单位； n 二阶系统的无阻尼振荡频率，单位为[弧]/[秒]
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)输入信号，C(s)输出信号
一、基本实验信号
（1）单位脉冲信号
, t 0
(t)
0,
t0
L[ (t)] 1
(t) t
0
（2）单位阶跃信号
1, t 0
f (t) { 0,
t0
1 L[1(t)]
s
1(t) 1
t
0
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第3章 线性系统的时域分析法
R(s) +-
1 C(s) Ts
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第3章 线性系统的时域分析法
一、一阶系统的阶跃响应
阶跃信号：
1 R(s)
s
阶跃响应： C(s) G(s)R(s) 1 1 1 1
Ts 1 s s s 1/T
1
c(t )
L1[C(s)]
1
t
eT
c(t) 斜率 1/T
1(t)
t 0T
（3）超调量 %
第一峰值超出稳态值的部分，取百分比
% c(tp ) c() 100%
c()
（4）调节时间 ts C(t) 到达稳态值的时间。理论上是无穷大，一般
给定误差带宽度D %， 5 % 或者 2 %等。
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第3章 线性系统的时域分析法
（5）稳态误差 ess
e(t) r(t) c(t)
主要分为：动态性能和稳态性能
c(t) 1(t)
%
±D%
t
0 tr tp
ts
系统阶跃响应的一般响应曲线
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第3章 线性系统的时域分析法
（1）上升时间 tr
C(t)上升至稳态值所需要的时间，考虑到不敏感区
或者允许误差， 取10 % ~ 90 %的时间。
（2）峰值时间 tp C(t)从运动开始到达第一峰值的时间
n (
1 T1T2 1 T1)(s 1
1
2 1)
T2 )
j s 平面
s1 s2 0
>1
C(s) Gc (s) R(s)
时间响应
1 T1T2
1
(s 1 T1)(s 1 T2 ) s
ab
c
s s 1 T1 s 1 T2
c(t) 1(t)
c(t) L1[C(s)]
1
1
1 t
e T1
•
c(t)
1 T
1t
eT
t 0
1 T
c&(t) t
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第3章 线性系统的时域分析法
一阶系统的性能指标以及定量描述
c(t) 1(t)
0.865 0.632
斜率 1/T 0.95 0.982
D%
t 0 T 2T 3T 4T
动态性能： td 0.69T , tr 2.20T , ts 3T (4T ) 准确性：可以满足 。
d——阻尼振荡频率
d n 1 2
——阻尼角
1 2
arctan
arccos
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输出
C(s) Gc (s) R(s)
s2
n 2 2ns n2
1 s
时间响应
1 s
(s
s n n )2 d 2
(s
n n )2
d 2
c(t) L1[C(s)] 1 ent (cosd t
G(s)
s
c(t) 1(t)
c(t )
L1[C(s)]
L1[G(s)
1 ]
t
s
0
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（3）单位斜坡响应
1
C(s) G(s)R(s)
1 R(s) s2
G(s) s2
c(t )
L1[C(s)]
L1[G(s)
1 s2
]
三种响应之间的关系
第3章 线性系统的时域分析法
c(t) t
跃响应可能兼顾快速
性与平稳性。
t
0 tr tp
ts
（1）上升时间 tr
c(t) 1 ent (cosd t entr 0
1 2 sind t) ttr 1
cosd tr 1 2 sind tr 0
1 2 tand tr
1 2 d tr arctan( )
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第3章 线性系统的时域分析法
例3－1 一阶系统如图所示，K=1，计算调节时间ts 。
如果要实现ts ≤1秒，确定前置放大器增益K。
解 闭环传递函数
1
K G(s) s 1
1 K
1
1
1 s 1 Ts 1
1 T
K
R(s)
1
C(s)
K
+-
s
sK
调节时间ts
ts
3T
3
1 K
0
实验信号作用讨论。
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第3章 线性系统的时域分析法
二、系统的一般响应及其相互关系
（1）单位脉冲响应
c(t)
(t)
C(s) G(s)R(s) R(s)1 G(s)
t
c(t) L1[C(s)] L1[G(s)]
0
（2）单位阶跃响应
1
C(s)
G( s) R( s)
1 R(s) s
ess
第三项指数衰减项，过渡误差。2T
结论是： 可以跟踪斜坡信号， 有差跟踪。
T
t 0
T 2T 3T -T
减小T来减小差值，但是不能消除跟踪误差。
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第3章 线性系统的时域分析法
3.3 二阶系统的时域分析
结构图
开环传递函数
Go (s)
n2 s(s 2n )
闭环传递函数
闭环特征方程
（1）K = 200，计算动态性能。