高中数学必修一幂函数教案
高中数学教案《幂函数
高中数学教案《幂函数》章节一：幂函数的定义与性质教学目标：1. 理解幂函数的定义；2. 掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。
教学内容：1. 幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为实数，a≠0；2. 幂函数的性质：a) 当a>0时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；b) 当a<0时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增；c) 当a=1时，函数为常值函数f(x)=x；d) 当a=0时，函数为常值函数f(x)=1；e) 当a为负偶数时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；f) 当a为负奇数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增。
教学活动：1. 引入幂函数的概念，引导学生理解幂函数的一般形式；2. 通过示例，引导学生掌握幂函数的性质；3. 进行练习，巩固学生对幂函数性质的理解。
章节二：幂函数的图像与性质教学目标：1. 能够绘制幂函数的图像；2. 理解幂函数图像的性质；3. 能够运用幂函数图像解决问题。
教学内容：1. 幂函数的图像：一般形式为一条曲线，当a>0时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减；当a<0时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增；2. 幂函数图像的性质：a) 当a>0时，图像在x轴正半轴上无界，在x轴负半轴上有界；b) 当a<0时，图像在x轴正半轴上有界，在x轴负半轴上无界；c) 当a=1时，图像为一条直线，穿过原点；d) 当a=0时，图像为一条水平线，位于y轴上；e) 当a为负偶数时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减，且过原点；f) 当a为负奇数时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增，且过原点。
教学活动：1. 通过示例，引导学生绘制幂函数的图像；2. 分析幂函数图像的性质，引导学生理解幂函数图像的特点；3. 进行练习，巩固学生对幂函数图像性质的理解。
高中数学必修一幂函数教案
高中数学必修一幂函数教案教案主题：幂函数教案目标：1.了解幂函数的定义和性质；2.掌握幂函数图像的特点以及对称性；3.准确理解幂函数的增减性质并能应用到解题中；4.能够分析幂函数与线性函数、指数函数和对数函数的关系。
教学准备：1.多媒体教学工具；2.手写板或黑板；3.课本及教学参考书。
教学过程：一、导入（5分钟）教师利用多媒体工具或手写板呈现一幂函数的图像，并提问学生对于该图像的感受和认知。
引导学生逐渐了解幂函数。
二、输入与解释（10分钟）教师在黑板上写下幂函数的定义，并对每一部分进行解释。
幂函数定义：幂函数是指以自变量x为底数，以常数a（a>0且a≠1）为指数的函数。
它可以表示为y=x^a。
三、图像特点与对称性（20分钟）1.通过幂函数的图像和函数表达式的关系，教师解释幂函数的图像特点：（1）当a>1时，函数图像在x轴正半轴上逐渐上升；当0<a<1时，函数图像保持下降的趋势。
（2）当a为整数时，函数图像在坐标原点有一个翻转对称轴，如a为奇数，则函数图像在原点处且坐标原点是函数图像的一个特殊点。
2.教师通过实例讲解幂函数图像的对称性，并要求学生在黑板上绘制出幂函数图像，并观察其对称轴和特殊点。
四、增减性质与应用（30分钟）1.幂函数的增减性质：（1）a>1时，函数递增；（2）0<a<1时，函数递减。
教师通过函数的图像和定义，对幂函数的增减性质进行讲解，强调函数图像的上升和下降趋势。
2.教师通过例题引导学生应用增减性质去解题。
五、幂函数与其他函数的关系（20分钟）1.幂函数与线性函数的关系：幂函数的特殊情况即a=1时，函数变为y=x。
教师通过图像和式子对比，指出线性函数就是幂函数的特殊情况。
2.幂函数与指数函数及对数函数的关系：幂函数与指数函数和对数函数正好是互为反函数，即幂函数和指数函数是对方的反函数。
3.教师通过例题和实例分析，引导学生理解以上关系。
六、总结与归纳（10分钟）教师与学生共同总结幂函数的定义、图像特点以及与其他函数的关系。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义和性质；（2）会求幂函数的导数；（3）能够运用幂函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用信息技术手段，展示幂函数的图象，提高学生的直观认知能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质，幂函数的导数。
2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习指数函数、对数函数的性质；（2）提问：幂函数是什么？它的图象和性质是怎样的？2. 自主学习：（1）学生自主探究幂函数的定义和性质；3. 课堂讲解：（1）讲解幂函数的定义和性质；（2）讲解幂函数的导数；（3）举例说明幂函数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结：（2）教师点评并补充。
四、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 选取两个不同的幂函数，分析它们的性质和图象；五、教学反思1. 反思教学目标是否达成，学生掌握情况如何；2. 反思教学过程中是否存在问题，如何改进；3. 针对学生的反馈，调整教学策略，为下一节课做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对幂函数的定义、性质和导数的掌握程度，以及运用幂函数解决实际问题的能力。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂讨论、小组合作等。
3. 评价指标：准确性、逻辑性、创新性、合作精神等。
七、教学拓展1. 对比分析幂函数、指数函数和对数函数的性质及其应用；2. 探讨幂函数在其他学科领域的应用，如物理学、化学等；3. 引入复合幂函数的概念，引导学生进一步探究。
八、教学资源1. 教材：新人教A版高中数学必修教材；2. 课件：幂函数的定义、性质和导数的课件；3. 练习题：幂函数相关练习题及答案；4. 信息技术手段：多媒体投影、网络资源等。
新人教A版必修1《幂函数》教案
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
幂函数 优秀教案
幂函数优秀教案幂函数教学目标】1.知识与技能：1) 理解幂函数的概念，能够画出幂函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像。
2) 根据常见的幂函数图像，理解幂函数图像的变化情况和性质，并能进行简单的应用。
2.过程与方法：1) 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力。
2) 使学生进一步体会数形结合的思想方法。
3.情感态度与价值观：1) 通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的研究兴趣。
2) 利用计算机，了解幂函数图像的变化规律使学生认识到现代技术在数学认识过程中的作用，从而激发学生的研究欲望。
教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点】画五个具体幂函数的图像并由图像概括其性质，体会图像的变化规律。
教法】启发、引导教学过程】一、创设情景，引入新课通过观察几个例子的函数模型，引入新课。
二、互动探究，讲解新课1.幂函数的定义：一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。
练：判断下列函数是否为幂函数？1) y=x^4 (2) y=2x^2 (3) y=-x^3 (4) y=2.常见幂函数的图像与性质：自主探究]分别作出函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像并观察函数图像，将你发现的结论写在下表内：定义域。
|。
值域。
|。
奇偶性。
|。
单调性。
|。
定点。
|R。
|。
R+。
|。
奇函数。
|。
增函数。
|。
(1,1)。
|R。
|。
R+。
|。
偶函数。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|R。
|。
R。
|。
奇函数。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|R*。
|。
R*。
|。
奇函数。
|。
减函数。
|。
(1,1)。
|R+。
|。
R+。
|。
无奇偶性。
|。
增函数。
|。
(0,0)。
|合作探究]根据上表的内容并结合图像，试总结函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的共同性质。
归纳：1) 函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1和y=x^2的图像都通过点(1,1)。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
高一数学必修1《幂函数》教案
高一数学必修1《幂函数》教案教学目标：1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。
2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质。
2. 画出幂函数的图象。
3. 不等式解法。
教学难点：1. 幂函数的图象，如何画出图象。
2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。
教学方法：1. 归纳法。
2. 演示法。
3. 分组讨论法。
教学内容：一. 幂函数1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。
2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当0<a<1时，幂函数f(x)严格单调递减。
（2）当a>1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当0<a<1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。
（3）当a=1时，幂函数f(x)为常函数y=1。
3. 幂函数的图象：（1）当a>1时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。
（2）当0<a<1时，幂函数f(x)在右侧无下界，趋近于x轴，图象在x轴上方。
（3）当a=1时，幂函数f(x)图象为直线y=1，在y轴上方。
4. 例题：（1）求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间，并画出图象。
（2）求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。
二. 不等式的解法1. 不等式的性质：（1）等式两边加（减）同一个数、同一个式子，不等式的方向不变；（2）等式两边同乘（除）一个正数，不等式的方向不变；等式两边同乘（除）一个负数，不等式的方向反转。
2. 不等式的应用：利用不等式的性质，解决幂函数的方程。
3. 例题：求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。
教学流程：1. 教师介绍幂函数的定义和性质，并简单讲解幂函数的图象。
2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象，并让同学对幂函数的图象做出讨论，了解幂函数图象的特点，为下面的探究提供基础。
高中数学幂函数的优秀教案
高中数学幂函数的优秀教案教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像特点和变化规律；3. 能够应用幂函数解决实际问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数图像的特点；3. 幂函数的变化规律。
教学难点：1. 幂函数图像的绘制；2. 幂函数的应用解题。
教学准备：1. 教学PPT；2. 幂函数的相关教学素材；3. 面板书和彩色粉笔；4. 计算器。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师通过举例引导学生回顾幂函数的定义和性质，激发学生对幂函数的兴趣。
二、讲解幂函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍幂函数的定义，并解释指数、底数的含义；2. 讲解幂函数的性质，包括奇偶性、增减性和对称性等；3. 通过实例让学生理解幂函数的基本特点。
三、分组讨论与展示（15分钟）1. 将学生分成小组，让他们结合所学内容，讨论幂函数的图像特点和变化规律；2. 每组选派一名代表进行展示，分享小组讨论的结论。
四、幂函数图像的绘制（15分钟）1. 通过教学PPT，展示幂函数图像的绘制方法；2. 让学生自行绘制不同幂函数的图像，并与同学分享。
五、应用解题（15分钟）1. 以实际问题为例，让学生应用幂函数解题；2. 指导学生合理建立数学模型，解决问题。
六、课堂小结（5分钟）教师总结本节课的重点知识，强调幂函数的重要性和应用场景，激励学生继续深入学习。
七、作业布置让学生完成相关习题，巩固所学知识。
教学反思：1. 教学重点突出，学生参与度高；2. 演示环节设计合理，能够引导学生深入思考；3. 学生绘制图像能力需要进一步培养，需要增加训练。
这份教案是一份比较完整的高中数学幂函数的教学设计，建议教师在教学中根据学生的实陵情况做出适当的调整，以达到更好的教学效果。
《幂函数》教学设计
普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）3.3幂函数一、教学目标：（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象，描述它们的变化规律，总结掌握幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.二、教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.三、教学用具：ppt、geogebra软件四、教学过程：（一）情境导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. 1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付 p=w元，这里p是w的函数;2．如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=x2,这里y是x的函数; 3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数; 4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=√S,这里c是S的函数;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1km/s,t 即v=t−1,这里v是t的函数.（二）探究活动1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.V=b3;,即v=t−1.4.c=√S，即c=s12;5.v=1t实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自，-1；它们都是形如y=xα的变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，12函数.【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式. （三）概念新知幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.1.练习：（1）下列函数哪些是幂函数（）①y＝x3②y=(1)x③y＝4x2④y＝x5＋12⑤y＝(x－1)2 ⑥y＝x ⑦y=2x（2）若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝_____.结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1, 解析式只能是一项；判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.（四）探究活动2（数到形），−1时的图象与性质.现对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）老师用geogebra软件进行展示【设计意图】通过课前预习的网络作业让学生先独立画出三个幂函数的图像，然后课堂上在同一直角坐标系中通过描点法画出另外两个幂函数，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.（五）探究活动3（形到数）结合幂函数图像和解析式，将你发现的结论填写在下表.【设计意图】由形到数，发现并归纳5个常见幂函数的图像性质. （六）性质探究探究活动4：观察α=1,2,3，1/2 ，-1时幂函数的图形，填写以下研究报告1.特殊幂函数的性质(1) y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第象限无图像.(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1的图像都通过点；(3)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函数y＝x2是；(4)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函数y＝x－1；（5）在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴，向右与x轴.2.一般幂函数的性质：(1)第一象限均有图像，第四象限均无图像(2)幂函数图像都过点(1,1)；α>0，函数过（0,0）(3)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.(4)当α>0时,幂函数在区间(0，+∞)上单调递增；当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减（5）一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下（指大图高），在y轴与直线x=1之间正好相反（指大图低）.【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.（七）应用提升例1．在下列四个图形中，y ＝x－12的大致图像是( )例2 比较下列各组数的大小.(1) (2) （3）（八）当堂检测1.下列函数是幂函数的是（ ）A .y =5x 2B .y =x 5−1 C .y =x 8D.y =（x +1）22.若 f (x )＝(m 2－2m －2)x m是幂函数，且在第一象限为增函数，则m ＝（ ）A .−1 B. 3 C. -1或3 D.13.已知幂函数y =f(x)的图像经过点（4， 12 ），则 f (2)=（ ）A .14B.4C.√22D.√24.下列正确的是( )A.(1.5)3<(1.4)3B. (0.1)0.3>(0.2)0.3C. (11.5)−3<(11.6)−3D. (0.6)3<(0.6)0.5111.5 1.4--，1.23，1.330.53 ，0.50.55.若（3-2m）12＞（m+1）12，求实数m的取值范围.五．归纳总结1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。
《幂函数》教案
3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增（-∞，0）减 递增[0，+∞）增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x 是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=《幂函数》教案说明教材：普通高中课程标准试验教科书 数学1（必修）B 版 人民教育出版社 章节：3.3幂函数 一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。
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高中数学必修一幂函数
教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中数学必修一幂函数教案
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：
重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：
问题引入．
索一般幂函数的图象规律．
教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
组织探究
材料二：幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定
义，并且图象都过点（1，1）；
（2）0
>
α时，幂函数的图象通过原
点，并且在区间)
,0[+∞上是增函数．特别
地，当1
>
α时，幂函数的图象下凸；当
1
0<
<α时，幂函数的图象上凸；
（3）0
<
α时，幂函数的图象在区间
)
,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从
右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼
近y轴正半轴，当x趋于∞
+时，图象在x轴
上方无限地逼近x轴正半轴．
师：引导学生
观察图象，归纳概
括幂函数的的性质
及图象变化规律．
生：观察图
象，分组讨论，探
究幂函数的性质和
图象的变化规律，
并展示各自的结论
进行交流评析，并
填表．
探究与发现
1．如图所示，曲线
是幂函数αx
y=在第一象
限内的图象，已知α分别
取2,
2
1
,1,1
-四个值，则相
应图象依次
为：．
2．在同一坐标系内，作出下列函数的图
象，你能发现什么规律？
（1）3-
=x
y和3
1
-
=x
y；
（2）4
5
x
y=和5
4
x
y=．
规律1：在第
一象限，作直线
)1
(>
=a
a
x，它同
各幂函数图象相
交，按交点从下到
上的顺序，幂指数
按从小到大的顺序
排列．
规律2：幂指
数互为倒数的幂函
数在第一象限内的
图象关于直线x
y=
对称．
作业回馈
1．在函数
1
,
,
2
,
1
2
2
2
=
+
=
=
=y
x
x
y
x
y
x
y中，幂函数的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数)
(x
f
y=的图象过点
)2
,2(，试求出这个函数的解析式．
3．在固定压力差（压力差为常数）下，
当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管
道半径r的四次方成正比．
（1）写出函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流
量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r
的管道时，其流量速率R的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半
径为5cm，计算该气体的流量速率．
4．1992年底世界人口达到54．8亿，
若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人
口数为y（亿），写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底
的世界人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的
函数解析式．。