2020-2021学年最新冀教版九年级数学上册《过三点的圆》同步测试题及答案解析-精编试题
冀教版九上数学同步测试 28.2过三点的圆(带解析)
课堂检测1.下列说法正确的是( )A.三点确定一个圆B.任意的一个三角形一定有一个外接圆C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D.任意一个圆有且只有一个内接三角形解析:不在同一条直线上的三个点确定一个圆,所以A错;任意三角形的三个顶点不在同一条直线上,所以一定有一个外接圆,所以B正确;三角形的外心是三边垂直平分线的交点,所以C错;任意一个圆有无数个内接三角形,所以D错.故选B.2.如图所示,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这4个点中的任意3个点,能画圆的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:根据题意得出:点D,A,B;点D,A,C;点D,B,C可以确定一个圆.故过这四点中的任意3个点,能画圆的个数是3.故选C.3.已知△ABC的一边长为10,另两边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根,若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖,则该圆形纸片的最小半径是.解析:解方程x2-14x+48=0,得x1=8,x2=6,即△ABC的三条边长为10,8,6.∵102=82+62,∴△ABC是直角三角形,圆形纸片将此三角形完全覆盖的最小圆为三角形的外接圆,那么圆形纸片的最小直径为直角三角形的斜边,即为10,那么半径为5.故填5.4.已知Rt△ABC的两直角边为a和b,且a,b是方程x2-3x+1=0的两根,求Rt △ABC的外接圆面积.解:∵两直角边a,b分别是一元二次方程x2-3x+1=0的两根,∴a+b=3,a·b=1,∴c2=a2+b2=(a+b)2-2a·b=7,∵圆的半径r=c=,∴Rt△ABC的外接圆的面积为πr2=π×π.课后检测1.对于三角形的外心,下列说法错误的是( )A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它是三角形外接圆的圆心C.它是三角形三条边垂直平分线的交点D.它一定在三角形的外部2.下列说法正确的是( )A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A,B的圆的圆心在一条直线上C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点D.过四点A,B,C,D的圆不存在3.如图所示,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A.点PB.点QC.点RD.点M4.A,B,C为平面上的三点,AB=2,BC=3,AC=5,则( )A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆周上B.可以画一个圆,使A,B在圆周上,C在圆内C.可以画一个圆,使A,C在圆周上,B在圆外D.可以画一个圆,使A,C在圆周上,B在圆内5.锐角三角形的外心在;直角三角形的外心在 ;钝角三角形的外心在 .6.若AB=4 cm,则过点A,B且半径为3 cm的圆有个.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则△ABC的外接圆半径为 .8.如图所示,△ABC,△ABD,△ABE都是以AB为斜边的直角三角形.求证点A,B,C,D,E在同一个圆上.9.如图所示,已知☉O是△ABC的外接圆,若AB=AC=5,BC=6,则☉O的半径为( )A.4B.3.25C.3.125D.2.2510.“不在同一直线上的三点确定一个圆”.请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2,3),B(-3,-7),C(5,11)是否可以确定一个圆.11.已知,如图(1)所示,△ABC中,BA=BC,D是平面内不与A,B,C重合的任意一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE.(1)求证△ABD≌△CBE;(2)如图(2)所示,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BDCE的形状,并证明你的结论.答案与解析1.D(解析:三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以B正确;三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,到三角形的三个顶点的距离相等,所以A,C正确;锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在斜边的中点处,钝角三角形的外心在三角形的外部,所以D错误.故选D.)2.B(解析:过一点A的圆的圆心不能为点A,所以A错误;过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,所以B正确;过不在同一条直线上的三点确定一个圆,圆心有且只有一个,所以C错误;矩形ABCD的四个顶点在一个圆上,所以D错误.故选B.)3.B(解析:作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.故选B.)4.D(解析:根据题意可得,A,B,C三点在同一条直线上,三点顺序依次为A,B,C或C,B,A,所以不可以画一个圆,使A,B,C都在圆周上,所以A错误;可以画过A,B两点的圆,此时点C在圆外,所以B错误;可以画过A,C两点的圆,此时点B在圆内,所以C错误,D正确.故选D.)5.三角形内部斜边的中点三角形外部(解析:三角形外心是三条边垂直平分线的中点,画三边垂直平分线确定交点的位置可得.)6.2(解析:过点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,线段AB的中点到两端点的距离是2 cm,所以半径为2 cm的圆有一个,半径小于2 cm的圆不存在,半径为3 cm的圆有两个.故填2.)7.6.5(解析:根据勾股定理可得斜边AB==13,又直角三角形的外心在斜边的中点,所以外接圆的半径为AB=6.5.故填6.5.)8.证明:取AB的中点为O,连接OD,OC,OE.∵△ABC,△ABD,△ABE都是以AB为斜边的直角三角形,∴OC=OD=OE=AB,即OC=OD=OE=OA=OB,∴点A,B,C,D,E在同一个圆上.9.C(解析:过A作AD⊥BC于D,连接BO,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,则AD必过圆心O,Rt△ABD中,AB=5,BD=3,∴AD=4,设☉O的半径为x,Rt△OBD中,OB=x,OD=4-x,根据勾股定理,得OB2=OD2+BD2,即x2=(4-x)2+32,解得x==3.125.故选C.)10.解:设经过A,B两点的直线解析式为y=kx+b,由A(2,3),B(-3,-7),得, --,解得,-.∴经过A,B两点的直线解析式为y=2x-1;当x=5时,y=2x-1=2×5-1=9≠11,所以点C(5,11)不在直线AB上,即A,B,C三点不在同一直线上,所以A,B,C三点可以确定一个圆.11.(1)证明:∵∠ABC=∠DBE,∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,∴∠ABD=∠CBE,在△ABD与△CBE中,∵BA=BC,∠ABD=∠CBE,BD=BE,∴△ABD≌△CBE. (2)解:四边形BDCE是菱形.证明如下:同(1)可证△ABD≌△CBE,∴CE=AD,∵点D是△ABC外接圆圆心,∴DA=DB=DC,又∵BD=BE,∴BD=BE=CE=CD,∴四边形BDCE是菱形.。
冀教版初中数学九年级上册《28.2 过三点的圆》同步练习卷
冀教新版九年级上学期《28.2 过三点的圆》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A．1 个B．2个C．3个D．4 个2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，2）D．（2，0）3．下列说法正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．三点确定一个圆C．同一条弦所对的两条弧一定是等弧D．半圆是弧4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧C．经过圆内一点有且仅有一条直径D．半圆是弧5．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确6．确定一个圆的条件是（）A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个顶点7．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块9．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（）A．3B．4C．5D．1010．如图，△ABC内接于圆O，连接OA、OB，∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A．80°B．50°C．45°D．40°11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为（）A．1B．C．D．212．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的一个实数根，则三角形的外接圆半径是（）A．4B．5C．6D．813．如图，△ABC内接于⊙O，连接BO并延长，交⊙O于点D，已知BO＝1，∠A＝60°，则BC的长为（）A．B．C．2D．314．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC边BC上的高，D为垂足．若BD＝1，AD＝3，BC＝7，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．15．三角形的外接圆的圆心为（）A．三条高的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点16．已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝8，BD⊥AC于D，若CD＝4，则BD的长为（）A．4B．5C．D．17．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．518．如图，一副直角三角板满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC，AB＝DF，∠EFD＝30°，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D 旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：①点C，M，D，N四点共圆；②连接CD，若AD＝DB，则△ADM∽△CDN；③若AD＝DB，则DN•CM＝BN•DM；④若AD＝DB，则CM+CN＝AD；⑤若DB＝2AD，AB＝6，则2≤S△DMN≤4．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．519．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC＝BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC＝BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③20．锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（）A．4组B．5组C．6组D．7组21．如图，已知（1）已知△ABC的两条中线BD、CE交于点M，A、D、M、E四点共圆，BC＝8，则AM的长为（）A．2B．C．D．322．如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A．3﹣3B．C．4﹣6D．223．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN二．填空题（共22小题）24．已知直线l：y＝x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P 的坐标为时，过P、A、B不能作出一个圆．25．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．26．要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是，另一个是，其中，确定圆的位置，确定圆的大小．27．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是．28．三点确定一个圆．（判断对错）29．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件．30．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．31．如图，平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别为（2，0）（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为．32．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE 于F，连接DF．若OE＝2，DF＝1，则△ABC的周长为．33．已知△ABC内接于半径为5厘米的⊙O，若∠A＝60°，边BC的长为厘米．34．如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．35．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝°．36．已知△ABC的边BC＝2cm，且△ABC内接于半径为2cm的⊙O，则∠A＝度．37．如图，点O为等边△ABC内一点，OA＝2，OC＝，连接BO并延长交AC于点D，且∠DOC＝30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接AF，过点D作DE ⊥AF于点E，则DE＝．38．如图，AB∥CD，∠CBE＝∠CAD＝90°．AC＝AD＝6，DE＝4，则BD长为．39．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH＝，BM＝．40．在四边形ABCD中，∠DAC＝98°，∠DBC＝82°，∠BCD＝70°，BC＝AD，则∠ACD ＝．41．已知二次函数y1＝a1（x﹣1）2﹣2012，其图象顶点为M，且与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，又知二次函数y2＝a2（x﹣1）2+1的顶点为N，若A，B，M，N四点共圆，则x1x2﹣x1﹣x2＝．42．已知△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，且AD、BE交于点H，连接CH，则∠ACH+∠BAE＝．43．已知：AB＝2，AC平分∠DAB，∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB＝120°，当∠ABD＝∠CBF时，则AC＝．44．正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，P A：PB＝5：14．则PB＝．45．如图，▱ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE＝30°，过D作DF⊥AE于F点，连接OF．则线段OF的长度为．三．解答题（共5小题）46．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．47．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是．48．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．49．[发现]如图∠ACB＝∠ADB＝90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）[思考]如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外．（如图③，过A，B，C三点作圆，圆心为O，假设点D在圆O外，设AD交圆O于点E，连接BE，则∠AEB＝∠ACB，又由∠AEB是△BDE的一个外角，得∠AEB＞∠ADB，因此∠ACB＞∠ADB，就与条件∠ACB＝∠ADB矛盾，所以点D不在圆O外）请结合图④证明点D也不在⊙O内．[结论]综上可得结论：如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆．[应用]利用上述结论解决问题：如图⑤，已知△ABC中，∠C＝90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F，（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；（2）求证：BF＝EF．50．如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，点D在AC的垂直平分线上，射线BD与BC所夹锐角为30°，连接AD．（1）求证：AB＝AD；（2）如图2，AD交BC于点E，将∠CBD沿BD翻折交CD的延长线于点F，直接写出DF 与DE的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，延长AB，CD交于点H，若∠H＝30°，HB＝b，△ABE 的面积为a，求AB的长（用含a，b的式子表示）．冀教新版九年级上学期《28.2 过三点的圆》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A．1 个B．2个C．3个D．4 个【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆解答．【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，故选：C．【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】直接根据相交弦定理得出OC2＝OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标．【解答】解：如图，连结AC，CB．依相交弦定理的推论可得：OC2＝OA•OB，即OC2＝1×3＝3，解得：OC＝或﹣（负数舍去），故C点的坐标为（0，）．故选：A．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，注意辅助线的作法．3．下列说法正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．三点确定一个圆C．同一条弦所对的两条弧一定是等弧D．半圆是弧【分析】根据等弧的定义对A、C进行判断；根据确定圆的条件对B进行判断；根据弧的定义对D进行判断．【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定是等弧，所以A选项错误；B、不共线的三点确定一个圆，所以B选项错误；C、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，所以C选项错误；D、半圆是弧，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了圆的有关概念．4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧C．经过圆内一点有且仅有一条直径D．半圆是弧【分析】利用确定圆的条件及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、能够完全重合的两条弧是等弧，故错误；C、经过圆内除圆心外的一点有且只有一条直线，故错误；D、半圆是弧，正确，故选：D．【点评】本题考查了确定圆的条件及圆的认识，解题的关键是能够了解圆的有关定义，难度不大．5．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．【解答】解：甲，∵＝，∴△DEC为等腰三角形，∴L为之中垂线，∴O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴、为此圆直径，∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．6．确定一个圆的条件是（）A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个顶点【分析】已知圆心和半径所作的圆就是唯一的．【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，故选：D．【点评】此题主要考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上的三点确定一个圆得出是解题关键．7．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；D、圆有无数个内接三角形．故选：B．【点评】本题考查了确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．9．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（）A．3B．4C．5D．10【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径．【解答】解：∵62+82＝102，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的外接圆的半径＝＝5．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．10．如图，△ABC内接于圆O，连接OA、OB，∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A．80°B．50°C．45°D．40°【分析】依据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∴∠AOB＝2∠C．又∵∠C＝40°，∴∠AOB＝2×40°＝80°．故选：A．【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为（）A．1B．C．D．2【分析】连接OC、OB、OD，根据圆周角定理求出∠BOC＝60°，得到△OCB是等边三角形，求出OC＝OB＝BC＝，根据旋转的性质得到∠COD＝90°，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OC、OB、OD，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝60°，∴△OCB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝，由旋转的性质可知，∠COD＝90°，∴CD＝＝2，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定定理是解题的关键．12．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的一个实数根，则三角形的外接圆半径是（）A．4B．5C．6D．8【分析】先解方程，根据三角形的三边关系可知x＝10：三边分别为6、8、10，是直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径；【解答】解：x2﹣12x+20＝0，（x﹣2）（x﹣10）＝0，∴x＝10或2，当x＝2时，2+6＝8，不符合题意，∴x＝10，当第三边为10时，因为62+82＝102，此三角形是直角三角形，如图1，此三角形的外接圆的直径为最大边10，则此三角形的外接圆半径为5，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、利用因式分解法解一元二次方程，明确三边垂直平分线的交点即是三角形外接圆的圆心，熟记特殊三角形的外接圆与外心：直角三角形的斜边是外接圆的直径，其斜边的中点即是外接圆的圆心．13．如图，△ABC内接于⊙O，连接BO并延长，交⊙O于点D，已知BO＝1，∠A＝60°，则BC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠A＝60°，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：连接CD，∵BO＝1，∴BD＝2，由圆周角定理得，∠D＝∠A＝60°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴BC＝BD×sin∠BDC＝，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的一般步骤是解题的关键．14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC边BC上的高，D为垂足．若BD＝1，AD＝3，BC＝7，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．【分析】过点A作直径AH，连接CH，根据勾股定理分别求出AB、AC，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作直径AH，连接CH，∵BD＝1，BC＝7，∴CD＝6．∵AD⊥BC，∴AB＝＝，AC＝＝3，∵AH为⊙O的直径，∴∠ACH＝90°，∴∠ADB＝∠ACH，由圆周角定理得，∠B＝∠H，∴△ABD∽△AHC，∴＝，即＝，解得，AH＝5，∴⊙O的半径＝，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．15．三角形的外接圆的圆心为（）A．三条高的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点【分析】根据三角形外心的性质进行判断．【解答】解：A、三角形三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；B、由于三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故B正确；C、三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故C错误；D、三角形三边中线的交点是三角形的重心，故D错误；故选：B．【点评】此题主要考查了三角形外心的性质．注意三角形重心、垂心、内心、外心的区别．16．已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝8，BD⊥AC于D，若CD＝4，则BD的长为（）A．4B．5C．D．【分析】延长BO交⊙O于H，连接AH，根据勾股定理求出AH，证明△HAB∽△CDB，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：延长BO交⊙O于H，连接AH，∵BH是⊙O的直径，∴∠HAB＝90°，∴AH＝＝6，∵∠HAB＝∠CDB＝90°，∠H＝∠C，∴△HAB∽△CDB，∴＝，即＝，解得，BD＝，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．17．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，根据旋转的性质得到∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND ＝∠AND+∠NAD＝90°，等量代换得到∠DAM＝∠AND，故①正确；②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP＝b﹣；故②正确；③根据旋转的性质得到GN＝ME，等量代换得到AB＝ME＝NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故③正确；④由旋转的性质得到AM＝AN，NF＝MF，根据全等三角形的性质得到AM＝NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM＝90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN＝AM2＝a2+b2；故④正确；⑤根据正方形的性质得到∠AMP＝90°，∠ADP＝90°，得到∠ABP+∠ADP＝180°，于是推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠DAM＝90°，∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，∴∠DAM＝∠AND，故①正确；②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴，∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，∴，∴CP＝b﹣；故②正确；③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN＝ME，∵AB＝a，ME＝a，∴AB＝ME＝NG，在△ABM与△NGF中，，∴△ABM≌△NGF；故③正确；④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴AM＝AN，∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴NF＝MF，∵△ABM≌△NGF，∴AM＝NF，∴四边形AMFN是矩形，∵∠BAM＝∠NAD，∴∠BAM+DAM＝∠NAD+∠DAN＝90°，∴∠NAM＝90°，∴四边形AMFN是正方形，∵在Rt△ABM中，a2+b2＝AM2，∴S四边形AMFN＝AM2＝a2+b2；故④正确；⑤∵四边形AMFN是正方形，∴∠AMP＝90°，∵∠ADP＝90°，∴∠AMP+∠ADP＝180°，∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．故选：D．【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．18．如图，一副直角三角板满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC，AB＝DF，∠EFD＝30°，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D 旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：①点C，M，D，N四点共圆；②连接CD，若AD＝DB，则△ADM∽△CDN；③若AD＝DB，则DN•CM＝BN•DM；④若AD＝DB，则CM+CN＝AD；⑤若DB＝2AD，AB＝6，则2≤S△DMN≤4．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】①正确，如图1中，只要证明∠MCN+∠MDN＝180°．②正确，可以证明△ADM与△DCN全等．③正确，如图3中，只要证明△ADM≌△CDN，推出AM＝CN，DM＝DN，因为AC＝BC，推出CM＝BN，即可证明．④正确，如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．只要证明四边形CHDG是正方形，△DHM≌△DGN，推出MH＝NG，推出CM+CN＝CH+MH+CG﹣NG＝2CH，又因为AD ＝CD＝CH，由此即可证明．⑤正确，如图5中，由△DHM∽△DGN，推出＝＝，设DM＝x，则DG＝2x，推出S△DMN＝•2x•x＝x2，当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝DH＝，△DMN 的面积最小值为2，当DM⊥AB时，DM的值最大，此时DM＝AD＝2，△DMN的面积的最大值为4，由此即可判断．【解答】解：①正确．理由如下：如图1中，∵∠ACB＝90°，∠EDF＝90°，∴∠MCN+∠MDN＝180°，∴点C，M，D，N四点共圆．②正确．理由如下：如图2中，连接CD．∵AC＝BC．AD＝DB．∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN．故②正确．③正确．理由如下：如图3中∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，CD⊥AB，∠A＝∠ACD＝∠DCN＝45°，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，DM＝DN，∵AC＝BC，∴CM＝BN，∴DN•CM＝BN•DM④正确．理由如下：如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴DH＝DG，∵∠DHC＝∠HCG＝∠CGD＝90°，∴四边形CHDG是矩形，∵DH＝DG，∴四边形CHDG是正方形，∴∠HDG＝∠MDN＝90°，CH＝CG，∴∠MDH＝∠GDN，在△DHM和△DGN中，，∴△DHM≌△DGN，∴MH＝NG∴CM+CN＝CH+MH+CG﹣NG＝2CH，∵AD＝CD＝CH，∴CM+CN＝AD．⑤正确．理由如下：如图5中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．∵AB＝6，BD＝2AD，∴AD＝2，BD＝4，∴AH＝DH＝，DG＝GB＝2，∵∠DHC＝∠HCG＝∠CGD＝90°，∴四边形CHDG是矩形，∴∠HDG＝∠MDN，∴∠MDH＝∠NDG，∵∠DHM＝∠DGN＝90°，∴△DHM∽△DGN，∴＝＝，设DM＝x，则DG＝2x，∴S△DMN＝•2x•x＝x2，当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝DH＝，△DMN的面积最小值为2，当DM⊥AB时，DM的值最大，此时DM＝AD＝2，△DMN的面积的最大值为4，∴2≤S△DMN≤4．故选：D．【点评】本题考查四点共圆、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC＝BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC＝BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．【解答】解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM＝NF＝BD，EN＝MF＝AC．∴四边形ENFM是平行四边形．①当AC＝BD时，则有EM＝EN，所以平行四边形ENFM是菱形．而菱形的四个顶点不一定共圆，故①不一定正确．②当AC⊥BD时，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN＝90°．所以平行四边形ENFM是矩形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故②正确．③当AC＝BD且AC⊥BD时，同理可得：四边形ENFM是正方形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故③正确．故选：C．【点评】本题考查了四点共圆、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识．在解决问题的过程中，可能会把AC、BD误认为是平行四边形ENFM的对角线，从而由AC＝BD得到该四边形是矩形这样一个错误结论，需加以注意．20．锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（）A．4组B．5组C．6组D．7组【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，完整选择．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：C．【点评】本题考查了四点共圆的判断方法．关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．21．如图，已知（1）已知△ABC的两条中线BD、CE交于点M，A、D、M、E四点共圆，BC＝8，则AM的长为（）A．2B．C．D．3【分析】延长AM交BC于F，连接ED，根据三角形中位线定理得出ED∥BC，即可求得∠DBC＝∠MDE，根据四点共圆，可得∠MDE＝∠BAF，由题意可得M是三角形的重心，则F是BC的中点，AM＝2FM，证得△ABF∽△MBF，可得＝，得出AF•FM＝BF2＝16，根据条件化成AM2＝16，即可求得结论．【解答】解：延长AM交BC于F，连接ED，∵BD、CE是△ABC的两条中线，∴ED∥BC，∴∠DBC＝∠MDE，∵A、D、M、E四点共圆，∴∠MDE＝∠BAF，∵△ABC的两条中线BD、CE交于点M，∴BF＝FC＝BC＝4，∴M为三角形的重心，∴AM＝2FM，∵∠BAF＝∠MBF，∠AFB＝∠BFM，∴△ABF∽△MBF，∴＝，∴AF•FM＝BF2＝16，（AM+AM）•AM＝16，∴AM2＝16，∴AM＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的重心，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理等，作出辅助线，构建相似三角形是解题的关键．22．如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A．3﹣3B．C．4﹣6D．2【分析】下面介绍两种解法：解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，得出∠AED＝∠C＝45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB，则，设AD＝2x，表示出AE和AC的长，求出AE与AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．解法二：先通过四点共圆同理得到：△EFD为顶角为120°的等腰三角形，所以当AP⊥BC 时，线段DE的值最小，再作辅助线，求AP的长，从而得EF的长，由等腰三角形三线合一及勾股定理得DE的值．【解答】解：解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，∴∠AEP+∠ADP＝180°，∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，在Rt△PDC中，∠C＝45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD＝45°，∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠P AD＝45°，∴∠PED＝∠P AD＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠C＝45°，∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴，设AD＝2x，则PD＝DC＝2x，AP＝2x，如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO＝OE＝OP＝x，∵∠EAP＝∠BAC﹣∠P AD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，过E作EM⊥AP于M，则EM＝x，cos30°＝，∴OM＝x•＝x，∴AM＝x+x＝x，由勾股定理得：AE＝，＝，＝（+1）x，∴＝，∴ED＝．则线段DE的最小值为；解法二：如图3，取AP的中点F，连接EF、DF，有EF＝DF＝AP，∠EFD＝120°，∴△EFD为顶角为120°的等腰三角形，∴当AP⊥BC时，线段DE的值最小，如图4，作AB的中垂线，交AP于一点O，交AB于G，连接OB，设OA＝OB＝2x，∵∠BOP＝2∠BAO＝30°，∴BP＝x，OP＝x，∴AP＝PC＝（2+）x，∵BC＝6﹣2，∴x+2x+x＝6﹣2，x＝4﹣2，∴AP＝（2+）x＝（2+）（4﹣2）＝2，∴EF＝FD＝1，如图5，过F作FH⊥ED于H，∴EH＝DH，∵∠FED＝30°，∴FH＝，∴EH＝DH＝，∴DE＝；故选：B．【点评】本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆．②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决．23．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN【分析】在NM上截取NF＝ND，连结DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠MND+∠MAD＝180°，由MN∥BC，得出∠AMN+∠ADN＝180°，可得到A，D，N，M四点共圆，再由AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，可得出MA ＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND．【解答】解：如图，在NM上截取NF＝ND，连结DF，AF∴∠NFD＝∠NDF，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADC+∠B＝180°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∴∠AMN+∠ADN＝180°，∴A，D，N，M四点共圆，∴∠MND+∠MAD＝180°，∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°，∴∠DFN＝∠DAE，∴A，F，E，D四点共圆，∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE，。
过三点的圆冀教版九年级数学(上册)-【完整版】
过三点的 圆-冀教 版九年 级数学 上册- 精品课 件ppt( 实用版)
③等边三角形外接圆的半径等于 边长的 3
3
A
在等边△ABC中，设边长为a,
O
N
两边的中垂线交于点O,则OB 为外接圆半径
B
M
∟
C
由BM 1 BC 1 a, 22
2.如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，
过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是（3个）.
●
●
● ●
想一想
三角形的三个顶点一定在同一个圆上吗？
三角形的三个顶点不在同一直线上，因此它 们在同一个圆上.
知识点二：
①经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.
C
②外接圆的圆心叫做三角形的外心.
正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述是否
正确. A E
×②O是△ADB的外心×，O不
D 是△ADC的外心；
O B
分析：
C
过三点的 圆-冀教 版九年 级数学 上册- 精品课 件ppt( 实用版)
过三点的 圆-冀教 版九年 级数学 上册- 精品课 件ppt( 实用版)
例2.如图，小明家的房前有一块矩形的空地.空地上 有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵 树都在花坛的边上.
②作线段BC的垂直平分线MN；
③以EF和MN的交点O为圆心，以 A
OA为半径作圆.
⊙O即为△ABC的外接圆.
B
.O C
试一试
分别画下面三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的 形状之间具有怎样的关系.（用尺规在课本151页练习第2题中画出）
冀教版九年级数学上册《28.2过三点的圆》同步测试题带答案
冀教版九年级数学上册《28.2过三点的圆》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（）A．(1,−1)B．(1,0)C．(2,0)D．(2,1)3．三角形的外心具有的性质是（)A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内4．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（）A．①B．②C．③D．④5．已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）A．(3,5)B．(−3,5)C．(−1,7)D．(1,−3)6．设Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（）A．5B．10C．2√7D．5或2√77．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（）A．外心B．垂心C．重心D．内心8．如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（）A．4B．5C．6D．79．已知Rt△ABC中∠A=90°，AB=6，AC=8，则△ABC外接圆的半径为（）A．3B．4C．5D．不确定10．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．(5，2)B．(2，3)C．(1，4）D．(0，0)二、填空题11．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,−1)、B(−2,5)、C(4,−6)，则A、B、C这三个点确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．12．如图，在△ABC中，BC=3cm，△BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同⌢上，若点P是BC⌢的一个动点，则△ABP面积的最大值是．时也在AB三、解答题14．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．15．如图，在△ABC中BC=16，AB=AC=10．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）（2）求（1）中所作外接圆的半径R．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．（1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为______，⊙M的半径为______；（2）△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标是______；⌢的长是______．（3）⊙M中AC17．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若△ABC的外接圆为△O，判断点D与△O的位置关系，并说明理由．参考答案1．D2．C3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．C10．A11．可以12．√3．13．8√5−814．解：如图所示．连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以OA的长度为半径，O 为圆心作圆，则⊙O即为所求15．（1）解：如图所示：∴⊙O即为所求；（2）解：如图所示：∵OA⊥BC于D，且OB=OA，BC=16，AB=10∴BD=12BC=8在Rt△ABD中∠ADB=90°，则AD=√AB2−BD2=√102−82=6在Rt△BOD中∠DOB=90°，则OB2=OD2+BD2设OB=R，则OD=R−6，即R2=(R−6)2+64，解得R=253∴（1）中所作外接圆的半径R=253．16．（1）(5,5)；√29（2）(7,0)（3）√29π217．（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：由图可知：AB=AC，△BAC=90°∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：点D在△O上，理由如下：△ABC的外接圆如图∵OD=OA∴点D在△O上．则点D与△O的位置关系是：点D在△O上．。
2020-2021学年最新冀教版九年级数学上册《圆》达标检测卷及答案解析-精编试题
第二十八章达标检测卷(120分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题为真命题的是( )A．两点确定一个圆B．度数相等的弧相等C．垂直于弦的直径平分弦D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．无法确定3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )A．70°B．60°C．50°D．30°(第3题)(第4题)(第5题)(第6题)4．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( ) A．8 B．4 C．10 D．55．(中考·兰州)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC ，BD.下列结论中不一定正确的是( )A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°6．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 27．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为( )A.π3 B.3π3 C.2π3D ．π (第7题)(第8题)(第9题)(第10题)8．如图，如果从半径为9 cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A ．6 cmB ．3 5 cmC ．8 cmD ．5 3 cm9．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( ) A．2 cm B. 3 cm C．2 3 cm D．2 5 cm10．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于( )A.412B.342C．4 D．3二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是________．12．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是________．13．如图，AD为⊙O的直径，AD＝6 cm，∠DAC＝∠ABC，则AC＝________．(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)(第16题)14．如图，在四边形ABCD中，若AB＝AC＝AD，则下列等式不一定成立的是________．①∠1＝2∠4 ②∠2＝2∠7 ③∠3＋∠4＝∠5 ④∠6＝∠1＋∠815．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．16．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________°. 17．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52 cm ，装入油后，油深CD 为16 cm ，那么油面宽度AB ＝________cm.(第17题)(第18题)(第20题)18．如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，函数y ＝kx (x<0)的图像过点P ，则k ＝________.19．已知在半径为4的⊙O 中，弦AB ＝43，点P 在⊙O 上，则∠APB ＝________. 20．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵交OB 于点D.若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．三、解答题(21、22题每题8分，23、24题每题10分，其余每题12分，共60分) 21．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上． (1)若∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)若OC ＝3，OA ＝5，求AB 的长．(第21题)22．“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．23．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP ⊥BC 于P ，AM 为⊙O 的直径．求证：∠BAM ＝∠CAP.(第23题)24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝45，cosC ＝55.(1)动手操作：利用尺规作以AC 为直径的⊙O ，并标出⊙O 与AB 的交点D ，与BC 的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)综合应用：在你所作的图中， ①求证：DE ︵＝CE ︵； ②求点D 到BC 的距离．(第24题)25．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB ＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径．(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．(第25题)26．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径长为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ，连接AP.(1)当∠B ＝30°时，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； (2)若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；(3)若tan ∠BPD ＝13，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数表达式．(第26题)答案一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D 7.B8．B 点拨：∵留下的扇形的弧长为23×2π×9＝12π(cm)．∴围成圆锥的底面圆半径r＝12π2π＝6(cm)．又∵圆锥母线长l ＝9 cm ，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝92－62＝35(cm)． 9．C10．D 点拨：∵∠BAC ＋∠EAD ＝180°，(第10题)∴可将△ABC 旋转，让AC 和AD 重合，则AB 和AE 在一条直线上，如图所示． ∵BE 为直径， ∴∠BDE ＝90°.作AF ⊥DE ，垂足为F ，AG ⊥BD ，垂足为G ，则四边形AFDG 为矩形， ∴AG ＝DF ＝12DE ＝3.∴弦BC 的弦心距等于3. 二、11.150° 12.4≤OM ≤5 13．3 2 cm 14.④ 15.8或1016．215 点拨：∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵A ，C ，D ，E 四点共圆，∴∠E ＋∠ACD ＝180°.∴∠ACD ＋∠ADC ＋∠B ＋∠E ＝360°.∵∠ACD ＋∠ADC ＝180°－35°＝145°，∴∠B ＋∠E ＝360°－145°＝215°.17．48 18.28(第19题)19．60°或120° 点拨：如图，当点P(P 1)在弦AB 所对的优弧上时，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，OB.在等腰三角形OAB 中易得AC ＝2 3.在Rt △OAC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝2＝12OA ，所以∠OAC ＝30°，所以弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝120°，所以∠AP 1B ＝60°.同理当点P(P 2)在弦AB 所对的劣弧上时，∠AP 2B ＝120°.20.32＋π12 点拨：连接OE.∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝1，∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12OE ＝1.∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°，∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°，∴S 扇形OBE ＝30π×22360＝π3.又S 扇形OCD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形OBE ＋S △OCE －S 扇形OCD ＝π3＋32－π4＝π12＋32. 三、21.解：(1)∵OD ⊥AB ，∴AD ︵＝DB ︵. ∴∠DEB ＝12∠AOD ＝26°.(2)在Rt △AOC 中，OC ＝3，OA ＝5，由勾股定理得AC ＝4.∴AB ＝2AC ＝8. 22．解：设经过A ，B 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(2，3)，B(－3，－7)，∴⎩⎨⎧2k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝－7.解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－1.∴经过A ，B 两点的直线的解析式为y ＝2x －1. 当x ＝5时，y ＝2×5－1＝9≠11， ∴点C(5，11)不在直线AB 上， 即A ，B ，C 三点不在同一条直线上．∴平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)可以确定一个圆．(第23题)23．证明：如图，连接BM.∵AP ⊥BC 于P ，∴∠CAP ＝90°－∠C. ∵AM 为⊙O 的直径， ∴∠ABM ＝90°，∴∠BAM ＝90°－∠M ，又∵∠M ＝∠C ，∴∠BAM ＝∠CAP. 24．(1)解：如图(1)所示．(2)①证明：如图(2)，连接AE. ∵AC 为直径，∴∠AEC ＝90°. 又AB ＝AC ，∴∠BAE ＝∠CAE ， ∴DE ︵＝CE ︵.(第24题)②解：如图(2)，连接CD ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. ∵AB ＝AC ＝45，cos ∠ACB ＝55， ∴EC ＝AC ·cos ∠ACB ＝4. ∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ， ∴BC ＝2CE ＝8， ∴AE ＝AC 2－CE 2＝（45）2－42＝8.∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·CD.又∠AEC ＝90°， ∴S △ABC ＝12AE ·BC ，∴12AB ·CD ＝12AE ·BC. 可得CD ＝1655，∴AD ＝AC 2－CD 2＝1255，∴BD ＝AB －AD ＝855.∵S △DBC ＝12BD ·CD ，S △DBC ＝12DF ·BC ，∴BD ·CD ＝DF ·BC ，可得DF ＝165， ∴点D 到BC 的距离为165.25．解：(1)如图，点E 是桥拱所在圆的圆心．过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E 于点C ，连接AE ， 则CF ＝20米．由垂径定理知，F 是AB 的中点，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40米．设圆的半径是r 米，由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE－CF)2，即r 2＝402＋(r －20)2.解得r ＝50. ∴桥拱的半径为50米．(第25题)(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：宽60米的轮船可通过拱桥的最大高度为图中MN 所示．连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ， MD ＝30米．∵DE ⊥MN ，∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(米)． ∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(米)， ∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(米)． ∵10米>9米，∴这艘轮船能顺利通过． 26．解：(1)∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝60°.又AD ＝AE ，∴∠AED ＝60°＝∠PEC ， ∴∠EPC ＝30°＝∠B ， ∴△BPD 为等腰三角形．又∵△AEP 与△BDP 相似，∴∠B ＝∠BPD ＝∠EAP ＝∠APE ＝30°，∴EP ＝AE ＝1，∴CE ＝12PE ＝12×1＝12.(第26题)(2)过A 作AF ⊥DE 交BC 于F ，过F 作FM ⊥AB 于M(如图所示)．易知∠FAC ＝∠BPD ，∵AF ⊥DE ，AD ＝AE ，∴∠FAC ＝∠FAM ，∵FM ⊥AB ，FC ⊥AC ，∴FM ＝FC ，∴Rt △AFM ≌Rt △AFC ，∴AC ＝AM.在Rt △ABC 中，设BC ＝m ，则AB ＝m ＋1，AC ＝CE ＋AE ＝2＋1＝3，由AC 2＋BC 2＝AB 2，解得m ＝4.∴AB ＝5.又AM ＝3，∴BM ＝2.又tanB ＝AC BC ＝34，tanB ＝MF BM ＝MF 2， ∴MF 2＝34，∴MF ＝FC ＝32， ∴tan ∠FAC ＝FC AC ＝323＝12， 即tan ∠BPD ＝12. (3)∵CE ＝x ，AE ＝1，∴AC ＝x ＋1.易知，∠FAC ＝∠FAB ＝∠BPD ，又tan ∠BPD ＝13，∴tan ∠CAF ＝13＝CF AC ＝CF x ＋1， ∴CF ＝13(x ＋1)＝FM ， ∵∠B ＝∠B ，∠FMB ＝∠ACB ＝90°，∴△BFM ∽△BAC ，∴MF AC ＝BM BC ＝13（x ＋1）x ＋1＝13， ∴BM ＝13BC ，设BM ＝a ，则BC ＝3a ，在Rt △BMF 中，由BM 2＋MF 2＝BF 2，有a 2＋19(x ＋1)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a －13（x ＋1）2， 即a 2＋19(x ＋1)2＝9a 2－2a(x ＋1)＋19(x ＋1)2，∴a ＝14(x ＋1)，∴BC ＝3a ＝34(x ＋1)． ∴AB ＝AM ＋BM ＝x ＋1＋14(x ＋1)＝54(x ＋1)， ∴y ＝AB ＋AC ＋BC ＝54(x ＋1)＋(x ＋1)＋34(x ＋1)＝3(x ＋1)，即y ＝3x ＋3，其中x ＞0.。
九年级数学上册 第28章 圆 28.2 过三点的圆作业 (新版)冀教版
28.2 过三点的圆一、选择题1．三角形的外心具有的性质是( )A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定3．如图38－K－1，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE图38－K－1 图38－K－24．如图38－K－2，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图38－K－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )图38－K－3A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块二、填空题6．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有____个．图38－K－47．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图38－K－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6.如果准外心P在BC边上，那么PC的长为________．三、解答题8．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆的直径．9．如图38－K－5，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图上标出△ABC的外接圆的圆心O.(2)△ABC的外接圆的面积是________.图38－K－51．B2．A [解析] △ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A.3．B [解析] 由图可知，只有△ACF的三个顶点不都在⊙O的圆周上，故外心不是点O 的三角形是△ACF.故选B.4．B [解析] 作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．故选B.5．A [解析] 第①块中有一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A.6．两[解析] 这样的圆能画两个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作弧交l于点O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．故答案为两．7.74或4 [解析] 在Rt△ABC中，∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB2－AC2＝102－62＝8.若PB ＝PA ，连接PA ， 设PC ＝x ，则PA ＝PB ＝8－x ， 在Rt △PAC 中， ∵PA 2＝PC 2＋AC 2， ∴(8－x)2＝x 2＋62， ∴x ＝74，即PC ＝74；若PB ＝PC ，则PC ＝4；若PA ＝PC ，由图知，在Rt △PAC 中，不存在这种情况． 故PC 的长为74或4.8．[解析] 首先作出△ABC 的外心P ，连接点B 与外心P ，利用勾股定理求半径． 解：如图，作AD⊥BC 于点D ，与AC 的垂直平分线相交于点P ，则点P 即为△ABC 的外心，连接PB.∵AB ＝AC ＝10， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2－BD 2＝8.设△ABC 外接圆的半径为r ，则AP ＝BP ＝r ，PD ＝8－r. 在Rt △BPD 中，BP 2＝BD 2＋PD 2， 即r 2＝62＋(8－r)2. 解得r ＝254.∴△ABC 的外接圆的直径为252. 9．解：(1)△ABC 的外接圆的圆心O ，如图所示．(2)∵AO＝32＋12＝10， ∴外接圆的面积是10π. 故答案为10π.。
2020-2021冀教版数学九年级上册 28.2 过三点的圆
拓展训练2020年冀教版数学九年级上册28.2 过三点的圆基础闯关全练1．如图所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，回收站要建在离三个小区都相等的某处，如果你是工程师，你将如何选址？（尺规作图，保留痕迹，不写作法）2．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在( )A．△ABC的三边高线的交点P处B．△ABC的三条角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处D．△ABC的三边中垂线的交点P处3．已知一个三角形的三边长分别为13 cm，12 cm，5cm，则此三角形的外接圆半径为___ cm. 能力提升全练1．已知一个三角形的三边长分别是6，8，10，则这个三角形的外接圆的直径是( ) A．5 B．10 C．6 D．82．当点A(1，2)，B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件是_______.三年模拟全练选择题（2019河北衡水武邑中学月考，4．★☆☆）给出下列说法：①经过三点一定可以作圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1五年中考全练一、选择题1．（2017湖南永州中考．7．★☆☆）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( )A.AB，AC边上的中线的交点B.AB，AC边上的垂直平分线的交点C.AB，AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点2．（2015河北中考，6．★☆☆）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADE二、填空题3．（2017江苏泰州中考，15，★★☆）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为____________.核心素养全练（2017宁夏中考）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为______________.28.2 过三点的圆基础闯关全练1．解析在G处建垃圾回收站．2.D三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故选D．3．答案 6.5解析∵5²+12²= 13²．∴此三角形是直角三角形，斜边长为13 cm，∵直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，∴这个三角形的外接圆的半径是6.5 cm．故答案为6.5．能力提升全练1．B．∵6²+8²=10²，∴此三角形为直角三角形，斜边长为10，∴直角三角形的外心在其斜边上，且为斜边的中点，∴这个三角形的外接圆的直径=斜边长=10．故选B．2．答案5m+2n≠9解析设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A(1，2)，B（3，-3），∴解得，∴直线AB的解析式为，∵点A(1，2)，B（3，-3），C(m，n)三点可以确定一个圆，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9．故答案为5m+2n≠9．三年模拟全练选择题C①不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故此项中的说法错误；②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故此项中的说法正确；③连接圆上任意三点构成的三角形都是圆的内接三角形，所以每一个圆都可以有无数个内接三角形，故此项中的说法错误；④三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项中的说法正确．故选C．五年中考全练一、选择题1.B本题实际上是确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，故选B．2．B外心即为三角形外接圆的圆心，∵△ACF的顶点F不在圆O上，∴圆O不是△ACF的外接圆，∴点O不是△ACF的外心，故选B．二、填空题3．答案(7，4)或(6，5)或(1，4)解析∵点A、B、P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)，∴．∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，∴，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4).故答案为(7，4)或(6，5)或(1，4).核心素养全练答案5解析如图，连接AB，BC，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．。
冀教新版九年级数学(上)《28.2 过三点的圆》同步练习卷
小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
12．（4 分）如图所示，A、B、C 分别表示三个村庄，AB＝1000 米，BC＝600 米，AC＝800
米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三
个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（ ）
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15．（12 分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 A、B、C，小明想建一个圆 形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若△ABC 中 AB＝8 米，AC＝6 米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
圆的圆心是（ ）
A．点 P
B．点 Q
C．点 R
D．点 M
6．（4 分）对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
7．（4 分）下列说法中，正确的是（ ）
16．（10 分）已知直线 l：y＝x+4 和点 A（0，4），B（﹣4，0），设点 C 为直线 l 上一点，判 断 A，B，C 是否在同一个圆上．
17．（12 分）将图中的破轮子复原，已知弧上三点 A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC 是等腰三角形，底边 BC＝16cm，腰 AB＝10cm，求圆片的半径 R．
； 15．
；
16．
； 17．
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28.2过三点的圆
1.经过一点的圆有_______个，经过两点的圆有_______ 个。
2.若平面上A、B、C三点所满足的条件是__________。
3.直角三角形的两直角边分别为3cm ，4cm 则这个三角形的外接圆半径是________。
4.下列关于外心的说法正确的是（）
A．外心是三个角的平分线的交点
B．外心是三条高的交点
C．外心是三条中线的交点
D．外心是三边的垂直平分线的交点
5.下列条件中不能确定一个圆的是（）
A．圆心和半径
B．直径
C．三角形的三个顶点
D．平面上的三个已知点
6.三角形的外心具有的性质是（）
A．到三边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形内
7.等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．无法确定
8.已知直线l ：y=x-2和点A （0，-2 ）和点B（2，0），设点P 为l 上一点，试判断过P、A、B三点能否作一个圆。
9.若等腰直角三角形的直角边长为2cm ，则它的外接圆面积为_________.
10.图27-3-1为一残破古物，请做出它的圆心
11.如图27-3-2,已知一条直线l和直线l外两定点A、B，且AB在l两旁，则经过A、B 两点且圆心在l上面的圆有（）
A．0个
B．1个
C．无数个
D．0个或1个或无数个
12.如图27-3-3，A，B，C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置。
13.经过平面上的任意四点是否一定能作图，如果能，四点应满足什么条件？
14.某校计划在校园内修建一座周长为12cm的花坛，同学们设计出证三角形、正方形和圆共三种图案，通过计算求出使花坛面积最大的图案是哪一种图形。
15.如图27-3-4，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？
16.对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖。
对于平面图形A母如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖。
例如：图27-3-5中的三角形被一个圆所覆盖，图27-3-6中的四边形被两个圆覆盖。
回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r 的最小值是________cm 。
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r 的最小值是______cm。
（3）边长为2cm，宽为1cm的距离被两个半径都为r的圆所覆盖，r 的最小值是______cm,这两个圆的圆心距是________cm.
17.边长为2的等边ABC ∆内接于O ，则圆心O 到ABC ∆一边的距离为________。
18.如果三角形三条边长分别为5，12，13 ，那么这个三角形外接圆半径的长为_____。
19.如图27-3-7，O 是ABC ∆的外接圆，BAC=30∠，BC=2 cm ，则OBC ∆的面
积是_______2cm .
20.已知等腰三角形ABC 的底边BC 的长为10cm ，顶角为120，求它的外接圆直径。
21.一阵阵“加油”、“加油”的喊声把握引向游泳池边，这里甲、乙、丙、丁四个班级的代表队正在进行班际接力比赛，我来到水花飞溅的池边，遇到了李明、赵刚、王磊等几个同学，我请他们对比赛的结果进行猜测：
李明说：“我看甲班只能取得第三名，丙班才是冠军。
” 赵刚说：“丙班只能得个第二名吧，至于第三名，我看是乙班。
”
王磊很干脆，他说：“丁班第二，甲班第一。
”比赛结束了，我又找到了这几个同学，他们发现，三个人的猜测只对一半，你能推测出比赛的结果吗？
参考答案：
1.无数，无数
2.三点不共线
3.2.5cm
4.D
5.D
6.B
7.C
8.解：当x =0 时，y=0-2=-2,∴点A 在直线l 上，同理点B 也在直线l 上，即P 、A 、B 在同一直线上，∴过P 、A 、B 三点不能作一个圆。
9.2
2cm π 10.略 11.D
12.点拨：连结AB 、AC ，作线段AB 、AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点即为供水站的位置。
13.不一定能作圆，如果能，其中以四点为顶点的四边形各边的垂直平分线应交于同一
点。
14.解：若设计为正三角形，则边长长为123=4(m),÷面积为
2134(4)43(m )2⨯⨯⨯=，若设计为正方形，则边长为123=4(m),÷，面积为2239(m )=，若设计为圆型，则半径为
126
(m)2ππ
=，面积为2263636
()(m ),439,ππππ
⋅=∴<<
∴使花坛面积最大的是圆。
15.作法：（1）在没有残缺的边上任取三点A 、B 、C ；（2）连结AC 、AB 分别作AC 、AB 的垂直平分线1l 和2l ，两条直线交于点O ；（3）以点O 为圆心，以O 点到残缺处的最短长度为半径作圆；（4）沿着做出的
O 剪下即可。
16.(1) r 的最小值应是边长为1cm 的正方形外接圆的半径之长，即2
r=
(cm)2
，如图（1），（2）r 的最小值应是边长为1cm 的等边三角形外接圆的半径之长，即3
r=
(cm)3
，如图（2），（3）min 2
r =
(cm)2
，圆心距12O O =1cm ,如图（3）。
3
3 20.解：如图，连结OA 、OB ，
AB AC
=1
AB AC,OA BC,BAO=BAC 60
2
∴=∴⊥∴∠∠=。
OA OB,OAB =∴∆为等边三角形，OA=AB=10 cm ∴∴外接圆直径为20cm..
21.李明的前半句话错，一、二、三名分别由丙、丁、乙三个班获得，甲班获得第四名。