上海市浦东新区2021届高三一模数学试卷
2 ,1 2 2
2 , 2
12．
2 2
,1
2020.12
二、选择题 13． C 14． C 15． D 16．B
三、解答题
注：解答题其他解法相应给分
17．解：（1）因为 SABC
1 11 2
1 2
，
VA1B1C1 ABC
SABC
A1A ，
V 所以， A1B1C1 ABC
S ABC
A1 A
2
6
3
由 A B C ， B C 2 ， B 2 C
3
3
sin B sin C sin( 2 C) sin C 3 sin C 3 cos C
3
2
2
∵0 C 2 , C 5 ， 1 sin(C ) 1
36
66 2
6
sin
B
sin
C
的取值范围为
3, 2
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
件
1 2 8 14．若某线性方程组的增广矩阵为 2 4 16 ，则该线性方程组的解的个数为（ ）
A. 0 个
B. 1个
C. 无数个
D. 不确定
15．下列命题中正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若直线 l 与平面 上的无数条直线都垂直，则直线 l
1 4 2
2．
（2）法一：∵ BC // B1C1 ， MBC 是异面直线 BM 与 B1C1 所成的角或其补角. 在 MBC 中， BM CM 5 , BC 2 ,
由余弦定理得， cosMBC 10 ， 10
MBC arccos
10
.
10
z A1
B1 M
A B x
C1 Cy
异面直线 BM
为
．
10．若等比数列 {an}的前 n 项和为
Sn ，且满足
an1 1
Sn 1
2 ，则数列 {an}的前 n 项和为 Sn 为________．
11．设函数 f x x a 2 a ，若关于 x 的方程 f x 1有且仅有两个不同的实数根，则实数 a 的取值构成
x
的集合为________．
ABC 中，
AB
AC
1, BAC
2
，
A1A
4 ，点 M
为线段
A1 A 的中点．
（1）求直三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积；
（2）求异面直线 BM 与 B1C1 所成的角的大小．（结果用反三角表示）
A1
C1
B1 M
A
C
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
D. 若 a、b、c 是三条直线， a // b 且与 c 都相交，则直线 a、b、c 共面.
16．已知函数
f
(x)
x2 , (x为无理数) x, (x为有理数)
，则以下 4 个命题：
① f (x) 是偶函数；② f (x) 在 0, 上是增函数；
③ f (x) 的值域为 R ；④对于任意的正有理数 a ， g(x) f (x) a 存在奇数个零点.
3
3 sin(C ) 6
19．解：（1）当1 n 6 时，每月需求量 635 公斤，每月进货 646 公斤，1 到 6 月都够用；
当 n 7 时，因为 646 7 S7 646 7 6 49 774 7 618 16 0 ，第 7 个月该食材够用．
所以，前 7 个月每月该食材都够用
② h( x ) 1 h(x) ，③ h(1 x) 1 h(x) ，求 h( 1 ) 的值.
32
2020
浦东高三数学答案
一、填空题
1． 1 2． 16 3． y 1 4．{x | 0 x 1} 5． 2 2 6． 6 7． 3,
2
8． 1 2
9． 0,1
10． 2n1 2
11．
1
2 2
10
.
10
18．解：（1） 2
f (x) 的单调递增区间： 2k 2x 2k 即 k x k
2
6
2
3
6
f
(x)
的单调递增区间
k
3
,
k
6
kZ
（2） f (x) sin(2x ) ，
6
由 f ( A) 1， sin(A ) 1， A (0, ) ， A
浦东新区 2020 学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学试卷
2020.12
考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分．
D 上为非减函数。
（1）判断 f1(x) x2 4x, (x 1, 4) 与 f2 (x) x 1 x 2 , (x 1, 4) 是否是非 减函数?
（2）已知函数
g(x)
2x
a 2x1
在 2,
4
上为非减函数，求实数
a
的取值范围.
（3）已知函数 h(x) 在[0,1] 上为非减函数，且满足条件：① h(0) 0 ，
．
12
4
7．函数 f (x) 1 log2 x (x 4) 的反函数的定义域为
．
8．在 (x 2)7 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为
．（用数字作答）
9．正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 和 F 分别是边 BC 和 AD 上的动点，且 CE AF ，则 AEi AF 的取值范围
x1, x2 (2, 4] ，且设 2 x1 x2 4 ，则 f2 (x1) 2x1 3 2x2 3 f2 (x2 ) ，显然满足 f2 (x1) f2 (x2 ) ；
x1 [1, 2] ， x2 (2, 4] ，则 f2 (x1) 1, f2 (x2 ) 2x2 3 1 ，显然满足 f2 (x1) f2 (x2 ) 综 上 所 述 ， f2 (x) 是
n
当 n 10 时， 774 6(n 103) 的最大值为 652.2
n
可得 p 652.2 ．
∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量 p 的最小值为 652.2 公斤．
20．解：（1） a 2
b 1 则 c a2 b2 3 .
则椭圆 C1 的焦距为 2 3 .
（2）由于
kOQ
已知椭圆 C1 :
x2 4
y2
1,
F1 、 F2 为 C1 的左、右焦点.
（1）求椭圆 C1 的焦距；
（2）点 Q( 2 , 2 ) 为椭圆 C1 一点，与 OQ 平行的直线 l 与椭圆 C1 交于两点 A、B，若 △QAB 面积为1，求 2
直线 l 的方程； （3）已知椭圆 C1 与双曲线 C2 : x2 y2 1 在第一象限的交点为 M (xM , yM ) ，椭圆 C1 和双曲线 C2 上满足
618
(1 n 6) (7 n 12)
．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前 n
个月的进货总量须不低于前
n 个月的需求总量.
（1）如果每月初进货 646 公斤，那么前 7 个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货 p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求 p 的最小值．
20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.
5 2
4t2 4(2t2 2)
5 2t2 .
d |t| 2|t|
又点 Q 到 l 的距离
1
1 2
2
5 ,-
S△QAB
1 2
5
2 t2 2 | t | 1， 5
解得 t2 1， t 1，
则直线 l 的方程为 y 1 x 1. 2
x2 4y2 4
（3）由
x2
y2
1
解得 xM
勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查
分 析 预 测 ， 从 年 初 开 始 的 前 n(n 1, 2, 3,⋯ ,12) 个 月 对 某 种 食 材 的 需 求 总 量 Sn （ 公 斤 ） 近 似 地 满 足
Sn
635n
6n
2
774n
| x || xM | 的所有点 (x, y) 组成曲线 C ．若点 N 是曲线 C 上一动点，求 NF1 NF2 的取值范围．
21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
已知函数 f (x) 的定义域是 D ，若对于任意的 x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在
与 B1C1 所成的角为 arccos
10 10
.
法二：如图所示建系，
则 B1, 0, 0 , B11, 0,3 , M 0, 0,2 , C1 0,1, 3
BM 1, 0 , 2 , B1C1 1,1, 0 , cos θ
BM B1C1 BM B1C1
10
,
10
异面直线 BM 与 B1C1 所成的角为 arccos
（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式 pn Sn 对 n 1, 2,⋯ ,12 恒成立． 当 1 n 6 时 ， pn 635n 恒 成 立 ， 可 得 p 635 ； 当 7 n 12 时 ， pn 6n 2 774n 618 恒 成 立 ， 即 p 774 6(n 103 ) 恒成立，
2021届浦东区一模数学试卷及答案
浦东新区2020学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷 2020.12考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．lim21n nn →∞=+______________．2．半径为2的球的表面积为_________.3．抛物线24x y =-的准线方程为______________. 4．已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =≤，则AB =________．5．已知复数z 满足(1)4z i -=（i 为虚数单位），则||z = . 6．在ABC △中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =_________. 7．函数2()1log f x x =+(4)x ≥的反函数的定义域为___________.8．在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）9．正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________． 10．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________． 11．设函数()2f x x a a x=--+，若关于x 的方程()1=x f 有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为________．12．对于任意的正实数a ，b ___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）（A ）0个（B ）1个（C ）无数个 （D ）不确定15．下列命题中正确的是（ ） （A ）三点确定一个平面（B ）垂直于同一直线的两条直线平行（C ）若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线α⊥l（D ）若c b a 、、是三条直线，b a //且与c 都相交，则直线c b a 、、共面.16．已知函数2,()(),()为无理数为有理数x x f x x x ⎧=⎨⎩，则以下4个命题：①()f x 是偶函数；②()f x 在[)0,+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，直三棱柱ABC C B A -111中，1AB AC ==,2BAC π∠=，41=A A ，点M 为线段A A 1的中点．（1）求直三棱柱ABC C B A -111的体积；（2）求异面直线BM 与11C B 所成的角的大小．（结果用反三角表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n nn S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．1A20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆1:C 2214x y +=,1F 、2F 为1C 的左、右焦点.（1）求椭圆1C 的焦距；（2）点2Q 为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB △面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(,)M M M x y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x ≥的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求21NF NF ⋅的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷六答案
参考答案：一、填空题：1．12n n a -=；2．()()211(1)f x x x -=-≥；3．160；4．43；5、25；6、±；7、3；8、π；9、[3；10、(],1-∞-；11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0；12、①②③；二、选择题：13、A；14、D；15、C；16、A；三、解答题：17、解：（1）作CE E A //'交CD 于E '，因为11AD AA DE'===，所以1AE D E ''==，故∆E AD '1为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒…………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则∆ADE 、CBE ∆均为等腰直角三角形，故90DEC ∠=︒，所以DEC ∆为直角三角形.………………………………………9分由1DD ⊥平面ABCD ，DE CE ⊥，知CE ⊥平面1DD E ，故1CE D E ⊥，所以EC D 1∆为直角三角形…………………………………………………………………………13分而显然∆1DD E 、∆1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，为鳖臑.…………………………………………………………………………………14分18、解：（1）由条件知：224a c +=+，:a b = 222c b a +=解得：2,2a b c ===，…………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=………………6分（2）设直线2PF 的方程为：2,x ty =+1122(,),(,)P x y Q x y ；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+ ，所以OP OQ PQ += ，所以OP OQ ⊥,所以12120x x y y +=。
…………9分221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒()222440t y ty ++-=12122244,22t y y y y t t --+==++………………………………………11分()()2121212121240x x y y t y y t y y +=++++=解得：212,22t t ==±…………………………………………………………13分所以直线PQ 的方程为0y ±-=…………………………………14分19．[解]（1）分别单独建厂，共需总费用0.70.71253255131.1y =⨯+⨯≈万元…………………………4分（2）联合建厂，共需总费用()0.72535 3.2y =⨯+++020x ≤≤）所以y 与x 的函数关系式为0.72583.2y =⨯+（020x ≤≤）……8分令()h x =+020x ≤≤）()[]2202020,40h x =+=+………10分0.70.7121.5258 3.2258 3.2127.4y ≈⨯+≤≤⨯+≈y 的取值范围为[]121.5,127.4．…………………………14分20、【解】（1）若1=m ，则x x f m sin )(=⋅()()k x k x k x f k x f -++=-++sin sin )()(kx cos sin 2=要使得)(x f 为“可平衡”函数，需使故()0sin cos 21=⋅-x k 对于任意实数x 均成立，只有21cos =k ……3分，此时32ππ±=n k ，Z n ∈，故k 存在，所以x x f sin )(=是“可平衡”函数（2）2)(x x f =及x a x g 2)(+=的定义域均为R根据题意可知，对于任意实数x ，()()2222222k x k x k x mx +=-++=即22222k x mx +=,即()02222=--k x m 对于任意实数x 恒成立只有0,2==k m ，故函数2)(xx f =的“平衡”数对为()0,2对于函数x a x g 2)(+=而言，()()kk x k x k x x a a a a m --++⋅+=+++=+⋅2222222所以()()k k x x a a m -+⋅+=+⋅22222()[]()02222=-⋅++-⋅-m a m k k x ，()⎩⎨⎧=-⋅+=-0222m a m kk ，即⎩⎨⎧=≥22m m ，故2=m ，只有0=k ，……9分，所以函数x a x g 2)(+=的“平衡”数对为()0,2综上可得函数2)(x x f =与x a x g 2)(+=的“平衡”数对相同（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos 2cos cos 2221ππx x x m ，所以x x m 221sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 4cos cos 2222ππx x x m ，所以1cos 22=x m 由于40π≤<x ，所以1cos 212<≤x ，故x m 21tan 2=(]2,0∈,(]2,1sec 22∈=x m 2221m m +=()()1tan 2tan 5tan 4tan 1222422++=++x x x x 5451tan 522+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x ，由于40π≤<x ，所以1tan 02≤<x 时，56tan 51512≤+<x ()832tan 2122≤-+<x ，所以<12221m m +8≤21.（1）由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3n n n a a +-=-，………………1分则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =.…………………………3分当14a =，13q =-时，111(43n n a -=-，*N n ∈，则111111111111()()([(]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14.………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-，21221n n n b b ----=-， ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++-- ，………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-.由1210n n n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.…………………6分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n n S n n C λλ+++==.………………………………2分则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<，即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=，又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<，即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾.又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-；当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-.综上得λ的所有可能值为1-和2-.…………………………………8分。
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= ． 2．（4分）半径为2的球的表面积为 ． 3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 ． 4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则AB = ．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = ． 6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC = ． 7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 ．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．（用数字作答）9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 ． 10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 ．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为 ．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点(2Q ，22为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值．2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= \{1}{2}frac ． 【解答】解：\\_{}\{}{21}\\_{}\{1}{2\{1}{}}\{1}{2}lim limits n frac n n lim limits n frac frac n frac →∞+=→∞+=，故答案为：\{1}{2}frac ．2．（4分）半径为2的球的表面积为 16π ．【解答】解：球的半径为2，所以球的表面积为：2416r ππ= 故答案为：16π3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 1y = ． 【解答】解：抛物线24x y =-焦点在y 轴的负半轴上，则12p=， ∴抛物线的焦点坐标为(0,1)-，准线方程：1y =，故答案为：1y =．4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则A B = (0，1] ．【解答】解：{|0}A x x =>，{|11}B x x =-，(0AB ∴=，1]．故答案为：(0，1]．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = 【解答】解：复数z 满足(1)4z i -=， 则41z i=-，所以4|||1|z i ===-．故答案为：6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC【解答】解：51243A B C πππππ=--=--=， 由正弦定理得sin sin AB BCC A =，所以2sinsin 3sin sin 4AB A BCC ππ===．7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 [3，)+∞ ． 【解答】解：函数2()1log (4)f x x x =+的值域为[3，)+∞， 故其反函数的定义域为[3，)+∞．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 12．（用数字作答）【解答】解：因为7(x 展开式的通项为7721772r r rrr r r T C x C x --+==，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而[0r ∈，7]()r N ∈，故有0r =，2，4，6满足题意， 所以所求概率4182P ==， 故答案为：12． 9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 [0，1] ． 【解答】解：取EF 中点为O ，则22\{}\{}(\{}\{})(\{}\{}){}{}overrightarrow AE overrightarrow AF overrightarrow AO overrightarrow OE overrightarrow AO overrightarrow OE A O O E ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以\{2},[{1,\{2}}]AO sqrt OE sqrt =∈， 所以\{}\{}[{0,1}]overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅∈． 故答案为：[0，1]．10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 122n n S +=- ．【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等比数列，设等比数列{}n a 的公比为q ， 数列{}n a 满足1||211n na S +=，则有12n n a S +-=，当1n =时，有21212a S a a -=-=，① 当2n =时，有32312()2a S a a a -=-+=，② 联立①②可得：12a =，2q =，则数列{}n a 的前n 项和为11(1)221n n n a q S q +-==--， 故答案为：122n n S +=-．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+ ．【解答】解：由方程()1f x =，得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 令()||,()\{2}{}1h x x a a g x frac x =-+=+， 则()||h x x a a =-+的顶点(,)a a 在y x =上，而y x =与()\{2}{}1g x frac x =+的交点坐标为(2,2)，(1,1)--， 联立\\{{\.\{}{}{2}\\{\{2}{}1}\{}\.}\.left left begin array l y x a y frac x end array right right =-+=+得{2}(12)20x a x +-+=，由△{2}(12)80a =--=，解得\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +， 作出图象，数形结合，要使得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +或2． 故答案为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 22229a a b ++的取值范围为 2[ ．【解答】2222219()22953ba ab a a++++=+，故可看作2(319())b bA a a⨯+与(5,22)B --两点的斜率，其中点A 在221(0,0)y x x y -=>>上，故AB k 最小值在相切时取得， 设2(5)y k x +=+，联立2222(5)1y k x y x ⎧++⎪⎨-=⎪⎩，由△0=，解得122132k k ==（舍) 当ba→+∞时，22219()153AB ba k a++=→+⨯， 22229a a b ++的取值范围是2[．故答案为：2[． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：根据题意，因为2x y =是增函数，若a b >，必有22a b >， 反之若22a b >，必有a b >， 则a b >是22a b >的充要条件， 故选：C ． 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定【解答】解：该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解； 故选：C ．15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【解答】解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为//a b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点．其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，所以f （1）1=，(1)1f -=-， 所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为f （3）35f =<=，所以()f x 在[0，)+∞不是增函数，故错误；③因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，显然()F x 的值域中不含负无理数， 故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即x a =，x 为有理数或2x a =，x 为无理数， 对于x a =，x 为有理数，必有解x a =，对于2x a =，x为无理数，必有解x = 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）【解答】解：（1）111122ABC S ∆=⨯⨯=，11422ABC V S A A ∆∴==⨯=．（2）11//BC B C ，MBC ∴∠或其补角是异面直线BM 与11B C 所成的角，在MBC ∆中，5BM CM ==2BC ，由余弦定理得，22210cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==， 10MBC ∴∠= 故异面直线BM 与11B C 所成的角为10 18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．【解答】解：（1）因为()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，所以2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)6f x x π=+，令222262k x k πππππ-++，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈．（2）在ABC ∆中，若()12Af =，由（1）得，()sin(2)6f x x π=+，所以sin()16A π+=因为0A π<<，所以62A ππ+=，解得：3A π=，即23sin sin sin sin()sin )326B C B B B B B ππ+=+-==+， 因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以13sin()1,3sin()3266B B ππ<+<+，所以sin sin B C +的取值范围． 19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． 【解答】解：（1）当16n 时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用， 当7n =时，因为764676467(6497747618)160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S 对1n =，2，⋯，12恒成立， ①当16n 时，635pn n 恒成立，可得635p ，②当712n 时，26774618pn n n -+-恒成立，即1037746()p n n-+恒成立，因为1037746()7746652.2n n n n -+-⨯≈，当且仅当103n n=，即10.15n =≈时，等号成立，又因为*n N ∈，且12n ，所以当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2， 综上所述，652.2p ，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点Q为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆221:14x C y +=，可得2a =，1b =，c =， 则椭圆1C的焦距为2c = （2）由12OQ k =，设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=， 由△22248(1)840m m m =--=->，得||m < 2A B x x m +=-，222A B x x m =-，所以222||(2)4(22)52AB mm m =---=-，又Q 到直线l 的距离为d =由1|||1,12QAB S d AB m m ∆===±，所以1:12l y x =±； （3）由2222441x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得M M x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(,)N x y 是曲线C 上一点，则1(0)F ，20)F ，1(,)NF x y =--，2(3,)NF x y =-， 所以22123NF NF x y =+-；当点N 在曲线2244(||||)M x y x x +=上时，21213NF NF y =-，当y 时，124()5min NF NF =-，当0y =时，12()1max NF NF =， 所以124[,1]5NF NF ∈-；当点N 在曲线221(||||)M x y x x -=上时，21222NF NF y =-；当y 时，124()5min NF NF =-，124[,)5NF NF ∈-+∞； 综上，124[,)5NF NF ∈-+∞．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值． 【解答】解：（1）1()f x 不是，2()f x 是．因为1f （1）1f >（2），则1()f x 不是[1，4]上的非减函数， 21,12()2,24x f x x ⎧=⎨<⎩，1x ∀，2[1x ∈，2]，且设1212x x <，则2122()()f x f x =，显然满足2122()()f x f x ， 1x ∀，2(2x ∈，4]，且设1224x x <<，则211222()2323()f x x x f x =-<-=，显然满足2122()()f x f x ，1[1x ∀∈，2]，2(2x ∀∈，4]，则21()1f x =，222()231f x x =->，显然满足2122()()f x f x ，综上所述，2()f x 是[1，4]上的非减函数． （2）1x ∀，2[2x ∈，4]，设1224x x <， 则12()()0g x g x -， 12121222()()2(2)22x x x x a a g x g x -=+-+ 121221121222222()22(22)2222x x x x x x x x x x a a a =-+-=-+-12122(22)(1)022x x x x a=--， 则1x ∀，2(2x ∈，4]，设1224x x <，不等式1221022x x a -恒成立，即1222x a 2x ，则8a ．（3）h （1）(0)1h +=，所以h （1）1=， 所以11()32h h =（1）12=，211()1()332h h =-=， 得出121()()332h h ==，1(3x ∀∈，2)3，因为函数()h x 在[0，1]上为非减函数，所以12()()()33h h x h ，所以11()22h x ， 得到1[3x ∀∈，2]3，1()2h x ≡，由②1()()32x h h x =知，1()(3)2h x h x =，1131729()()()202022020642020h h h ==⋯=， 所以11()2020128h =．。
上海市浦东新区2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解.【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 3．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.4．若集合{}10A x x =-≤≤，01x B xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （ ） A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1- 【答案】A【解析】【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】 解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<， 则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.6．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B． C ．73 D．3【答案】D【解析】【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A1B．25- C．D．1 【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM-，求得结果.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 8．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 【答案】B【解析】【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到a b的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论. 【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+=， 依题意240,3k k ∆=-==，a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b+=的焦距2=，22222411,3,433b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143y x -=. 故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.9．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】【分析】 根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x =为()()g x f x kx =-的一个零点；对于当0x <时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x <即可求得k 的范围；对于当0x >时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k 的范围.综合后可得k 的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数()()g x f x kx =-的零点，即()f x kx =.由图像可知，(0)0f =，所以0x =是0()f x kx -=的一个零点，当0x <时，21()2f x x x =-+，若0()f x kx -=， 则2102x x kx -+-=，即12x k =-，所以102k -<，解得12k <； 当0x >时，()ln(1)f x x =+， 则1()1f x x '=+，且()10,11x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.10．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C【解析】【分析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED n 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以221110834522SED S SE ED x x ∆=⋅=++. 因为222210810832336x x x x+≥⋅=， 当且仅当6x =，6y =时等号成立，所以19364522SED S ∆≥+=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.11．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i +=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15【答案】B【解析】 17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 12．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin x y x -=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ， 当x π=时，sin 0x x=，排除D ， 故选：A ．本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十二答案
参考答案：一．填空题：1、4(,)+∞；2、22；3、()13,；4、4；5、712；6、0；7、；8、3[0,3；9、(],1-∞-；10、11[,]83；11、[6-+；12、(3-+；二．选择题：13、D；14、A；15、A；16、B；三．解答题：17、（1）,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π；18、（1）322arccos ；（2）42162米。
19、（1）35；（2）1[,)4a ∈+∞．20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a == ，又焦距为4，则224a b +=，…………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅< ，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，……………………………4分即223503m m -<-，则153m <<-或153m <<，即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P +，……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-，即200000322x x y y x y y --=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x --++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+，即02(3)1(33x x x +-+=，则0234x x =，即点Q的横坐标为024x +，……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值，请相应评分.21、解：（1）(1)1f =，(2)2f =，猜想()f n n =；（2）98n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ，21199m m m t --∴=-，352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--，2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ；（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈，1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈，11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。
上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
浦东新区2020学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大 题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1. lim 21n nn →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭________. 12由lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭lim 112n n →∞⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，再求解即可. 解：因为lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭1lim 1221n n →∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 本题考查了数列的极限的运算，属基础题. 2. 半径为2的球的表面积为________.16π代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.2R =，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表, 故答案为:16π本题考查球的表面积公式;属于基础题. 3. 抛物线24x y=-准线方程为______________.1y =根据抛物线的性质得结论．由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =． 故答案为：1y =．4. 已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =≤，则A B =________．(]0,1利用集合间的运算直接求解{}[]2{0},11,1A x x B x x =>=≤=-，所以(]0,1A B ⋂=.故答案为：(]0,1.5. 已知复数z 满足(1)4z i -=（i 为虚数单位），则||z =___________.求出41z i=-，再根据复数模的求法即可求解. 41z i=-，所以4|||1|z i ===-故答案为：6. 在ABC 中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =_________.由内角和求得A ，然后由正弦定理求得BC ．51243A πBC ππππ-=--==-， 由正弦定理得sin sin AB BC C A =，所以2sinsin 3sin sin 4πAB A BC πC ===．7. 函数2()1log f x x =+(4)x ≥的反函数的定义域为___________.[)3,+∞根据原函数与反函数的关系，直接求原函数的值域. 函数2()1log (4)f x x x =+≥值域为[)3,+∞，反函数的定义域是原函数的值域，故其反函数的定义域为[)3,+∞. 故答案为：[)3,+∞ 8. 在7(x 二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）12根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率.7(x +展开式的通项为7721772r rr rr r r T C xC x --+==，07,r r N ≤≤∈，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 故有0,2,4,6r =满足题意， 故所求概率4182P ==. (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9. 正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________．[]0,1EF 与AC 的交点O 为它们的中点，这样AO =AO 表示出,AE AF ，计算数量积易得取值范围．连接EF 交AC 于点O ，则正方形中，由于AE CF =，得AEO CFO ≅△△，∴AO OC ==OE OF =，22()()AE AF AO OE AO OE AO OE ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以OE ⎡∈⎣，所以[]0,1AE AF ⋅∈. 故答案为：[0,1]．关键点点睛：本题考查平面向量的数量积．解题关键是EF 的中点O 也是AC 的中点，从而只要用AO 表示出,AE AF ，就易求得取值范围． 10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________．122n +- 由1211n n a S +=可得12n n a S +-=，令1n =，2n =，求得1a 和q ，确定数列的前n 项和为n S .11211n n n n a S a S ++=-=（*），在（*）式中，分别令1,2n =，得213212{2a a a a a -=--=，即21312{24a a a a =+=+，因为{}n a 是等比数列，所以公比322a q a ==，解得12a =， 所以11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===--- 故答案为：122n +-.11. 设函数()2f x x a a x=--+，若关于x 的方程1f x有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为________．1212222⎧⎫-+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 将方程的解转化为两个函数交点问题求解. 由()1f x =得2||1x a a x-+=+有两个不同的解，令2 ()||,()1 h x x a ag xx=-+=+，()||h x x a a=-+的顶点(,)a a在y x=上，而y x=与2()1g xx=+的交点坐标为(2,2),(1,1)--，联立221y x ayx=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩得2(12)20x a x+-+=，由2(12)80a∆=--=，解得1222a-=或1222+，数形结合，要使得2||1x a ax-+=+有两个不同的解，则实数a的取值范围是1222a-=或1222+或2.故答案为：122122,2⎧⎫-+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，12. 对于任意的正实数a，b，则222953a a ba b+++的取值范围为___________.2⎫⎪⎪⎣⎭法一，原式上下同时除以a，再构造斜率的几何意义，求表示打算的取值范围；法二，原式上下同时除以a后，利用换元，再变形，利用基本不等式求表达式的取值范围.法一：转化为斜率先把22 22953a a ba b+++化作2221953baa⎛⎫++ ⎪⎝⎭+⋅，故可看作23,19bAa ab⎛⎫⎛⎫⎪⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭与(5,22)B--两点的斜率其中点A在221(0,0)y x x y-=>>上，数形结合（如下图），故ABk最小值为相切时取得，设22(5)y k x+=+，联立2222(5)1y k xy x⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩由0∆=解得122132k k==（舍）当ba→+∞时，22219153ABbaka⎛⎫++ ⎪⎝⎭=→+（极限思想）故2222953a a ba b++的取值范围是2⎫⎪⎪⎣⎭.法二：令0bta=＞，则222222192292219535353baa ab ta b ta⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭==+++，再令3(0)t x x=>，则原式222122222x x x++++=≥=当且仅当1x=时取等号，再令22m x =+＞，则22119(2)522944x m m m m+==≤=-+-+-， 当且仅当3,1m x ==时取等号，故原式122=22≥⋅，又x →+∞时，222115x x+→+，22229a a b ++的取值范围是2,12⎫⎪⎪⎣⎭. 故答案为：2,12⎫⎪⎪⎣⎭关键点点睛：本题上下同时除以a 后，法一的关键是点2319b A a a b ⎛⎛⎫⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝在221(0,0)y x x y -=>>上运动，宜采用数形结合分析问题，法二的关键是通过换元，降次，变形再利用基本不等式求取值范围.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件C根据2x y =是增函数可得出.因为2x y =是增函数，所以a b >是22a b >的充要条件. 故选：C.14. 若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 无数个D. 不确定C将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数. 该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解，故选：C .15. 下列命题中正确的是（ ） A. 三点确定一个平面B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D. 若a b c 、、是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a b c 、、共面. D利用空间点、线、面位置关系直接判断.A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误；D.因为//a b ，所以a b 、确定唯一一个平面，又c 与a b 、都相交，故直线a b c 、、共面，故D 正确； 故选：D.16. 已知函数2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则以下4个命题：①()f x 是偶函数；②()f x 在[)0,+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3B取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据,x a x =为有理数或2,x a x =为无理数，解出可判断④.①因为2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，所以(1)1,(1)1f f =-=-，所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为(3)35)5f f ==＜，所以()f x 在[)0,+∞不是增函数，故错误；③因为2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，显然()f x 的值域中不含负无理数，故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即,x a x =为有理数或2,x a x =为无理数， 对于,x a x =为有理数，必有解x a =，对于2,x a x =为无理数，必有解x a=±或无解， 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M 为线段1A A 的中点．()1求直三棱柱111A B C ABC -的体积；()2求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示） ()12；()210. ()1利用体积公式代入数据求值即可；()2MBC ∠是异面直线BM 与11B C 所成的角或其补角，在MBC △中，利用余弦定理求得结果即可.解：()1因为1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，所以11111222ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯=△，因为1111A B C ABC ABC V S A A -=⋅△，所以11111422A B C ABC ABC V S A A -=⋅=⨯=△．()2因为11//BC B C ，MBC ∴∠是异面直线BM 与11B C 所成的角或其补角. 在MBC △中，1AB =,1114222AM AA =⋅=⨯=,BM ==BC ==，MC ===,由余弦定理得，222222cos 210MB BC MC MBC MB BC+-+-∠===⋅⋅，MBC ∴∠=. ∴异面直线BM 与11B C 所成的角为arccos 10.本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出一面直线的夹角是解题的关键点，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题.18. 已知函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，若()12A f =，求sin sinBC +的取值范围. （1）2ω=，,,36k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎝ （1）根据函数的最小正周期为π，可求ω，并写出函数式进而求()f x 的单调递增区间；（2）由（1）结论，()12Af =求角A ，根据三角形内角和的性质可知角B 、C 的关系，进而求B 的范围，即可求sin sin BC +的取值范围.（1）因为()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，即2T ππω== ∴2,()sin(2)6f x x πω==+，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）在ABC 中，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由（1）得，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,A π<< 所以62A ππ+=，即3A π=23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以1sin 266B B ππ⎛⎫⎛⎫<+≤<+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin sin B C +的取值范围⎝ 关键点点睛： （1）由最小正周期2||T πω=求参数，利用整体代入法求()f x 的单调递增区间； （2）应用三角形内角和性质可得内角B 、C 的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． （1）前7个月每月该食材都够用；（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．（1）由题意知6460n n S -≥恒成立，讨论16n ≤≤、7n =确定不等式是否成立即可. （2）保证全年每一个月该食材都够用有n pn S ≥恒成立，即max ()nS p n≥，可求p 的最小值． （1）当16n ≤≤时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用；当7n =时，因为()7646764676497747618160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用． 所以，前7个月每月该食材都够用（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S ≥对1,2,,12n =恒成立．当16n ≤≤时，635pn n ≥恒成立，可得635p ≥；当712n ≤≤时，26774618pn n n ≥-+-恒成立，即1037746()p n n≥-+恒成立，而当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2 综上，可得652.2p ≥．∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20. 已知椭圆1:C 2214xy +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点.（1）求椭圆1C 的焦距；（2）点,2Q 为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线2221:C x y -=在第一象限交点为(,)M M M x y ，椭圆 1C 和双曲线2C 上满足||||M x x ≥的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF ⋅的取值范围．（1）（2）112y x =±；（3）45,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求焦距. （2）由直线与椭圆关系，令1:2l y x m =+，与椭圆方程联立有1212,x x x x +，应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，结合已知QAB 面积为1，即可求m 的值. （3）由题意知(,55M 则曲线C 由双曲线、椭圆中||5x ≥的部分构成，令(),N x y 应用向量数量积的坐标表示即可得22123NF NF x y ⋅=+-，讨论N 在椭圆部分或双曲线部分，求12NF NF ⋅的取值范围.（1）由椭圆1C的方程知：3c ==，即焦距为2c =（2）设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=， 由()222481840m m m ∆=--=->得||m <212122,22+=-=-x x m x x m ，所以12||AB x x =-== 所以Q 到直线l的距离d =，由1||||12QABS d AB m =⋅==，得1m =± 所以1:12l y x =±（3）由2222441x y x y ⎧+=⎨-=⎩解得M M x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(),N x y 是曲线C上一点，又1(0)F，2,0)F，()1,NF x y =--，()23,NF x y=-，∴22123,(||5NF NF x y x ⋅=+-≥，当N 在曲线2244(||||)M x y x x +=≥上时，21213NF NF y ⋅=-，当15y =()12min45NF NF ⋅=-，当0y =时，()12max1NF NF ⋅=，所以124,15NF NF ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦； 当N 在曲线221(||||)M x y x x -=≥上时，21222NF NF y ⋅=-；当155y =时，()12min45NF NF ⋅=-，124,5NF NF ⎡⎫⋅∈-+∞⎪⎢⎣⎭；综上，124,5NF NF ⎡⎫⋅∈-+∞⎪⎢⎣⎭. 关键点点睛：（1）由椭圆方程求参数c ，进而求焦距.（2）设直线方程，由直线与椭圆相交关系联立方程求1212,x x x x +，结合弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式求参数，写出直线方程. （3）由题意知曲线C 由双曲线、椭圆中210||x ≥结合向量数量积的坐标表示构造函数，讨论N 点的位置求向量数量积的范围.21. 已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.（1）判断()214f x x x =-，[]1,4x ∈与()212f x x x =-+-，[]1,4x ∈是否是非 减函数? （2）已知函数()122xx ag x -=+在[]2,4上为非减函数，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()h x 在[]0,1上为非减函数，且满足条件：①()00h =，②()132x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，③()()11h x h x -=-，求12020h ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. （1）()214f x x x =-在[]1,4上不是非减函数，()212f x x x =-+-在[]1,4上是非减函数；（2）(],8-∞；（3）112020128h ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；（2）任取1x 、[]22,4x ∈且12x x <，由题中定义可得()()12g x g x ≤，通过作差法得出1222x x a +≤，求出122x x +的取值范围，即可得出实数a 的取值范围；（3）根据题意计算出121332h h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据非减函数的定义得知，对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()12h x =，由已知条件得出()()132h x h x =，进而可得出611729202022020h h ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.（1）()()221424f x x x x =-=--，所以，函数()1f x 在区间[)1,2上为减函数，在区间(]2,4上为增函数， 则函数()1f x 在区间[]1,4上不是非减函数， 当[]1,4x ∈时，()21,1223,24x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，所以，函数()212f x x x =-+-在区间[]1,4上为非减函数； （2）任取1x 、[]22,4x ∈且12x x <，即1224x x ≤<≤，因为函数()122xx ag x -=+在[]2,4上为非减函数， 有()()()()()()2112121121221212122222222112222202222x x x x x x x x x x x x x x x x a a g x g x a +++---⎛⎫-=-+-=-+=≤ ⎪⎝⎭， 1224x x ≤<≤，1222x x ∴<， 12220x x a +∴-≥，1222x x a +∴≤，1224x x ≤<≤，则1248x x <+<，则()12216,256x x +∈，216a ∴≤，即8a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],8-∞；（3）由已知得，()00h =，得()()1101h h =-=，从而()1111322h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2111332h h ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，121332h h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为函数()h x 为[]0,1上的非减函数，对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1233h h x h ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1122h x ≤≤，所以，()12h x =， ()132x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，()()132h x h x =，所以，261131917292020220202202022020h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 17292320203<<，则729120202h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，661172911120202202022128h h ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出1222x x a +≤，进而可求得参数a 的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出()12h x =对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解.。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十三答案
17、（1）
fmax (x)
f
()
6
2 1 1 ，此时 2x 6
2
2k
，则
x
6
k
，(k Z) ；
（2） a 2 ； 18、（1）侧面积为 48，体积为 36；（2） arctan 4 5 .
15
19、（1）g
n
n
10 49
,
n2
20n n 1090
,
1 n 10 ；（2）第 33 个月利润率最大，最大为： 330 ；
……14 分
故只需当 n 2k, k N * 时， bn bq2k1 22k1 an ，
即
2 q
2k1
b
对
k
N
*
恒成立，得
q
2 ；
……………15 分
④当 1 b 0 时， b1 a1 ，则 b2 bq a2 2 ， 下证只需 bq 2 ： 若 bq 2 ，则 q 2 ，
9 时，比值为定值，此时 M 3,0
21． 解：（1） cn (1)n ，
…………………………………………2 分
此时， (an bn )(an1 bn1) [an an (1) n][an1 an1 (1) n 1] (1) 2n 1 0
所以 bn是数列 an的“相伴数列”．
…………………………………………4 分
故只需当 n 2k 1, k N * 时， bn bq2k 22k an ，
即
2 q
2k
b
对
k
N
*
恒成立，得
q
2 ；
………………13 分
②当 0 b 1 时，
b1 a1 ， b2 bq 0 a2 ，与 a1 b1a2 b2 0 矛盾，不符合题意；
上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
（2）若每月初等量进货 （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求 的最小值．
20．已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点.
（1）求椭圆 的焦距；
（2）点 为椭圆 一点，与 平行的直线 与椭圆 交于两点A、B，若 面积为 ，求直线 的方程；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线 与平面 内的两条相交直线垂直，则直线 与平面 垂直，若直线 与平面 内的无数条平行直线垂直，则直线 与平面 不垂直，故C错误；
D.因为 ，所以 确定唯一一个平面，又 与 都相交，故直线 共面，故D正确；
故选：D.
16．B
【分析】
取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据 为有理数或 为无理数，解出可判断④.
上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1． ________.
2．半径为2的球的表面积为________.
3．抛物线 的准线方程为______________.
4．已知集合 ， ，则 =________．
21．（1） 在 上不是非减函数， 在 上是非减函数；（2） ；（3） .
【分析】
（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；
（2）任取 、 且 ，由题中定义可得 ，通过作差法得出 ，求出 的取值范围，即可得出实数 的取值范围；
（3）根据题意计算出 ，根据非减函数的定义得知，对任意的 ， ，由已知条件得出 ，进而可得出 ，即可得解.
上海市浦东新区2022届高三上学期一模数学试题(解析版)
根据抛物线定义， ，∴ .
【小问2详解】
直线 的方程为 ，
由 ， ， ，
，
，
，
，
代入（5）得： ，
（舎）或 ，∴ .
【小问3详解】
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ， ，
, ，
即 ，
，
（或者 ），
∴ ， ，
， ，方程仅有一个正实数解，
存在一个满足条件 点 .
21.已知数列 ，若存在 使得数列 是递减数列，则称数列 是“ 型数列”.
【详解】
因为实数 满足 ，
当 时，方程为 的图象为椭圆在第一象限的部分；
当 时，方程为 的图象为双曲线在第四象限的部分；
当 时，方程为 的图象为双曲线在第二象限的部分；
当 时，方程为 的图象不存在；
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为 ，
令 ，即 ，与双曲线渐近线平行，
所以 平面 ，
所以 是 与平面 所成角；
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 与平面 所成角的大小为 .
18.已知函数 ， .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 ，写出函数 的单调递增区间并用定义证明.
【答案】（1）答案见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）分 、 两种情况，利用函数奇偶性的定义判断出结果；
小问2详解】
若 ， ，不存在 使得数列 是递减数列，此时 不是“ 型数列”；
若 ， ，因为 为递增数列，对于任意 ，存在 ，
当 时， ，递增，因此不存在 ，此时 不是“ 型数列”；
若 ， ，取 ， ，递减；此时符合题意，综上所述 ， 的取值范围 .