(完整word版)高考数学函数专题
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练(含答案)-word
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
(完整word版)高中数学函数的凸凹性例讲
高 中 数 学 函 数 的 凸 凹 性 例 讲山西忻州五寨一中 摄爱忠函数凹凸性问题是高考中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质.①掌握增量法解决凹凸曲线问题 ②函数的凹凸性定义及图像特征一、凸凹函数定义：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（b a ,）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（b a ,）上的下凸函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（b a ,）上的上凸函数。
二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数） 图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方;上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
2切线斜率特征图3（下凸函数） 图4（上凸函数）下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。
3增量特征：图5（下凸函数） 图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小； 简记为：增量下大上小．．．．．．。
弄清了上述两类凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题． 三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数；（2） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数；定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.四、函数凹凸性的应用题型1：图形与图像问题◇题目：一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（ ）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．练一练：◇题目：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图9所示，那么水瓶的形状是（图10中的）图7图8（）．（1998年全国高考题）图9 图10解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．讲一讲：◇题目：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是（）．Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先上凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．练一练：◇题目：（06重庆理）如下图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）C图17解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是上凸的，在［π，2π］上是下凸的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是下凸的，后来在［π，2π］上是上凸的，故选D．◇题目：（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解：设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为上右图.因为函数V 1（h ）、V 2（h ）为下凸函数, V 1（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量， ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 1> 0.5H =h 4；同理V 2（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量，ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 2> 0.5H =h 4；所以h 1> h 4、 h 2> h 4；由V 1（h ）、V 2（h ）图象可知，h 从H →h 2，ΔV 1（h ）>ΔV 2（h ）,而0.5 V 1（h ）>ΔV 1（h ）,ΔV 2（h ）=0.5 V 2（h ）,则当ΔV 1（h ）=0.5 V 1（h ）时h 1> h 2，所以答案为A.题型2：函数与图像问题◇题目： 在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时，2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。
【高中数学】函数的奇偶性专题复习(绝对原创!)
【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ； )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += （3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-= （8）221()lg lgf x x x =+； （9）xx x x f -+-=11)1()(例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x xx x f 的奇偶性。
)(0)0(:2x f f -==解 )()()(,0,022x f x x x f x x -=-=--=-<->有时即当)()()()(,0,022x f x x x f x x -=--=-=->-<有时即当.)(),()(为奇函数故总有x f x f x f =-∴第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档
(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一具位置旋转到另一具位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一具零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。
假如角的终边在坐标轴上，就以为那个角别属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k kαθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角别一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，所以，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。
（答：25-o；536π-）(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k kαθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边对于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边对于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边对于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边对于直线x y =对称，则α＝____________。
(完整word版)高等数学辅导讲义.doc
第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
2022年高考数学三角函数大题精品专题专练(word版)01面积问题1
面积问题11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos )b a C -=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）由正弦定理得2(sin sin cos )B A C C -=，又 sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，2cos sin A C C ∴，又sin 0C ≠，2cos A ∴=，cos A ∴= 故在ABC ∆中，30A =︒；（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，222242cos30(23)b c bc b c bc ∴=+-︒=+-，44(223bc ∴=+-，ABC ∴∆面积11sin 2324S bc A bc ==+．故ABC ∆面积的最大值为2+． 2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-． （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC ∆面积的最大值．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos()6B A A B π=-， 由于0A π<<，sin 0A ≠，所以1sin cos()sin 62B B B B π=-=+，即1sin 2B B ，则tan B 0B π<<，所以3B π=．（2）由余弦定理，得22122c a ca ac ca ac =+--=（当且仅当a c =时，取“=” )， 从而1sin 3323S ca π=，所以ABC ∆的面积取得最大值3．如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上的一点，24DE AE ==，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠． （1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE ∆的面积S 为83，求BC ．解：（1）2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠，22222222BE BC CE CE BC BE BE CE BC BE BC CE BC+-+-=⋅+⋅=⋅⋅， 所以1cos 2BEC ∠=，即3BEC π∠=； （2）设AEB α∠=，则23DEC πα∠=-，2(0)3πα<<， 因为24DE AE ==，所以2cos cos AE DE αα==，422cos()cos()33DE CE ππαα==--， BCE ∆的面积12383sin 8323cos cos()2sin(2)136S BE CE πππααα=⋅⋅==--- 所以sin(2)16πα-=，即262ππα-=， 所以3πα=，此时4BE =，8CE =，BCE ∆中，由余弦定理得2222cos BC BE CE BE CE BEC =+-⋅∠， 11664248482=+-⨯⨯⨯=． 故43BC =4．已知平面四边形ABCD 内接于圆O ，3AB BC ==，60ABC ∠=︒．（1）若3CD ，求ABD ∠所对的圆弧AD 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）连接AC ，3AB BC ==，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆为等边三角形，3AC =，平面四边形ABCD 内接于圆O ，180ABC ADC ∴∠+∠=︒（四点共圆），120ADC ∴∠=︒，由余弦定理可得，2222AD DC AC AD DC +-=⋅．COS ADC ∠， ∴3AD ，设ABC ∆的外接圆半径为R ，2sin ACR ABC =∠，3AC =，60ABC ∠=︒3R ∴OAD ∴∆为等边三角形，∴圆弧AD 所对于应的角3πα=，333AD R ππα==．（2）在ACD ∆中，2222AD DC AC AD DC ADC +-=⋅⋅∠， 120ADC ∠=︒，3AC =，229AD DC AD CD ∴+=-⋅，222AD CD AD CD +⋅，3AD CD ∴⋅，当且仅当3AD CD == ∴四边形ABCD 面积1111sin 60sin1203332222ABC ACD S S S AB BC AD DC =+=⋅⋅︒+⋅⋅︒⨯⨯⨯= ∴四边形ABCD 面积S =5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对应边，已知cos cos a C b c A =+．（1）求A ；（2）若sin()B A -=，c =ABC ∆的面积． 解：（1）cos cos a C b c A =+，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos A C CB C A =+， 又A B C π++=，sin sin[()]sin()B A C A Cπ∴=-+=+，∴sin cos sin cos cos sin sin cos A C C A C A C CA =++， ∴2sin cos C C A =，又(0,)C π∈，sin0C ∴>， ∴cosA = (0,)A π∈，∴4A π=．（2）sin()B A -=，即sin()4Bπ-=， 304B π<<，可得442B πππ-<-<，∴cos()4B π-==， ∴sinsin()sin()sin[()]cos()4424CA B B B Bππππ=+=+=-+=-= 又∴sin sin[()])cos()]4444B B B B ππππ=-+=-+-==， 在ABC ∆中，由正弦定理可知：25sin c R C ===， ∴52R =，（其中R 为ABC ∆外接圆半径），∴221523102515sin 2sin sin sin 2()2221052ABC S ab C R A B C ∆===⨯⨯⨯⨯=． 6．（1）如图，在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点P 经过5s 所转过的弧长． （2）在ABC ∆中，已知1tan 2A =，1tan 3B =且最长边为1，求ABC ∆的面积．解：（1）因为P 是弦的中点，所以OP AB ⊥，因为10AO cm =，6AB cm =，所以4OP cm =， 因为轮子以4弧度/秒的速度旋转，选择5s ，所以所转过的弧长45480l cm cm =⨯⨯=；（2）因为1tan 2A =，1tan 3B =，所以tan tan tan tan()1tan tan 1A BC A B A B +=-+==--， 所以34C π=， 所以C ∠为最大角，所以1c =，由1tan 2A =，1tan 3B =可得5sin A =，10sin B =， 由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ==，所以sin sin c A a C =，sin sin c B b C =， 所以ABC ∆的面积251011sin sin sin sin 1510sin 22sin sin 2sin 1022c A c B c A B S ab C C C C ==⨯⨯===⨯． 7．如图，半圆O 的直径为2cm ，A 为直径延长线上的-点，2OA cm =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．设AOB α∠=．（1）当3πα=时，求四边形OACB 的周长；（2）点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？最大值为多少？解：（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos 14212cos 33AB OA OB OA OB πα=+-⋅=+-⨯⨯=， 即3AB =，于是四边形OACB 的周长为421343353OA OB AB AB +++=+++=+；（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos 14212cos 54cos AB OA OB OA OB ααα=+-⋅=+-⨯⨯⨯=-， 所以54cos AB α=-，0απ<<，于是四边形OACB 的面积为2133sin sin (54cos )244AOB ABC S S S OA OB AB ααα∆∆=+=⋅+=+- 5353sin 3cos 2sin()434πααα=-+=-+， 当32ππα-=，即56πα=时，四边形OACB 的面积取得最大值5324+． 8．已知ABC ∆中，3sin cos AC A BC B ⋅=⋅． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）已知3C π=，1003AB =，若D 、E 是边BC 上的点，使6DAE π∠=，求当ADE ∆面积的最小时，BAD∠的大小．解：（Ⅰ）3sin cos AC A BC B ⋅=⋅， ∴3sin sin sin cos B A A B ⋅=⋅，(0,)A π∈，sin 0A ∴≠，得3tan B =，又(0,)B π∈，6B π∴=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，6B π=，又3C π=，ABC ∴∆为直角三角形，且2BAC π∠=，AB =100AC ∴=，设BAD α∠=，[0α∈，]3π， 则56BDA πα∠=-，在ABD ∆中，由5sin sin()66AD AB ππα=-，得sin()6AD α=-， 由3CAE πα∠=-，3C π∠=，得3AEC πα∠=+， 在ACE ∆中，由sin sin()33AEAC ππα=+，得sin()3AE α=+，由11sin 24ADE S AD AE DAE ∆=⋅⋅∠==． [0α∈，]3π，2[0α∴∈，2]3π，可得当sin 21α=，即4πα=时，S 取得最小值， 故当ADE ∆面积的最小时，4BAD π∠=．。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
(完整word版)高考数学知识点归纳总结,推荐文档
高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。
2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。
且：有假为假，全真为真。
非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。
常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R ， 都 有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 ：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
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专题1 函数(理科)一、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．例1设a ＞0，求函数)ln()(a x x x f +-=(x ∈(0，＋∞))的单调区间．分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式()0f x '≥(递增)及()0f x '<(递减)。
解：)0(121)(>+-='x ax xx f ． 当a ＞0，x ＞0时f '(x )＞0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0， f '(x )＜0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2＜0． (ⅰ)当a ＞ 1时，对所有x ＞ 0，有 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (ⅱ)当a ＝1时，对x ≠1，有 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递增． 又知函数f (x )在x ＝1处连续，因此，函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (ⅲ)当0＜a ＜1时，令f '(x )＞0，即 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，解得a a x ---<122，或a a x -+->122．因此，函数f (x )在区间），a a ---1220(内单调递增，在区间），∞+-+-a a 122(内也单调递增．令f '(x )＜0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2 ＜ 0， 解得 ：a a x a a -+-<<---122122．因此，函数f (x )在区间），a a a a -+----122122(内单调递减．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．例2 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f 。
设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
(Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)设l 与x 轴交点为)0,(2x 。
证明： ① ax 102≤<； ② 若a x 11<，则ax x 121<< (Ⅰ)分析：欲求切线l 的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 的一阶导数值。
解：求)(x f 的导数：2'1)(x x f -=，由此得切线l 的方程： )(1)1(1211x x xx ax y --=--。
(Ⅱ)分析：①要求2x 的变化范围，则须找到使2x 产生变化的原因，显然，2x 变化的根本原因可归结为1x 的变化，因此，找到2x 与1x 的等量关系式，就成；② 欲比较2x 与1x 的大小关系，判断它们的差的符号即可。
证：依题意，切线方程中令y ＝0，ax ax x x ax x x 20)2()1(1111112<<-=+-=，其中. ① 由a a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,2021221121+--=>-=<<及有 a x a x a x 11,10212==≤∴时，当且仅当〈.②ax x ax x x ax a x 1)2(112111211<>-=<<，且由①，，因此，时，当 ax x 121<<所以。
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。
例3、 函数y ＝1－11-x 的图象是( )解析一：该题考查对f (x )＝x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y ＝x1的图形变形到y ＝11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－11-x ＋1，从而得到答案B . 解析二：可利用特殊值法，取x ＝0，此时y ＝1，取x ＝2，此时y ＝0.因此选B . 答案：B点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例４ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1.分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<Θ， ∴ 0))((21>--x x x x a ， ∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <，综上可知，所给问题获证.点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。
例5 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .(1)如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； (2)如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.分析：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . (1)由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b aa b两式相加得12<ab，所以，10->x ; (2)由aa b x x 4)1()(2221--=-， 可得 1)1(122+-=+b a .又0121>=ax x ，所以21,x x 同号.∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b . 点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。