2021高考数学专题复习：基本函数一
2021-2022年高考数学一轮复习 专题一 函数的定义域与解析式
2021年高考数学一轮复习 专题一 函数的定义域与解析式【典型例题】例1.求下列函数的定义域：（1）y ＝ （2）（3） （4）x x x f 212log )13(log )(+-=变式训练:求下列函数的定义域：（1） （2）（3） （4）)52(log )1(log )(212-+-=x x x f例2. 已知函数的定义域为（1，3），求函数)2()1()(x f x f x F -++=的定义域.变式训练：求下列函数的定义域：（1） 已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域.（2） 已知函数的定义域为(3,4),则函数的定义域.（3） 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域.例3．求下列函数的解析式：(1) 设f (x ) 是二次函数且162)1()(2-+=++x x x f x f ，求 f (x )的解析式.(2)已知，求f (x )的解析式.变式训练：求下列函数的解析式：(1) 已知, 且f (x ) 是一次式, 求f (x ).(2)已知求f(x).例4．设f(x)=2x 3 g(x)=x2+2 则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数.求函数g[f(x)] 及f[g(x)]的解析式.变式训练：求下列函数的解析式：已知： f(x)=x2x+3 求：f() 及f(x+1) 的解析式.能力提升：(1)设函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式.(2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足，并且对任意的实数、，都有xyx-yfxyf成立，求函数f(x)的解析式.))2()1((+--=。
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
2021年高考数学专题分类汇编：函数、导数、导数及应用(含答案)
函数、导数、导数及应用一．选择题（共13小题）1．（2021•浙江）已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sin x，则图象为如图的函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）﹣B．y＝f（x）﹣g（x）﹣C．y＝f（x）g（x）D．y＝2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2D．f（x）＝3．（2021•甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（2021•乙卷）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+15．（2021•甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝17．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.68．（2021•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．9．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+10．（2021•乙卷）若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18B．10C．6D．411．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a212．（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b13．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a二．填空题（共8小题）14．（2021•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝若f（f（））＝3，则a＝．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝．16．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为．17．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．18．（2021•上海）若方程组无解，则＝．19．（2021•上海）不等式＜1的解集为．20．（2021•甲卷）曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为．21．（2021•上海）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是．三．解答题（共8小题）22．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．（1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．23．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．24．（2021•浙江）设a，b为实数，且a＞1，函数f（x）＝a x﹣bx+e2（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意b＞2e2，函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝e时，证明：对任意b＞e4，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，满足x2＞x1+．（注：e＝2.71828⋯是自然对数的底数）25．（2021•甲卷）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．26．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．27．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．28．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．29．（2021•甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2021•浙江）已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sin x，则图象为如图的函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）﹣B．y＝f（x）﹣g（x）﹣C．y＝f（x）g（x）D．y＝【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f（x）＝x2+为偶函数，g（x）＝sin x为奇函数，函数y＝f（x）+g（x）﹣＝x2+sin x为非奇非偶函数，故选项A错误；函数y＝f（x）﹣g（x）﹣＝x2﹣sin x为非奇非偶函数，故选项B错误；函数y＝f（x）g（x）＝（x2+）sin x，则y'＝2x sin x+（x2+）cos x＞0对x∈恒成立，则函数y＝f（x）g（x）在上单调递增，故选项C错误．故选：D．2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2D．f（x）＝【解答】解：由一次函数性质可知f（x）＝﹣x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f（x）＝（）x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f（x）＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f（x）＝在R上单调递增，符合题意．故选：D．3．（2021•甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝f（x），又f（﹣）＝，则f（）＝f（2﹣）＝f（﹣）＝．故选：C．4．（2021•乙卷）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+1【解答】解：因为f（x）＝＝，所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0），故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数．故选：B．5．（2021•甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，∴当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣2x2+2，∴f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣2×+2）＝．故选：D．6．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，故选：C．7．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣0.1＝＝＝≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．8．（2021•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝x﹣为y＝2x﹣2z，由图可知，当直线y＝2x﹣2z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1﹣．故选：B．9．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0＜|sin x|≤1，所以y＝|sin x|+，当且仅当，即|sin x|＝2时取等号，因为|sin x|≤1，所以等号取不到，所以y＝|sin x|+＞4，故选项B错误；对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x＝时，，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．10．（2021•乙卷）若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18B．10C．6D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6．故选：C．11．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a2【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0＜a＜b；当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则b＜a＜0；综上，ab＞a2．故选：D．12．（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【解答】解：∵a＝2ln1.01＝ln1.0201，b＝ln1.02，∴a＞b，令f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，令＝t，则1＜t＜∴x＝，∴g（t）＝2ln（）﹣t+1＝2ln（t2+3）﹣t+1﹣2ln4，∴g′（t）＝﹣1＝＝﹣＞0，∴g（t）在（1，）上单调递增，∴g（t）＞g（1）＝2ln4﹣1+1﹣2ln4＝0，∴f（x）＞0，∴a＞c，同理令h（x）＝ln（1+2x）﹣（﹣1），再令＝t，则1＜t＜∴x＝，∴φ（t）＝ln（）﹣t+1＝ln（t2+1）﹣t+1﹣ln2，∴φ′（t）＝﹣1＝＜0，∴φ（t）在（1，）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）＝ln2﹣1+1﹣ln2＝0，∴h（x）＜0，∴c＞b，∴a＞c＞b．故选：B．13．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a【解答】解：函数y＝e x是增函数，y′＝e x＞0恒成立，函数的图象如图，y＞0，即取得坐标在x轴上方，如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜e a．故选：D．二．填空题（共8小题）14．（2021•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝若f（f（））＝3，则a＝2．【解答】解：因为函数f（x）＝，所以，则f（f（））＝f（2）＝|2﹣3|+a＝3，解得a＝2．故答案为：2．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝1．【解答】解：函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，y＝x3为R上的奇函数，故y＝a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数，所以y|x＝0＝a•20﹣20＝a﹣1＝0，所以a＝1．故答案为：1．16．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．【解答】解：函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）．当0＜x时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx，此时函数f（x）在（0，]上为减函数，所以f（x）≥f（）＝﹣2×+1﹣2ln＝2ln2；当x＞时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1．∵2ln2＝ln4＞lne＝1，∴函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．故答案为：1．17．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝9．【解答】解：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥﹣1＝5，所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．故答案为：9．18．（2021•上海）若方程组无解，则＝0．【解答】解：对于方程组，有，当D≠0时，方程组的解为，根据题意，方程组无解，所以D＝0，即，故答案为：0．19．（2021•上海）不等式＜1的解集为（﹣7，2）．【解答】解：＜1⇒＜0⇒＜0，解得，﹣7＜x＜2．故答案为：（﹣7，2）．20．（2021•甲卷）曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为5x﹣y+2＝0．【解答】解：因为y＝，（﹣1，﹣3）在曲线上，所以y′＝＝，所以y′|x＝﹣1＝5，则曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为：y﹣（﹣3）＝5[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+2＝0．故答案为：5x﹣y+2＝0．21．（2021•上海）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}，∴公比q∈（﹣1，0）∪（0，1），∴a n＝0，∴（a1﹣a n）＝a1＝4，∴a2＝a1q＝4q∈（﹣4，0）∪（0，4）．故答案为：（﹣4，0）∪（0，4）．三．解答题（共8小题）22．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．（1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|＝，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|＝．画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；（2）由图像可得：f（6）＝4，g（）＝4，若f（x+a）≥g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，f（x）的图像不在g（x）的下方，由图像观察可得：a≥2﹣+4＝∴a的取值范围为[，+∞）．23．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥0，得|x+1|≥1，解得x≤﹣2或x≥0．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）；（2）f（ax）＝，f（ax）＝a⇔，设ax+a＝t≥0，∴有两个不同实数根，整理得a＝t﹣t2，t≥0，∴a＝，t≥0，当且仅当0≤a＜时，方程有2个不同实数根，又a≠0，∴a的取值范围是（0，）；（3）当x≥﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在[，+∞）上单调递减，此时需要满足﹣a≥，即a，函数f（x）在[﹣a，+∞）上递减；当x＜﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在（﹣∞，﹣2a]上递减，∵a＜0，∴﹣2a＞﹣a＞0，即当a时，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减．综上，当a∈（﹣∞，﹣]时，函数f（x）在定义域R上连续，且单调递减．24．（2021•浙江）设a，b为实数，且a＞1，函数f（x）＝a x﹣bx+e2（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意b＞2e2，函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝e时，证明：对任意b＞e4，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，满足x2＞x1+．（注：e＝2.71828⋯是自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝a x lna﹣b，①当b≤0时，由于a＞1，则a x lna＞0，故f′（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；②当b＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴此时f（x）在单调递减，在单调递增；综上，当b≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当b＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）注意到x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个不同的零点，只需即可，∴对任意b＞2e2均成立，令，则a t﹣bt+e2＜0，即e tlna﹣bt+e2＜0，即，即，∴对任意b＞2e2均成立，记，则，令g′（b）＝0，得b＝lna，①当lna＞2e2，即时，易知g（b）在（2e2，lna）单调递增，在（lna，+∞）单调递减，此时g（b）≤g（lna）＝lna﹣lna•ln1+e2lna＝lna•（e2+1）＞0，不合题意；②当lna≤2e2，即时，易知g（b）在（2e2，+∞）单调递减，此时＝2e2﹣2e2[ln（2e2）﹣ln（lna）]+e2lna，故只需2﹣2[ln2+2﹣ln（lna）]+lna≤0，即lna+2ln（lna）≤2+2ln2，则lna≤2，即a≤e2；综上，实数a的取值范围为（1，e2]；（Ⅲ）证明：当a＝e时，f（x）＝e x﹣bx+e2，f′（x）＝e x﹣b，令f′（x）＝0，解得x＝lnb＞4，易知+e2＝e2﹣3b＜e2﹣3e4＝e2（1﹣3e2）＜0，∴f（x）有两个零点，不妨设为x1，x2，且x1＜lnb＜x2，由，可得，∴要证，只需证，只需证，而，则，∴要证，只需证，只需证x2＞ln（blnb），而f（ln（blnb））＝e ln（blnb）﹣bln（blnb）+e2＝blnb﹣bln（blnb）+e2＜blnb﹣bln（4b）+e2＝，∴x2＞ln（blnb），即得证．25．（2021•甲卷）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝2a2x+a﹣＝＝，x＞0，因为a＞0，所以﹣＜0＜，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上f（x）单调递增．（2）由（1）可知，f（x）min＝f（）＝a2×（）2+a×﹣3ln+1＝3+3lna，因为y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna＞0，所以a＞，所以a的取值范围为（，+∞）．26．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．【解答】（1）解：由函数的解析式可得f'（x）＝1−lnx−1＝−lnx，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（2）证明：由blna−alnb＝a−b，得，即，由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝1，且f（e）＝0，令，，则x1，x2为f（x）＝k的两根，其中k∈（0，1）．不妨令x1∈（0，1），x2∈（1，e），则2−x1＞1，先证2＜x1+x2，即证x2＞2−x1，即证f（x2）＝f（x1）＜f（2﹣x1），令h（x）＝f（x）−f（2−x），则h′（x）＝f′（x）+f′（2−x）＝−lnx−ln（2−x）＝−ln[x（2−x）]在（0，1）单调递减，所以h′（x）＞h′（1）＝0，故函数h（x）在（0，1）单调递增，∴h（x1）＜h（1）＝0．∴f（x1）＜f（2﹣x1），∴2＜x1+x2，得证．同理，要证x1+x2＜e，（法一）即证1＜x2＜e﹣x1，根据（1）中f（x）单调性，即证f（x2）＝f（x1）＞f（e﹣x1），令φ（x）＝f（x）−f（e−x），x∈（0，1），则φ'（x）＝−ln[x（e−x）]，令φ′（x0）＝0，x∈（0，x0），φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，x∈（x0，1），φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，又0＜x＜e时，f（x）＞0，且f（e）＝0，故，φ（1）＝f（1）−f（e−1）＞0，∴φ（x）＞0恒成立，x1+x2＜e得证，（法二）f（x1）＝f（x2），x1（1﹣lnx1）＝x2（1﹣lnx2），又x1∈（0，1），故1﹣lnx1＞1，x1（1﹣lnx1）＞x1，故x1+x2＜x1（1﹣lnx1）+x2＝x2（1﹣lnx2）+x2，x2∈（1，e），令g（x）＝x（1﹣lnx）+x，g′（x）＝1﹣lnx，x∈（1，e），在（1，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）＜g（e）＝e，即x2（1﹣lnx2）+x2＜e，所以x1+x2＜e，得证，则2＜+＜e．27．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a），令t（x）＝xf（x），则t（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a），则t'（x）＝ln（a﹣x）+x•＝，因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有t'（0）＝0，即lna＝0，所以a＝1，当a＝1时，t'（x）＝，且t'（0）＝0，因为t''（x）＝，则t'（x）在（﹣∞，1）上单调递减，所以当x∈（﹣∞，0）时，t'（x）＞0，当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，所以a＝1时，x＝0是函数y＝xf（x）的一个极大值点．综上所述，a＝1；（2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x），要证，即需证明，因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0，当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0，所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0，令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），则h'（x）＝（1﹣x），所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，所以x＝0为h（x）的极小值点，所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），故，所以．28．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣2x+a，△＝4﹣12a，①当△≤0，即时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，故此时f′（x）≥0，则f（x）在R上单调递增；②当△＞0，即时，令f′（x）＝0，解得，令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x2，令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减；综上，当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）在单调递增，在单调递减．（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得x0＝1，∴切线方程为y＝（a+1）x，令x3﹣x2+ax+1＝（a+1）x，即x3﹣x2﹣x+1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，∴曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（﹣1，﹣a﹣1）．29．（2021•甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝，f′（x）＝＝＝，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）由题知f（x）＝1在（0，+∞）有两个不等实根，f（x）＝1⇔x a＝a x⇔alnx＝xlna⇔＝，令g（x）＝，g′（x）＝，g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，又g（x）＝﹣∞，g（e）＝，g（1）＝0，g（x）＝0，作出g（x）的图象，如图所示：由图象可得0＜＜，解得a＞1且a≠e，即a的取值范围是（1，e）∪（e，+∞）．。
届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析
第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。
利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。
2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。
（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。
（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。
图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。
诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。
2021-2022年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理
2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
盘点2021年高考数学一轮复习函数题型与方法题型归纳
盘点2021年高考数学一轮复习函数题型与方法题型归纳
函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义.复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断
函数题型与方法具体要求是：
1.深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系.
2.系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法.在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用.
3.通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础.
本部分的难点首先在于克服”函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导.其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合.
盘点____高考数学一轮复习函数题型与方法的所有内容就是这些，希望考生可以天天有进步。
《步步高》2021届高考数学大一轮复习(人教A版)专题训练：专题一函数图象与性质的综合应用
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
思维启迪 解析
探究提高
题型分类·深度剖析
6
7
8
9
A
练出高分
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
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解析
练出高分
A组 专项基础训练
1
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解析
(2，＋∞)
练出高分
A组 专项基础训练
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解析
练出高分
A组 专项基础训练
1
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解析
练出高分
A组 专项基础训练
1
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解析
练出高分
A组 专项基础训练
题型分类·深度剖析
高考圈题
2.高考中的函数零点问题
考点分析
求解策略
解析
解后反思
题型分类·深度剖析
高考圈题
2.高考中的函数零点问题
考点分析
求解策略
解析
解后反思
题型分类·深度剖析
届数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数I第七节函数的图象学案理含解析
第七节函数的图象［最新考纲][考情分析][核心素养］1。
在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数。
2。
会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.本节的常考点有函数图象的辨析、函数图象和函数性质的综合应用及利用图象解方程或不等式，其中函数图象的辨析仍将是2021年高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题，分值为5分。
1.逻辑推理2.数学运算3.数据分析4.数学建模‖知识梳理‖1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）；最后：描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换y＝f(x)错误!错误!y＝f（x－a）；y＝f（x)错误!错误!y＝f(x)＋b．(2)伸缩变换y＝f(x）y＝f(ωx）；y＝f(x）错误!y＝Af（x）．(3)对称变换y＝f（x）――――――→，关于x轴对称y＝错误!－f（x);y＝f(x）错误!y＝错误!f（－x)；y＝f（x)错误!y＝错误!－f(－x）．（4)翻折变换y＝f(x）错误!y＝f(|x|）；y＝f(x)错误!y＝｜f(x)｜。
►常用结论（1）函数y＝f（x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．（2)函数y＝f（x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x)＝f(a －x）,则函数y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1）将函数y＝f（x)的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y＝f（x＋1）＋1的图象．（）（2）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f（x）|与y＝f(|x|)的图象相同．(）（3）函数y＝f(x）与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(）(4)若函数y＝f（x)满足f（1＋x）＝f（1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()答案：（1)×（2）×(3）√（4）√二、走进教材2．(必修1P23T2改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）答案：C3．(必修1P24A7改编）下列图象是函数y＝错误!的图象的是()答案：C三、易错自纠4．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x)＝(）A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：选D与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f（x)的图象,∴f（x)＝e－（x＋1)＝e－x－1，故选D．5．（2019年浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y＝错误!，y＝log a 错误!（a〉0，且a≠1）的图象可能是()解析：选D可分别取a＝12和a＝2,在同一直角坐标系内画出相应图象(图略），对比可知，D正确，故选D．6．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：当f（x）>0时,函数g（x）＝log错误!f(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f（x）〉0时，x∈（2，8］．答案：(2，8]错误!｜题组突破｜1．（2019年全国卷Ⅰ）函数f（x)＝错误!在[－π，π]的图象大致为（)解析:选D∵f（x）＝错误!，x∈［－π，π]，∴f(－x)＝－sin x－xcos（－x）＋（－x）2＝－错误!＝－f(x),∴f(x)为［－π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）＝错误!＝错误!>0，因此排除B、C，故选D．2．（2020届合肥调研)函数f（x）＝ln错误!的图象大致为（)解析：选B解法一：易知f（x）定义域为{x｜x≠0｝．又因为f(－x）＝ln错误!＝ln错误!＝ln错误!＝f（x)，所以函数f（x）为偶函数，故排除A、D;又f(1)＝ln错误!<0,f（2）＝ln错误!＝ln2－错误!〉0，所以f（2)>f(1)，故排除C．故选B．解法二：因为f（x)＝ln错误!＝ln错误!,所以当x→＋∞时，f（x)→＋∞，排除A、C；当x→－∞时，1－错误!→－1，x错误!→＋∞，则f(x)→＋∞，排除D，故选B．3。
2021届高考数学(理)考点复习：函数的单调性与最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f(x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 2．（2018·北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．1y x=B ．y lnx =C ．sin y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，y lnx =，为指数函数，在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于C ，sin y x =，为正弦函数，在(0,)+∞上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，12()2x x y -==，是指数函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选B ．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，222(1)1y x x x =+=+-，其值域为[1-，)+∞，不符合题意； 对于B ，12x y +=，其值域为(0,)+∞，不符合题意；对于C ，31y x =+，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0(1)||,0x x x y x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C ．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2f x x a x =++，x R ∈在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[3-，3]- B ．[6-，4]- C ．[3-，22]- D ．[4-，3]-【答案】B【解析】2()||2f x x a x =++，22()()||2||2()f x x a x x a x f x -=-+-+=++=，()f x ∴为实数集上的偶函数，由2()||2f x x a x =++在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，知()f x 在[3，)+∞上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数22(0)y x ax x =++>的对称轴[2,3]2a x =-∈，得[6a ∈-，4]-．故选B ．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axax x f x a a e x ⎧+=≠⎨-<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．2]B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(,2]2]-∞⋃D ．2(0,)[2,)3+∞【答案】C【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得22a0x 时，21y ax =+是增函数，0a ∴>又0x <时，2(1)ax a e -是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：12a <②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得2a -或2a．0x 时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时，2(1)ax a e -是减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：2a - 综上所述，得(,2]2]a ∈-∞⋃故选C ．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 故选C ．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是( ) A ．2y x =- B ．12y x =-C ．21()2x y -=D ．12log (2)y x =-【答案】D【解析】对于A ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于B ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于C ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于D ，函数在(0,2)递增，符合题意； 故选D ．7．（2020春•郑州期末）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,1)-【答案】A【解析】函数2()2(0)f x x lnx x =->的导数为 2()2f x x x'=-， 令()0f x '<，解得01x <<． 即有单调减区间为(0,1)． 故选A ．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C ．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．02a < B ．04a <C ．4aD ．4a【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=， 若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立， 必有4a ， 故选D ．10．（2019秋•东海县期中）函数1()f x x=的单调减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-， 分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数； 综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞； 故选D ．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1y x =-的单调递减区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】当0x 时，||11y x x =-=-，此时函数为增函数， 当0x <时，||11y x x =-=--，此时函数为减函数， 即函数的单调递减区间为(,0)-∞， 故选B ．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．2||y x = B ．1y x =C ．1()2x y =D ．2y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2,02||2,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩，在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于B ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于C ，1()2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，2y x x =-，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A ．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是( ) A ．2()3f x x x =-- B ．()14x f x =+ C ．()(2)f x lg x =+ D ．()|21|f x x =-+【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意； 对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩，在1(1,)2--上为增函数，不符合题意；故选A ．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,2)-∞-和(2-．)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数213()222x f x x x +-==+++，其导数23()(2)f x x '=+， 易得在区间(,2)-∞-和(2,)-+∞上，()0f x '>， 即函数()f x 在区间(,2)-∞-和(2-．)+∞为增函数， 故选D ．15．（2019春•温州期中）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则( ) A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数， 则有210m -<，解可得12m <， 故选B ．16．（2019•湖南模拟）定义在R 的函数3()f x x m =-+与函数32()()g x f x x x kx =++-在[1-，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2，)+∞C ．[2-，2]D ．(-∞，2][2-，)+∞【答案】B【解析】根据题意，函数3()f x x m =-+，其定义域为R ，则R 上()f x 为减函数，322()()g x f x x x kx x kx m =++-=-+在[1-，1]上为减函数， 必有12kx =，解可得2k ， 即k 的取值范围为[2，)+∞； 故选B ．17．（2019秋•金台区期中）函数221()2x x y -+=的单调递增区间是( )A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【答案】C【解析】令22t x x =-+， 则1()2t y =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减， 而1()2t y =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221()2x x y -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选C ．18．（2019秋•天津期中）函数254y x x =-+( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【答案】C【解析】令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =， 由复合函数同增异减的原则，故函数254y x x =-+[4，)+∞， 故选C ．19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是( ) A ．|1|y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】A ．(0,1)x ∈时，|1|1y x x =+=+，∴该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该选项正确B ．3y x =-是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；C ．1y x=是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误； D ．24y x =-+是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误．故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）函数()2f x lnx x =-的定义域为___________；单调递减区间是___________．【答案】(0,)+∞；1(2，)+∞【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞；112()2xf x x x-'=-=， 令()0f x '<，得12x >， ∴函数的单调递减区间为1(2，)+∞．故答案为：(0,)+∞；单调递减区间为1(2，)+∞．21．（2019•西湖区校级模拟）函数42y x x=+的单调递增区间为___________，值域为___________． 【答案】(,2)-∞和(2，)+∞，(-∞，42][42-，)+∞ 【解析】24()20f x x '=->，解得2x >或2x <-函数42y x x=+的单调递增区间为(,2)-∞和(2，)+∞，单调递减区间为[2-0)，(02]，即函数在2x =-(2)42f -=-，在2x =处有极小值(2)42f = 所以函数的值域为(-∞，42][42-，)+∞．故答案为：(,2)-∞和(2)+∞，(-∞，42][42-，)+∞．22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数222,2()1,2x x x f x log x x ⎧-+⎪=⎨->⎪⎩，则(f f （4）)___________；函数()f x 的单调递减区间是___________．【答案】1，[1，2]【解析】f （4）2log 411=-=； (f f ∴（4）)f =（1）21211=-+⨯=；2x 时，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =；()f x ∴在[1，2]上单调递减； ()f x ∴的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．23．（2017•河东区一模）已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】[3,3]-【解析】由题意知，32()1f x x ax x =-+--， 则2()321f x x ax '=-+-，32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数， 2()3210f x x ax ∴'=-+-在R 上恒成立， 则△2(2)4(3)(1)0a =-⨯-⨯-，解得33a-，∴实数a 的取值范围是[3,3]-，故答案为：[3,3]．24．（2016•永康市模拟）设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，若(f f （1）)4a =，则实数a =___________，函数()f x 的单调增区间为___________． 【答案】2，(0,)+∞【解析】函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，可得f （1）2=，(f f （1）)f =（2）424a a =+=， 解得2a =；21,1()22,1x x x f x x x ⎧+=⎨+>⎩的增区间为(0,1)[1，)+∞(0,)=+∞．故答案为：2，(0,)+∞25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】(-∞，1]【解析】根据题意，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x =， 故()f x 的单调递增区间为(-∞，1]；故答案为：(-∞，1]．26．（2019秋•香坊区校级月考）函数224y x x =--+的值域是___________，单调递增区间是___________．【答案】[0，2]；[2，4]【解析】根据题意，函数224y x x =-+设24t x x =-+，必有240t x x =-+，解可得04x ， 必有04t ，则2042x x -+，则有02y ，即函数的值域为[0，2]；又由24t x x =-+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()f x 的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．27．（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】0m 或4m【解析】根据题意，2()(2)2f x x m x =-++为二次函数，其对称轴为22m x +=， 若()f x 在[1，3]上是单调函数，则有212m +或232m +， 解可得0m 或4m ，即m 的取值范围为0m 或4m ； 故答案为：0m 或4m ．28．（2018秋•驻马店期末）已知()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数，则不等式2()(2)2x xf e f --的解集是___________．【答案】[2，6]【解析】根据题意，()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数， 则22()(2)2122x x x xf e f e ---⇒--，解可得：26x ，即不等式的解集为[2，6]； 故答案为：[2，6]．29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数|1|1()()2x f x -=，则()f x 的单调递增区间是___________．【答案】(,1)-∞【解析】1|1|11()11()()2221x x x x f x x ---⎧⎪==⎨⎪<⎩；()f x ∴在(,1)-∞上单调递增；即()f x 的单调递增区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．30．（2019秋•思明区校级期中）函数()|2|f x x x =-的单调减区间为___________． 【答案】[1，2]【解析】当2x >时，2()2f x x x =-， 当2x 时，2()2f x x x =-+，这样就得到一个分段函数222,2()2,2x x x f x x x x ⎧->=⎨-+⎩．2()2f x x x =-的对称轴为：1x =，开口向上，2x >时是增函数； 2()2f x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =， 则1x <时函数是增函数，12x <<时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]．31．（2018秋•定远县期末）若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a．32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数22();[1,)x x af x x x++=∈+∞（1）若12a =，求函数()f x 的最小值．（2）求函数()f x 的单调区间． 【解析】（1）1()22f x x x=++，在区间2[)+∞上单调递增，所以()f x 在[1，)+∞上是增函数， 所以7[()](1)2min f x f ==（2）22()2,[1,)x x a af x x x x x++==++∈+∞当0a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当0a >时，()f x 在)a 上递减，在(,)a +∞递增，所以 ①1,01a a <时，()f x 在[1，)+∞上是增函数；②当1a >时，()f x 在a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数； 综上所述，当1a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当1a >时，()f x 在)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数． 33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数()1f x x x =-+ （2）求函数212log (21)y x x =-++的单调区间．【解析】（11(0)x t t +=，则21x t =-， 所以21(0)y t t t =--，因为抛物线21y t t =--开口向上，对称轴为直线12t =， 所以当12t =时，y 取得最小值为54-，无最大值，所以函数()f x 的值域为5[,)4-+∞．（2）设221t x x =-++．令2210x x -++>，解得1212x <+ 所以函数212log (21)y x x =-++的定义域为(12，12)，2(1)2t x =--+，对称轴方程为1x =，221t x x ∴=-++在(12，1)上为单调增函数，而在(1,12)+上为单调减函数，因为12log y t =为单调减函数，∴函数212log (21)y x x =-++的单调增区间为(1,12)+，单调减区间为(12，1)．34．（2018秋•合肥期末）已知函数1()22x x f x =-． （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )f x f <（1）． 【解析】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 则当0x 时，设120x x <，则2112121212121122()()22222222x x x x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x 是R 上的奇函数， ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )f x f <（1）等价为不等式2log 1x <，即02x <<．即不等式的解集为(0,2)．。
专题3.3导数与函数的极值、最值(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 导数与函数的极值、最值一、题型全归纳题型一 利用导数解决函数的极值问题【题型要点】利用导数研究函数极值问题的一般流程命题角度一 由图象判断函数的极值【题型要点】由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点： (1) 由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性，两者结合可得极值点【例1】设函数()x f 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()()x f x y '-=1的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （1）B.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （1）C.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （－2）D.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （2）【解析】由题图可知，当x ＜－2时，()x f '＞0；当－2＜x ＜1时，()x f '＜0；当1＜x ＜2时，()x f '＜0；当x ＞2时，()x f '＞0.由此可以得到函数f （x ）在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 【例2】已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )在(－∞，－4)上单调递减B ．函数f (x )在x ＝2处取得极大值C ．函数f (x )在x ＝－4处取得极值D ．函数f (x )有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当x ≤2时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)，故A 错误．当x ＝2时函数取得极大值，故B 正确．当x ＝－4时函数无极值，故C 错误．只有当x ＝2时函数取得极大值，故D 错误．故选B.命题角度二 求已知函数的极值【题型要点】求函数极值的一般步骤（1）先求函数f （x ）的定义域，再求函数f （x ）的导函数. （2）求()x f '＝0的根.（3）判断在()x f '＝0的根的左、右两侧()x f '的符号，确定极值点. （4）求出具体极值.【例3】已知函数f （x ）＝（x －2）（e x －ax ），当a ＞0时，讨论f （x ）的极值情况. 【解析】 ∵()x f '＝（e x －ax ）＋（x －2）（e x －a ）＝（x －1）（e x －2a ），∵a ＞0， 由()x f '＝0得x ＝1或x ＝ln 2a .∵当a ＝e2时，f ′（x ）＝（x －1）（e x －e ）≥0，∵f （x ）在R 上单调递增，故f （x ）无极值.∵当0＜a ＜e2时，ln 2a ＜1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：∵当a ＞e2时，ln 2a ＞1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：综上，当0＜a ＜e2时，f （x ）有极大值－a （ln 2a －2）2，极小值a －e ；当a ＝e2时，f （x ）无极值；当a ＞e2时，f （x ）有极大值a －e ，极小值－a （ln 2a －2）2.【例4】已知函数f (x )＝ln x ＋a －1x ，求函数f (x )的极小值．【解析】 f ′(x )＝1x －a －1x 2＝x －（a －1）x 2(x >0)，当a －1≤0，即a ≤1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极小值． 当a －1>0，即a >1时，由f ′(x )<0，得0<x <a －1，函数f (x )在(0，a －1)上单调递减； 由f ′(x )>0，得x >a －1，函数f (x )在(a －1，＋∞)上单调递增．f (x )极小值＝f (a －1)＝1＋ln(a －1)． 综上所述，当a ≤1时，f (x )无极小值； 当a >1时，f (x )极小值＝1＋ln(a －1)．命题角度三 已知函数的极值求参数值(范围)【题型要点】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【易错提醒】若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【例5】设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求实数a 的值； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 时，f ′(x )<0; 当x ∵(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∵(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．题型二 函数的最值问题【题型要点】求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．【例1】（2019·全国卷Ⅲ）已知函数f （x ）＝2x 3－ax 2＋b . （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）f ′（x ）＝6x 2－2ax ＝2x （3x －a ）.令f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∵（－∞，0）∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在 （－∞，0），⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 单调递减. 若a ＝0，f （x ）在（－∞，＋∞）单调递增.若a ＜0，则当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ∵（0，＋∞）时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ，（0，＋∞）单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛0,3a 单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（∵）当a ≤0时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递增，所以f （x ）在区间［0,1］的最小值为f （0）＝b ，最大值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1. （∵）当a ≥3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递减，所以f （x ）在区间［0,1］的最大值为f （0）＝b ，最小值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1. （∵）当0＜a ＜3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛3a f ＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾.若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾.综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f （x ）在［0,1］的最小值为－1，最大值为1.【例2】(2020·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．【解析】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0∵0<x <1，f ′(x )<0∵x ＞1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又⎪⎭⎫ ⎝⎛e f 1＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e，且⎪⎭⎫⎝⎛e f 1<f (e)．所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值为0，最小值为2－e.题型三 函数极值与最值的综合应用【题型要点】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例1】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .若f (x )在x ＝2处取得极小值，则a 的取值范围为_______． 【解析】 f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ，若a >12，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛2,1a 时，f ′(x )<0；当x ∵(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∵(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21. 【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【解析】：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)∵由(1)知，当－1≤x <1时，函数f (x )在[－1，0)和⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0上单调递增．因为f (－1)＝2，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f ＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.∵当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.题型四 利用导数研究生活中的优化问题【题型要点】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f （x ）.（2）求函数的导数()x f '，解方程()x f '＝0.（3）比较函数在区间端点和()x f '＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. （4）回归实际问题，结合实际问题作答.【例1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y ＝ax －3＋10（x －6）2，其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】（1）因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10（x －6）2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f （x ）＝（x －3）⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10（x －3）（x －6）2,3＜x ＜6.则()x f '＝10［（x －6）2＋2（x －3）（x －6）］＝30（x －4）（x －6）. 于是，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【例2】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本） 【解析】（1）由题意得W ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫10.8－130x 2x －2.7x －10，0＜x ≤10，⎝⎛⎭⎫108x －1 0003x 2x －2.7x －10，x ＞10，即W ＝⎩⎨⎧8.1x －130x 3－10，0＜x ≤10，98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ，x ＞10.（2）∵当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝81－x 210＝（9＋x ）（9－x ）10，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；当9＜x ≤10时，W ′＜0，则W 递减.所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.∵当x ＞10时，W ＝98－⎪⎭⎫⎝⎛+x x 7.231000≤98－21 0003x×2.7x ＝38. 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.二、高效训练突破 一、选择题1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14【解析】：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∵[－4，－3)或x ∵(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∵(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：∵函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内单调递增；∵当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； ∵函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增；∵当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) A ．∵∵ B ．∵∵ C ．∵∵∵D ．∵∵【解析】：对于∵，函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内有增有减，故∵不正确； 对于∵，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故∵正确；对于∵，当x ∵(－2，2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上单调递增，故∵正确； 对于∵，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故∵不正确．3.（2020·东莞模拟）若x ＝1是函数f （x ）＝ax ＋ln x 的极值点，则（ ） A.f （x ）有极大值－1 B.f （x ）有极小值－1 C.f （x ）有极大值0D.f （x ）有极小值0【解析】∵f （x ）＝ax ＋ln x ，x ＞0，∵f ′（x ）＝a ＋1x ，由f ′（1）＝0得a ＝－1，∵f ′（x ）＝－1＋1x ＝1－xx .由f ′（x ）＞0得0＜x ＜1，由f ′（x ）＜0得x ＞1， ∵f （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∵f （x ）极大值＝f （1）＝－1，无极小值，故选A.4.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于（ ）A.89B.109C.169D.289【解析】函数f （x ）的图象过原点，所以d ＝0.又f （－1）＝0且f （2）＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f （x ）＝x 3－x 2－2x ，所以f ′（x ）＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′（x ）＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 5.已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．2ln 2－2 C ．eD ．2－e【解析】：函数f (x )定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝1，f (x )＝2ln x －x ，令f ′(x )＝2x－1＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2. 6.已知函数f （x ）＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f （x ）在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k 的取值范围为（ ） A.［－3，＋∞） B.（－3，＋∞） C.（－∞，－3）D.（－∞，－3］【解析】由题意知f ′（x ）＝3x 2＋6x －9，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：7.用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3【解析】：设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120.设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∵(0，80)时，y ′＞0；当x ∵(80，120)时，y ′＜0. 因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.8.(2020·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∵N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A ．2折函数 B ．3折函数 C ．4折函数D ．5折函数【解析】：.f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)·(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e －2≠3×(－2)＋2＝－4. 所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．9.(2020·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝(x 2－m )e x ，若函数f (x )的图象在x ＝1处切线的斜率为3e ，则f (x )的极大值是( )A ．4e －2 B ．4e 2 C ．e －2D ．e 2【解析】：f ′(x )＝(x 2＋2x －m )e x .由题意知，f ′(1)＝(3－m )e ＝3e ，所以m ＝0，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x .当x >0或x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝－2时，f (x )取得极大值，f (－2)＝4e －2.故选A.10.函数f （x ）＝x 3－3x －1，若对于区间［－3,2］上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（ ） A.20 B.18 C.3D.0【解析】原命题等价于对于区间［－3,2］上的任意x ，都有f （x ）max －f （x ）min ≤t ， ∵f ′（x ）＝3x 2－3，∵当x ∵［－3，－1］时，f ′（x ）＞0， 当x ∵［－1,1］时，f ′（x ）＜0，当x ∵［1,2］时，f ′（x ）＞0. ∵f （x ）max ＝f （2）＝f （－1）＝1，f （x ）min ＝f （－3）＝－19. ∵f （x ）max －f （x ）min ＝20，∵t ≥20.即t 的最小值为20.故选A.二、填空题1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝ ．【解析】：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9， 经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1.若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．【解析】：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，结合题意f ′(1)＝3a ＋9＝6，解得a ＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）>0，f ′（3）>0，解得－337<a <－3.3．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝ ，f (x )的极小值为 ．【解析】：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.4.（2019·武汉模拟）若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是 ．【解析】：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.5.若函数f （x ）＝x 3－3ax 在区间（－1,2）上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .【解析】因为f ′（x ）＝3（x 2－a ），所以当a ≤0时，f ′（x ）≥0在R 上恒成立，所以f （x ）在R 上单调递增，f （x ）没有极值点，不符合题意； 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′（x ）与f （x ）的变化情况如下表所示：因为函数f （x ）在区间（－1,2）上仅有一个极值点，所以⎩⎨⎧a ＜2，－a ≤－1或⎩⎨⎧－a ＞－1，2≤a ，解得1≤a ＜4.三 解答题1.(2020·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值． 【解析】：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． 所以f (x )max ＝f (1)＝－1.所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∵(0，e]，1x ∵⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e .∵若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意；∵若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∵(0，e]，解得0<x <－1a，令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∵(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上为增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛-e a ,1上为减函数，所以f (x )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 1＝－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln .令－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln ＝－3，得⎪⎭⎫⎝⎛-a 1ln ＝－2，即a ＝－e 2.因为－e 2<－1e ，所以a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.2.(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∵R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)试讨论函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最大值．【解析】：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，所以n －24＝1，解得n ＝6.(2)f ′(x )＝n －xx2，令f ′(x )<0，得x >n ；令f ′(x )>0，得x <n .∵当n ≤1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝m －n ；∵当n >1时，函数f (x )在[1，n )上单调递增，在(n ，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (n )＝m －1－ln 3.（2019·郑州模拟）已知函数f （x ）＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值和最小值.【解析】 f ′（x ）＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x2.∵若k ＝0，则f ′（x ）＝－1x 2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒有f ′（x ）＜0，所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减.∵若k ≠0，则f ′（x ）＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.（∵）若k ＜0，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0.所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上单调递减，（∵）若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0， 所以f （x ）在1e ，e 上单调递减.综上，当k ＜1e 时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减，所以f （x ）min ＝f （e ）＝1e ＋k －1，f （x ）max ＝⎪⎭⎫⎝⎛e f 1＝e －k －1.4.已知函数f （x ）＝a ln x ＋1x （a ＞0）.（1）求函数f （x ）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在［1，e ］上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝a x －1x 2（a ＞0）.（1）由f ′（x ）＞0解得x ＞1a ，所以函数f （x ）的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ；由f ′（x ）＜0解得x ＜1a ，所以函数f （x ）的单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0.所以当x ＝1a 时，函数f （x ）有极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值. （2）不存在.理由如下：由（1）可知，当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0时，函数f （x ）单调递减；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 时，函数f （x ）单调递增.∵若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f （x ）在［1，e ］上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （1）＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件.∵若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f （x ）在⎪⎭⎫⎢⎣⎡a 1,1上为减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,1上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （x ）的极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a （1－ln a ）＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件.∵若1a ＞e ，即0＜a ＜1e时，函数f （x ）在［1，e ］上为减函数，故函数f （x ）的最小值为f （e ）＝a ＋1e ＝0，解得a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件.综上所述，这样的a 不存在.。
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2021高考数学专题复习:二次函数(1)已知函数()x f 满足()(),x a f x a f -=+则()x f y =对称轴为()()⇒-=+x f x f 22对称轴=x ()()⇒--=+-x f x f 11对称轴=x()()220f f x =⇒= ⇒=0x ()()131f f x =⇒= ⇒=1x ()()042f f x =⇒= ⇒=2x(2)已知函数()x f 满足()(),x b f x a f -=+则()x f y =对称轴为()()⇒-=+x f x f 62对称轴=x ()()⇒-=+x f x f 51对称轴=x ⇒=0x ⇒=0x ⇒=1x ⇒=1x ⇒=2x ⇒=2x(3)已知函数()x f 满足()(),x a f x f -=则()x f y =对称轴为()()⇒-=x f x f 6对称轴=x ()()⇒-=x f x f 2对称轴=x ⇒=0x ⇒=0x ⇒=1x ⇒=1x ⇒=2x ⇒=2x作函数图像:(1)322--=x x y (2) 432-+=x x y (3)x x y 32+-=(4)32+-=x y (5)x x y 22--= (6)432-+-=x x y(7)x x y 22+= (8)x x y 22--= (9)432-+-=x x y(10)x x y 42-= (11)x x y 22+= (12)432-+=x x y(13)()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=0.20.222x x x x x x y (14)()()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-=0.20.222x x x x x x y (15)()()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=0.320.3222x x x x x x y(16)()()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0.0.22x x x x x x y (17)()()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--=0.430.4322x x x x x x y (18)()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=0.20.222x x x x y1.函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,()()()1,1,2f f f -的大小关系为2.函数()x f 满足()(),31x f x f -=+在区间(]2,∞-上单调递增，设()()(),5,2,5.1f c f b f a ==-=则,,a b c 的大小顺序为3.如果二次函数()32+++=m mx x y 与x 轴有两个交点,则m 的取值范围4.已知()2244a a ax x x f --+=,有()()4,f x f x -=求值域5.已知函数()242++=ax x x f 单调递减区间为(]6,-∞-,=a6.已知函数()242++=ax x x f 在区间(]2,∞-内单调递减,求a 的取值范围7.已知函数()kx x x f +-=2在[]4,2上是单调函数，求k 的取值范围8.作图并指出函数223y x x =-++的单调递增区间9.已知函数3422+--=x x y ,则下列结论不正确的是 （ ） A.在R 内有最大值5,无最小值 B.在[]2,3-内的最大值是5,最小值是13- C.在[)2,1内有最大值3,-最小值13- D.在[)+∞,0内有最大值3,无最小值10.定义在R 上函数()x f y =在()2,∞-上增函数,函数()2+=x f y 对称轴是直线0=x ,则 （ ） A.()()31f f <- B.()()30f f > C.()()31f f =- D.()()32f f <11.函数()()2.0,f x ax bx c a =++≠对任意实数t 都有()()t f t f -=+22成立，则函数值()()()()5,2,1,1f f f f -中，最小的一个不可能是 （ ）A.()1-fB.()1fC.()2fD.()5f()()()()()()()()()[)()()()(][)()(][]()()()1121.2.3,26,411,.5 3.6 1.7,48,.8,1,0,1.910.11.f f f b c a a a a C A B ->>>>-∞-+∞=-⇒-+∞=≤--∞+∞-∞-2021高考数学复习:函数定义域一、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零(2)偶次方根的被开方数大于或等于零()⇒=n x f y 2 ()2=ny f x(3)对数函数的真数大于零()⇒=x f y a log (4)零取零次方没有意义()()⇒=0x f y1.函数4y x =-的定义域是 （ ）A.[)+∞,4B.()+∞,4C.(]4,∞-D.()4,∞- 2.函数2y x x =-的定义域为 （ ）A.(]1,∞-B.[)+∞,0C.[]1,0D.(][)+∞∞-,10,3.函数()21--=x x x f 的定义域为 （ ） A.[)()+∞⋃,22,1 B.()1,+∞ C.[)1,2 D.[)1,+∞ 4．函数的定义域为 （ ）A ．(],1-∞B ．[)0,+∞ C ．(][),01,-∞+∞ D ．[]0,15.函数()322++-=x x x f 的定义域是 （ ）A.[1,3)-B.[1,3]-C.(1,3)-D.][)∞+⋃--∞,31,(6.函数错误!未找到引用源。
的定义域为 （ ） A ．()1,1- B ．()+∞-,1 C ．()()+∞-,11,1 D ．()+∞,17.函数()256f x x x =-+-的定义域是 （ ）A.()4,+∞B.()2,3C.()(),23,-∞+∞D.()()(),22,33,-∞+∞8.函数()23212---=x x xx f 的定义域为 （ ）A.(]1,∞-B.(]2,∞-C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-1,2121,1.求下列函数定义域:(1)()12122---=x x x x f (2)()831522-+++-=x x x x f (3)()()210+++=x x x x f (4)lg 3y x =- (5)()()x x x f 34log 25.0-=(6)()x x f 6log 21-=2.函数()1log 25.0-=x y 的定义域为3.若函数m x x y -+=42的定义域为,R 求实数m 的取值范围4.若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为,R 求实数k 的取值范围5.函数()3121++-=x x f x的定义域为 （ ）A.(]0,3-B.(]1,3-C.()(]0,33,--∞-D.()(]1,33,--∞-6.函数()()241ln 1x x x f -++=的定义域为 （ ）A.[)(]2,00,2 -B.()(]2,00,1 -C.[]2,2-D.(]2,1-7.设函数()a ax x y +-=2log 22(1)若()x f 的定义域是,R 实数a 的取值范围(2)若()x f 的值域是,R 求实数a 的取值范围8.已知函数()()12lg 2++=x ax x f(1)若()x f 的定义域是,R 实数a 的取值范围(2)若()x f 的值域是,R 求实数a 的取值范围()()()()()()()()[]()()[)()[)()()()[)()()()()([])([](][][][][]()()(][)[]()21.2.3.4.5.6.7.8.111.11,,1.2223,5.32,11,00,.40,22,33,4.135,0,1446.211,2.3,4.340,.45.6.7104400 1.20,01,081C D A D B C B D A B a a a a a ⎡⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭----+∞⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎡⎤-⎣⎦-∞-⎡⎫⎪⎢⎣⎭∆<⇒-<⇒<<∆≥⇒∈-∞+∞>()()2 1.440212,021,0,.00lg 0101a a a t ax x a t x t y R a y t a a ⎧⇒>⎨∆=-<⎩>⎧=++⎧⇒=⇒=+∈+∞⇒∈≠⇒⎨⎨∆≥=⎩⎩⇒<≤⇒≤≤2021高考数学专题复习:幂函数1.初中常见幂函数图像：132012,,,,,y x y x y x y x y x y x -======结论一：幂函数在第一象限的图像： ∈m()11>α ()102<<α ()03<α结论二：幂函数()mnmn x x x f == ()mnmn xxx f 1==-()==38x x f ()==-57xx f ()==83x x f作图:()()431xx f = ()()432-=xx f ()()343x x f =()()==534xx f ()()==-535xx f ()()==-26x x f1.按照顺序指出函数115389457,,,xyxyxyxy====的图像依次是A B C D2.若不等式,7356xx>则x的取值范围为3.函数357xxy-=的图像大致为（）4.下列函数中值域为()+∞,0的有①12+-=xxy②()0.1>=xxy③41xy=④23y x-=5.函数:①12y x=,②(),1log21+=xy③,1-=xy④12xy+=在区间()1,0上单调递减的函数有x x x xy y y yO O O O6.若,log ,,323223x c x b a x==⎪⎭⎫⎝⎛=当1>x 时,,,a b c 的大小关系是 ( )A.c b a <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<7.下列各式中正确的是 （ ）A.3131521512⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.()()525232->-π C.()31325<-π D.21215465--⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛8.已知,0>c 下列不等式中一定成立的一个是 （ ）A.cc 2> B.c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛>21 C.cc ⎪⎭⎫ ⎝⎛>212 D.3232c c<⎪⎭⎫ ⎝⎛9.下列四个函数中，是奇函数且在区间()0,1-上为减函数的是 （ ）A.x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B.x xy -+=11ln C.x y 2log = D.31x y -=10.比较大小:7172745,,2e11.幂函数()43223---=x x y 有意义，则x 的取值范围为12.已知323-=a ，342-=b ，3ln =c ，则 （ ）A.c a b <<B.c b a <<C.a c b <<D.b c a <<13.下列关系中正确的是 （ ）A.313232215121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ B.323231512121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ C.323132212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ D.3132********⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛14.已知幂函数()21-=x x f ,若()(),221422++>+a a f a f 则a 的取值范围是15.已知04πθ<<，则 （ ）A.()()()sin cos cos cos cos sin θθθθθθ>> B.()()()cos sin cos sin cos cos θθθθθθ>> C.()()()cos cos sin cos sin cos θθθθθθ>> D.()()()cos sin cos cos cos sin θθθθθθ>>()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11127772222sin cos cos c cos 1.2,01,3.42,4.52,3.6.7.8.9.10165.412232101113,1.12.13.14,13410cos cos cos 1500sin cos 1.4cos sin x ACBD A B D C D ea a a a a A D f x a Ry y x θθθθθθθπθθθθθ-∞+∞>>⎧+<++⇒--<⎪⎛⎫-⇒-⎨⎪⎝⎭⎪+>⇒⎩=⇒><<⇒<<<⇒=⇒>os .A θ⎧⎪⇒⎨⎪⎩()()⎩⎨⎧⇒⇒>=减函数增函数0,.13x x y α ⎩⎨⎧⇒⇒=减函数增函数x a y 32x y = x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=212021高考数学专题复习:指数函数一.函数 叫做指数函数.()1,0,≠>+⋅=+a a c ak y dx 是指数函数,则=k ,=d ,=c=-32 ,=-22 =-12 ,=02 ,=12 ,=22 ,=32 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-321 ,=⎪⎭⎫⎝⎛-221 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-121 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛021 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛121 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛221 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛321=-23 ，=-13 ,=03 ,=213 ,=13 ,=23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-231 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-131 ,=⎪⎭⎫⎝⎛-2131 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛031 ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛2131 =⎪⎭⎫ ⎝⎛131 ,=⎪⎭⎫⎝⎛231二．指数函数xa y =的图像：1.=⋅nma a 2.=n m aa 3.()=m ab 4.=-m a = ==-xy 25.=mna 6.=-mn a7.()=nm a= ()==22x y 8.=⎪⎭⎫⎝⎛-mb a=02 ,=12 ,=22 ,=32 ,=42 ,=52 ,=62 ,=72 ,=82 ,=92 ,=102=-12 ,=-22 ,=-32 ,=-42 ,=-52 ,=-62 ,=-72 ,=-82 ,=-92 ,=-102当0>x 时()+∞∈,1y 当0<x 时()1,0∈y 0>时∈y 0<时∈y定义域： <6.58.0 ⇒比较大小6.58.0 1.01.1值域： 31=-x y过定点 ，即恒有=0a 75+=-x ay 必过点=23 ,=33 ,=43 ,=53 ,=-23 ,=-33 ,=-43 ,=-53=24 ,=34 ,=44 ,=-24 ,=-34 ,=-44 ,=-214,=-414=25 ,=35 ,=45 ,=-25 ,=-35 ,=-45 ,=215 ,=-215()()243131337295565665====⇒=---mnnm aa=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21972 =-34125=-53243=⎪⎭⎫⎝⎛-32833 =⎪⎭⎫⎝⎛-1310=⎪⎭⎫ ⎝⎛21412 ()=-06.9=-2231 ()=-25.1 =-x 312=()=⋅6332 ()=22x = =⎪⎭⎫⎝⎛x291 ==212 ,=-212,=213 ,=-213,=21e ,=-21e若2,3xy a a ==则+x y a = ,+2x y a = ,2+x y a = ,x y a -= ,75x y a -= ,12+2x ya= ,13x y a-=指出下列函数所经过象限及值域:(1)12-=x y 一，三 ,()+∞-∈,1y (2)212.0-=x y ,(3)23.0-=xy , (4)=+=-21x e y ,(5)13+=x y , (6)221-⎪⎭⎫⎝⎛=x y ,(7)==+-12x y ， , (8)131-=+x y ,(9)=+=--12.01x y ， , (10)1312-=+-x y ,练习：1.下列命题中，正确的是 （ ）A.函数,2x y =当0<x 时,1>yB.函数,2xy =当0>x 时,10<<yC.函数,21x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=当0>x 时,1>yD.函数,21xy ⎪⎭⎫⎝⎛=当0>x 时,10<<y2.已知函数()b a x f x +=2的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛3,21和()2,0 (1)求()x f 的解析式(2)画函数()x f y =的图像，求值域3.计算：(1)=5832 (2)=-2125 (3)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-521 (4)53827⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)=-3264(6)()3416421613201538128--⎛⎫⎛⎫++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=(7)()()()=⎪⎭⎫⎝⎛--+-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-----5.01342413001321083720625.0(8)==-+x x 10,25102则 ==-x x 10,25102则(9)=⋅⋅323a a a (10)=⋅⋅2332aa a a (11)()()()=⋅⎪⎭⎫⎝⎛----2133231211.0441b a ab4.函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值之和为,3则=a5.比较大小 (1)5.27.1 37.1 (2)38.0 e 8.0 (3)3.07.1 1.39.0(4)已知10<<a ,比较aa aa aa ,,的大小关系6.函数()1,0,32≠>-=-a a a y x 的图像必经过点 ()1,0,213≠>+=+a a a y x 的图像必经过点7.解不等式 (1)91322≥-x (2)12432<--x x (3)33135≤⎪⎭⎫⎝⎛-x⇒-≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=≥--222333222x y x x 为增函数8.求函数的定义域：=y =y ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒--1201231310311x x9.(1)函数()x f 对任意实数满足()()(),y x f y f x f +=⋅且(),643=f ()=0f ()=1,f()=-3f(2)函数()x f 满足:对任意的实数,,b a 都有()()()(),21,==-f b f a f b a f 则()()=+30f f10.已知函数()()1,0,≠>+=a a b a x f x的定义域和值域都是[],0,1-则a b +=11.(1)函数()312-=xx f 的值域是 ,(2){}=+=-21x e y y(3)函数()()1,23-≤-=x x f x的值域是 ,(4){}=+-=3xe y y12.若函数()()1,0,1≠>-+=a a b a x f x的图像经过第二、三、四象限，则一定有 （ ）A.0,10><<b aB.0,1>>b aC.0,10<<<b aD.0,1<>b a13.函数()bx ax f -=的图像如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是 （ ）A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b aD.0,10<<<b a14.作函数图像()()110,1,-=<<=>=x xx ey a a y a a y221135.02-⎪⎭⎫⎝⎛=-==+xxx y y yx x x y y y -+-=-=-=1121424122x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1113x y +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1122x y -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭15.函数()()1,>=a xxa x f x的图像的大致形状是 （ ）16.函数()1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-xx f 的单调增区间: 值域:17.求函数321412+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x x y 在(]1,∞-∈x 上的值域18.求函数3242+-=+x xy 在(]1,∞-∈x 上的值域19.若(),1,0,021212≠>≤-⋅+a a a a x x求4322+-=x x a a y 的值域20.已知函数4323x xy =-⋅+的值域为21.设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A. c a b << B.c b a << C. a c b << D. b c a <<[][]()()[]()()()()()()((()()()()23664114432221.221411,132131256.2.332.4.5.52431623273632122108121698.3888742.1181010251010 4.102510510.459x x x x x x x x D f x y ---=+=+⇒∈+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++--=+++---+=⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-⇒⋅=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒==()()()[][]()()()()[]()()()[]()[)()()()(][]()221713337771332622222623233733222222201416410.112.1002510043 2.51.2.3.4.1612,2.2,3.3710,.21,4.3,2.181,2aa a a aaa a baa a a aaa ba a a a a a +-----+-====⋅⋅⋅======⋅==⋅⋅⋅+=⇒=<<>>>⎛⎫--⎪⎝⎭+∞--∞+∞()(][)[]()()()[][]()()()()()()[][][][](](][](]22.2,02,.914.29.1310,2.2215111,.22,.32,.4,33312.13.15.16,1.1,011111743,,1,222243x x xxf x a b a b C D B y t y x t y y t t ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭===-⇒+=-⎛⎫⎛⎤-+∞+∞---∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦-∞∈-⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎛⎫⎛⎫⎡⎫ ⎪=-+⇒∈-∞⇒∈+∞⇒ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎪⎝⎭=-+⎩[)[]()(](][)[][)[]()[]2222213441,.2182423,,10,21,3.43011900,,3,4.112234222320,0,,.43334321,143xx xxxxt y x t y y t t t t a t y t t y t t t t y y t t y y x∈-+∞⎧=⎪=-⋅+⇒∈-∞⇒∈⇒∈-⎨=-+⎪⎩>⎧⎧=⎪⎪⎛⎤≤⇒∈⇒∈⎨⎨ ⎥+-=-+⎝⎦⎪⎩⎪⎩⎧=⎪⎡⎫∈+∞⇒∈+∞⎨⎪⎢=-+⎣⎭⎪⎩⎛⎫⎛⎫==⇒>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13324432.443b a c A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⇒>>⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2021高考数学专题复习:对数函数1.定义如果:(),0,ya x x =>数y 就叫做以a 为底的x 的对数,记作x y a log =().1,0≠>a a8log 38223=⇒= ⇒=24335 ⇒=6443⇒=7721⇒=-64126⇒=-33321 ⇒=-10001103 ⇒=-ee 11 常用对数:10log lg x x = 自然对数:log ln ex x = 2.71828e ≈ ln e = 2ln e =(1)2log 512= (2)3log 81= (3)4log 256= (4)5log 125= (5)71log 343=(6)lg100= (7)lg0.001= (8)lg 0.1= (7)1lne= (8)= =81log 2,=41log 2 ,=21log 2 ,=1log 2 ,=2log 2 ,=4log 2 ,=8log 2 ,=81log 21,=41log 21 ,=21log 21 ,=1log 21 ,=2log 21 ,=4log 21 ,=8log 212．图像与性质:3对数运算:1.N M MN a a a log log log +=2.=NM a log N M a a log log - 3.=na M log M n a logz c y b x a lg ,lg ,lg ====xyz lg =632lg z y x =⋅53lg zyx4.⇒=b m n b a na m log log =243log 81 =25log 125 =161log 64当1>x 时∈y lg 2.7 010<<x 时∈y ln 0.2 0 当1>x 时∈y 0.3log 2.7 010<<x 时∈y 0.3log 0.5 0定义域: ()12lg -=x y 定义域: ()x x y 6lg 2+-=定义域:5.换底公式:⇒=aNN b b a log log log应用（1）已知33log 2,log 5,a b ==用,a b 表示=5log 2 ，=100log 125应用（2）,lg lg log a N N a =⇒=N a N a log lg lg 1)lg 35lg 7= 2)lg125lg5=3)=⋅⋅⋅256log 6log 5log 25554 4)=⋅⋅⋅2021log 5log 4log 202043应用（3）⇒==a a b b b b b a log 1log log log =n m log 1 ,=10log 13 ,=5log 12=-5log 15log 120100 =+10log 110log 1425 =-=+m mm ,3log 1log 139比较大小:3log 5 3log 4,2.0log 5.0 2.0log 6.0, 5lg 5ln - 5lg 5ln ⋅1.=+nm a 2.=-nm a3.=-ma4.==⎪⎭⎫ ⎝⎛-nm a 18133481log 3==,=64log 44 ,=100lg 106.=Ma a log =3ln e ,=-27log 33=-31log 22 ,32log 73-= ,31log 213+⎛⎫= ⎪⎝⎭=-10log 33 ,22log 312-⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)=++++8179log 75log 53log 31log 3333 (2)=++++10099lg 43lg 32lg 21lg()lg 50lg 50lg 21lg 501lg 2lg 501lg1001==--=-+=-=-(4)2lg 2lg 2lg5--⋅=1.已知33log 2,log 5,a b ==用,a b 表示： (1)()b +=⨯=153log 15log 33 (2)54log 3= (3)=3320log (4)=30log 3 (5)=45log 6 (6)=50log 82.已知1414log 7,log 5,a b ==用,a b 表示 (1)=35log 14 (2)=57log 14 (3)=49log 14(4)=175log 14 (5)=7log 5 (6)=49log 125(7)=2log 14 (8)=28log 35 (9)=125log 23.计算：(1)=+5lg 2lg ,1lg 200lg 5-= ,31lg 43lg 25-=2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+= , 2lg 5lg 2lg5lg 20+⋅+=(2)=⋅--+1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg(3)=⎪⎭⎫⎝⎛++3log 9344127log 9log , =-4log 233(4)=⋅--+2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132(5)=-++9log 6log 8lg 325lg 242(6)713log 318lg 642lg 57lg 0.001327-⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭(7)=-++⋅-⎪⎭⎫⎝⎛++002.0lg 6lg 43lg 431lg 001.0lg 12(8)已知函数()()(),0.log 0.24⎩⎨⎧>≤=-x x x x f x 则()()10f f -= ,()32f =()()7f f -=4.(1)函数()213log +-=x y a 的图像必过定点(2)函数()n m x y a ++=2log 的图像必过定点(),1,2则=m ，=n求取值范围，比较大小(1)2log 36∈ (2)3log 100∈ (3)4log 99∈ (4)51log 120∈ 2log 32= 3log 81= 4log 64= 51log 25= 2log 64= 3log 243= 4log 256= 51log 125=(5)71log 100∈ (6)1lg 3∈ (7)lg 2020∈ (8)ln 25∈(9)0.3log 4∈ (10)31log 7∈ (11)61log 2019∈ (12)1ln 3∈(13)4log 3∈ (14)3log 2∈ (15)5log 2∈ (16)ln 2∈4log 4= 3log 3= 5log 1= ln e =4log 2= 3log = 5log = ln =(17)1lg 3∈ (18)31log 2∈ (19)51log 3∈ (20)1ln 2∈(21)3log 28 7log 240 (22)1lg 789 51log 130(23)lg 2020 ln18(24)lg 3 ln 2 (25)lg 4 5log 2 (26)1ln 20.3log 45.比较大小：(方法一：单调性. 方法二：传递性. 方法三：换元构造)(1)3ln ,2ln ==b a (2)5log ,4log 3.03.0==b a (3)28log ,27log ,2log ,4log 3.053====d c b a π(4)4log ,3.0log 3.04==b a (5)215,2log ,ln -===e c b a π(6)3.0213121,3log ,2log ⎪⎭⎫ ⎝⎛===c b a (7)()2ln 2,2ln ln ,2ln ,2ln 2====d c b a(8)x d x c x b x a e x ln ,ln ,ln 2,3ln ,1,13====⎪⎭⎫⎝⎛∈ (9)55ln ,33ln ,22ln ===c b a (10)20072005lg75lg 53lg 31lg ++++ 901log 3(11)z c y b x a z y x 5,3,2,1log log log 532===-<== (12)31log 5.0 2.0log 3.0 (13)2ln 2 2ln (14)23ln 223ln(15).3lg 3ln ,3lg 3ln ,3lg 3ln ⋅=-=+=c b a(16)zyx zyx+>==,01243 2021lg6.若函数()()1,0,log ≠>+=a a b x y a 的图像过两点()0,1-和(),1,0则 （ ）A.2,2a b ==B.2a b == C.2,1a b == D.a b ==7.设,1>a 函数x y a log =在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之差为,21则a =8.设,lg ,lg ,lg 2e c e b e a ===则有 （ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>9.四个数,6log,6log ,6log ,6lg 22219====d c b a 由大到小排序:10.()23log 233,x -=则x = ，若()lg lg 0,x =则x =11.设()()()⎩⎨⎧>≤=0.ln 0.x x x e x g x ,则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21g g12.解不等式：（1）()32log 3>+x （2）()11log 21>-x（3）()04log 22>-x（4）()041log 25.0≤-x13.已知153log >a ,则a 的取值范围是14.已知==+==m ba b m a m ,311,log ,log 16415.设1125,2,abm a b==+=则=m （ ） A.10 B.10 C.20 D.100()log ,a f x x =则有()=⋅n m f =⎪⎭⎫⎝⎛n m f ()=nm f 16.定义在()+∞,0函数()x f 满足()()(),y x f y f x f ⋅=+且()416=f ()=64,f =⎪⎭⎫ ⎝⎛41,f 解不等式()322<-x x f17.定义在R 上的函数()12-=-mx x f 为偶函数()()()m f c f b f a 2,5log ,3log ,25.0===,则c b a ,,的大小关系为18.函数()()0,2ln ≠+⎪⎭⎫⎝⎛+-=a x a x a x f 关于点 对称19.函数()()1,0,23412ln 2≠>++-+-=a a x x x x f 关于直线 对称20.设01,a <<函数()(),22log 2--=xx a a a x f 则使()0<x f 的x 的取值范围是 （ ）A.()0,∞-B.()+∞,0C.()3log ,a ∞-D.()+∞,3log a21.(1)()()23log 25.0+-=x x x f 的单调增区间为(2)()()x x x f 3ln 2--=的单调增区间为(3)()()a ax x x f 3log 25.0+-=在()+∞,2单调递减,求a 的取值范围(4)()()a ax x x f 3log 25.0+-=在[)+∞,2单调递减,求a 的取值范围22.作函数图像:()()x x f lg 1= ()()x x f 5.0log 2= ()()1lg 3-=x x f()()x x f lg 5= ()()x x f 5.0log 6= ()()()x f x f x x f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=1log 7()()1log 831-=x x f ()()1log 93.0+=x x f ()()x x f lg 10=23.已知(),log x x f a =其中01a <<,下列不等式成立的是 （ ）A.()⎪⎭⎫ ⎝⎛>>⎪⎭⎫ ⎝⎛31241f f f B.()⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛>41312f f f C.()23141f f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛>>⎪⎭⎫ ⎝⎛41231f f f24.若函数()()()()122log .0,log .0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩若()(),a f a f ->实数a 的取值范围是 （ ）A.()()1,00,1 -B.()()+∞-∞-,11,C.()()+∞-,10,1D.()()1,01, -∞-()()()()118,4,2,1,,.24f f f f f f ⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25.(2020青岛模拟7)已知().4771.03lg ,301.02lg ≈≈解方程≈=⎪⎭⎫⎝⎛⋅x x,1500542500 （ ）A.3.2B.5.3C.6.5D.8.826.从2020年开始，每一年山东人均收入比上年增加008,至少要经过 年，平均收入才能翻两番.().48.03lg ,3.02lg ==27.已知()010,kt e θθθθ-=+-⋅当0112,52,2t θθ===时32,θ=则6t =时θ=28.（2020全国Ⅲ卷文数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：()()0.2353=,1t I t K e--+其中K为最大确诊病例数．当()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，（ln19≈3），则t 约为 （ ） A.60 B. 63 C. 66 D. 6929.若,18lg ,12lg b a ==则=24lg （ ） A.32b a - B.32a b - C.35b a - D.35ab -[]()()()()()()[]()()()()()()()()()[]()()()()()()()()[]()()[]()()()()()11 1.22.23.314225.126.321.2.32.42.5.26.371.28.39.22311,3,3,1,2.243593,.6414253.136.277.5785,,.22241,2.323, 1.51.2.3210.4.51b a b a ba b b a a baa b a b a a b a b a b a aa b bam n a b a b c a b d a b a +-+++++++-+--+---⎛⎫⎪⎝⎭=-=<>>>>>>>>>>1.2c b >>[]()()()()()()()()32355601.7ln 20,1.8ln 30,ln 1,0.ln 2ln 3989ln8ln 93ln 22ln 3.23ln 5ln 22532ln 25ln 322ln 55ln 2..521110lg4log .20079011111log log log 2,,4925c a bd a b c x x a c d b a b c a b a c x y z x y z >>>->∈⇒>>>>∈-⇒>>><⇔<⇔<⇔<⇔<<⇔<⇔<⇔<⇔<⇒⇒>>>->===-⇒===⇒()()()()0.52100.3323333235.1lg51012log log 3log log 5log 0.2.lg5,lg lg 1033lg 313.313331314lnln ln ln ln 2222222101011153log log 31log 10log 11lg3ln 3ln x y z a b c e e e >>⇒>>⎛⎫===>== ⎪⎝⎭><⇒⋅<⋅⇒<>⇒>=⇒->⇒->⇒()()()[]()()()343344121212121212123434343lg3ln 3lg311log log log log log log 16341211log log log log log log log log 12log 122log 4log 34,lg 20213,4lg 2021log log 6.74.8.90x y z a b cm m m m m mx y m z m m mm m m m x ym m zA B b a ->-⇒>>++===⇒==+=+=++=+=++>∈⇒>>>>()()[]()()()()()()()()()()331122222220.5.10111.2202121log 2log 2725,.22725101132log 1log 1,.1322122013log 40,4,14log 2log 24414log c d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x >+>⇒>-⎧+>⇒⇒∈+∞⎨+>⇒>⎩->⇒>⎧⎪⎛⎫->⇒⇒∈⎨ ⎪-<⇒<⎝⎭⎪⎩>⎧⎪⎛⎫⇒>⇒⇒∈+∞⎨ ⎪>>-⇒><⎝⎭⎪⎩⇒≤或或0.50.50.50.1142log log log log 22x x x x x >⎧⎪⇒∈⎨⎢-≤≤⇒≥≤≤⎣⎪⎩[]()()[]()()()()()()()()()[]()()()22220.510133313log log ,1,13355555144.15.20116log .646, 2.2,02,4.4log 23170.180,219 2.20.12211,log a a a a a a a a a A x x y x f f x x x m b a c x C t x x y t φ⎧⎧>⇒<<⇒⎪⎪⎛⎫⇒>⇒⇒⇒<<⇒⇒∈⎨⎨ ⎪⇒<⇒>⎝⎭⎪⎪⎩⎩⎧->⎪⎛⎫===⇒∈-⎨ ⎪-<⎝⎭⎪⎩=⇒>>==--⎧⎪⇒-∞⎨=⎪⎩()()()()()()()[]()()()()(]()()()20.520.51.3323,.2ln 324234,4.log 2042304324244,4log 204230423.24.4325l 55xt x x y ta t x x ax a a a h t t t a a a a t x x ax a a a h t t t a a a C C x =-+⎧⎪⎛⎤⇒--⎨⎥⎝⎦=⎪⎩⎧⎧=-+≤⇒≤⎪⎪⇒⇒∈-⎨⎨=⎪⎪⎩≥⇒-+≥⇒≥-⎩⎧⎧=-+≤⇒≤⎪⎪⇒⇒∈-⎨⎨=⎪⎪⎩>⇒-+>⇒>-⎩⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭()()()()()45 1.0826636lglg3lg 2lg 31510og 2.3.4853lg 21lg lg510lg 42lg 22lg 22lg 20.626 1.084log 415.108lg1.08lg108lg1003lg 32lg 220.04lg 10012732125212ln 21252121240212nkk k A a a n e k e e θ---+-===≈⇒-⋅=⇒=======-+-=+-⋅⇒===+-⋅=+⋅=+()()()()()()1ln3ln 280.23530.23530.235355233340124012517.2011280.9510.2353ln 31919191300531366.235lg12lg1812121229:lg 24lg 24lg 242.3181818t t t eeKK e e t e t t C C -------⋅=+⋅=+==⇒+=⇒=⇒--==-+⇒-=≈⇒=⇒-=⇔=⇔=⇔=⇔代入验证2021高考数学专题复习:函数奇偶性1.奇函数:()()()()()()()()(),3,02,1x f x f x f x f x f x f --==-+-=-在对称区间上单调性相同 偶函数:()(),x f x f =-在对称区间上单调性 相反2.偶函数图像关于y 轴对称，奇函数图像关于 原点 对称3.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，4.如果奇函数()x f 在0x =时有定义,则()0f 0 .5.已知函数()xn m dx cx bx ax x f +++++=234当 0===n d b 时()x f 为偶函数,当0===m c a 时()x f 为奇函数 6.判断奇偶性(1)函数()x f 满足()(),f a x f a x +=-则()x f 关于 对称 (2)函数()x f 满足()()0,f a x f a x ++-=则()x f 关于 对称(3)已知()x f 为R 上的增函数，且满足()()0,f a x f a x ++-=则()()⇔≥+0n f m f (4)已知()x f 为R 上的减函数，且满足()()0,f a x f a x ++-=则()()⇔<+0n f m f 判断下列函数奇偶：()()21x x f = ()()[]()2,3.23-∈=x x x f ()()xx x f 13+=()()54=x f ()()x x x f 553+= ()()126+=x x f()()17-++=x x x f ()()38--+=x x x f ()()x x f +-=192()()xxa a x f -+=10 ()()xxa a x f --=11 ()()x x xx aa x f --+=12()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0.30.31322x x x x x x x f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=0.0.1422x x x x x x x f ()()32152--=x x x f()()xa x a x f -+=ln 16 ()()()1log 172++=x x x f a()()211118+-=x a x f()=-x f ()=-x f ()211112111+-=+-=--xx a a x f ()()=-+x f x f()()=-+x f x f2112111+-=+-=x x xx a a a a ()211+--=-∴x x a a x f ()()=-+x f x f()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2113119x x f ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-211120x a x x f ()()21x f =定义域:()=x f()()211sin sin ln 222++-⎪⎭⎫⎝⎛-+=xx x x x x f ()()()()()x x x x x x f --++--+=221log 1lg 1lg 23=()()xx x x x f tan cos ln 25-⋅=()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≠≠-==⇒⋅-=-1,1,1,1,26m m m m a m a x f xx()()=⇒+-=m a m x f x 为奇函数2127 ()()=⇒++=n a nx f x为奇函数4128()()312931x x f x -=+ ()()1301x x a f x a +=-1.已知函数()()()=-=+-=a f a f x x x f ,21,11lg （ ）A.21B.21-C.2D.2-2.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图象关于( )对称 ( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．原点 D ．y ＝x3.函数()()()()[]2212712,1,2f x m x m x m m x t =-+-+-+∈+为偶函数，则t = ,=m()x f 在其定义域内的值域为4.设函数()x f 和()x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ） A.()()x g x f +是偶函数 B.()()x g x f -是奇函数 C.()()x g x f +是偶函数 D.()()x g x f -是奇函数5.()x f 是定义在R 上的偶(奇)函数,当0≤x 时(),32x x x f +-=当0>x 时求()x f(1)当0>x 时0<-x(2)()()()x x x x x f 3322--=-+--=-(3)()x f 是偶函数()()x x x f x f 32--=-=∴()x f 是奇函数()()x x x f x f 32+=--=∴6.()x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时(),23,2x x x f +-=当0<x 时()=x f7.()x f 是R 上的偶函数.当0>x 时())223ln 3,f x x x x =++则当0<x 时()=x f8.()x f 为定义在R 上的奇函数,当0≥x 时()a x x f x ++=32,则0<x 时()=x f9.()x f 是定义在R 上的奇函数,当0<x 时()(),1ln +-=x x f 则0>x 时()=x f10.若定义域为R 的函数()1222+-+⋅=xx a a x f 为奇函数,实数=a11.函数()21+-=xa mx f 为奇函数,实数=m12.判断证明下列函数奇偶： (1)()()1log .011axf x a a x-=>≠+且 (2)()321x x f x x +=+定义域:(3)()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+=0.20.222x x x x x x x f(4)()11212x f x =+-(5)())())()223ln .03ln .0x x x f x x x x ⎧+≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩。