函数单调性讲解及常见类型(整理)
高中数学中的函数单调性性质总结
高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。
在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。
在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。
一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。
具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。
二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。
通常有两种方法：导数法和图像法。
导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。
图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。
若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。
三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。
2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。
若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。
3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。
当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。
当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。
4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
高中 函数的单调性
函数的单调性知识点一：函数单调性的定义、判定及证明1.单调性的定义：当x ∈ (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x ∈ (0，+∞)，x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。
2.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤第一步：取值.即设x1、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2；第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；第四步：判断.由定义得出结论.4.判断函数单调性的常见方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.(3)图像法根据函数图像的升、降情况进行判断.【思维拓展】1.一些重要函数的单调性（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘，（0，1）↘，﹛1，+∞﹚↗ .(2) y=ax+b/x (ab>0) 的单调性：（2.单调性与奇偶性若奇函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递减（增）.知识点二函数单调区间及图像特点1.定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用来描述函数在定义域上的增减特性。
具体而言，一个函数可以是严格递增的、递增的、严格递减的或递减的。
函数的单调性具有广泛的应用，在求解极值、解方程、绘制函数图像等问题中起到重要的作用。
本文将介绍函数的单调性的概念、判定方法以及一些常见的单调函数。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减变化规律。
具体而言，一个函数在某个区间上单调递增，意味着随着自变量的增大，函数的取值也随之增大；而在单调递减的区间上，函数的取值随着自变量的增大而减小。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法导数是函数单调性判定的重要工具之一。
对于可导函数，函数在某个区间上单调递增的充要条件是导数恒大于等于零；函数在某个区间上单调递减的充要条件是导数恒小于等于零。
2. 一阶差分法对于分段连续的函数，可以通过一阶差分的正负来判断函数的单调性。
若一阶差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若一阶差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
3. 二阶导数法对于二次可导函数，函数在某个区间上的单调性可以通过二阶导数的正负来判断。
若二阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若二阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其定义域为实数集，函数的图像为一条直线。
线性函数在整个定义域上均为单调递增或单调递减。
2. 指数函数指数函数为形如 f(x) = a^x （a>0, a≠1）的函数，指数函数在定义域上分为两类：当a>1时，函数为单调递增函数；当0<a<1时，函数为单调递减函数。
3. 对数函数对数函数为形如 f(x) = loga(x) （a>0, a≠1）的函数。
当0<a<1时，对数函数为单调递增函数；当a>1时，对数函数为单调递减函数。
4. 幂函数幂函数为形如 f(x) = x^a （a为常数）的函数。
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第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f <)(x f D 是增函数.区间叫的单调增区间. D )(x f y =注意：增函数的等价式子：;0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①②③ 函数为21x x <)()(21x f x f <)(x f 增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f >)(x f D 是减函数.区间叫的单调减区间.D )(x f y =注意：(1)减函数的等价式子：；0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x (2)若函数为增函数，且.)(x f )()(,2121x f x f x x <<则题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意)(x f R I 两个不同的自变量都有则（ ）21,x x .0)()(2121>--x x x f x f A.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 )(x f )(x f C.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数)(x f )(x f变式训练：定义在上的函数对任意都有，且R )(x f 120x x <<1)()(2121<--x x x f x f 函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为)(x f y =,2)2(=f 0)(>-x x f ___.例3.证明：函数在上是增函数.x x x f +=3)(R 变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.)0()(>+=a xax x f 1=a 变式训练：已知并用上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？（2）函数的单调减区间是上吗？xx f 1)(=),0()0,(+∞-∞ 例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）. (2).|2||1|)(-++=x x x f 3||2)(2++-=x x x f （3）.|54|)(2+--=x x x f 例2.（直接法）求函数的单调区间.xxx f +-=11)(例3.（复合函数）（2017全国二）函数 的单调递增区间2()ln(28)f x x x =--是( )A. B. C. D. )2,(--∞)1,(--∞),1(+∞),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1） （2）312+-=x x y 652+-=x x y （3）22311x x y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数是实数集上的增函数，令.)(x f R )2()()(x f x f x F --=(1)证明：是上的增函数；)(x F R (2)若求证：.,0)()(21>+x F x F 221>+x x 例2定义在上的函数满足下面三个条件：),0(+∞)(x f ①对任意正数，都有；b a ,)()()(ab f b f a f =+②当时，；1>x 0)(<x f ③.1)2(-=f （1）求的值；)1(f （2）使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；)(x f ),0(+∞（3）求满足的的取值集合.2)13(>+x f x 题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.①正向应用：②逆向应用：例1.在上单调递减，那么与的大小关系是__________.()x f ()+∞,0()12+-a a f ⎪⎭⎫⎝⎛43f 变式训练：已知函数且对任意的，有),1()1()(x f x f x f -=+满足)(1,2121x x x x ≠>设则的大小关系_________..0)()(2121>--x x x f x f ),3(),2(),21(f c f b f a ==-=c b a ,,（2）利用函数的单调性解不等式例2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值)(x f ]1,1[-)1()2(x f x f -<-x范围.变式训练.①设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，)(x f ]3,3[-30≤≤x )(x f 若成立，求的取值范围.)()21(m f m f <-m ②（2015全国二）设函数成立的)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f xx x f 则使得的取值范围是（ ）x A. B. C. D. )1,31(),1(31,(+∞-∞ )31,31(-),31()31,(+∞--∞ ③（2018全国一）设函数，则满足的x 的取值范围()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，()()12f x f x +<是（ ）A ．B ．C ．D ．(]1-∞-，()0+∞，()10-，()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取1)1(42)(2+--=x a x x f ),3[+∞a 值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数2)1(2)(2+--=x a x x f )4,[-∞的取值范围.a例2.若函数在上为增函数，则实数的取值范围⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f R b 是__________.例3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.||a x y -=]4,(-∞a 第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性例1（2014全国二）偶函数的图象关于直线对称，，则)(x f y =2=x 3)3(=f ___________．=-)1(f 例2（2017全国二） 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，()f x (,0)x ∈-∞，则__________.32()2f x x x =+(2)f =例3（2012全国二）设函数的最大值为，最小值为，1sin )1()(22+++=x xx x f M m 奇偶性定 义图象特点备注奇函数★★设函数的定义域为,如果)(x f y =D 对内的任意一个,都有∈D ,且 D x x -,则这个函数叫做奇函数 ()()x f x f -=-关于原点中心对称函数是奇函)(x f 数且在处有0=x 定义,则0)0(=f 偶函数设函数的定义域为,如果对)(x f y =D 内的任意一个,都有,且D x D x ∈-,则这个函数叫做偶函数()()x f x f =-★关于轴对称y则+=______.M m 2.函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数满足，则)(x f )0(42)(≥-=x x f x （ ）=>-}0)2(|{x f x A. B.}42|{>-<x x x 或}40|{><x x x 或C. D.}22|{>-<x x x 或}42|{>-<x x x 或(2)对称变换①；)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于②；)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于③；)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称④;)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.y (3)翻折变换★★①.|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留例5（2010全国二）已知函数,若均不相等，且⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f c b a ,,则的取值范围是( )),()()(c f b f a f ==c b a ⋅⋅A. B. C D.)10,1()6,5()12,10()24,20(例6（2011全国二）已知函数的周期为2，当时，()y f x =[1,1]x ∈-2()f x x =那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）()y f x =|lg |y x =A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②.)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（(0,)+∞）A.B ．C ．D ．3y x =||1y x =+21y x =-+||2x y -=例8（2010大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围1=y a x x y +-=||2a 是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①满足图象关于直线为轴对称；R x x f ∈),()()()(x f y x a f x a f =⇔-=+a x =例9（2018全国二）已知是定义域为的奇函数，满足)(x f ),(+∞-∞，若=2，则（ ）)1()1(x f x f +=-)1(f =++++)50(...)3()2()1(f f f f A ．﹣50 B ．0 C ．2 D ．50②图象关于为轴对称；)()()(x f x b f x a f ⇔-=+2ba x +=③函数与函数的图象关于直线对称.)(x a f y +=)(x b f y -=2ab x -= 如：和的图象，关于直线为轴对称.)(x f y =)1(x f y -=21=x 例10（2015全国二）已知函数则），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -==________.a 二、真题演练1.（2014全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是)(),(x g x f R )(x f )(x g 偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数)()(x g x f )(|)(|x g x f C. 是奇函数 D. 是奇函数|)(|)(x g x f |)()(|x g x f 2.（2015全国一）已知函数，且，则⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 3)(-=a f =( ))6(a f -A.- B.- C.- D.-745434143.（2015全国一）设函数的图像关于直线对称，且)(x f y =x y -=,则（ ）1)4()2(=-+-f f =a A.-1 B.1 C.2 D.44.（2017全国一）函数的部分图像大致为（ ）xxy cos 12sin -=5.（2017全国一）已知函数，则（ ）)2ln(ln )(x x x f -+=A. B.）单调递增在（2,0)(x f ）单调递减在（2,0)(x f C. D.对称的图像关于直线1)(==x x f y ）对称的图像关于点（0,1)(x f y =6.(2017全国三)函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x=++A ．B ．C ．D ．二、课后作业1.若奇函数在上是增函数且最大值为5，那么在上是（ ）)(x f []7,3)(x f []3,7--A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是5-5-C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是5-5-2.若是偶函数，则在上（ ）32)1()(2++-=mx x m x f )(x f ()1,4--A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定m 3.已知函数若为奇函数，则________.()1,21x f x a =-+()f x a =4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的21xb ax x f ++=）（)1,1(-5221=）（f )(x f 解析式___________.第四节：函数的零点一、知识梳理★零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.0)(=x f )(x f x 函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.)()()(x g x f x F -=)(x f )(x g 零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在)(x f []b a ,0)()(<⋅b f a f )(x f 定义域上一定存在零点.[]b a ,例（2011全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43x f x e x =+-（ ）A ． B ． C ． D ．1(,0)4-1(0,)411(,4213(,242、真题演练1.（2017全国三）已知函数有唯一零点，则=（ 211()2()x x f x x x a e e --+=-++a）A ．B ．C ．D ．112-13122.(2018全国一)已知函数，，若存在⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x a x x f x g ++=)()()(x g 两个零点，则的取值范围是__________.a 三、课后作业1.关于的方程的根所在大致区间为（ ）x 015=--x x A. B. C. D.)1,0()2,1()4,3()5,4(2.已知，若）为常数（其中）（R x c b cx bx x x f ∈-++=,,735，）（102=-f 则=________.）（2f。
函数的单调性的题型分类及解析
函数的单调性知识点1、增函数定义、减函数的定义：（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ⊆A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=∆x x x 时，都有0)()(12>-=∆x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=∆x x x 时，都有0)()(12<-=∆x f x f y ，那么就称 函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．1、 根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)能否推出x 1<x 2(x 1>x 2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中y x ∆∆,的符号规律，你有什么发现没有？3、如果将增函数中的“当012>-=∆x x x 时，都有0)()(12>-=∆x f x f y ”改为当012<-=∆x x x 时，都有0)()(12<-=∆x f x f y 结论是否一样呢？4、定义的另一种表示方法如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,若0)()(2121>--x x x f x f 即0>∆∆x y ，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2121<--x x x f x f 即0<∆∆x y，则函数y=f(x)为减函数。
判断题：①已知1()f x x=因为(1)(2)f f -<，所以函数()f x 是增函数． ②若函数()f x 满足(2)(3)f f <则函数()f x 在区间[]2,3上为增函数．③若函数()f x 在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数()f x 在区间(1,3)上为增函数．④因为函数1()f x x =在区间(,0),(0,)-∞+∞上都是减函数，所以1()f x x=在(,0)(0,)-∞⋃+∞上是减函数.通过判断题，强调几点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。
(6)函数的单调性的证明以及典型题型
函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。
3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。
6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。
8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。
（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。
2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。
3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。
二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。
2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。
三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。
函数单调知识点归纳总结
函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)<=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。
2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)>=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数；如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
2. 函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数；若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。
3. 在具有一阶导数的情况下，如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0，则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty)；如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0，则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。
4. 对于具有n阶导数的函数f(x)，通过求解导数的符号变化，可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。
三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间：首先求出函数f(x)的一阶导数，并求出导数的零点，然后将定义域分成几个子区间，然后再求解导数对应的区间上的符号，得到函数的单调性。
2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间：根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间，比如函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间为单调递增函数。
四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。
在函数的单调性的基础上，可以求解函数的最值，对于单调递增函数来说，函数在定义域上的最小值为f(x1)；对于单调递减函数来说，函数在定义域上的最大值为f(x2)。
单调性函数知识点总结
单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。
如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。
2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。
3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。
4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。
如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。
二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。
当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。
2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。
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函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的
单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。
x
2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。
x
3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ）
>0成立，则必有 a -b
A 、函数 f （x ）是先增加后减小
B 、函数 f （x ）是先减小后增加
C 、f （x ）在R 上是增函数
D 、f （x ）在 R 上是减函数
4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x
（0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ）
A .b 0.
B .b 0
C .b 0
D , b 0
6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（-
,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。
题型二 抽象函数的单调性
1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2）<f （1-x ）, 求 x 的取值范围.
2 、 f （x ）是定义在（ 0 ，+ ∞）上的增函数，则不等式 f （ x ） >f （ 8 （ x — 2））的解集是
A 、（2， 16
)
B 、（ —∞， 7
） C 、（ 2 ，+ ∞） D 、（2， 16
)
题型四用图形讨论函数单调性
1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。
2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间.
3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。
4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。
题型五基本初等函数的单调性问题
1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（）
A.-1 ，3
B.0 ，3
C.-1，4
D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是
A 、a≥5
B 、a≥3
C、a≤3
D、a≤—5
3.已知 y = ax 2 +2（a -2）x +5在区间（4,+
）上是减函数，则a 的范围是（ ）
22 B. a C. a 或 a = 0
55
3.若函数 y = x 2 - 4x - 2的定义域为
0,m
，值域为
- 6,-2，则m 的取值范围是
（ ） A 、 （0,4
B 、
2,4
C 、 （0,2
D 、
（2,4）
4.函数 y =ax 2 + bx + 3在（- ,-1
上是增函数，在
- 1,+
）上是减函数，则（ ）
A 、 b
0且a 0 B 、b = 2a 0 C 、b = 2a 0
D 、 a , b 的符号不确定
x 2 + 4 x ,
x 0
5.已知函数 f (x ) =
若 f (2-a 2)
f (a ),则实数a 的取值范围是
4x - x 2, x 0
A (-
,-1) (2,+) B (-1,2) C (-2,1) D (-
,-2) (1,+)
7.已知函数 f (2x +1) = 3x + 2 ，且 f (a ) = 4 ，则 a = ______________ 8.函数 y = x 2 +ax +3(0
a 2)在［-1,1］上的最大值是 ，最小值是 .
9.函数 f (x )= 2x -x (0 x 3) 的值域为 _________________________________
x 2+6x (-2 x 0)
10.函数 y = 1 的值域为 ____________________________ .
x 2 + 2
11．已知函数 f (x ) = ax 2 - 2ax +3-b (a 0)在［1,3］上有最大值5和最小值2，则a 、b 的
值是
类型四 解答题 1.已知函数 y =ax +1 (a
0)在区间(-,1］上有意义，求实数a 的取值范围.
2.二次函数f (x )满足f (x +1)- f (x )=2x ，且f (0)=1. (1)求 f (x )的解析式；
A.a
2
5 D. a
(2)在区间-1,1上，y = f(x)的图象恒在直线y=2x+m上方，试确定实数m的取值范围.
2x,(x-1),
3.已知函数f(x)=-2,(-1x1), -2x,(x1).
4.已知函数f(x)= x2+(a+2)x+b满足f(-1) = -2；
(1)若方程f (x)=2x有唯一的解；求实数a,b的值；
(2)若函数f(x)在区间-2，2上不是单调函数，求实数a的取值范围
5.已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0) = f (2) = 3。
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f(x)在区间［2a,a+1］上不．单．调．，求实数a的取值范围；
(3)在区间［-1,1］上，y= f (x)的图象恒在y = 2x + 2m +1的图象上方，试确定实数m的取
值范围。